第二十四章
圆
测试1
圆
学习要求
理解圆的有关概念，掌握圆和弧的表示方法，掌握同圆的半径相等这一性质．
课堂学习检测
一、根底知识填空
1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．
2．战国时期的?墨经?中对圆的定义是________________．
3．由圆的定义可知：
（1）圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．
（2）要确定一个圆，需要两个根本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．
4．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．
5．圆上__________的局部叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．
6．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．
7．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．
8．半径相等的两个圆叫做____________．
二、填空题
9．如以下图，（1）假设点O为⊙O的圆心，那么线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．
（2）假设∠A=40°，那么∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．
综合、运用、诊断
10．：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
（1）求证：∠AOC=∠BOD；
（2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．
11．：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，假设AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．
拓广、探究、思考
12．：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．
测试2
垂直于弦的直径
学习要求
1．理解圆是轴对称图形．
2．掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论．
课堂学习检测
一、根底知识填空
1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．
2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．
3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．
二、填空题
4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，那么AB=______cm．
5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，那么AB=______cm．
5题图
6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，那么AB=______cm，∠AOB=______．
6题图
7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，那么OA=______，O点到AB的距离=______．
7题图
8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，那么圆心O到CD的距离是______．
8题图
9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，那么OP=______．
9题图
10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，那么⊙O的半径等于______cm．
10题图
综合、运用、诊断
11．：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．
12．：如图，试用尺规将它四等分．
13．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．（选自?九章算术?卷第九“句股〞中的第九题，1尺=10寸）．
14．：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，求∠BAC的度数．
15．：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．
求这两条平行弦AB，CD之间的距离．
拓广、探究、思考
16．：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．
（1）在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；
（2）假设CD=4cm，求AP＋PB的最小值．
17．如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，货箱长10m，宽3m，高2m（竹排与水面持平）．问：该货箱能否顺利通过该桥?
测试3
弧、弦、圆心角
学习要求
1．理解圆心角的概念．
2．掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．
课堂学习检测
一、根底知识填空
1．______________的______________叫做圆心角．
2．如图，假设长为⊙O周长的，那么∠AOB=____________．
3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_
_____________________．
4．在圆中，圆心与弦的距离（即自圆心作弦的垂线段的长）叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．
二、解答题
5．：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．
求证：∠AOC=∠DOB．
