一次函数的性质教学案例

第一篇：一次函数的性质教学案例

《一次函数的性质》教学案例

海口实验中学 许艳航

一、教材分析

本节课是华东师大版八年级下第十八章第三节第三课时。一次函数是函数中图形、性质相对简单的函数，它将是学习其他复杂函数的基础。本节是在学生对函数的知识及一次函数的意义、图象有一定认识的基础上进行的。通过本节的学习丰富了对一次函数的认识，教学中所体现的对数形结合思想的运用，为研究其他函数的性质和今后利用图形直观解决相关问题指明了方向。

二、教学目标 1．知识与技能：

1）通过对一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象的研究，探索一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质。

2）能根据k与b的值说出函数的有关性质.2．过程与方法：

1）借助动手画一次函数的图象，感知一次函数中k、b的取值对直线位置的影响。

2）经历由一次函数图象探索一次函数的性质的过程，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力。

3．情感、态度与价值观：

感受数学魅力，能用一次函数解决有关的实际问题，进一步发展数学应用意识。提高学生数形结合能力。

三、重点与难点

重点：一次函数的性质

难点：通过一次函数的图象总结其性质

四、学情与教法分析

上本节课的班级是初二（4）班的学生，这个班的学生整体素质较好，部分学生具备较强的观察、分析问题的能力，能与他人进行沟通交流，表达自己的看法、认识，对问题有一定的探究能力。新课程倡导，学生是学习的主体。学生主动参与课堂才能促使知识的积极建构，才会形成丰富的情感体验。本节课利用问题引路，采取学生先动手画图，直观感知，再合作交流，归纳概括，后实践运用，练习巩固的教学流程。做好对不同形式的函数对比概括的教学。

本节教学方法的设计给学生提供动脑，动手的机会，同时运用演示课件、几何画板、设计游戏等形式教学，将信息教育技术与课堂教学结合起来，把学习主动权交给学生，真正让学生成为教学活动的主体。调动了学生的学习积极性，提高了学生的学习兴趣。

五、教学过程(一)、创设情境

1.在前面对一次函数图象研究中知道一次函数的图象是一条直线，那么怎样才能便捷画出一次函数的图象呢？

b 生答：先确定直线与坐标轴的交点：（，0）、（0，b），再过这两个交点做直

k线。

（点评：复习一次函数的图象，为本节课的学习做好铺垫）2.在同一直角坐标系中，画出函数y2x1和y＝3x-2的图象.3几何画板演示：在同一直角坐标系中做出这两个一次函数的图像，规定方向：从左向右，运用几何画板的赋值功能，运动点。学生观察此时随着自变量增加函数值的变化情况；改变k，b值以及k,b的符号，观察此时随着自变量的增加函数值的变化情况，对比研究函数图像呈上升趋势是由什么元素决定的。

（点评：本节课结合图象研究一次函数的性质，关键在于学生理解，这里选用了几何画板展示避免了传统的黑板做图占用过多的教学时间，PowerPoint不能清楚的展示横纵坐标的变化情况，而几何画板软件综合其优点，形象直观的展现了函数值随自变量变化而变化的趋势，学生容易理解掌握，对一次函数的性质的探究水到渠成。）

（二）、探究归纳 1.观察图象发现在直线y2（即自x1上，当一个点在直线上从左向右移动时，3变量x从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y的值也从小变到大）.即：函数值y随自变量x的增大而增大.请学生讨论：函数y＝3x-2是否也有这种现象? 讨论结果：函数y＝3x-2也有这种现象。

设问：是不是所有的一次函数的图象都有如下的性质？

（点评：在研究两个一次函数的图象均为函数值y随自变量x的增大而增大，学生会疑惑为什么要研究这一性质，是不是所有的一次函数都有这样的性质，这里的设问给学生指明方向，引发学生思考。）

33.在同一坐标系中，画出函数y＝-x＋2和yx1的图象（图略）.2根据上面分析的过程，请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的性质？你能发现什么规律。

