2020届市高级中学高三1月调研考试数学（文）试题
一、单选题
1．＝（）
A．﹣1
B．﹣i
C．1
D．i
【答案】A
【解析】根据复数的除法运算得到结果即可.【详解】
＝
故答案为：A.【点睛】
这个题目考查了复数的除法运算，题目比较简单.2．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，公差为d，则“﹣1＜d＜0”是“S22+S52＜26”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解出关于d的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
【详解】
∵S22+S52＜26，∴（2+d）2+25（1+2d）2＜26，∴（101d+3）（d+1）＜0，∴﹣1＜d＜﹣，∵﹣1＜d＜0推不出﹣1＜d＜﹣，﹣1＜d＜﹣⇒﹣1＜d＜0，∴“﹣1＜d＜0”是“S22+S52＜26”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了等差数列的前n项公式，是一道基础题．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
3．设函数是定义在上的偶函数，且，若，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性求出和的值即可得到结论．
【详解】
是定义在上的偶函数，，即，则，故选D．
【点睛】
本题主要考查函数值的计算，以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．
4．已知向量的夹角为，且，则（）
A．
B．2
C．
D．84
【答案】C
【解析】先求出，然后由计算即可。
【详解】
由题意知，，则，所以.故答案为C.【点睛】
本题考查了向量的数量积，向量的模，考查了学生的计算能力，属于基础题。
5．设函数，则是（）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
【答案】D
【解析】函数，化简可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函数．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期为π的偶函数．故选D．
6．已知，设，则的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，分析可得为减函数，由对数的运算性质分析可得，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，，则，则函数为减函数，又由，则有，则，故选：．
【点睛】
本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及指数函数的性质，注意分析函数，的单调性，属于基础题．
7．已知是等差数列，是正项等比数列，且，，则
A．2274
B．2074
C．2226
D．2026
【答案】A
【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
【详解】
设等差数列的公差为d，正项等比数列的公比为，，，，解得，．
则．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．秦九韶是我国宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据程序框图，进行模拟运算即可．
【详解】
一次循环，，成立，则，第二次循环，成立，则，第三次循环，成立，则，第四次循环，成立，则，第五次循环，成立，则，第六次循环，不成立，输出，故选：C．
【点睛】
本题主要考查程序框图的识别和判断，了解程序的功能，利用模拟运算法是解决本题的关键．
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若，，则的面积
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】，由正弦定理可得，，的面积．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算和转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现
及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解.10．已知，的导函数的部分图象如图所示，则下列对的说法正确的是（）
A．最大值为且关于点中心对称
B．最小值为且在上单调递减
C．最大值为且关于直线对称
D．最小值为且在上的值域为
【答案】D
【解析】根据函数图象与性质，求出A、T、与的值，写出函数的解析式，判断选项即可.【详解】,由图象可知，，所以，又
又，所以，所以，最小值为，则，所以在上的值域为，故选D.【点睛】
本题主要考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用，属于中档题.11．函数的图象是()
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．
【详解】
因为x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．
所以选项A、D不正确．
当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x-）是增函数．
故选B．
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．设函数的导函数为，且，则（）.A．0
B．-4
C．-2
D．2
【答案】B
【解析】可先求函数的导数，先令求出，再令即可求解
【详解】
由，令得，解得，则，故选：B
【点睛】
本题考查函数具体导数值的求法，属于基础题
二、填空题
13．已知向量，则___________.【答案】
