专题八：万有引力定律
参考答案
“万能”连等式
其中gr为距天体中心r处的重力加速度．
人造卫星
1．应用万有引力定律分析天体运动的方法
把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供．
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算．
三个近似
(1)近地卫星贴近地球表面运行，可近似认为做匀速圆周运动的半径等于地球半径；(2)在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为其重力等于地球对它的万有引力；(3)天体的运动轨道可近似看作圆轨道．
2．关于同步卫星的五个“一定”
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24
h.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．
(4)高度一定：由
(R＋h)得同步卫星离地面的高度
h＝≈3.6×107
m.(5)速度一定：v＝＝3.1×103
m/s.题型1：万有引力定律在天体运动中的应用
1．两条线索
(1)万有引力提供向心力F引＝F向．
(2)重力近似等于万有引力提供向心力．
2．两组公式
(gr为轨道所在处重力加速度
3．应用实例
(1)天体质量M、密度ρ的估算
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由，R为天体的半径．
当卫星沿天体表面绕天体运行时，r＝R，则
.(2)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径R的关系
①由
得
知：r越大，v越小．
②由得知：r越大，ω越小．
③由得
知：r越大，T越大．
1.三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RA＜RB＜RC.若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图所示．那么再经过卫星A的四分之一周期时，卫星A、B、C的位置可能是()
答案：C
2．质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球表面和地球表面围绕其做匀速圆周运动，已知该星球和地球的密度相同，半径分别为R和r，则()
A．甲、乙两颗卫星的加速度之比等于R∶r
B．甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1∶1
C．甲、乙两颗卫星的线速度之比等于1∶1
D．甲、乙两颗卫星的周期之比等于R∶r
解析：由F＝G和M＝ρπR3可得万有引力F＝GπRmρ，又由牛顿第二定律F＝ma可得，A正确．卫星绕星球表面做匀速圆周运动时，万有引力等于向心力，因此B错误．由F＝GπRmρ，F＝m可得，选项C错误．由F＝GπRmρ，F＝mR可知，周期之比为1∶1，故D错误．
答案：A
3.2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来(如图所示)．“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为2r，则可以确定()
A．卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为4∶1
B．卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1∶
C．翟志刚出舱后不再受地球引力
D．翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如不小心实验样品脱手，则它做自由落体运动
解析：加速度计算公式为a＝，所以卫星和“神舟七号”的加速度之比为1∶4，A选项错误；线速度计算公式为v＝，所以卫星和“神舟七号”的线速度之比为1∶，B选项正确；翟志刚出舱后依然受到地球的引力，引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，C选项错误；实验样品脱手后，依然做匀速圆周运动，相对飞船静止，D选项错误．
答案：B
4．据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其他行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82.该小行星绕太阳一周的时间为T年，直径2～3千米，而地球与太阳之间的距离为R0.如果该行星与地球一样，绕太阳运动可近似看做匀速圆周运动，则小行星绕太阳运动的半径约为()
A．R0
B．R0
C．R0
D．R0
解析：小行星和地球绕太阳做圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有＝m22R，可知小行星绕太阳运行轨道半径为R＝R0 ＝R0，A正确．
答案：A
5.2008年9月27日16时40分，我国航天员翟志刚打开“神舟”七号载人飞船轨道舱舱门，首度实施空间出舱活动，在茫茫太空第一次留下中国人的足迹(如图所示)．翟志刚出舱时，“神舟”七号的运行轨道可认为是圆周轨道．下列关于翟志刚出舱活动的说法正确的是()
A．假如翟志刚握着哑铃，肯定比举着五星红旗费力
B．假如翟志刚自由离开“神舟”七号，他将在同一轨道上运行
C．假如没有安全绳束缚且翟志刚使劲向前推“神舟”七号，他将可能沿竖直线自由落向地球
D．假如“神舟”七号上有着和轮船一样的甲板，翟志刚在上面行走的步幅将比在地面上大