学生动手画图，观察分组讨论，交流自己的观点。师：当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量x从小到大时)，点的位置逐步从高到低变化（函数y的值也从大变到小）.即：函数值y随自变量x的增大而减小。

（点评：在学生疑惑的同时给学生指明方法，学生自己动手画图，体会一次函数的图像并不是所有时候都是呈上升趋势的，学生带着疑问研究问题可以提高学习效率，事半功倍。）

师：通过画图我们可以看到有的时候函数值y随自变量x的增大而增大，有的时候函数值y随自变量x的增大而减小，那么是由什么决定的？

通过对比y32x1与yx1的图象，学生很快发现b相同，所以图象

23的这种性质是由k的符号决定的，从而得到一次函数的第一个性质。一次函数y＝kx＋b有下列性质：

(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降。特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质。

练习：下列一次函数中，y的值随x的增大而减小的有________。

（1）y=-2x-1（2）y=3x+2（3）y=4-x（4）y=6x-1（点评：在对第一个性质探究结束以后，设计练习，加强对性质的理解，其中（1）（2）（4）是基础题，（3）改变两项的位置，有一定的难度。这样的设计即可以坚定学生的学习信心，也可以提高学生的探究精神。）4．研究b的取值对函数图象的影响

师：k的符号决定了图象是上升还是下降，那么b的取值对图象有着怎样的影响？

运用几何画板做出y＝kx＋b的图象，先改变k的值，再改变b的值，观察b的取值对一次函数图象的影响，学生可以发现，直线与y轴的交点即为（0，b），从而得出性质二。

(2)当b＞0时，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，直线与y轴交于负半轴。

（点评：对于b对函数性质的影响仍然运用了几何画板这一软件，应用了几何画板可以迅速做出函数图象这一优点，可以很清楚的发现，无论怎样改变k的值，函数在y轴上的交点始终保持不变。有了几何画板使问题更直观，减轻学生理解负担。）5．巩固提高

运用PowerPoint设计了一个游戏：选择你喜欢的一个字，按要求回答问题。屏幕显示：“我”“选”“择”“我”“喜”“欢”六个字，每个字代表了一个题目，题目由一次函数的图像判断k、b的取值范围。六个字分别代表了六种不同的情况，包括正比例函数，并且在学生答对的基础上，跟问图象所在的象限有哪些？（点评：此时学生对一次函数的性质已经有了初步的了解，这里把巩固训练设计为一个游戏，提高了学生的学习兴趣，并且培养了学生的逆向思维，提高学生的综合素质。）

6.利用上面的性质，我们来看问题1和问题2（课本P39）反映了怎样的实际意义？

问题1 随着时间的增长,小明离北京越来越近。问题2 随着时间的增长,小张的存款越来越多。

（点评：一次函数是一种重要的数学模型，学生要能够运用性质解决实际问题，本题为学生提供了联系实际的机会，体会学习数学的价值，从而感受到学好数学的意义。）

（三）、实践应用

例1 已知一次函数y＝(2m-1)x＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？

分析： 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若k＜0，则y随x的增大而减小． 解 因为一次函数y＝(2m-1)x＋5，函数值y随x的增大而减小．

1所以，2m-1﹤0,即m.21例2 已知点(2,m)和(-3,n)都在直线yx1上，试比较m和n的大小.你能想

6出几种判断的方法？

分析：m为自变量为2时的函数值，n为自变量为-3时的函数值，可以分别 求出m、n的值进行比较；还可以根据一次函数的性质，由于k= 随x的增大而增大，由2﹥-3，所以m﹥n。解答过程略。

