2019届市第一中学高三第六次质检数学（理）试题（解析版）

2019届市第一中学高三第六次质检数学（理）试题

一、单选题

1．已知（是实数），其中是虚数单位，则（）

A．-2

B．-1

C．1

D．3

【答案】A

【解析】解析：由题设可得，则，故，应选答案A．

2．如图,网格纸上小正方形的边长为,若四边形及其内部的点组成的集合记为,为中任意一点,则的最大值为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】先画出，平移直线易得在点D处取得最大值，代入点D坐标求出最大值.【详解】

解：在图中画出直线，平移直线易得在点D处取得最大值

因为点D，所以最大为2

故选：B.【点睛】

本题考查了简单线性规划问题，属于基础题.3．如图，在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则=（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】圆心O到直线距离为，所以，选D.4．在的展开式中，若二项式系数最大的项是第六项，则展开式中常数项（）.A．180

B．120

C．90

D．45

【答案】A

【解析】根据二项式系数最大的项是第六项，可以求出的值，再根据二项式展开式的通项公式，求出常数项即可.【详解】

因为二项式系数最大的项是第六项，所以.，该二项式的展开式的通项公式为：，令，所以常数项为：

.故选：A

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用、二项式展开式的通项公式，考查了二项式系数的性质，属于基础题.5．下边的程序运行后输出的结果为（）

A．50

B．5

C．25

D．0

【答案】D

【解析】共执行了5次循环体，第一次a=1,第二次a=3,第三次a=1,第四次，a=0,第五次a=0.所以输出a的值为0

6．平面上三条直线，，如果这三条直线将平面划分成六部分，则实数的取值集合（）.A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据三条直线将平面划分成六部分，可以确定三条直线的位置关系，然后分类讨论求出实数的取值集合.【详解】

因为三条直线将平面划分成六部分，所以三条直线有以下两种情况：

（1）三条直线交于同一点.解方程组，所以交点坐标为，直线也过该点，故；

（2）当直线与平行时，；

当直线与平行时，综上所述：.故选：D

【点睛】

本题考查了直线分平面问题，考查了直线与直线的位置关系，考查了已知直线平行求参数问题，属于基础题.7．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（）

A．

B．

C．2

D．3

【答案】D

【解析】先判断，由，利用等比数列求和公式可得，结合可得，从而根据可得结果.【详解】

设等比数列公比为

当时，不符合题意，当时，得，又，由，得，故选D.【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论与两种情况，这是易错点.8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的､､､､､､､八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市被选中的概率为（）.A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根据题意列出城市被选中的情况和没有被选中的情况，最后求出概率即可.【详解】

八个中小城市中选取三个城市，要求没有任何两个城市相邻，城市被选中的情况有：，共10种；

八个中小城市中选取三个城市，要求没有任何两个城市相邻，城市没被选中的情况有：，共10种,所以城市被选中的概率为.故选：A

【点睛】

本题考查了古典概型概率的计算方法，属于基础题.9．

已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】试题分析：由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.10．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题，且，成立的充要条件是（）.A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由导数的定义,结合充要条件的定义直接求解即可

【详解】

且，不妨设，当时，可得，设，所以该函数是单调递减函数，故；

当时，可得，设，所以该函数是单调递增函数，故，因此有.故选：B

【点睛】

本题考查了充要条件的判断，考查了导数的应用，属于基础题.11．已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是

A．的取值范围为

B．取值范围为

C．的取值范围为

D．若，则实数的取值范围为

【答案】B

【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；

设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2，∴0≤≤2，故B错误；

∵两圆外离，半径均为1，|C1C2|=2，∴2﹣2≤|MN|≤2+2，即2﹣2≤≤2+2，故C正确；

∵﹣1≤|OM|≤+1，-1≤|ON|≤+1，∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D正确．

故选B．

12．已知，，是半径为2的球面上的点，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（）.A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由可以判断出点在底面的射影的位置，这样可以确定球心位置，利用勾股定理、直角三角形的性质可以求出点到底面的距离，利用相似三角形的性质，可以求出三角形的面积表达式，最后利用导数求出其面积的最大值，最后也就求出了体积的最大值,【详解】

因为，所以点在底面的射影是直角三角形斜边中点，所以球心在线段的延长线上，设，因此，即，.过作，垂足为，设，，由，可得，设，则有，由，可得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故当，函数有最大值，最大值为：.三角形的面积的最大值为.三棱锥体积的最大值是.故选：B

【点睛】

本题考查了三棱锥体积最大值的求法，考查了几何体的性质，考查了直角三角形的性质，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.二、填空题

13．计算__________．

【答案】

【解析】分析：根据定积分的几何意义，将定积分化为两个区域的面积求解．

详解：令，可得，表示以原点为圆心，半径为2的圆的上半部分．

结合图形可得所求定积分为和扇形的面积之和（如图），且中，扇形中，．

故．

点睛：求定积分的方法有两种，一是根据微积分基本定理求解；二是根据定积分的几何意义求解，特别是对于被积函数中含有根号形式的定积分，一般要根据几何意义转化为图形的面积求解．

