2020届省三校高三第一次联合模拟考试数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合,则()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】化简集合,即可求出.【详解】
由题意得,∵B中,∴,∴,故选B.【点睛】
本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设:,:,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解不等式,求出命题,成立的解集,把是的必要不充分条件转化为解集间的集合关系,即可求出实数的取值范围.【详解】
由不等式,解得,由得,是的必要不充分条件,可知,所以,故实数的取值范围是.故选C.【点睛】
本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题
3.已知向量,若,则实数()
A.
B.5
C.4
D.
【答案】A
【解析】先由题意,得到,再根据向量垂直,即可列出方程求解,得出结果.【详解】
因为,所以,又,所以,即,解得:.故选:A
【点睛】
本题主要考查由向量垂直求参数,熟记向量数量积的坐标运算即可,属于常考题型.4.若是三角形的一个内角,且,则()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据已知条件,求出,再利用诱导公式化简所求式子,即可得出结果.【详解】
∵,,又∵,∴,.故选C.【点睛】
本题考查同角间的三角函数关系,以及诱导公式,属于基础题.5.曲线在点处的切线与直线平行,则()
A.
B.
C.1
D.2
【答案】A
【解析】求出,即为切线的斜率,可求出.【详解】
因为,所以,因此,曲线在处的切线斜率为,又该切线与直线平行,所以,∴.故选A.【点睛】
本题考查导数的几何意义,属于基础题.6.等比数列的前项和为,公比为,若,则()
A.50
B.100
C.146
D.128
【答案】C
【解析】根据已知条件,先求出,再应用等比数列前项和为的性质,即可求出结果.【详解】
由题意得∵,∴,根据等比数列的性质可
知,,构成等比数列,故,∴,故.故选C.【点睛】
本题考查等比数列前项和的性质,对等比数列的性质的熟练掌握是解题的关键,属于基础题.7.已知函数,设,,则()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】先判断的奇偶性,再证明单调性,判断出对应自变量的大小关系,利用单调性比,即可得出答案.【详解】
∵,∴,∴,∴,∴函数是奇函数,∴当时,易得
为增函数,故在上单调递增,∵,,∴,∴.故选D.【点睛】
本题考查函数的奇偶性,单调性及单调性的应用,困难在于要想到证明函数奇偶性,属于中档题.8.关于函数,下列说法错误的是()
A.是奇函数
B.是周期函数
C.有零点
D.在上单调递增
【答案】B
【解析】根据奇偶性定义可判断选项A正确;依据周期性定义,选项B错误;,选项C正确;求,判断选项D正确.【详解】,则为奇函数,故A正确;
根据周期的定义,可知它一定不是周期函数,故B错误;
因为,在上有零点,故C正确;
由于,故在上单调递增,故D正确.故选B.【点睛】
本题考查函数的性质,涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点,属于基础题.9.已知偶函数的图象经过点,且当时,不等式恒成立,则使得成立的的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】先由题意,得到点也在函数图象上,函数在上为减函数,将不等式化为,根据函数单调性,即可得出结果.【详解】
根据题意,为偶函数,且经过点,则点也在函数图象上,又当时,不等式恒成立,则函数在上为减函数,因为,所以
解得或.故选:C
【点睛】
本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性与单调性的概念即可,属于常考题型.10.已知实数,满足不等式组,目标函数的最大值是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】作出可行域,利用目标函数的几何意义,即可求出目标函数最大值.【详解】
不等式组所表示的平面区域如图所示:
表示过可行域内的点与
点的直线的斜率的最大值,由,解得,这时,故目标函数的最大值是.故选D.【点睛】
本题考查非线性目标函数最优解,对目标函数的几何意义理解是解题的关键,属于基础题.11.的内角,的对边为,,若,且的面积为,则的最大值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】D
【解析】根据余弦定理,以及题中三角形的面积,得到,求出,再由,结合基本不等式,即可求出结果.【详解】
由余弦定理可得:,又,因此,故.所以,即,即,当且仅当时,等号成立,故的最大值为4.故选:D
【点睛】
本题主要考查解三角形,以及基本不等式求最值,熟记余弦定理,三角形面积公式,以及基本不等式即可,属于常考题型.12.已知函数,令函数,若函数
有两个不同零点,则实数的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】构造新函数,问题转化为与有两个交点,作出,利用数学结合思想,即可求得结果.【详解】
令,当时,函数,由得得,得,由得得,得,当值趋向于正无穷大时,值也趋向于负无穷大,即当时,函数取得极大值,极大值为,当时,是二次函数,在轴处取得最大值,作出函数的图象如图:
要使(为常数)有两个不相等的实根,则或,即若函数有两个不同零点,实数的取值范围是.