1﹥0，所以y6（点评：例1，例2为学生在学习一次函数的性质后的应用，例1相对基础，例2增加难度，提高了学生的综合应用能力，巩固性质一）

（四）、交流反思

这节课我们有哪些收获？

(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；

当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.(2)当b>0时，直线与y轴交于正半轴；

当b＜0时，直线与y轴交于负半轴； 当b=0时，直线与y轴交于坐标原点.（五）、检测反馈

1.函数y=3x+1经过那几个象限？

212.已知点(-1,a)和,b都在直线yx3上，试比较a和b的大小。

32(点评：检测题的目的在于巩固所学内容，由学生独立完成，此时不再增加题目的难度，减轻学生负担，让学生有成功的体验，帮助学生获得学好数学的信心。)

（六）．作业

课本P48，第8题；学习指导P26，§18.3（四）第二题。

六、板书设计

黑板分为左、中、右三部分，中间用于画图分析，右边用于书写例题，左边用于书写一次函数的性质。

本节课的设计力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法。由此我采用“问题——实践——探究——应用”的学科教学模式，把主动权充分的还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引 导学生观察思考、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐。

整堂课以问题思维为主线，充分利用几何画板及计算机辅助教学，特别是几何画板，巧妙地把数学实验引进了数学课堂，让学生充分参与数学学习，获得广泛的数学经验，整堂课融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体。这样既注重知识的发生、发展、形成的过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，又使学习者积极主动地将知识融入已构建的结构，而不是被动的接受并积累知识，从而“构建自己的知识体系”。并通过探索过程，不断丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，渗透数学的思想方法，发展数学思维。

第二篇：《一次函数》教学案例

《一次函数》教学案例

向阳中学郑爱龙 教学目标

（一）教学知识点

１．学会用待定系数法确定一次函数解析式．

２．具体感知数形结合思想在一次函数中的应用

（二）能力训练目标

１．经历待定系数法应用过程，提高研究数学问题的技能．２．体验数形结合，逐步学习利用这一思想分析解决问题． 教学重点

待定系数法确定一次函数解析式．

教学难点

灵活运用有关知识解决相关问题．

教学方法归纳─总结

教具准备

多媒体演示．

教学过程

提出问题，创设情境

我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的特点及图象特征，并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征，能否确定解析式呢？

这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？

导入新课

有这样一个问题，大家来分析思考，寻求解决的办法．

[活动]

活动设计内容：

已知一次函数图象过点（2，5）与（1，1），求这个一次函数的解析式．

联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗？

活动设计意图：

通过活动掌握待定系数法在函数中的应用，进而经历思考分析，归纳总结一次函数解析式与图象之间转化规律，增强数形结合思想在函数中重要性的理解．

教师活动

引导学生分析思考解决由图象到解析式转化的方法过程，从而总结归纳两者转化的一般方法．

学生活动

在教师指导下经过独立思考，研究讨论顺利完成转化过程．概括阐述一次函数解析式与图象转化的一般过程．

活动过程及结论：

分析：求一次函数解析式，关键是求出k、b值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得．

设这个一次函数解析式为y=kx+b．

因为y=k+b的图象过点（2，5）与（1，1），所以

解之，得

故这个一次函数解析式为y=4x-3。结论：

像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．

练习

１．将正比例函数y=-2x的图像向上平移三个单位长度后吧，求得到的图像的函数解析式。

２．若y1=kx+3与y2=2x+b相交于一点，此点在第一象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，试求这两个函数的解析式。

3.教科书第35页第6题。

第三篇：《一次函数的图象及其性质》教学案例

一、背景分析

本节课为人教版义务教育课程标准教科书七年级下册《一次性函数的图像及性质》，教材背景是学生刚学完的一次性函数表达式。本节课是一次函数的关键点，同时也是重点和难点，它的理论支撑点为合作、实践、探索的学习理论，这种理论认为学生的学习不是被动的接受而是一种主动的探究。根据这一理论我在教学中充分考虑学生的差异，采用合作的学习方式。

