2020届省三校高三第一次联合模拟考试数学(文)试题
一、单选题
1.设,,则()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】先由题意求出,再与集合求交集,即可得出结果.【详解】
因为,所以,又,所以.故选:D
【点睛】
本题主要考查集合的交集与补集的混合运算,熟记交集与补集的定义即可,属于基础题型.2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则的一个充分条件是()
A.存在两条异面直线,.B.存在一条直线,.C.存在一条直线,.D.存在两条平行直线,.【答案】A
【解析】根据面面平行的判定定理,以及线面,面面位置关系,逐项判断,即可得出结果.【详解】
对于A选项,如图:为异面直线,且,在内过上一点作,则内有两相交直线平行于,则有;故A正确;
对于B选项,若,则可能平行于与的交线,因此与可能平行,也可能相交,故B错;
对于C选项,若,则与可能平行,也可能相交,故C错;
对于D选项,若,则与可能平行,也可能相交,故D错.故选:A
【点睛】
本题主要考查探求面面平行的充分条件,熟记面面平行的判定定理,以及线面,面面位置关系即可,属于常考题型.3.已知向量,若,则实数()
A.
B.5
C.4
D.
【答案】A
【解析】先由题意,得到,再根据向量垂直,即可列出方程求解,得出结果.【详解】
因为,所以,又,所以,即,解得:.故选:A
【点睛】
本题主要考查由向量垂直求参数,熟记向量数量积的坐标运算即可,属于常考题型.4.若,则()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】先由题意,得到,再根据二倍角公式,以及诱导公式,即可得出结果.【详解】
由,得,.故选:C
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题,熟记公式即可,属于常考题型.5.已知在上连续可导,为其导函数,且,则()
A.2e
B.
C.3
D.
【答案】B
【解析】先对函数求导,得出,求出,进而可求出结果.【详解】
由题意,所以,因此,所以,故.故选:B
【点睛】
本题主要考查由导数的方法求参数,以及求函数值的问题,熟记导数的计算公式即可,属于基础题型.6.在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为()
A.2
021
B.-2021
C.1
010
D.-1010
【答案】D
【解析】根据题中数据,以及等比数列的性质,得到,再由对数的运算法则,得到,进而可求出结果.【详解】
在各项均为正数的等比数列{an}中,若,可得,则
.故选D.【点睛】
本题主要考查等比数列的性质的应用,以及对数的运算,熟记等比数列的性质,以及对数运算法则即可,属于常考题型.7.已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据题意,由函数的奇偶性可得,又由,结合函数的单调性分析可得答案.
【详解】
根据题意,函数是定义在上的偶函数,则,有,又由在上单调递增,则有,故选C.【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意函数奇偶性的应用,属于基础题.
8.数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休,在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究陌数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如函数.的图象大致是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】先由函数解析式,得到,推出不是偶函数,排除AC,再由特殊值验证,排除B,即可得出结果.【详解】
因为函数,所以,因此函数不是偶函数,图象不关于轴对称,故排除A、C选项;
又因为,所以,而选项B在时是递增的,故排除B.故选:D
【点睛】
本题主要考查函数图像的识别,熟记函数的基本性质,灵活运用排除法处理即可,属于常考题型.9.已知偶函数的图象经过点,且当时,不等式恒成立,则使得成立的的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】先由题意,得到点也在函数图象上,函数在上为减函数,将不等式化为,根据函数单调性,即可得出结果.【详解】
根据题意,为偶函数,且经过点,则点也在函数图象上,又当时,不等式恒成立,则函数在上为减函数,因为,所以
解得或.故选:C
【点睛】
本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性与单调性的概念即可,属于常考题型.10.的内角,的对边为,,若,且的面积为,则的最大值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】D