综合、运用、诊断
6．：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．
7．：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，假设∠BAD=20°，求∠ACO的度数．
拓广、探究、思考
8．⊙O中，M为的中点，那么以下结论正确的选项是（）．
A．AB>2AM
B．AB=2AM
C．AB<2AM
D．AB与2AM的大小不能确定
9．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜测与之间的关系，并证明你的猜测．
10．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动（点C与A，点D与B不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．
（1）求证：AE=BF；
（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?假设是定值，请给出证明并求这个定值；假设不是，请说明理由．
测试4
圆周角
学习要求
1．理解圆周角的概念．
2．掌握圆周角定理及其推论．
3．理解圆内接四边形的性质，探究四点不共圆的性质．
课堂学习检测
一、根底知识填空
1．_________在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．
2．在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________．
3．在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．
4．_________所对的圆周角是直角．90°的圆周角______是直径．
5．如图，假设五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，那么∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．
5题图
6．如图，假设六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，那么∠AED=______，∠FAE=______，∠DAB=______，∠EFA=______．
6题图
7．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，假设P是上一点，那么∠BPC=______；假设M是上一点，那么∠BMC=______．
7题图
二、选择题
8．在⊙O中，假设圆心角∠AOB=100°，C是上一点，那么∠ACB等于（）．
A．80°
B．100°
C．130°
D．140°
9．在圆中，弦AB，CD相交于E．假设∠ADC=46°，∠BCD=33°，那么∠DEB等于（）．
A．13°
B．79°
C．38.5°
D．101°
10．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，假设∠BAC=32°，那么∠AOD等于（）．
10题图
A．64°
B．48°
C．32°
D．76°
11．如图，弦AB，CD相交于E点，假设∠BAC=27°，∠BEC=64°，那么∠AOD等于（）．
A．37°
B．74°
C．54°
D．64°
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，假设∠BOD=138°，那么它的一个外角∠DCE等于（）．
A．69°
B．42°
C．48°
D．38°
13．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，那么∠AEB等于（）．
A．70°
B．90°
C．110°
D．120°
综合、运用、诊断
14．：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．
15．：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．
16．：如图，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．
求证：FE=EH．
17．：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长．
拓广、探究、思考
18．：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．
求证：∠MAO=∠MAD．
19．：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．
求证：∠AMD=∠FMC．
测试5
点和圆的位置关系
学习要求
1．能根据点到圆心的距离与圆的半径大小关系，确定点与圆的位置关系．
2．能过不在同一直线上的三点作圆，理解三角形的外心概念．
3．初步了解反证法，学习如何用反证法进行证明．
课堂学习检测
一、根底知识填空
1．平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，那么有d>r点P在⊙O______；d=r点P在⊙O______；d 2．平面内，经过点A，且半径为R的圆的圆心P点在__________________________ _______________． 3．平面内，经过两点A，B的圆的圆心P点在______________________________________ ____________________． 4．______________________________________________确定一个圆． 5．在⊙O上任取三点A，B，C，分别连结AB，BC，CA，那么△ABC叫做⊙O的______；⊙O叫做△ABC的______；O点叫做△ABC的______，它是△ABC___________的交点． 6．锐角三角形的外心在三角形的___________部，钝角三角形的外心在三角形的__________ ___部，直角三角形的外心在________________． 7．假设正△ABC外接圆的半径为R，那么△ABC的面积为___________． 8．假设正△ABC的边长为a，那么它的外接圆的面积为___________． 9．假设△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，那么它的外接圆的直径为___________． 