2020届1月市一模数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】
故选：B
【点睛】
本题考查一元二次不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2．命题，则为（）
A．，B．，C．，D．，【答案】A
【解析】根据全称命题的否定直接判断选择.【详解】，：，故选：A
【点睛】
本题考查全称命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题.3．已知，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据复数的乘法运算即可求解.【详解】
由，则.故选：C
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算，属于基础题.4．已知均为单位向量，若夹角为，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先求数量积，再求模的平方，最后得结果.【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.5．若实数x，y满足不等式组，则的最大值为（）
A．4
B．
C．-6
D．6
【答案】A
【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解，代入得结果.【详解】
作可行域如图，则直线过点时取最大值4,故选：A
【点睛】
本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.6．函数，则下列选项正确的是（）
A．当时，取得最大值
B．在区间单调递增
C．在区间单调递减
D．的一个对称轴为
【答案】C
【解析】利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦三角函数的性质即可求解.【详解】，对于A，当时，而，故A错误；
对于B，令，求得
当时，则，故B错误；
对于C，令，求得
当时，则，故C正确；
对于D，令，求得，当时，当时，故D错误；
故选：C
【点睛】
本题主要考查二倍角公式以及三角函数的性质，需熟记公式与性质，属于基础题.7．已知，，则a，b，c的大小关系为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小.【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.8．已知a，b为两条不同的直线，，为三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
A．①③
B．②③
C．①②③
D．②③④
【答案】B
【解析】根据线面位置关系逐一判断，即可选择.【详解】
若，a可以和两个相交平面的交线平行,这样也能保证，；
若，则；
若，则；
若，则或；
故选：B
【点睛】
本题考查线面有关命题判断，考查基本分析判断能力，属基础题.9．新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）
A．丙没有选化学
B．丁没有选化学
C．乙丁可以两门课都相同
D．这四个人里恰有2个人选化学
【答案】D
【解析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．
【详解】
根据题意可得，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学；
又∵丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学；
若丙没选化学，又∵丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学．
综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A，B不正确，D正确。
假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科。不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C不正确。
【点睛】
本题主要考查学生的逻辑推理能力。
10．已知正项等比数列，满足，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用等比数列的性质以及等比中项即可求解.【详解】
由可得，所以，所以.故选：B
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质，需熟记性质，属于基础题.11．已知双曲线的两条渐近线分别为直线与，若点A，B为直线上关于原点对称的不同两点，点M为直线上一点，且，则双曲线C的离心率为（）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】先求渐近线方程，再设坐标，根据斜率公式化简条件，即得离心率.【详解】
渐近线方程为，不妨设
则可设
因此
故选：C
【点睛】
本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为（）
A．20
B．18
C．16
D．14
【答案】C
【解析】先解，再作图，结合图象确定交点个数，即得零点个数.【详解】
或
根据函数解析式以及偶函数性质作图象，零点个数为,故选：C
【点睛】
本题考查函数零点以及函数综合性质，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.二、填空题
13．椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，已知，则________.【答案】
【解析】根据椭圆的定义即可求解.【详解】
由椭圆，则，所以
根据椭圆的定义可得，故答案为：
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义，需掌握椭圆的定义，属于基础题.14．已知四张卡片上分别标有数字2，2，3，3，随机取出两张卡片，数字相同的概率为________.【答案】
【解析】根据题意可知抽取两张数字相同的2种，总共的抽法张随机抽两张，由组合可得抽法共，由此可求概率.【详解】
由题意可得抽取两张数字相同的2种，抽法共，.故答案为：
【点睛】
本题主要考查的组合问题，考查学生的逻辑分析能力，属于基础题.15．已知等差数列的前n项和为，且，.数列中，.则________.【答案】
【解析】先根据条件解得等差数列公差与首项，即得；再根据解得通项公式，即得，最后求积得结果.【详解】
设等差数列公差为，则由，得，因为，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16．在四面体ABCD中，若，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________.【答案】
【解析】先根据底面ACD面积为定值，确定四面体ABCD的体积最大时，平面,再确定外接球球心位置，解得球半径，代入球的表面积公式得结果.【详解】
