2020届1月市一模数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】
故选：B
【点睛】
本题考查一元二次不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2．命题，则为（）
A．，B．，C．，D．，【答案】A
【解析】根据全称命题的否定直接判断选择.【详解】，：，故选：A
【点睛】
本题考查全称命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题.3．已知复数z满足，且，则（）
A．2
B．2i
C．
D．
【答案】C
【解析】根据共轭复数概念以及复数乘法列方程，解得结果.【详解】
设,则，且，且.故选：C
【点睛】
本题考查共轭复数概念以及复数乘法，考查基本分析求解能力，属基础题.4．已知均为单位向量，若夹角为，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先求数量积，再求模的平方，最后得结果.【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.5．若实数x，y满足不等式组，则的最大值为（）
A．4
B．
C．-6
D．6
【答案】A
【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解，代入得结果.【详解】
作可行域如图，则直线过点时取最大值4,故选：A
【点睛】
本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知，，则a，b，c的大小关系为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小.【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.7．垃圾分类是一种新时尚，沈阳市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小（）
A．，B．，C．，D．，【答案】C
【解析】根据茎叶图数据分布，比较最小值与最大值以及中间数值可以确定平均值大小，根据数据分布集中情况确定方差大小，即可选择.【详解】
因为甲的最大值比乙小，甲的最小值比乙小，甲的中间数值没乙的中间数值大，所以；
因为甲的数据没有乙的数据集中，所以.故选：C
【点睛】
本题考查根据茎叶图判断平均值与方差大小，考查基本分析判断能力，属基础题.8．已知a，b为两条不同的直线，，为三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
A．①③
B．②③
C．①②③
D．②③④
【答案】B
【解析】根据线面位置关系逐一判断，即可选择.【详解】
若，a可以和两个相交平面的交线平行,这样也能保证，；
若，则；
若，则；
若，则或；
故选：B
【点睛】
本题考查线面有关命题判断，考查基本分析判断能力，属基础题.9．新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）
A．丙没有选化学
B．丁没有选化学
C．乙丁可以两门课都相同
D．这四个人里恰有2个人选化学
【答案】D
【解析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．
【详解】
根据题意可得，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学；
又∵丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学；
若丙没选化学，又∵丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学．
综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A，B不正确，D正确。
假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科。不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C不正确。
【点睛】
本题主要考查学生的逻辑推理能力。
10．已知双曲线的两条渐近线分别为直线与，若点A，B为直线上关于原点对称的不同两点，点M为直线上一点，且，则双曲线C的离心率为（）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】先求渐近线方程，再设坐标，根据斜率公式化简条件，即得离心率.【详解】
渐近线方程为，不妨设
则可设
因此
故选：C
【点睛】
本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.11．如果将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值为（）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】先根据左右平移不改变最值求得，再根据平移规律列等量关系，最后根据两角差正切公式解得结果.【详解】
因为左右平移不改变最值，所以
因为，向右平移个单位得到，而，所以，即
从而
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数图象变换以及两角差正切公式，考查综合分析求解能力，属中档题.12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为（）
A．20
B．18
C．16
D．14
【答案】C
【解析】先解，再作图，结合图象确定交点个数，即得零点个数.【详解】
或
根据函数解析式以及偶函数性质作图象，零点个数为,故选：C
【点睛】
本题考查函数零点以及函数综合性质，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.二、填空题
13．已知椭圆方程为，则其焦距为________.【答案】6
【解析】根据椭圆方程求,即得焦距.【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查根据椭圆方程求焦距，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知等差数列的前n项和为，且，.数列中，.则________.【答案】
【解析】先根据条件解得等差数列公差与首项，即得；再根据解得通项公式，即得，最后求积得结果.【详解】
设等差数列公差为，则由，得，因为，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15．“学习强国”学习的平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.【答案】
【解析】先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.【详解】
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;
因此共有种.故答案为：
【点睛】
本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.16．在四面体ABCD中，若，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________.【答案】
【解析】先根据底面ACD面积为定值，确定四面体ABCD的体积最大时，平面,再确定外接球球心位置，解得球半径，代入球的表面积公式得结果.【详解】
因为，所以底面ACD面积为定值，因此当平面时，四面体ABCD的体积最大.设外接圆圆心为,则四面体ABCD的外接球的球心满足,且，因此外接球的半径满足
从而外接球的表面积为
故答案为：
【点睛】
本题考查四面体外接球的表面积，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求A及a；
（2）若，求BC边上的高.【答案】（1）,（2）
【解析】（1）根据正弦定理化简可得a；根据二倍角正弦公式化简可得A；
（2）先根据余弦定理求得，再根据三角形面积公式求BC边上的高.【详解】
（1）；
（2）由余弦定理得,设BC边上的高为..即BC边上的高为
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.18．如图，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，.平面平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且，.点F为AD中点，连接EF.（1）求证：平面ABC；
（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）取AB中点M，根据平几知识得四边形为平行四边形,再根据线面平行判定定理得结果；
（2）先根据面面垂直得线面垂直，再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求各面法向量，根据向量夹角公式得两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】
（1）取AB中点M，连FM,CM.因为点F为AD中点，所以
因为，,所以
因此四边形为平行四边形,所以
因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC；
（2）因为，平面平面ABD，平面平面ABD，平面，所以平面因此以AC中点O为坐标原点，AC,BO,平行于BD的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设边长为2，则
因此平面一个法向量为，设平面一个法向量为，由得，令
所以
因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为
【点睛】
本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.19．已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）先根据条件解得B点坐标，代入抛物线方程解得，即得结果；
（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得与，最后代入化简得结果.【详解】
（1）设
因为点B在抛物线C上，（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以
因此，同理可得
因此
【点睛】
本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.20．在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖**亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：
（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.【答案】（1）（2）x的取值为2或4,.【解析】（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；
（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.【详解】
（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，（2）根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为
两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；
两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.【点睛】
本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查综合分析求解能力，属中档题.21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）先求导数，再根据二次函数图象分类讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性；
（2）根据函数单调性确定零点个数，并用零点存在定理加以论证.【详解】
（1）
当时，即在上单调递增；
当时，即在上单调递增；
当时，时，即在和上单调递增；时，即在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增；在上单调递减；
（2）因为单调函数至多一个零点，所以，因为
所以
因为
而在和上单调递增；在上单调递减；
所以在上有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点（即1），在上有且仅有一个零点，所以当时，函数有三个零点.【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属较难题.22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若点，求的值.【答案】（1），（2）
【解析】（1）根据将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化直线l的参数方程为普通方程
（2）先化直线l的参数方程为标准式，再代入曲线C方程，最后根据参数几何意义求解
【详解】
（1）
（2）
代入得
【点睛】
本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考查基本分析求解能力，属中档题.23．已知函数.（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集得结果；
（2）先化简不等式，再根据绝对值三角不等式性质求最值，即得结果.【详解】
（1）
或或
或或
即不等式的解集为.（2）
【点睛】
本题考查绝对值定义以及绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
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