10．假设△ABC内接于⊙O，BC=12cm，O点到BC的距离为8cm，那么⊙O的周长为___________． 二、解答题 11．：如图，△ABC． 作法：求件△ABC的外接圆O． 综合、运用、诊断 一、选择题 12．：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出（）． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 13．以下说法正确的选项是（）． A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形的中心 C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上 14．以下说法不正确的选项是（）． A．任何一个三角形都有外接圆 B．等边三角形的外心是这个三角形的中心 C．直角三角形的外心是其斜边的中点 D．一个三角形的外心不可能在三角形的外部 15．正三角形的外接圆的半径和高的比为（）． A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．∶ 16．⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，假设关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，那么点P（）． A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O的内部 二、解答题 17．在平面直角坐标系中，作以原点O为圆心，半径为4的⊙O，试确定点A（－2，－3），B（4，－2），与⊙O的位置关系． 18．在直线上是否存在一点P，使得以P点为圆心的圆经过两点A（－3，2），B（1，2）．假设存在，求出P点的坐标，并作图． 测试6 自我检测（一） 一、选择题 1．如图，△ABC内接于⊙O，假设AC=BC，弦CD平分∠ACB，那么以下结论中，正确的个数是（）． 1题图 ①CD是⊙O的直径 ②CD平分弦AB ③CD⊥AB ④＝ ⑤＝ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，假设AB=10cm，CE∶ED=1∶5，那么⊙O的半径是（）． 2题图 A． B． C． D． 3．如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，假设弦CD=8cm，那么点A、B到直线CD的距离之和为（）． 3题图 A．12cm B．8cm C．6cm D.4cm 4．△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，假设∠A=50°，那么∠BOD等于（）． A．30° B．25° C．50° D．100° 5．有四个命题，其中正确的命题是（）． ①经过三点一定可以作一个圆 ②任意一个三角形有且只有一个外接圆 ③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 ④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦 A．①、②、③、④ B．①、②、③ C．②、③、④ D．②、③ 6．在圆内接四边形ABCD中，假设∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶6，那么∠D等于（）． A．67.5° B．135° C．112.5° D.45° 二、填空题 7．如图，AC是⊙O的直径，∠1=46°，∠2=28°，那么∠BCD=______． 7题图 8．如图，AB是⊙O的直径，假设∠C=58°，那么∠D=______． 8题图 9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD平分∠ACB，假设BD=10cm，那么AB=______，∠BCD=______． 9题图 10．假设△ABC内接于⊙O，OC=6cm，那么∠B等于______． 三、解答题 11．：如图，⊙O中，AB=AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E． 求证：∠ODE=∠OED． 12．：如图，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于D，AC=8cm，求OD的长． 13．：如图，点D的坐标为（0，6），过原点O，D点的圆交x轴的正半轴于A点．圆周角∠OCA=30°，求A点的坐标． 14．：如图，试用尺规作图确定这个圆的圆心． 15．：如图，半圆O的直径AB=12cm，点C，D是这个半圆的三等分点． 求∠CAD的度数及弦AC，AD和围成的图形（图中阴影局部）的面积S． 测试7 直线和圆的位置关系（一） 学习要求 1．理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，掌握它们的判定方法． 2．掌握切线的性质和切线的判定，能正确作圆的切线． 课堂学习检测 一、根底知识填空 1．直线与圆在同一平面上做相对运动时，其位置关系有______种，它们分别是____________ __________________． 2．直线和圆_________时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做____________． 直线和圆_________时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做____________． 这个公共点叫做_________． 直线和圆____________时，叫做直线和圆相离． 3．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，_________直线l和圆O相离； _________直线l和圆O相切； _________直线l和圆O相交． 4．圆的切线的性质定理是__________________________________________． 5．圆的切线的判定定理是__________________________________________． 6．