故选C.【点睛】
本题考查函数的零点,构造新函数,转化为两个函数的交点,考查数行结合思想,作出函数图像是解题的关键,属于较难题.二、填空题
13.若是偶函数,当时,则=.______.【答案】1
【解析】根据偶函数的性质,以及题中条件,结合对数运算,可直接得出结果.【详解】
因为时,且函数是偶函数,所以.故答案为:
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数值,熟记偶函数性质,以及对数运算法则即可,属于基础题型.14.若关于的不等式的解集是,则_______.【答案】或
【解析】先由题意得到关于的方程的两根分别是和,进而可求出结果.【详解】
因为关于的不等式的解集是,所以关于的方程的两根分别是和,所以有,解得:或.故答案为:或
【点睛】
本题主要考查由不等式的解集求参数,熟记三个二次之间关系即可,属于常考题型.15.设为所在平面内一点,若,则=__________.【答案】
【解析】先由题意,作出图形,根据平面向量的基本定理,得到,再由题意确定的值,即可得出结果.【详解】
如图所示,由,可知,、、三点在同一
直线上,图形如右:
根据题意及图形,可得:,,解得:,则
故答案为:
【点睛】
本题主要考查由平面向量基本定理求参数,熟记平面向量的基本定理即可,属于常考题型.16.下列命题中:
①已知函数的定义域为,则函数的定义域为;
②若集合中只有一个元素,则;
③函数在上是增函数;
④方程的实根的个数是1.所有正确命题的序号是______(请将所有正确命题的序号都填上).【答案】②③
【解析】对于①根据复合函数与函数自变量的关系,即可判断为正确;
对于②等价于方程有等根,故,求出的值为正确;对于对于③,可化为反比例函数,根据比例系数,可判断为正确;对于④,作出,的图象,根据图像判断两函数有两个交点,故不正确.【详解】
对于①,因为函数的定义域
为,即,故的定义域应该是,故①正确;
对于②,故,故②正确;
对于③,的图象由反比例函数
向右平移个单位,故其单调性与
函数单调性相同,故可判定
在上是增函数,③正确;
对于④,在同一坐标系中作出,的图象,由图可知有两个交点.故方程的实根的个数为2,故④错误.故答案为①②③.【点睛】
本题考查复合函数的定义域、函数的单调性、集合的元素、方程零点问题,要求全面掌握函数的性质,较为综合.三、解答题
17.已知命题,不等式恒成立;命题:函数,;
(1)若命题为真,求的取值范围;
(2)若命题是真命题,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)根据为真,得到时,即可,根据函数单调性,求出的最小值,进而可求出结果;
(2)若为真命题,根据题意得到,由函数单调性,求出在上的最大值,进而可求出结果.【详解】
(1)
若为真,即,不等式恒成立;
只需时,即可,易知:函数在递减,所以的最小值为,因此.(2)若为真命题,则,易知:在上单调递减,所以;
因此,故或,因为命题是真命题,所以,均为真命题,故满足或
解得:,因此实数的取值范围是.【点睛】
本题主要考查由命题的真假求参数,以及由复合命题真假求参数,根据转化与化归的思想即可求解,属于常考题型.18.已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最小值,并求出取得最值时的值.【答案】(1),;(2)
最小值为,.【解析】(1)先将函数解析式化简整理,得到,根据正弦函数的周期与单调区间求解,即可得出结果;
(2)由得,根据正弦函数的性质,即可得出结果.【详解】
(1)因为
所以函数的最小正周期为.由,得
故函数的单调递减区间为.(2)因为,所以当即时,所以函数在区间上的最小值为,此时.【点睛】
本题主要考查求正弦型函数的周期,单调区间,以及最值,熟记正弦函数的性质即可,属于常考题型.19.已知二次函数满足,且0为函数的零点.(1)求的解析式;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)
(2)
【解析】(1)根据已知条件可得的对称轴方程,结合,即可求出;