二、实事过程

本节课的教学目标是：使学生掌握一次函数的图像及其性质；在研究一次函数的图像及其性质时让学生经历合作、讨论、归纳、猜想、总结的过程，培养学生的合作研究的精神的同时体会由特殊到一般的思想；通过整个的探究过程是学生形成结合的数学思想方法以及创新意识；在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和勇于探索、锲而不舍的精神。

刚开始上课时教师首先发言

师：一次函数的一般表达式是y=kx+b（k、b为常数，k≠0，）同学们谁能到黑板上写出一些常数较简单一次函数表达式（生表现踊跃，写出了十多个）

师：黑板上这些一次函数大致有几个类型？

生：（讨论后）四类，即k>0，b>0；k>0，b<0；k<0，b>0；k<0，b<0。

教师按不同类型在学生的板书的函数中各选两个，找到如下函数： y=3x+2,y=-2x+3,y=-x+4,y=x+2,y=-2x-1,y=x-2,y=-x-3,y=2x-1.（教师在这里是让学生自己准备学习素材。）

教师引导学生找到画直线的“两点式”简易方法后，把画上述八个函数图象的任务分配给八个小组，一组一个，五人一组在已画好坐标系的图纸上动手操作。学生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃。教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始本节课的探究。

师：（在实物投影上展示八个图像）请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？

生；不一样。

师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾）

生A：走向不一样。

生B：经过的象限不一样。

生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方。

师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路）

生：是由k、b的取值确定的。

师：好了，根据同学们的回答。能不能得到函数的一些性质，如果能是什么？ 热烈讨论后，生A回答并板书，当k>0时，图象从“左下”到“右上”；当k<0时，图象从“右上”到“左下”。

生B板书：当b>0时，图象在原点的上方，当b<0时，图象在原点的下方。

生C板书：当k>0,b>0时，图象过一、二、三象限。

另一生D跑到黑板前补充：当k>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当k<0，b>0时，图象过一、二、四象限，当k<0，b<0时，图象过二、三、四象限。（这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出一次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路）

师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？（学生不能够回答出来）

师：咱们来看同学们的板书，谁能说出“走向”的意思吗？ 生：（七嘴八舌）当k>0时，图象向上爬；当k<0时，图象向下走。（未出现教师所预期的结论）

师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？

生：当k>0时，x与y同向变化;当k<0时，x与y异向变化。

师：也就是说，k>0,x增大，y……

生：增大。

师: 当k<0时，x……y……

生：x增大，y减小；x减小，y增大。

（在这里，教师努力避免了“告诉”的知识传授方式。间接引导需要智慧，是一种艺术）

师：好了，我们就用x与y之间的变化规律来表述一次函数的性质，好吗？请同学们在书上补充一下图象的性质，并熟悉一下一次函数的性质。（接下来学生练习几道题）

师；有人能得出正比例函数性质吗？

生：它是y=kx+b中b=0时的性质，其实y=kx与y=kx+b的性质是一致的。（特殊与一般的关系，学生理解起来非常容易）

三、案例分析

1、本节课是通过学生通过自己的努力研究得来的，因此学生对这节课的内容理解比较容易，同时对一次函数的认识也提高了一个层次。

2、由于研究的是同学们自己提供的素材，因此兴致盎然，提高了学习数学的兴趣和积极性。

3、以问题为主线层层深入，通过对问题的探究解决，学生参与了知识发生过程，初步改变了学生的学习方式，培养了学生的实践能力和探究精神。

四、案例反思

在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。因此这节课，我对教材进行了探究性重组，并让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到一次函数的性质。花费了一番周折，说明去掉这个中介，直接让学生从单调性来接受一次函数性质是困难的。

真正的形成往往来源于真实的自主探究。只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。

首先，要设计适合学生探究的素材。本节课的素材是学生自己提供的，这样学生不但易于接受而且乐于接受。

其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。探究教学是追求教学过程的自然和本真。只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。要表现过程的真实与自然，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。结论是一致的，但过程可以是多样的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。追求自然，就要适当放开学生的手、口、脑，例如本文中的“走向”问题，“向上爬”、“向下走”等，如果是讲授注入式，我们就听不到学生真实的声音了。