解析：“神舟”七号上的一切物体都处于完全失重状态，受到的万有引力提供向心力，A错B对；假如没有安全绳束缚且翟志刚使劲向前推“神舟”七号，将使他对地的速度减小，翟志刚将在较低轨道运动，C错误；由于“神舟”七号上的一切物体都处于完全失重状态，就算“神舟”七号上有着和轮船一样的甲板，翟志刚也几乎不能行走，D错误．
答案：B
6．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为()
A．1.8×103
kg/m3
B．5.6×103
kg/m3
C．1.1×104
kg/m3
D．2.9×104
kg/m3
解析：近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G＝m2R，由密度、质量和体积关系M＝ρ·πR3解两式得：ρ＝≈5.60×103
kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的25/4.7倍，即ρ＝5.60×103×
kg/m3＝2.9×104
kg/m3.答案：D
7．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出()
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
解析：由“萤火一号”分别在两个不同的圆轨道上做匀速圆周运动可知：G＝m()2(h1＋R)；G＝m()2(h2＋R)，两式联立可求得火星的质量M与火星的半径R，由火星的半径R可求出火星的体积，进一步求出火星的密度，再根据黄金公式：GM＝gR2，可求得火星表面处的重力加速度g，故A项对．
答案：A
8．如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)．若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示
方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看做球体)，地
球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件不能求出()
A．卫星运行的周期
B．卫星距地面的高度
C．卫星的质量
D．地球的质量
解析：本题考查万有引力定律、圆周运动相关公式的应用能力．卫星从北纬30°的正上方，第一次运行至南纬60°正上方时，刚好为运动周期的，所以卫星运行的周期为4t，知道周期、地球的半径，由＝m2(R＋h)，可以算出卫星距地面的高度，通过上面的公式可以看出，只能算出中心天体的质量．
答案：C
9.为了探测X星球,载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心,半径为的圆轨道上运动,周期为总质量为.随后登陆舱脱离飞船,变轨到离星球更近的半径为的圆轨道上运动,此时登陆舱的质量为则（）
A.X星球的质量为
B.X星球表面的重力加速度为X
C.登陆舱在与轨道上运动时的速度大小之比为
D.登陆舱在半径为轨道上做圆周运动的周期为
【解析】
根据、可得、故A正确、D错误;登陆舱在半径为的圆轨道上运动的向心加速度此加速度与X星球表面的重力加速度并不相等,故C错误;根据得则故C错误.【答案】
A
10．2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的“神舟七号”飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功.9月27日翟志刚成功实施了太空行走．如果“神舟七号”飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，已知地球的半径R，万有引力常量为G.在该轨道上，“神舟七号”航天飞船()
①．运行的线速度大小为
②．运行的线速度小于第一宇宙速度
③．运行时的向心加速度大小为
④．地球表面的重力加速度大小可表示为
A．①③正确
B．②④正确
C．①②③正确
D．②③④正确
解析：本题考查天体运动和万有引力定律的应用．由于飞船的轨道半径为R＋h，故①错误；第一宇宙速度是环绕的最大速度，所以飞船运行的速度小于第一宇宙速度，②正确；运行的向心加速度为a＝，③正确；在地球表面mg＝G，对飞船G＝m(R＋h)，所以地球表面的重力加速度g＝，④正确．
答案：
D
11．“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时()
A．r、v都将略为减小
B．r、v都将保持不变
C．r将略为减小，v将略为增大
D．r将略为增大，v将略为减小
解析：当探测器飞越月球上一些环形山中的质量密集区的上空时，相当于探测器和月球重心间的距离变小了，由万有引力定律F＝可知，探测器所受月球的引力将增大，这时的引力略大于探测器以原来轨道半径运行所需要的向心力，探测器将做靠近圆心的运动，使轨道半径略为减小，而且月球的引力对探测器做正功，使探测器的速度略微增加，故A、B、D选项错误，C选项正确．
答案：C
12.如图所示,A是地球的同步卫星,另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内,B离地面的高度为h.已知地球半径为R,地球自转角速度为地球表面的重力加速度为g,设O点为地球球心.(1)求卫星B的运行周期;
(2)若卫星B绕行方向与地球自转方向相同,某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上),则至少经过多长时间,它们再一次相距最近?
