分离变量法习题

第一篇：分离变量法习题

第十章习题解答 求解混合问题

utta2uxx0(0xl,t0)0

u(0,t)0,u(l,t)0，其中(x)v00u(x,0)0,u(x,0)(x)t0xccxc cxl解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为u(x,t)X(x)T(t)，则，utt(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)

代入混合问题中的微分方程可得：

X(x)T(t)aX(x)T(t)02X(x)X(x)aT(t)T(t)2

由初始条件可得：u(0,t)X(0)T(t)u(l,t)X(l)T(t)0X(0)X(l)0由此可得，X(x)为如下常微分方程边值问题的非零解：

X(x)X(x)0X(0)0,X(l)0(0xl)



若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为 X(x)c1exp(x)c2exp(x)，代入边值条件后可得c1c20X(x)0，不符合要求。若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为

X(x)c1c2x，代入边值条件后仍可得c1c20X(x)0，不符合要求。若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为 X(x)c1cos代入边界条件后可得： X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx，2xc2sinx，X(l)c2sinl0,X(x)0sinnxlnl0,n，l所以可取 X(x)Xn(x)sin

(n1,2,)由T(t)所满足的方程可得：

T(t)a22T(t)0T(t)Tn(t)ancosnatlnatlbnsinnatl，所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为 u(x,t)un(x,t)Xn(x)Tn(t)(ancosbnsinnatl)sinnxl，设原混合问题的解函数为 u(x,t)n1(ancosnatlbnsinnatl)sinnxl，则由初始条件可得：0u(x,0)n1ansinnxlan0(n1,2,)

 ut(x,t)n1nalbncosnatlsinnxlnxl， (x)ut(x,0)n1natlbnsinbnna2l0(x)sinnxldx，bnna2ccv0sinnxldx2v0lna22(cosn(c)lnxlcosn(c)l)（*）所以，原混合问题的解为 u(x,t)2 求解混合问题

bn1nsinnatlsin，其中的bn由（*）给出。

utta2uxx0(0xl,t0)

u(0,t)E,u(l,t)0

u(x,0)0,u(x,0)0(E为常数）t解：由于边界条件非齐次，需作函数变换如下：设

v(x,t)u(x,t)El(lx)u(x,t)v(x,t)El(lx)，则

vxx(x,t)uxx(x,t),vt(x,t)ut(x,t),vtt(x,t)utt(x,t)，2vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)auxx(x,t)0，v(0,t)u(0,t)

v(x,0)u(x,0)ElEl(l0)u(0,t)E0,v(l,t)u(l,t)00，(lx)El(lx),vt(x,0)ut(x,0)0，所以，u(x,t)是原混合问题的解的充要条件是：v(x,t)是如下混合问题的解：

2vtt(x,t)avxx(x,t)0(0xl,

v(0,t)0,v(l,t)0Ev(x,0)(lx),vt(x,t)0lt0)

（*）

用分离变量法求解此定解问题，由分离变量法的标准步骤可得：



v(x,t)n1(AncosnatlBnsinnatl)sinnxl，代入初始条件可得：，Bn0，An2llEl0(lx)sinnxldx2En(n1,2,)

所以，v(x,t)n12EncosnatlElsinnxl，原混合问题的解函数为u(x,t)3 求解下列阻尼波动问题的解：

(lx)n12Encosnatlsinnxl

utt2huta2uxx0(0xl,t0)

u(0,t)0,ux(l,t)0

u(x,0)(x),u(x,0)(x)t其中，h为正常数，且ha2l。

解：使用分离变量法，设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边界条件：

u(x,t)X(x)T(t)

则容易算得：uxx(x,t)X(x)T(t),ut(x,t)X(x)T(t),utt(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简可得：

T(t)2hT(t)aT(t)2X(x)X(x)

0u(0,t)X(0)T(t)X(0)0，0ux(l,t)X(l)T(t)X(l)0，T(t)2hT(t)aT(t)0

X(x)X(x)0

，X(0)0,X(l)02由X(x)的非零性可得0，此时，X(x)c1cosxc2sinx，X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx，取c21得：X(x)sin2n1l0n