直线l及其上一点A，那么与直线l相切于A点的圆的圆心P在__________________ __________________________________________________________________． 二、解答题 7．：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，以C点为圆心，作半径为R的圆，求： （1）当R为何值时，⊙C和直线AB相离?（2）当R为何值时，⊙C和直线AB相切? （3）当R为何值时，⊙C和直线AB相交? 8．：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点．PE⊥OA于E．以P点为圆心，PE长为半径作⊙P． 求证：⊙P与OB相切． 9．：如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=∠C时，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论． 综合、运用、诊断 10．：如图，割线ABC与⊙O相交于B，C两点，E是的中点，D是⊙O上一点，假设∠EDA=∠AMD． 求证：AD是⊙O的切线． 11．：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点． 求证：直线EF是半圆O的切线． 12．：如图，△ABC中，AD⊥BC于D点，以△ABC的中位线为直径作半圆O，试确定BC与半圆O的位置关系，并证明你的结论． 13．：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F． 求证：EF与⊙O相切． 14．：如图，以△ABC的一边BC为直径作半圆，交AB于E，过E点作半圆O的切线恰与AC垂直，试确定边BC与AC的大小关系，并证明你的结论． 15．：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由． 拓广、探究、思考 16．：如图，PA切⊙O于A点，PO交⊙O于B点．PA=15cm，PB=9cm． 求⊙O的半径长． 测试8 直线和圆的位置关系（二） 学习要求 1．掌握圆的切线的性质及判定定理． 2．理解切线长的概念，掌握由圆外一点引圆的切线的性质． 3．理解三角形的内切圆及内心的概念，会作三角形的内切圆． 课堂学习检测 一、根底知识填空 1．经过圆外一点作圆的切线，______________________________叫做这点到圆的切线长． 2．从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的____________相等．这一点和____________平分____________． 3．三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到__________________相等． 4．__________________的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是____________，叫做三角形的____________． 5．设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，那么r∶R∶a=______． 6．设O为△ABC的内心，假设∠A=52°，那么∠BOC=____________． 二、解答题 7．：如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点． 求证：（1）AB=AD； （2）DE=BC． 8．：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB． 9．：如图，△ABC．求作：△ABC的内切圆⊙O． 10．：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点． （1）假设∠P=40°，求∠COD； （2）假设PA=10cm，求△PCD的周长． 综合、运用、诊断 11．：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°． （1）假设AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r； （2）假设AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r． 12．：如图，△ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S． 13．：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长． 测试9 自我检测（二） 一、选择题 1．：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB=65°，那么∠APB等于（）． 1题图 A．65° B．50° C．45° D．40° 2．如图，AB是⊙O的直径，直线EC切⊙O于B点，假设∠DBC=a，那么（）． 2题图 A．∠A=90°－a B．∠A= a C．∠ABD= a D．∠ 3．如图，△ABC中，∠A=60°，BC=6，它的周长为16．假设⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，那么DF的长为（）． 3题图 A．2 B．3 C．4 D．6 4．下面图形中，一定有内切圆的是（）． A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 5．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是（）． A． B． C． D．1∶2∶3 二、解答题 6．：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O切DC边于E点，AD=3cm，BC=5cm． 求⊙O的面积． 7．：如图，AB是⊙O的直径，F，C是⊙O上两点，且=，过C点作DE⊥AF的延长线于E点，交AB的延长线于D点． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）试判断∠BCD与∠BAC的大小关系，并证明你的结论． 8．：如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=35°，求∠P的度数． 9．