【解析】
(1)由万有引力定律和向心力公式得:
(3分)
(3分)
联立上面两式得.(3分)
(2)由题意得:
(3分)
(3分)
联立上面两式得
.(3分)
【答案】
(1)2
13.我国分别于2007年10月24日和2010年10月1日成功发射”嫦娥一号”和”嫦娥二号”月球探测卫星,标志着我国实施绕月探测工程迈出重要一步,在政治、经济、军事、科技乃至文化领域都具有非常重大的意义,同学们也对月球有了更多的关注.(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动,试求出月球绕地球运动的轨道半径;
(2)若将来我国的宇航员随登月飞船登陆月球后,宇航员在月球表面完成下面实验:在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球(可视为质点)如图所示,现给小球一瞬间水平速度v,小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动.已知圆弧轨道半径为r,月球的半径为万有引力常量为G,试求出月球的质量.【解析】
(1)月球绕地球运转,万有引力定律提供向心力:
.①(2分)
对地球表面物体m:
②(2分)
联立①②解得:.③(1分)
(2)设月球表面重力加速度为小球在最高点的速度为由机械能守恒定律,小球在从最低点到最高点的过程中,有:
④(2分)
由题意,小球在最高点时,有:
⑤(1分)
联立解得:
⑥(1分)
联立④⑤⑥解得:.(1分)
【答案】
题型2：天体表面重力加速度的问题
星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法
设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则
若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝，即g′＝g
.14.火星的质量和半径分别约为地球的1/10和1/2，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为()
A．0.2g
B．0.4g
C．2.5g
D．5g
解析：在星球表面有，故火星表面的重力加速度
故B正确．
答案：B
15.英国《新科学家(New
Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650 500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径R约45
km，质量M和半径R的关系满足(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()
A．108
m/s2
B．1010
m/s2
C．1012
m/s2
D．1014
m/s2
解析：星球表面的物体满足mg＝，即GM＝R2g，由题中所给条件推出GM＝，则GM＝R2g＝，代入数据解得g＝1012
m/s2，C正确．
答案：C
16．一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对秤的压力，下列说法中正确的是()
A．g′＝0
B．g′＝g
C．N＝
D．N＝mg
解析：做匀速圆周运动的飞船及其上的人均处于完全失重状态，台秤无法测出其重力，故FN＝0，C、D错误；对地球表面的物体，＝mg，宇宙飞船所在处，＝mg′，可得：g′＝g，A错误，B正确．
答案：B
17.质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行,其运动视为匀速圆周运动.已知月球质量为M,月球半径为R,月球表面重力加速度为g,引力常量为G,不考虑月球自转的影响,则航天器的（）
A.线速度
B.角速度
C.运行周期T=
D.向心加速度
【解析】
月球对航天器的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,有又万有引力等于重力即,可得T=2选项A正确.【答案】
A
答案：B
18．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原地．(取地球表面重力加速度g＝10
m/s2，阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．
解析：(1)设竖直上抛初速度为v0，则v0＝gt/2＝g′·5t/2，故g′＝g＝2
m/s2.(2)设小球质量为m，则mg＝ M＝，故＝＝×＝.答案：(1)2
m/s2(2)
题型3：宇宙速度的问题
宇宙速度
数值(km/s)
意 义
第一宇
宙速度
7.9
这是发射绕地球做圆周运动卫星的最小发射速度，若7.9
km/s≤v＜11.2
km/s，物体绕地球运行(环绕速度)
第二宇
宙速度
11.2
这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2
km/s≤v＜16.7
km/s，物体绕太阳运行(脱离速度)
第三宇
宙速度
16.7
这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7
km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行(逃逸速度)
(1)三种宇宙速度均指的是发射速度，不能理解为环绕速度．
(2)第一宇宙速度既是最小发射速度，又是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．
19．金星的半径是地球的0.95倍,质量是地球的0.82倍,则关于金星表面的自由落体加速度和第一宇宙速度,下列数据正确的是（）