2l22x,X(l)cos2n1将代入T(t)所满足的方程可得：T(t)2hT(t)aT(t)0

l

22n12ha0nh2l2(2n1)ah

2l222

ha2l(2n1)a2lnh(2n1)a2hi2l(n1,2,)

从而有：

T(t)Tn(t)eht(AncosntBnsinnt)，2n1a2l22其中

nh(n1,2,)，（1）

设原混合问题的解函数为：



u(x,t)n1eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)2lx，

(x)u(x,0)ln1Ansinl(2n1)2lx，(2n1)xl(1cosdx，0022l2l22l(2n1)xdx(n1,2,)

（2）所以

An(x)sin0l2l而

sin2(2n1)xdx1ut(x,t)n1eht((hAnnBn)cosnt(hBnnAn)sinnt))sin(2n1)x2l



(x)ut(x,0)1n1(hAnnBn)sin(2n1)x2l，Bnn(hAn2ll0(x)sin(2n1)x2ldx)。

（3）

所以，原混合问题的解是u(x,t)n1eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)2lx，其中的 n,An,Bn分别由（1）式、（2）式、（3）式给出。

4 求解混合问题

uxxLCutt(LGRC)utGRu

u(0,t)0,ux(l,t)0GEu(x,0)E,u(x,0)tC(0xl,t0)

其中L、C、G、R为常数，且LG=RC。（提示：作函数变换u(x,t)exp(Rt/L)v(x,t)）

解：记a21LC,bGCRL，混合问题的微分方程两边同除LC，方程可化为

a2uxx(x,t)utt(x,t)2but(x,t)b2u(x,t)，a22x(u(x,t)exp(bt))t22(u(x,t)exp(bt))，设v(x,t)u(x,t)exp(bt)，则有

a2vxx(x,t)vtt(x,t)，而且，vx(x,t)ux(x,t)exp(bt),()0,所以

v(0,t)u(0,t)expbtvt(x,t)ut(x,t)exp(bt)bu(x,t)exp(bt)，vx(l,t)ux(l,t)expbt()0，vt(x,0)ut(x,0)bu(x,0)0，(0)u(x,0)E, v(x,0)u(x,0)expb所以，若u(x,t)是原混合问题的解函数，则v(x,t)是如下混合问题的解函数：

vtt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,vx(x,t)0v(x,0)E,v(x,t)0t(0xl,t0)

用分离变量法求解此混合问题，设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解为 v(x,t)X(x)T(t)，则

vx(x,t)X(x)T(t)，vxx(x,t)X(x)T(t),vxx(x,t)X(x)T(t), X(x)X(x)T(t)aT(t)2

由齐次边界条件可得，X(x)为如下定解问题的解：

X(x)X(x)0X(x)c1cosxc2sinx，X(0)0,X(l)0

X(0)0c10，取c21得X(x)sinx，X(l)T(t)aT(t)2(2n1)cosl0n2lnT(t)Tn(t)Ancos(2n1)x2l2(n1,2,)，(2n1)at2l

(2n1)at2lBnsin，X(x)Xn(x)sin(n1,2,)，设

v(x,t)n1(Ancos(2n1)at2llBnsin(2n1)at2l)sin(2n1)x2l

代入初始条件可得：An2l0v(x,0)sin(2n1)x2ldx4E(2n1),Bn0，所以

v(x,t)(2n1)n14Ecos(2n1)at2lsin(2n1)x2l

所以，原题目所给的混合问题的解函数为：

u(x,t)exp(bt)n14E(2n1)cos(2n1)at2lsin(2n1)x2l。用固有函数法求解

utta2uxxg(const),

u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)0,u(x,0)0t(0xl,t0)

解：用分离变量法：设原混合问题的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，利用分离变量法的标准步骤可求得： (2n1)

n,2l2X(x)Xn(x)sin(2n1)x2l(n1,2,)

将f(x,t)g展开成Xn(x)的广义Fourier级数如下：

fn(t)2ll0f(x,t)Xn(x)dx2ll0gsin(2n1)x2ldx4g(2n1)，T(t)a2nT(t)fn(t)16gl(2n1)atT(t)T(t)(1cos)n3322l(2n1)aT(0)0,T(0)02[注：方程T(t)aT(t)fn(t)的通解为