(2)从不等式中分离,不等式恒成立转为与函数的最值关系,即可求出结果.【详解】
(1)设,由题意可知,得到,即得到,又因为0是函数的零点,即0是方程的根,即满足,得,又∵,∴,∵,∴,∴.(2)当时,恒成立,即恒成立;
令,则,∴.【点睛】
本题考查用待定系数法求解析式,考查不等式恒成立问题,转化为函数的最值问题,属于中档题题.20.已知数列是等差数列,,数列的前项和为,且.(1)求数列、的通项公式;
(2)记中,求数列的前项和.【答案】(1),(2)
【解析】对于根据已知条件求出公差,即可求得通项;对于利用已知前项和与通项关系,可求得通项;
(2)根据的通项公式,用裂项相消法,可求出的前项和.【详解】
(1)由已知得,解得,所以,当时,∴,两式相减得,以2为首项公比为2的等比数列,.(2)由(1)知,所以
∴.【点睛】
本题考查等差、等比数列的通项,考查已知前项和求通项,以及求数列的前项和,属于中档题.21.已知函数.(1)当时,求函数的最小值;
(2)当时,求函数的单调区间;
(3)当时,设函数,若存在区间,使得函数在上的值域为,求实数的最大值.【答案】(1)
(2)答案不唯一,见解析
(3)
【解析】(1)求导,接着单调区间,即可得出最小值;
(2)求导,对分类讨论,可求出函数的单调区间;
(3)求出,通过分析,可得到在增函数,从而有,转化为在上至少有两个不同的正根,转化为与至少有两个交点,即可求出实数的最大值.【详解】
(1)当时,这时的导数,令,即,解得,令得到,令得到,故函数在单调递减,在单调递增;
故函数在时取到最小值,故;
(2)当时,函数
导数为,若时,单调递减,若时,当或时,当时,即函数在区间,上单调递减,在区间上单调递增.若时,当或时,当时,函数在区间,上单调递减,在区间上单调递增.综上,若时,函数的减区间为,无增区间,若时,函数的减区间为,增区间为,若时,函数的减区间为,增区间为.(3)当时,设函数.令,当时,为增函数,为增函数,在区间上递增,∵在上的值域是,所以在上至少有两个不同的正根,令,求导得,令,则,所以在递增,,当,∴,当,∴,所以在上递减,在上递增,∴,∴,∴的最大值为.【点睛】
本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题,其实质就是应用求导方法研究函数性质,关键是能结合题意构造函数,是一道综合题.22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为:
为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求的极坐标方程;
(2)若直线与曲线相交于,两点,求.【答案】(1)
;(2).【解析】(1)根据曲线的参数方程消去参数,得到普通方程,再转化为极坐标方程即可;
(2)先将直线的极坐标方程化为参数方程,代入,根据参数方程下的弦长公式,即可求出结果.【详解】
(1)曲线的参数方程为:
为参数),转换为普通方程为:,转换为极坐标方程为:
.(2)直线的极坐标方程为.转换为参数方程为:
(为参数).把直线的参数方程代入,得到:,(和为,对应的参数),故:,所以.【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及求弦长的问题,熟记公式即可,属于常考题型.23.已知.(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时,不等式恒成立,求的取值范围.【答案】(1)
;(2).【解析】(1)先由得,分别讨论,三种情况,即可得出结果;
(2)先由题意,得到当时,不等式恒成立转化为或恒成立,进而可求出结果.【详解】
(1)当时,不等式可化简为.当时,解得,所以
当时,无解;
当时,解得,所以;
综上,不等式的解集为;
(2)当时,不等式可化简为.由不等式的性质得或,即或.当时,不等式恒成立转化为或恒成立;
则或.综上,所求的取值范围为.【点睛】
本题主要考查解含绝对值不等式,以及由不等式恒成立求参数的问题,灵活运用分类讨论法求解即可,属于常考题型.