：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：AB=AC； （2）求证：DE为⊙O的切线； （3）假设⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长． 10．：如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F． （1）判断△DCE的形状并说明理由； （2）设⊙O的半径为1，且，求证△DCE≌△OCB． 11．：如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D． （1）求证：AT平分∠BAC； （2）假设求⊙O的半径． 测试10 圆和圆的位置关系 学习要求 1．理解两个圆相离、相切（外切和内切）、相交、内含的概念，能利用两圆的圆心距d与两个圆的半径r1和r2之间的关系，讨论两圆的位置关系． 2．对两圆相交或相切时的性质有所了解． 课堂学习检测 一、根底知识填空 1．没有______的两个圆叫做这两个圆相离．当两个圆相离时，如果其中一个圆在另一个圆的______，叫做这两个圆外离；如果其中有一个圆在另一个圆的______，叫做这两个圆内含． 2．____________的两个圆叫做这两个圆相切．这个公共点叫做______．当两个圆相切时，如果其中的一个圆（除切点外）在另一个圆的______，叫做这两个圆外切；如果其中有一个圆（除切点外）在另一个圆的______，叫做这两个圆内切． 3．______的两个圆叫做这两个圆相交，这两个公共点叫做这两个圆的______以这两个公共点为端点的线段叫做两圆的______． 4．设d是⊙O1与⊙O2的圆心距，r1，r2（r1>r2）分别是⊙O1和⊙O2的半径，那么 ⊙O1与⊙O2外离d________________________； ⊙O1与⊙O2外切d________________________； ⊙O1与⊙O2相交d________________________； ⊙O1与⊙O2内切d________________________； ⊙O1与⊙O2内含d________________________； ⊙O1与⊙O2为同心圆d____________________． 二、选择题 5．假设两个圆相切于A点，它们的半径分别为10cm、4cm，那么这两个圆的圆心距为（）． A．14cm B．6cm C．14cm或6cm D．8cm 6．假设相交两圆的半径分别是和，那么这两个圆的圆心距可取的整数值的个数是（）． A.1 B.2 C．3 D．4 综合、运用、诊断 一、填空题 7．如图，在12×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移______个单位． 7题图 8．相交两圆的半径分别是为6cm和8cm，请你写出一个符合条件的圆心距为______cm． 二．解答题 9．：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点．求证：直线O1O2垂直平分AB． 9题图 10．：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，假设⊙O1的半径r1=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长． 11．：如图，两圆相交于A，B两点，过A点的割线分别交两圆于D，F点，过B点的割线分别交两圆于H，E点． 求证：HD∥EF． 12．：相交两圆的公共弦的长为6cm，两圆的半径分别为，求这两个圆的圆心距． 拓广、探究、思考 13．如图，工地放置的三根外径是1m的水泥管两两外切，求其最高点到地平面的距离． 14．：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，圆心O1在⊙O2上，过B点作两圆的割线CD，射线DO1交AC于E点． 求证：DE⊥AC． 15．：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过A点的割线分别交两圆于C，D，弦CE∥DB，连结EB，试判断EB与⊙O2的位置关系，并证明你的结论． 16．如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A，⊙B的半径均为1cm．⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（s）之间的关系式为r=1＋t（t≥0）． （1）试写出点A，B之间的距离d（cm）与时间t（s）之间的函数表达式； （2）问点A出发多少秒时两圆相切? 测试11 正多边形和圆 学习要求 1．能通过把一个圆n（n≥3）等分，得到圆的内接正n边形及外切正n边形． 2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念，并能进行简单的计算． 课堂学习检测 一、根底知识填空 1．各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形． 2．把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______． 3．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距． 4．正n边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________． 5．设正n边形的半径为R，边长为an，边心距为rn，那么它们之间的数量关系是______．这个正n边形的面积Sn=________． 6．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______． 7．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______． 8．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______． 二、解答题 9．在以下图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形． （1）正三角形 （2）正方形 （3）正五边形 （4）正六边形 （5）正八边形 （6）正十二边形 综合、运用、诊断 一、选择题 10．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（）． A．3倍 B．