Tn(t)Ancos

(2n1)at2lBnsin(2n1)at2l16gl(2n1)a332，代入初始条件即可得此处的结果。] 所以，题目所给的混合问题的解函数为

u(x,t)Tn(t)Xn(x)n1(2n1)16gl3a32(1cos(2n1)at2lt0))sin(2n1)x2l。

ut(x,t)a2uxx(x,t)06．求解混合问题u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)u(const)0(0xl,。

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，则

ut(x,t)X(x)T(t),ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简再由边界条件可得：

T(t)aT(t)2X(x)X(x)T(t)aT(t)0,22X(x)aX(x)0

u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0,ux(l,t)X(l)T(t)0X(l)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的非零解函数：

X(x)X(x)0X(0)0,X(l)0

2(0xl)

(2n1)解之得 n,2lX(x)Xn(x)sin(2n1)x2l(n1,2,)，2(2n1)a

T(t)na2T(t)0T(t)Tn(t)Anexp(t)。

2l设原问题的解函数为

u(x,t)n1(2n1)x(2n1)a，Anexp(t)sin2l2l2由初始条件可得：

u0u(x,0)An1nsin(2n1)x2l4u0，由此可得：

An2ll0u0sin(2n1)x2ldx(2n1)2(n1,2,)，所以，u(x,t)n1(2n1)x(2n1)a exp(t)sin(2n1)2l2l4u0 7 ut(x,t)a2uxx(x,t)0(0xl,7．求解混合问题u(0,t)0,ux(l,t)u(l,t)0u(x,0)(x)t0)

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，则

ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t),ut(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简，并由边界条件可得：

T(t)a2T(t)0,X(x)X(x)0，u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0，ux(l,t)u(l,t)(X(l)X(l))T(t)0X(l)X(l)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的解函数：

X(x)X(x)0(0xl)



X(0)0,X(l)X(l)0由u(x,t)是非零解可得：0X(x)c1cos

X(0)0c10X(x)sinxxc2sinx

(letc21)，X(l)X(l)设

tanlcoslsinl0tanl(n1,2,)，则nn

2

n0所以，X(x)Xn(x)sinnx，22((an)t)

T(t)(an)T(t)0T(t)Tn(t)Anexp(n1,2,)，设原混合问题的解函数为

u(x,t)An1nexp((an)t)sinnx，2利用Xn(x)的正交性可求得 An(x)sin0lnxdx(n1,2,)。

[注]：可以证明：Xn(x)具有正交性。

l0sinnxdx2 8 ut(x,t)a2uxx(x,t)08．求解混合问题u(0,t),u(l,t)u(x,0)u0(0xl,t0)，其中，,,u0为常数。

解：作函数变换 v(x,t)u(x,t)(则

ut(x,t)vt(x,t),lx)u(x,t)v(x,t)(l x)，uxx(x,t)vxx(x,t)，u(0,t),u(l,t)v(0,t)0,v(l,t)0，u(x,0)u0v(x,0)u0(lx)

所以，u(x,t)是原混合问题的解的充要条件是v(x,t)是如下混合问题的解： 2vt(x,t)avxx(x,t)0(0xl,（*）

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)u(x)0lt0)

用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

X(x)Xn(x)sinnxl,naT(t)Tn(t)Anexp(t)，l2

v(x,t)Tn1n(t)Xn(x)n1nxna，Anexp(t)sinll2代入初始条件可得：u0(l2lx)v(x,0)ln1Ansinnxlnxl

由Xn(x)的正交性可得：An

An0(u0(nlx))sindx，2n((u0)(1)(u0))(n1,2,)，2所以，v(x,t)n1nxnan((u0)(1)(u0))exp(t)sinnll2

u(x,t)v(x,t)(lx)。

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,9．求解 u(x,0)x(xa),limu(x,y)0yu(0,y)0,u(a,y)0y0)。

解：用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下满足齐次边界条件的分离变量形式非零解：

u(x,y)X(x)Y(y)，则

uxx(x,y)X(x)Y(y),uyy(x,y)X(x)Y(y)，uxx(x,y)uyy(x,y)X(x)Y(y)X(x)Y(y)0，X(x)X(x)Y(y)Y(y)X(x)X(x)0,Y(y)Y(y)0，

u(0,y)X(0)Y(y)0X(0)0，u(a,y)X(a)Y(y)0X(a)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的解函数：