14．在DABC中，且，则_______.【答案】

【解析】先利用正弦定理化边为角，结合倍角公式求出，从而求出.【详解】

因为，所以；，解得（舍），；所以，解得，由,所以，故为锐角，所以.【点睛】

本题主要考查求解三角形.三角形求解一般是利用边角关系进行转化，三角恒等变换也会经常使用.15．已知双曲线C：，左、右焦点分别为，过点作一直线与双曲线C的右半支交于P、Q两点，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ的内切圆的半径r

=________．

【答案】2

【解析】【详解】

由双曲线的性质知，,因∠F1PQ=90°，故,因此，从而直角三角形的内切圆半径是,故填2.点睛：在一个直角三角形中，内切圆的半径，可根据切线长定理得到：，其中分别为直角边和斜边.16．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的最小值为______.【答案】

【解析】建立空间直角坐标系，设，求出相应点的坐标，利用平面向量数量积的运算，结合平面，可以求出点的坐标，利用空间两点间距离公式，结合配方法求出线段长度的最小值.【详解】

以为空间直角坐标系的原点，以为轴.设，则，因为平面，所以，所以

线段长度为：，当时，有最小值，其值为.故答案为：

【点睛】

本题考查了利用配方法求线段的长的最小值，考查了利用空间向量数量积的应用，考查了线面垂直的性质，考查了数学运算能力.三、解答题

17．设数列的前项之积为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项之和为．若对任意的，总有，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由,再由可得数列的通项公式；(2)先求出,再根据对任意的,可得的取值范围.试题解析：解：（1）由，得，所以，所以．

又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由，得，所以，因为对任意的，故所求的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

【考点】1.等比数列的通项公式和性质；2.等比数列求和.18．为了了解我校高2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：

校区

愿意参加

不愿意参加

重庆一中本部校区

220

980

重庆一中大学城校区

720

（1）若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；

（2）现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试题共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分的概率满足：，假设解答各题之间没有影响，①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的均值；

②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的数学期望．

【答案】（1）；（2）①；②．

【解析】试题分析：（1）由分层抽样的概念得结果；（2）①直接利用公式，可得“如花姐”得分的数学期望；②，由相互独立事件同时发生的概率计算公式，计算随机变量取每个值时的概率，由期望计算公式得结果．

试题解析：（1）大学城校区应抽取人；

（2）①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为，即；

所以对于每一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为分；

②记为“如花姐”做两道不完全会的题的得分总和，则；

；

．

所以“如花姐”最后得分的期望值为分．

【考点】（1）分层抽样；（2）离散型随机变量的分布列及期望．

19．如图，棱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，且．

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值是．

【解析】试题分析：（1）依据线面平行的判定定理，需要在平面找到一条直线与直线平行即可．因为平面平面，则过点作于，连接，证明四边形为平行四边形即可；（2）由（1）知平面，又，为等边三角形，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量即可．

试题解析：（1）如图，过点作于，连接，可证得四边形为平行四边形，平面

（2）连接，由（1），得为中点，又，为等边三角形，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由即，令，得

设平面的法向量为

由即，令，得

所以，所以二面角的余弦值是

【考点】（1）线面平行的判定定理；（2）利用空间向量求二面角．

20．设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；

（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若(O为原点)，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或

【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为．

（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或

详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．

所以，椭圆的方程为．

（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．

由已知有y1>y2>0，故．

又因为，而∠OAB=，故．

由，可得5y1=9y2．

由方程组消去x，可得．

易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．

由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．

所以，k的值为或

点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21．已知函数.（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）若函数的最小值为，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由已知，根据求导公式和法则，可得函数的导函数为，构造函数，易知在上为单调递增，则，因此若或时，函数没有零点，所以函数只有一个零点1；若或时，函数存在唯一个零点，所以函数有两个零点.（2）由（1）知，可对的取值范围，结合函数的单调性，进行分段讨论，对参数各段取值，逐一求出函数的最小值是否为，若是即满足题意，综合全部从而可确定参数的取值范围.试题解析：（1），令，故在上单调递增

则

因此当或时，只有一个零点；

当或时，有两个零点.（2）当时，则函数在处取得最小值

当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，使得.若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，又，故不符合题意.若，则，函数在上单调递增，又，故不符合题意.若，则，设正数

则，与函数的最小值为矛盾.综上所述，即.22．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，.（1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，与的交点为，求的面积.【答案】(1)见解析;(2)

.【解析】试题分析：（1）化圆的标准方程为一般方程，再把代入一般方程得的极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义以及直线的点斜式方程，可得的直角坐标方程；（2）分别将代入，得，根据极径与极角的几何意义，利用三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）因为圆的普通方程为，把代入方程得，所以的极坐标方程为，的平面直角坐标系方程为；

（2）分别将代入，得，则的面积为.23．已知函数，.（1）求不等式的解集；

（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围.【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用零点分类讨论方法求解不等式解集即可；

（2）由存在，存在，使得成立，可以转化为，利用绝对值的性质、函数的最值，通过解绝对值不等式求出的取值范围.【详解】

（1）时，解得，不合题意；

时，解得，时，解得.综上，不等式的解集是.（2）因为存在，存在，使得成立，所以.又，而，故的最小值是，可知，所以，解得.所以实数的取值范围为.【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，考查了存在性问题，考查了绝对值的性质，考查了数学运算能力.