5倍 C.4倍 D．2倍 11．正方形的周长为x，它的外接圆半径为y，那么y与x的函数关系式是（）． A． B． C． D． 12．有一个长为12cm的正六边形，假设要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，那么这个圆形纸片的半径最小是（）． A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm 二、解答题 13．：如图，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的⊙O． （1）求A1A3的长；（2）求四边形A1A2A3O的面积；（3）求此正八边形的面积S． 14．：如图，⊙O的半径为R，正方形ABCD，A′B′C′D分别是⊙O的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外． 拓广、探究、思考 15．：如图，⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外． 测试12 弧长和扇形面积 学习要求 掌握弧长和扇形面积的计算公式，能计算由简单平面图形组合的图形的面积． 课堂学习检测 一、根底知识填空 1．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l=_______． 2．____________和______所围成的图形叫做扇形．在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形=__________；假设l为扇形的弧长，那么S扇形=__________． 3．如图，在半径为R的⊙O中，弦AB与所围成的图形叫做弓形． 当为劣弧时，S弓形=S扇形－______； 当为优弧时，S弓形=______＋S△OAB． 3题图 4．半径为8cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长为______；弧长为8cm的圆心角约为______（精确到1′）． 5．半径为5cm的圆中，假设扇形面积为，那么它的圆心角为______．假设扇形面积为15pcm2，那么它的圆心角为______． 6．假设半径为6cm的圆中，扇形面积为9pcm2，那么它的弧长为______． 二、选择题 7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影局部）的面积之和为（）． 7题图 A． B． C． D． 8．如图，扇形纸扇完全翻开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸局部BD的长为20cm，那么贴纸局部的面积为（）． 8题图 A． B． C． D． 9．如图，△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，那么圆中阴影局部的面积是（）． A． B． C． D． 综合、运用、诊断 10．：如图，在边长为a的正△ABC中，分别以A，B，C点为圆心，长为半径作，，求阴影局部的面积． 11．：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A点为圆心，AC长为半径作，求∠B与围成的阴影局部的面积． 拓广、探究、思考 12．：如图，以线段AB为直径作半圆O1，以线段AO1为直径作半圆O2，半径O1C交半圆O2于D点．试比拟与的长． 13．：如图，扇形OAB和扇形OA′B′的圆心角相同，设AA′＝BB′＝d．＝l1，＝l2． 求证：图中阴影局部的面积 测试13 圆锥的侧面积和全面积 学习要求 掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式． 课堂学习检测 一、根底知识填空 1．以直角三角形的一条______所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做______．连结圆锥______和____________的线段叫做圆锥的母线，圆锥的顶点和底面圆心的距离是圆锥的______． 2．沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是一个______．假设设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为______，扇形的弧长为______，因此圆锥的侧面积为______，圆锥的全面积为______． 3．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC＝3cm，以直线BC为轴旋转一周所得圆锥的底面圆的周长是______，这个圆锥的侧面积是______，圆锥的侧面展开图的圆心角是______． 4．假设把一个半径为12cm，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆的周长是______，半径是______，圆锥的高是______，侧面积是______． 二、选择题 5．假设圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，那么它的侧面积为（）． A．2pcm2 B．3pcm2 C．6pcm2 D．12pcm2 6．假设圆锥的底面积为16pcm2，母线长为12cm，那么它的侧面展开图的圆心角为（）． A．240° B．120° C．180° D．90° 7．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，那么这个圆锥的高为（）． A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm 8．假设一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，那么圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（）． A．120° B．1 80° C．240° D.300° 综合、运用、诊断 一、选择题 9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．假设圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，那么R与r之间的关系是（）． A．R=2r B． C．R=3r D．