第2课时 三角形的外角及性质
考向题组训练
命题点
1 三角形的外角
1.如图△ABC的外角是
()
A.∠1
B.∠2
C.∠3
D.∠4
2.如图四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E是BC边上一点,连接AE,OE,则下列角中是△AEO的外角的是
()
A.∠AEB
B.∠AOD
C.∠OEC
D.∠EOC
命题点
2 利用三角形外角性质求角度
3.(2021乐山)如图已知直线l1,l2,l3两两相交,且l1⊥l3,若∠α=50°,则∠β的度数为()
A.120°
B.130°
C.140°
D.150°
4.(2021本溪)一副三角尺如图所示摆放,若∠1=80°,则∠2的度数是
()
A.80°
B.95°
C.100°
D.110°
5.如图∠ABD,∠ACD的平分线交于点P.若∠A=55°,∠D=15°,则∠P的度数为
()
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
6.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,∠DAC=10°,AE是△ABC的外角∠CAM的平分线,BF平分∠ABC,交AE于点F.若∠ABC=46°,求∠AFB的度数.命题点
3 利用三角形外角性质证明角度之间的关系
7.如图∠1,∠2,∠3,∠4满足的关系是
()
A.∠1+∠2=∠3+∠4
B.∠1+∠2=∠4-∠3
C.∠1+∠4=∠2+∠3
D.∠1+∠4=∠2-∠3
8.如图直线l1,l2被直线l3所截,且l1∥l2,过l1上的点A作AB⊥l3于点B,其中∠1<30°,则下列结论一定正确的是
()
A.∠2>120°
B.∠3<60°
C.∠4-∠3>90°
D.2∠3>∠4
9.如图在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,E是AD上一点.求证:(1)∠BED>∠C;
(2)∠AEB=∠EBD+∠C+∠CAD.10.如图在△ABC中,三个内角的平分线交于点O,过点O作OD⊥OB,交边BC于点D.(1)如图①,猜想∠AOC与∠ODC的关系,并说明理由;
(2)如图②,作△ABC的外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F,求证:BF∥OD.思维拓展培优
11.探索归纳:
(1)如①,已知△ABC为直角三角形,∠A=90°,若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2等于
()
A.90°
B.135°
C.270°
D.315°
(2)如图②,已知在△ABC中,剪去∠A后得到四边形BCEF,试探究∠1+∠2与∠A的关系,并说明理由;
(3)若没有将∠A剪掉,而是把它折成如图③的形状,试探究∠1+∠2与∠A的关系,并说明理由.答案
第2课时 三角形的外角及性质
1.C 2.D
3.C
如图,根据对顶角相等,得∠1=∠α=50°.∵l1⊥l3,∴∠2=90°.∵∠β是三角形的外角,∴∠β=∠1+∠2=50°+90°=140°.故选C.4.B
如图.∵∠5=90°-30°=60°,∠3=∠1-45°=35°,∴∠4=∠3=35°,∴∠2=∠4+∠5=95°.故选B.5.B
如图,延长PC交BD于点E.∵∠ABD,∠ACD的平分线交于点P,∴∠1=∠2,∠3=∠4.①
由三角形的内角和定理得∠A+∠1=∠P+∠3.②
∵∠5=∠2+∠P,∠5=∠4-∠D,∴∠2+∠P=∠4-∠D.③
由②-③,再结合①,得∠A-∠P=∠P+∠D,∴∠P=12(∠A-∠D).∵∠A=55°,∠D=15°,∴∠P=12×(55°-15°)=20°.故选B.6.解:∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=90°.∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-46°=44°.又∵∠DAC=10°,∴∠BAC=54°.∴∠MAC=180°-54°=126°.∵AE是∠MAC的平分线,∴∠MAE=12∠MAC=63°.∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=12∠ABC=23°.∴∠AFB=∠MAE-∠ABF=40°.7.D
如图,由三角形外角的性质可得∠1+∠4=∠5,∠2=∠5+∠3,∴∠1+∠4=∠2-∠3.故选D.8.D
∵AB⊥l3,∴∠ABC=90°.∵∠1<30°,∴∠ACB=90°-∠1>60°.∴∠2<120°.∵直线l1∥l2,∴∠3=∠ACB>60°.∴∠4-∠3=180°-∠3-∠3=180°-2∠3<60°.∵∠4=∠2<120°,2∠3>120°,∴2∠3>∠4.故选D.9.证明:(1)在△ABC中,∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠C=90°.∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.∴∠ABC+∠BAD=90°.∴∠C=∠BAD.∵∠BED>∠BAD(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角),∴∠BED>∠C.(2)∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠ADB=∠C+∠CAD.∵∠AEB是△EBD的外角,∴∠AEB=∠EBD+∠EDB.∴∠AEB=∠EBD+∠C+∠CAD.10.解:(1)∠AOC=∠ODC.理由:∵三个内角的平分线交于点O,∴∠OAC+∠OCA=12(∠BAC+∠BCA)=12(180°-∠ABC).∵∠OBC=12∠ABC,∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=90°+12∠ABC=90°+∠OBC.∵OD⊥OB,∴∠BOD=90°.∴∠ODC=90°+∠OBD.∴∠AOC=∠ODC.(2)证明:∵BF平分∠ABE,∴∠EBF=12∠ABE=12(180°-∠ABC)=90°-12∠ABC=90°-∠OBD.∵∠ODB=90°-∠OBD,∴∠EBF=∠ODB.∴BF∥OD.11.解:(1)C
(2)∠1+∠2=∠A+180°.理由:∵∠1,∠2为△AEF的外角,∴∠1=∠A+∠AEF,∠2=∠A+∠AFE.∴∠1+∠2=∠A+∠A+∠AEF+∠AFE.又∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°,∴∠1+∠2=∠A+180°.(3)∠1+∠2=2∠A.理由:∵△EFP是由△EFA折叠得到的,∴∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF.∴∠1=180°-2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF.∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF).又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A,∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A.
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