【解析】根据余弦定理,以及题中三角形的面积,得到,求出,再由,结合基本不等式,即可求出结果.【详解】
由余弦定理可得:,又,因此,故.所以,即,即,当且仅当时,等号成立,故的最大值为4.故选:D
【点睛】
本题主要考查解三角形,以及基本不等式求最值,熟记余弦定理,三角形面积公式,以及基本不等式即可,属于常考题型.11.如果定义在上的函数满足:对于任意,都有,则称为“函数”.给出下列函数:①;②;③
;④其中为“函数”的是()
A.①②
B.②③
C.①②③
D.②④
【答案】B
【解析】先根据题中条件,得到函数是定义在上的减函数,逐项判断所给函数单调性,即可得出结果.【详解】
∵对于任意给定的不等实数,不等式恒成立,∴不等式等价为恒成立,即函数是定义在上的减函数.①,则函数在定义域上不单调.②函数是由复合而成,根据同增异减的原则,函数单调递减,满足条件.③根据指数函数单调性可得:为减函数,满足条件.④.当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,不满足条件.综上满足“函数”的函数为②③,故选:B
【点睛】
本题主要考查函数单调性的判定,熟记函数单调性的定义,以及基本初等函数单调性即可,属于常考题型.二、填空题
12.若是偶函数,当时,则=.______.【答案】1
【解析】根据偶函数的性质,以及题中条件,结合对数运算,可直接得出结果.【详解】
因为时,且函数是偶函数,所以.故答案为:
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数值,熟记偶函数性质,以及对数运算法则即可,属于基础题型.13.若关于的不等式的解集是,则_______.【答案】或
【解析】先由题意得到关于的方程的两根分别是和,进而可求出结果.【详解】
因为关于的不等式的解集是,所以关于的方程的两根分别是和,所以有,解得:或.故答案为:或
【点睛】
本题主要考查由不等式的解集求参数,熟记三个二次之间关系即可,属于常考题型.14.设为所在平面内一点,若,则=__________.【答案】
【解析】先由题意,作出图形,根据平面向量的基本定理,得到,再由题意确定的值,即可得出结果.【详解】
如图所示,由,可知,、、三点在同一
直线上,图形如右:
根据题意及图形,可得:,,解得:,则
故答案为:
【点睛】
本题主要考查由平面向量基本定理求参数,熟记平面向量的基本定理即可,属于常考题型.15.某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件,则该圆柱体体积的最大值为_____.
【答案】
【解析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件,通过体积公式即可得到答案.【详解】
解:圆柱体体积最大时,圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心,圆柱的上底面与棱锥侧面的交点在侧面的中线上.
∵正四面体棱长为,∴,,∴,设圆柱的底面半径为,高为,则.
由三角形相似得:,即,圆柱的体积,∵,当且仅当即时取等号.
∴圆柱的最大体积为.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力,基本不等式的运用,难度较大.三、解答题
16.已知实数,满足,若目标函数最大值为,取到最大值时的最优解是唯一的,则的取值是()
A.
B.
C.
D.1
【答案】C
【解析】先由约束条件作出可行域,化目标函数为,则表示斜率为的直线,且,结合图像,以及题中条件,即可得出结果.【详解】
由不等式组,即为,作可行域如图:
目标函数可化为,因为表示斜率为的直线,且,由图象可知当经过点时,取到最大值,这时满足坐标满足
解得,点坐标为,代人得到.故选:C
【点睛】
本题主要考查由最优解求参数的问题,通常需作出可行域,根据目标函数的几何意义,结合图像求解,属于常考题型.17.已知命题,不等式恒成立;命题:函数,;
(1)若命题为真,求的取值范围;
(2)若命题是真命题,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)根据为真,得到时,即可,根据函数单调性,求出的最小值,进而可求出结果;
(2)若为真命题,根据题意得到,由函数单调性,求出在上的最大值,进而可求出结果.【详解】
(1)
若为真,即,不等式恒成立;
只需时,即可,易知:函数在递减,所以的最小值为,因此.(2)若为真命题,则,易知:在上单调递减,所以;
因此,故或,因为命题是真命题,所以,均为真命题,故满足或
解得:,因此实数的取值范围是.【点睛】
本题主要考查由命题的真假求参数,以及由复合命题真假求参数,根据转化与化归的思想即可求解,属于常考题型.18.已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最小值,并求出取得最值时的值.【答案】(1),;(2)