R=4r 10．如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，假设小正方形方格的边长为1，那么这个圆锥的底面半径为（）． A． B． C． D． 二、解答题 11．如图，矩形ABCD中，AB=18cm，AD=12cm，以AB上一点O为圆心，OB长为半径画恰与DC边相切，交AD于F点，连结OF．假设将这个扇形OBF围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S． 拓广、探究、思考 12．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点． 求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长． 答案与提示 第二十四章 圆 测试1 1．平面，旋转一周，图形，圆心，半径，⊙O，圆O． 2．圆，一中同长也． 3．（1）半径长，同一个圆上，定点，定长，点． （2）圆心的位置，半径的长短，圆心，半径长． 4．圆上的任意两点，线段，圆心，弦，最长． 5．任意两点间，弧，圆弧AB，弧AB． 6．任意一条直径，一条弧． 7．大于半圆的弧，小于半圆的弧． 8．等圆． 9．（1）OA，OB，OC；AB，AC，BC，AC；；及 （2）40°，50°，90°． 10．（1）提示：在△OAB中，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B．同理可证∠OCD＝∠ODC． 又 ∵ ∠AOC＝∠OCD－∠A，∠BOD＝∠ODC－∠B，∴ ∠AOC＝∠BOD． （2）提示：AC＝BD．可作OE⊥CD于E，进行证明． 11．提示：连结OD．不难得出∠C＝36°，∠AOC＝54°． 12．提示：可分别作线段AB、BC的垂直平分线． 测试2 1．轴，经过圆心的任何一条直线，中心，该圆的圆心． 2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．弦，不是直径，垂直于，弦所对的两条弧． 4．6． 5．8； 6．7．，8．2． 9．10． 11．12．提示：先将二等分（设分点为C），再分别二等分和． 13．提示：题目中的“问径几何〞是求圆材的直径．答：材径二尺六寸． 14．75°或15°． 15．22cm或8cm． 16．（1）作法：①作弦⊥CD． ②连结，交CD于P点，连结PB．那么P点为所求，即使AP＋PB最短． （2） 17．可以顺利通过． 测试3 1．顶点在圆心，角．2． 3．它们所对应的其余各组量也分别相等 4．相等，这两条弦也相等． 5．提示：先证＝． 6．EF＝GH．提示：分别作PM⊥EF于M，PN⊥GH于N． 7．55°． 8．C． 9．＝3 ．提示：设∠COD＝α，那么∠OPD＝2α，∠AOD＝3α＝3∠BOC． 10．（1）作OH⊥CD于H，利用梯形中位线． （2）四边形CDEF的面积是定值，＝54． 测试4 1．顶点，与圆相交． 2．该弧所对的，一半． 3．同弧或等弧，相等． 4．半圆（或直径），所对的弦． 5．72°，36°，72°，108°． 6．90°，30°，60°，120°． 7．60°，120°． 8．C． 9．B． 10．A． 11．B． 12．A． 13．C． 14．提示：作⊙O的直径，连结．不难得出＝ 15．16．提示：连结AH，可证得∠H＝∠C＝∠AFH． 17．提示：连结CE．不难得出 18．提示：延长AO交⊙O于N，连结BN，证∠BAN＝∠DAC． 19．提示：连结MB，证∠DMB＝∠CMB． 测试5 1．外，上，内． 2．以A点为圆心，半径为R的圆A上． 3．连结A，B两点的线段垂直平分线上． 4．不在同一直线上的三个点． 5．内接三角形，外接圆，外心，三边的垂直平分线． 6．内，外，它的斜边中点处． 7．8． 9．26cm． 10．20πcm． 11．略． 12．C． 13．D． 14．D． 15．B． 16．D． 17．A点在⊙O内，B点在⊙O外，C点在⊙O上． 18．，作图略． 测试6 1．D． 2．C． 3．C． 4．C． 5．D． 6．C． 7．72°． 8．32°． 9．45° 10．60°或120°． 11．提示：先证OD＝OE． 12．4cm． 13．，提示：连结AD． 14．略． 15．∠CAD＝30°，提示：连结OC、CD． 测试7 1．三，相离、相切、相交． 2．有两个公共点，圆的割线；有一个公共点，圆的切线，切点；没有公共点． 3．d>r；d＝r；d 5．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 6．过A点且与直线l垂直的直线上（A点除外）． 7．（1）当时；（2）；（3）当时． 8．提示：作PF⊥OB于F点．证明PF＝PE． 9．直线DE与⊙O相切．提示：连结OA，延长AO交⊙O于F，连结CF． 10．提示：连结OE、OD．设OE交BC于F，那么有OE⊥BC．可利用∠FEM＋∠FME＝ 90°．证∠ODA＝90°． 11．提示：连结OF，FC． 12．BC与半圆O相切．提示：作OH⊥BC于H.证明 13．提示：连结OE，先证OE∥AC． 14．BC＝AC．提示：连结OE，证∠B＝∠A． 15．直线PB与⊙O相切．提示：连结OA，证ΔPAO≌ΔPBO． 16．8cm．提示：连结OA． 测试8 1．这点和切点之间的线段的长． 2．两，切线长，圆心的连线，两条切线的夹角． 3．这个三角形的三边的距离． 4．与三角形各边都相切，三角形三条角平分线的交点，内心． 5．1∶2∶． 6．116°． 7．提示：连线OC，OE． 8．略． 9．略． 10．（1）70°；（2）20cm． 11．（1）r＝3cm； （2）（或，因为）． 12．13．提示：由，可得∠A＝30°，从而BC＝10cm，． 测试9 1．B． 2．B． 3．A． 4．C． 5．D． 6．15πcm2． 7．（1）相切；（2）∠BCD＝∠BAC． 8．70°． 9．（1）略； （2）连结OD，证OD∥AC； （3） 10．（1）△DCE是等腰三角形； （2）提示：可得.11．（1）略； （2）AO＝2． 测试10 1．公共点，外部，内部． 2．只有一个公共点，切点，外部，内部． 3．有两个公共点，交点，公共弦． 4．d>r1＋r2； d＝r1＋r2； r1－r2 d＝r1－r2； 0≤d d＝0． 5．C． 6．C． 7．2或4 8．4．（d在2 9．提示：分别连结O1A、O1B、O2A、O2B． 10．．提示：分别连结O1B，O1O2，O2C． 11．提示：连结AB． 12．7cm或1cm． 13．14．