2X(x)X(x)0nn

,X(0)0,X(a)0aX(x)Xn(x)sinnyanxa，从而有：Y(y)Yn(y)Anexp(又由另一个边界条件可得：

nya)Bnexp()(n1,2,)

（limun(x,y)limXn(x)Yn(y)0An0Yn(y)Bnexpyynya)，设原定解问题的解函数是u(x,y)n1un(x,y)n1Bnexp(nya)sinnxa，则

u(x,0)x(xa)x(xa)n1Bnsinnxa

Bna2a0x(xa)sinnxandx22aannya333((1)1)n(n1,2,)，所以，u(x,y)10．求解边值问题：

4a23n1(1)1n3exp()sinnxa。

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,

u(0,y)0,u(a,y)0xxu(x,0)0,u(x,b)sinaa0yb)。

解： 用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下分离变量形式的满足齐次边界条件的非零解：

u(x,y)X(x)Y(y)，则有：

uxx(x,y)X(x)Y(y), X(x)X(x)Y(y)Y(y)uyy(x,y)X(x)Y(y)，0X(x)X(x)0,Y(y)Y(y)0，u(0,y)X(0)Y(y)0X(0)0，同理 X(a)0，所以，X(x)是如下二阶常微分方程边值问题的解函数：

2X(x)X(x)0nn

,X(0)0,X(a)0aXn(x)sinnyanxa，Y(y)nY(y)0Y(y)Yn(y)Ancoshny，Bnsinha设原定解问题的解为：u(x,y)n1(AncoshnyaBnsinhnya)sinnxa，则

0u(x,0)n1AnsinnxaAn0(n1,2,)，xasinxa2au(x,b)nban1aBnsinhnbasinsinnxadx，所以，Bn(sinh)1xa0sinxanxanb2

sinha11(1)n1(1)n(n1)2(n1)2(n2,3,)

axbxxb

B1(sinh)1sinsindx2sinh0aaaaaa21。

所以，原定解问题的解函数为u(x,y)n1Bnsinhnyasinnxa，其中的Bn由以上式子给出。11．求解边值问题

uxx(x,y)uyy(x,y)k(0xa,

u(0,y)0,u(a,y)0u(x,0)0,u(x,b)00yb)，提示：令u(x,y)v(x,y)w(x),而w(x)满足条件w(x)k,w(0)w(a)0。解：令w(x,y)k2x(xa),v(x,y)u(x,y)w(x,y)，则

vxx(x,y)uxx(x,y)wxx(x,y)uxx(x,y)k，vyy(x,y)uyy(x,y)wyy(x,y)uyy(x,y)

所以，uxx(x,y)uyy(x,y)kvxx(x,y)vyy(x,y)0，u(0,y)0,u(a,y)0v(0,y)0,v(a,y)0，u(x,0)0,u(x,b)0v(x,0)k2x(xa),v(x,b)k2x(xa)

所以，u(x,y)是原定解问题的解的充要条件是v(x,y)是如下定解问题的解： vxx(x,y)vyy(x,y)0（*）v(0,y)0,v(a,y)0，kkv(x,0)x(xa),v(x,b)x(xa)22用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

v(x,y)X(x)Y(y)X(x)X(x)0,n

n,a2Y(y)Y(y)0，Xn(x)sinnxa,nynyYn(y)Anexp()Bnexp()

aa(n1,2,)，v(x,y)vn(x,y)Xn(x)Yn(y)设（*）的解函数为v(x,y)n1(Anexp(nyak2)Bnexp(nya))sinnxa

则

v(x,0)n1(AnBn)sinnxa1x(xa)，v(x,b)n1(AnDnBnDn)sinnxa，（其中 Dnexp(nba)）

若记

Cna2ak20x(xa)sinnxadx2k2aa2n333((1)1)，31nb)1CnAnexp(ABCannn则有： ，11ADBDCnbnbnnnnnBexp()exp()1Cnnaa 12 其中，An,Bn,Cn,Dn由以上各式给出。而题目所给的定解问题的解函数为