最小值为,.【解析】(1)先将函数解析式化简整理,得到,根据正弦函数的周期与单调区间求解,即可得出结果;
(2)由得,根据正弦函数的性质,即可得出结果.【详解】
(1)因为
所以函数的最小正周期为.由,得
故函数的单调递减区间为.(2)因为,所以当即时,所以函数在区间上的最小值为,此时.【点睛】
本题主要考查求正弦型函数的周期,单调区间,以及最值,熟记正弦函数的性质即可,属于常考题型.19.已知四棱锥的底面为平行四边形,.(1)求证:;
(2)若平面平面,,求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)取中点,连接,根据线面垂直的判定定理,得出平面,进而可得;
(2)过点作垂直延长线于点,连接,根据线面垂直的判定定理,证明平面,推出;设为点到平面的距离,根据,结合题中数据,即可求出结果.【详解】
(1)取中点,连接,∵,且为中点,∴,平面,平面,∵为中点,;
(2)过点作垂直延长线于点,连接,∵平面平面,平面平面,平面,平面,平面,∵,,∴,∴,∴,设为点到平面的距离,由于,可得,,所以.即点到平面的距离为.【点睛】
本题主要考查证明线段相等,以及求点到平面的距离,熟记线面垂直的判定定理,性质定理,以及等体积法求点到平面的距离即可,属于常考题型.20.已知数列的前项和满足.(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)
;(2).【解析】(1)根据,求出;再得到时,两式作差得到数列是首项为2,公比为2的等比数列,进而可得出结果;
(2)由(1)的结果,根据裂项相消的方法,即可求出数列的和.【详解】
(1)由题可知,①
当时,得,当时,②
①-②,得,所以
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,故.(2)由(1)知,则,所以.【点睛】
本题主要考查由递推公式求通项公式,以及数列的求和,熟记等比数列的通项公式,以及裂项相消法求数列的和即可,属于常考题型.21.已知函数,其中.(1)当时,求函数在上的最大值和最小值;
(2)若函数为上的单调函数,求实数的取值范围.【答案】(1),;(2).【解析】(1)由得,对其求导,得到,解对应不等式,求出单调区间,进而可求出最值;
(2)先由得到函数不可能在上单调递增,由题意,得到在上单调递减,推出恒成立;令,用导数的方研究其单调性,进而可求出结果.【详解】
(1)当时,所以.由解得,由解得.故函数在区间上单减,在区间上单增.,,;
(2)
因为,所以函数不可能在上单调递增.所以,若函数为上单调函数,则必是单调递减函数,即恒成立.由可得,故恒成立的必要条件为.令,则.当时,由,可得,由可得,在.上单调递增,在上单调递减.故
令,下证:当时,.即证,令,其中,则,则原式等价于证明:当时,.由(1)的结论知,显然成立.综上,当时,函数为上的单调函数,且单调递减.【点睛】
本题主要考查求函数最值,以及由函数单调性求参数的问题,灵活运用导数的方法求函数单调性,即可研究其最值等,属于常考题型.22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为:
为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求的极坐标方程;
(2)若直线与曲线相交于,两点,求.【答案】(1)
;(2).【解析】(1)根据曲线的参数方程消去参数,得到普通方程,再转化为极坐标方程即可;
(2)先将直线的极坐标方程化为参数方程,代入,根据参数方程下的弦长公式,即可求出结果.【详解】
(1)曲线的参数方程为:
为参数),转换为普通方程为:,转换为极坐标方程为:
.(2)直线的极坐标方程为.转换为参数方程为:
(为参数).把直线的参数方程代入,得到:,(和为,对应的参数),故:,所以.【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及求弦长的问题,熟记公式即可,属于常考题型.23.已知.(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时,不等式恒成立,求的取值范围.【答案】(1)
;(2).【解析】(1)先由得,分别讨论,三种情况,即可得出结果;
(2)先由题意,得到当时,不等式恒成立转化为或恒成立,进而可求出结果.【详解】
(1)当时,不等式可化简为.当时,解得,所以
当时,无解;
当时,解得,所以;
综上,不等式的解集为;
(2)当时,不等式可化简为.由不等式的性质得或,即或.当时,不等式恒成立转化为或恒成立;
则或.综上,所求的取值范围为.【点睛】
本题主要考查解含绝对值不等式,以及由不等式恒成立求参数的问题,灵活运用分类讨论法求解即可,属于常考题型.