提示：作⊙O1的直径AC1，连结AB． 15．相切．提示：作⊙O2的直径BF，分别连结AB，AF． 16．（1）当0≤t≤5.5时，d＝11－2t； 当t>5.5时，d＝2t－11． （2）①第一次外切，t＝3；②第一次内切，③第二次内切，t＝11；④第二次外切，t＝13． 测试11 1．相等，角． 2．内接正n边形． 3．外接圆的圆心，外接圆的半径，圆心角，距离． 4．5． 6．135°，45°． 7．（或）． 8．9．略． 10．C． 11．B． 12．B． 13．（1） （2） （3） 14．AB∶A′B′＝1∶，S内∶S外＝1∶2． 15．AB∶A′B′＝∶2，S内∶S外＝3∶4． 测试12 1．2．由组成圆心角的两条半径，圆心角所对的弧，3．S△OAB，S扇形． 4．5．120°，216°． 6．3πcm． 7．A． 8．D． 9．B． 10．11． 12．的长等于的长．提示：连结O2D． 13．提示：设＝R，∠AOB＝n°，由可得R（l1－l2）＝l2d．而 测试13 1．直角边，圆锥，顶点，底面圆周上任意一点，高． 2．扇形，l，2πr，πrl，πrl＋πr2． 3．8πcm，20πcm2，288°． 4．8πcm，4cm，48πcm2． 5．C． 6．B． 7．D． 8．B． 9．D． 10．B． 11．16πcm2． 12．提示：先求得圆锥的侧面展开图的圆心角等于180°，所以在侧面展开图上，第二十四章 圆全章测试 一、选择题 1．假设P为半径长是6cm的⊙O内一点，OP＝2cm，那么过P点的最短的弦长为（）． A．12cm B． C． D． 2．四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，假设∠ADC＝120°，那么∠ACB等于（）． A．30° B．40° C．60° D．80° 3．假设⊙O的半径长是4cm，圆外一点A与⊙O上各点的最远距离是12cm，那么自A点所引⊙O的切线长为（）． A．16cm B． C． D． 4．⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD．假设AB＝12cm，CD＝16cm，那么AB和CD的距离为（）． A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．2cm或10cm 5．⊙O中，∠AOB＝100°，假设C是上一点，那么∠ACB等于（）． A．80° B．100° C．120° D．130° 6．三角形的外心是（）． A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 7．如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，那么的长为（）． 7题图 A． B． C．π D． 8．如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿，，路线爬行，乙虫沿路线爬行，那么以下结论正确的选项是（）． 8题图 A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B点 D．无法确定 9．如图，同心圆半径分别为2和1，∠AOB＝120°，那么阴影局部的面积为（）． 9题图 A．π B． C．2π D．4π 10．某工件形状如下图，圆弧的度数为60°，AB＝6cm，点B到点C的距离等于AB，∠BAC＝30°，那么工件的面积等于（）． 10题图 A．4π B．6π C．8π D．10π 11．如图，⊙O1的弦AB是⊙O2的切线，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么阴影局部的面积为（）． 11题图 A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm2 二、填空题 12．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC＝60°，那么∠B＝______． 12题图 13．如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B，C两点恰好落在扇形AEF的弧上时，的长度等于______． 13题图 14．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，那么折痕AB的长为________． 14题图 15．假设圆锥的底面半径是2cm，母线长是4cm，那么圆锥的侧面积是________cm2． 16．如图，在△ABC中，AB＝2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，那么 ∠BAC的度数是______． 16题图 17．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么以直线AB为轴旋转一周所得的几何体的外表积为______． 18．半径为2cm的两圆外切，半径为4cm且和这两个圆都相切的圆共有______个． 三、解答题 19．：如图，P是△ABC的内心，过P点作△ABC的外接圆的弦AE，交BC于D点．求证：BE＝PE． 20．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径． 求证：∠BAM＝∠CAP． 21．如图，⊙O中，＝，点C在上，BH⊥AC于H． 求证：AH＝DC＋CH． 22．：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB＝AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm． 求AB的长． 23．：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于C点，AB＝12cm． 求两个圆之间的圆环面积． 答案与提示 第二十四章 圆全章测试 1．D． 2．A． 3．B． 4．C． 5．D． 6．C． 7．A． 8．C． 9．C． 10．B． 11．A． 12．30°． 13．14． 15．8πcm． 16．105°． 17．18．五． 19．提示：连结BP． 20．提示：连结BM． 21．提示：延长CH到E，使CE＝CD，连结BE，证：△ABH≌△EBH． 22．或 23．36pcm2．提示：连结OC、OA．
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