A.9.8
m/s.9
km/s
B.8.9
m/,6.82
km/s
C.8.5
m/,6.82
km/s
D.8.9
m/,46
km/s
【解析】
天体表面的物体的重力近似等于物体受的万有引力,有即有g=9.8
m/,代入数据得=8.90
m/;第一宇宙速度有，=7.9
km/s,代入数据得=6.82
km/s.【答案】
B
20.中国自主研制的北斗导航系统的“北斗二号”系列卫星今年起进入组网高峰期，预计在2015年形成覆盖全球的北斗卫星导航定位系统，将有5颗人造卫星在地球同步轨道上运行，另有30颗卫星在中层轨道上运行，2010年4月10日0时16分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，成功将第二颗北斗导航卫星(COMPASS—G2)送入预定轨道，其轨道低于地球同步轨道．则以下说法正确的是()
A．若地球同步卫星的轨道半径是地球半径的k倍，则第一宇宙速度是同步卫星运行线速度的k倍
B．若地球同步卫星的轨道半径是地球半径的k倍，则第一宇宙速度是同步卫星运行线速度的倍
C．若地球同步卫星的轨道半径是地球半径的k倍，地球表面附近的重力加速度是同步卫星向心加速度的k倍
D．(COMPASS—G2)的线速度小于同步轨道上运行卫星的线速度
答案：B
21.随着世界航空事业的发展,深太空探测已逐渐成为各国关注的热点.假设深太空中有一颗外星球,质量是地球质量的2倍,半径是地球半径的1/2.则下述判断正确的有
（）
A.在地面上所受重力为G的物体,在该外星球表面上所受重力变为2G
B.该外星球上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的2倍
C.该外星球的同步卫星周期一定小于地球同步卫星周期
D.该外星球上从某高处自由落地时间是地面上同一高处自由落地时间的一半
【解析】
根据得可知外星球和地球表面的重力加速度之比为选项A错误;根据h=得,h不变时选项D错误;根据得第一宇宙速度知选项B正确;根据题意,无法求出同步卫星的周期,选项C错误.【答案】
B
22.2011年11月1日5点58分零7秒,”神舟八号”飞船在我国酒泉卫星发射中心发射成功,2天后与”天宫一号”目标飞行器顺利完成交会对接,——这将使我国成为世界上第三个掌握空间交会对接技术的国家.关于飞船与天宫一号对接问题,下列说法正确的是（）
A.先让飞船与天宫一号在同一轨道上,然后让飞船加速,即可实现对接
B.先让飞船与天宫一号在同一轨道上,然后让飞船减速,即可实现对接
C.先让飞船进入较低的轨道,然后再对其进行加速,即可实现对接
D.先让飞船进入较高的轨道,然后再对其进行加速,即可实现对接
【解析】
地球的万有引力提供飞行器做匀速圆周运动的向心力,有得可见,r越大,则v越小;r相同,则v相同.飞船与”天宫一号”在同一轨道上,它们的速度相等,若飞船加速或减速,它的向心力就增加或减小,则飞船必然做离心或近心运动,不能实现对接,选项A、B错误;飞船先进入较低的轨道,由于速度大,所以能接近较高轨道上的”天宫一号”.当飞船再加速时,则做离心运动,同时克服引力做功,速度减小到与”天宫一号”相同时,进入较高的轨道与其对接,选项C正确.【答案】
C
23.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体和构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为到O点的距离为和间的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出的质量为（）
A.B.C.D.【解析】
双星之间的作用力是它们之间的万有引力,依靠万有引力提供向心力,两者以连线上某点为圆心,半径不变,运动过程中角速度相同(如图),再由万有引力定律求解.
取为研究对象做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得
所以D选项正确.【答案】
D
24.宇宙中存在一些离其他恒星较远的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在的一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道做匀速圆周运动.关于这种三星系统,下列说法正确的是
…（）
A.任意两颗星之间的万有引力都比它们做匀速圆周运动的向心力大
B.三颗星做匀速圆周运动的周期一定都相等
C.三颗星的质量可以不相等
D.三颗星之间的距离与它们的质量大小无关
【解析】
如图所示,任意一个星球所受其他两个星球的万有引力的合力或提供其做匀速圆周运动的向心力,选项A错误.稳定的三星系统中的三颗星做匀速圆周运动的周期相等,选项B正确.设三个星球的质量分别为、、三角形的边长为L,星球的轨道半径为R,周期为T,对有①;
对有②;对有③
联立以上三式,可得选项C错误;从以上三式可知,L与质量m有关,选项D错误.【答案】
B
25．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)
解析：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别是ω1、ω2.根据题意有
ω1＝ω2
①
r1＋r2＝r
②
根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
G＝m1ω12r1
③
G＝m2ω22r2
④
联立以上各式解得
r1＝
⑤
根据角速度与周期的关系知
ω1＝ω2＝
⑥
联立③⑤⑥式解得m1＋m2＝.答案：
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