因为，所以底面ACD面积为定值，因此当平面时，四面体ABCD的体积最大.设外接圆圆心为,则四面体ABCD的外接球的球心满足,且，因此外接球的半径满足
从而外接球的表面积为
故答案为：
【点睛】
本题考查四面体外接球的表面积，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求A及a；
（2）若，求b，c.【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）由正弦定理边化角以及两角和的正弦公式即可求解a；根据二倍角公式可求角A
（2）由（1）以及余弦定理即可求解.【详解】
（1），即，解得；
由，则，所以，故.（2）由正弦定理可得，且
可得，又，所以，解得，.【点睛】
本题考查了正余弦定理以及二倍角公式、两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.18．如图，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，.平面平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且，.点F为AD中点，连接EF.（1）求证：平面ABC；
（2）求证：平面平面ABD.【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】（1）取的中点，连接，可证出，由线面平行的判定定理即可证出；
（2）首先证出平面ABD，再由（1）可证得平面ABD，根据面面垂直的判定定理即可证出.【详解】
（1）
取的中点，连接，点F为AD中点，且，且，四边形为平行四边形，,又因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.（2）由（1）点为的中点，且为等边三角形，所以，又因为.平面平面ABD，所以平面ABC，所以,又，所以平面ABD，又，所以平面ABD，平面AED，平面平面ABD.【点睛】
本题主要考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判断定理，要证线面平行需先证“线线平行”；要证面面垂直需先证线面垂直，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.19．“学习强国”学习的平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台.某单位共有党员200人（男女各100人），从2019年1月1日起在“学习强国”学习的平台学习.现统计他们的学习积分，得到如下男党员的频率分布表和女党员的频率分布直方图.女党员
男党员
积分
（单位：千）
人数
（单位：人）
（1）已知女党员中积分不低于6千分的有72人，求图中a与b的值；
（2）估算女党员学习积分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和女党员学习积分的中位数（精确到0.1千分）；
（3）若将学习积分不低于8千分的党员视为学习带头人，完成下面列联表，并判断能否有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关?
男党员
女党员
合计
带头人
非带头人
合计
200
相关公式即数据：.0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
【答案】（1）；（2）平均数：；中位数：
（3）没有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关.【解析】（1）由频率分布直方图小矩形的面积为频率即可求解.（2）根据频率分布直方图平均数等于小矩形面积小矩形底边中点的横坐标之和；设中位数为，由频率分布直方图可知中位数在上，使小矩形面积为即可求解.（3）根据列联表以及独立性检验即可判断.【详解】
（1）由女党员中积分不低于6千分的有72人，则低于6千分的有人，解得，解得，故；.（2）由频率分布直方图可知：
平均数.设中位数为，在与上的频率为，解得，综上所述，平均数：；中位数：
（3）列联表如下：
男党员
女党员
合计
带头人
非带头人
128
合计
200
故没有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关.【点睛】
本题主要考查频率分布图、列联表以及独立性检验，属于中档题.20．已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）先根据条件解得B点坐标，代入抛物线方程解得，即得结果；
（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得与，最后代入化简得结果.【详解】
（1）设
因为点B在抛物线C上，（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以
因此，同理可得
因此
【点睛】
本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.21．已知函数.（1）求函数的单调区间与极值；
（2）若函数有两个极值点时，求a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间：；单调递减区间：；极小值为
（2）
【解析】（1）求出函数的导函数，根据导函数即可求出单调区间以及极值.（2）求出的导函数，使导函数有两个根，采用分离参数法，结合（1）中的值域即可求出参数的取值范围.【详解】
（1）由，则，令，则，令，即，解得，所以函数的单调递增区间为；
令，即，解得，所以函数的单调递减区间为；
故函数的极小值为.综上所述，单调递增区间：；单调递减区间：；极小值为
（2）由，则，若有两个极值点，则有两个根
即有两解，即，即与有两个交点，由（1）可知在上单调递减；在上单调递增，所以.若与有两个交点，则.【点睛】
本题主要考查导数在函数单调性中的应用以及由函数的极值点个数求参数的取值范围，考查了转化、化归思想，属于中档题.22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若点，求的值.【答案】（1），（2）
【解析】（1）根据将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化直线l的参数方程为普通方程
（2）先化直线l的参数方程为标准式，再代入曲线C方程，最后根据参数几何意义求解
【详解】
（1）
（2）
代入得
【点睛】
本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考查基本分析求解能力，属中档题.23．已知函数.（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集得结果；
（2）先化简不等式，再根据绝对值三角不等式性质求最值，即得结果.【详解】
（1）
或或
或或
即不等式的解集为.（2）
【点睛】
本题考查绝对值定义以及绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
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