【解析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】
．
【点睛】
本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．
14．已知等比数列的前n项和为，若，则＝_______．
【答案】1
【解析】由题意可得，公比q≠1，则7，63，相除可得公比q，即得的值．
【详解】
由题意可得，公比q≠1，∴7，63，相除可得
1+q3＝9，∴q＝2，∴a1＝1．
故答案为：1.【点睛】
本题考查等比数列的前n项和公式，求得q值是解题的关键，属于基础题．
15．已知函数,则满足的的取值范围是________．
【答案】.【解析】对的取值情况分类，把问题转化成具体不等式问题求解。
【详解】
当时，不等式可化为：，不等式不成立。
当时，等式可化为：，解得：，当时，等式可化为：，解得：，综上：，故填。
【点睛】
本题考查解不等式问题，分段函数对自变量的范围讨论，代入相应的函数关系式把问题转化成具体不等式求解。
16．函数的单调减区间为______．
【答案】
【解析】利用诱导公式将函数解析式化简，然后利用正弦函数的单调性即可得到单调减区间．
【详解】
解：．
令：，整理得：，所以函数的单调递减区间为：．
故答案为．
【点睛】
本题考查诱导公式的应用，考查正弦型函数的单调性，属于基础题．
三、解答题
17．已知设成立；
指数函数为增函数，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围．
【答案】或．
【解析】先求出真时的取值范围，再求出为真时的取值范围，利用一真一假求出的取值范围．
【详解】
若为真：对，恒成立，设，配方得，所以在上的最小值为，所以，解得，所以为真时：；
若为真：，因为”为真，“”为假，所以与一真一假，当真假时，所以，当假真时，所以，综上所述，实数的取值范围是或．
【点睛】
对于“为”真，“”为假的问题，我们一般先求出真时参数的范围，再求出为真时参数的范围，通过真假和假真得到最终的参数的取值范围．
18．已知等差数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）利用等差数列的前n项和公式和通项公式，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由题意bn＝，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和．
【详解】
（Ⅰ），∴，∴
则
.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,-
=
=
∴
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查了错位相减法求和，考查了运算能力，属于中档题．
19．已知分别是三个内角的对边，且．
（1）求角的值．
（2）若，点在边上，求的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用正弦定理化简2asin（C）b，再利用三角恒等变换求出A的值；
（2）根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理建立方程组求得AD的长．
【详解】
（1）中，∴，∴，∴，∴，∴；
（2）如图所示，设，∴；
由余弦定理得，…①，…②
由①②解得，即的长为．
【点睛】
本题考查了三角恒等变换以及解三角形的应用问题，是中档题．
20．已知函数.(1)若函数的图象与轴无交点，求的取值范围；
(2)若函数在上存在零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得方程f（x）=0的根的判别式△＜0，解不等式即可得到范围；
（2）求出二次函数的对称轴方程，判断f（x）在[﹣1，1]的单调性，再由零点的定义可得f（1）≤0，f（﹣1）≥0，解不等式即可得到所求范围．
【详解】
(1)若函数y＝f(x)的图象与x轴无交点，则方程f(x)＝0的根的判别式Δ<0，即16－4(a＋3)<0，解得a>1.故a的取值范围为a>1.(2)因为函数f(x)＝x2－4x＋a＋3图象的对称轴是x＝2，所以y＝f(x)在[－1,1]上是减函数．
又y＝f(x)在[－1,1]上存在零点，所以,即,解得－8≤a≤0.故实数a的取值范围为－8≤a≤0.【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，主要是单调性的判断和应用，考查不等式的解法，以及运算能力，属于中档题．
21．已知函数
Ⅰ求的最小正周期；
Ⅱ若在区间上单调递增，求实数m的最大值．
【答案】（Ⅰ）最小正周期为（Ⅱ）
【解析】Ⅰ首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期;Ⅱ利用Ⅰ的函数的关系式，进一步利用整体思想和函数的区间的子集关系求出结果．
【详解】
Ⅰ函数，，所以：函数的最小正周期为．
Ⅱ由于：，令：，解得：，当时，在区间上单调递增，故：，所以：m的最大值为．
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
22．已知函数，．
（1）若是的极值点，求并讨论的单调性；
（2）若时，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）求出原函数的导函数，结合求得，代入导函数，得到，再由在上单调递增，且，可得当时，单调递减；当时，单调递增；（2）由，得，令，利用二次求导可得其最小值，则..的范围可求．
【详解】
（1），.因为是的极值点，所以，可得．
所以，.因为在上单调递增，且时，所以时，，单调递减；
时，，单调递增．
故在上单调递减，在上单调递增．
（2）由得，因为，所以.设，则.令，则，显然在内单调递减，且，所以时，单调递减，则，即，所以在内单减，从而.所以.【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
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