最后，教师在学生探究真知的过程中是一个促进者、协作者、组织者。要善于让学生说教师要说的话，做教师想做的事。数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程。真正的知识不全是由教材和教师讲授的途径获取的，其实学生也是课程资源的开发者，如本课例中的“走向”问题，“同向变化”等，这为函数性质的得出做了很好的铺垫。要与学生一起去探究协作，寻觅适合学生自己的真知才是最有效的教学。要开展成功的探究，教师要科学设置问题情景或问题素材，使探究的问题具有层次性和探究性，适时、适势、适度地用教学机智调控课堂。例如本课中，学生老是得不出一次函数性质的内容，其中引导的过程就是充满机智的过程。在教学设计中，要预设多种意外和可能，这样探究真知的过程就会艰辛并顺利展开。

第四篇：一次函数的性质（本站推荐）

一、学习课题： 一次函数的性质

二、教学目标： 1.掌握一次函数的性质.2.能够利用一次函数的性质解决简单的实际问题.3．经历探索一次函数性质的过程，提高学生数形结合意识，培养数形结合的能力．

重点：理解一次函数（含正比例函数）的性质；

难点：利用一次函数性质解决有关问题。

三、学习过程：

（一）读一读：

自主学习课本第44页第45页的内容，完成以下题目： 1．画出一次函数y＝23 x＋1和y＝3x-2的图象

探究当x增大时,y的值将随着x怎样变化?同学们发现什么现象?

2、画出函数y＝－x＋2和y＝－

x－1的图象。

仿照以上研究方法，研究它们是否也有相应的性质，有什么不同? 你能否发现什么规律?

3、归纳概括：

一次函数y=kx+b有下列性质:(1)当k>0时，(2)当k<0时，（二）．练一练：

1.已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？ 已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.3.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.(1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？.4、画出函数y=-2x+2的图象,结合图象回答下列问题.(1)这个函数中,随着x的增大,y将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化?(2)当x取何值时,y=0?(3)当x取何值时,y>0?

（三）、比一比（看谁做的好）

1．已知点(x1,y1)和(x2,y2)在一次函数y=-3x+2的图象上,且x1

②当k取何值时,函数图象经过坐标系原点? ③当k取何值时,函数图象不经过第四象限? 4．已知函数y(m1)xm2m1m,当m为何值时，这个函数是一次函数.并且图象

经过第二、三、四象限？

5．.已知关于x的一次函数y＝(-2m＋1)x＋2m2＋m-3.(1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求m的值；(2)若一次函数的图象经过点(1，-2),求m的值.6.已知点(-1,a)和1

22,b

都在直线y3x3上，试比较a和b的大小.你能想出几种

判断的方法？

（四）谈一谈：让学生自由发言，谈出本节课的收获，解答此类问题的关键。

（五）评一评：

第五篇：一次函数性质教案

一次函数的图像和性质

教学目标：

1.掌握一次函数解析式的特点及意义． ２．知道一次函数与正比例函数关系． ３．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律． ４．会用简单方法画一次函数图象。教学重难点：

１．一次函数解析式特点． ２．一次函数图象特征与解析式联系规律． ３．一次函数图象性质和解析式规律

教学过程：

一、一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0•）的函数，•叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，称为正比例函数。即正比例函数是一种特殊的一次函数． 二、一次函数图象：

1、直线y=kx(k不等于0)过原点（0,0）；

2、将正比例函数向上（或下）平移|b|个单位得到一次函数： y=kx+b（k≠0）三、一次函数 y=kx+b的性质：

1、k>0，b>0时函数图象过一、二、三象限，y随x的增大而增大；k>0 , b<0时，图象过二三四象限，y随x的增大而增大。

2、k<0, b>0时，图象过一二四象限，y随x的增大而减小；k<0, b<0时，图象过二三四象限，y随x的增大而减小；