u(x,y)v(x,y)w(x,y)v(x,y)12．求解边值问题

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,

u(x,0)0,u(x,b)0u(0,y)y(yb),u(a,y)00yb)k2x(xa)。

解：用分离变量法求解此定解问题：设u(x,y)X(x)Y(y)，由分离变量法的标准过程

nyn可得

n,Yn(y)sinX(x)Y(y)bbX(x)nX(x)0X(x)Xn(x)Anexp(nxb)Bnexp(nxb)(n1,2,)X(x)Y(y)2设原定解问题的解函数为



u(x,y)n1Xn(x)Yn(y)n1(Anexp(nxb)Bnexp(nxb))sinnyb，则由关于x的边界条件可得：y(yb)u(0,y)2bn1(AnBn)sinnyb，AnBnb0y(yb)sinnybdy



0u(a,y)nabn1(Anexp(nabnab1b)Bnexp(nab))sinnyb，Anexp(所以

An

Bn2b)Bnexp(2nabb)0，y(yb)sin)1)12b(exp()1)nyb0dy，nybdy，exp(2na)(exp(2nabb0y(yb)sin所以，u(x,y)所以，……。

13.求解混合问题

(An1nexp(nxb)Bnexp(nxb))sinnyb

3x3at2u(x,t)au(x,t)sinsinxxtt2l2l

u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)0,u(x,0)0t(0xl,t0)。

解：用分离变量法求解此混合问题：设原给定的混合问题中的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的满足边界条件的非零解：

u(x,t)X(x)T(t)ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)，ut(x,t)X(x)T(t),utt(x,t)X(x)T(t)，utt(x,t)a2uxx(x,t)0

X(x)X(x)0, 由边界条件可得：u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0，ux(l,t)X(l)T(t)0X(l)0，所以，X(x)是如下边值问题的非零解函数：

X(x)X(x)0



X(0)0,X(l)0X(x)X(x)T(t)aT(t)2

(2n1)求解此问题，可当n时，问题有非零解，其解函数集构成一个

2l2一维线性空间，它的一个基向量函数为X(x)Xn(x)sin令

fn(t)2l(2n1)x2l2lsin，dx，l0f(x,t)Xn(x)dx,fn(t)0,l0sin3x2lsin3at(2n1)x2l则

f2(t)sin3at2l(n1,3,4,5,)

令{Tn(t)}为如下初值问题的解函数： T(t)na2T(t)fn(t)

T(0)0,T(0)0(t0)，（1）

则Tn(t)0(n1,3,4,5,)，对于n=2,可用常数变易法来求：

T(t)2aT(t)0T(t)Acos设（1）的解函数为 T(t)A(t)cos则 T(t)A(t)cos令

A(t)cos3at2lB(t)sin3at2l3at2l3atB(t)sin3a2l2l3at2lBsin3at2l，3at2lB(t)cos3at2l)

(A(t)sin3at2lB(t)sin3at2l0，14 则

T(t)3a2l3a2l(A(t)sin3at2l3atB(t)cos)，2lT(t)(A(t)sin3at2lB(t)cos3a2l3at3at3at3a)B(t)sin)(A(t)cos2l2l2l2l3at2l3at B(t)cos)f2(t)，2l2

T(t)2a2T(t)f2(t)(A(t)sin3at3at(t)cos(t)sinAB02l2l也就是：

，3a3at3at3at(A(t)sinB(t)cos)sin2l2l2l2l求解此线性方程组得：A(t)22l3asin23at2l,B(t)2l3asin23at2lcos3at2l，3atll

A(t)sintc1,l3a3a3atl B(t)cosc2，l3a所以，（1）的解为：

3atl3at3at3atl

T(t)T2(t) tcosc1cosc2sinsin3a2l3a2l2l2l2由初始条件T(0)0,T(0)0可得：c10,2l22lc2，3a3at2l2所以，T2(t)3asin3at2ll3atcos，所以，题目所给的定解问题的解函数为：



u(x,t)14．求解混合问题

n12l23atl3atXn(x)Tn(t)sintcos(3a)22l3a2l3xsin。2l2x2u(x,t)au(x,t)sin(0xl,xxttl

u(0,t)0,u(l,t)03x2xu(x,0)2sin,u(x,0)sintllt0)。

解：作函数变换v(x,t)u(x,t)w(x)，其中w(x)为待定函数，则

vtt(x,t)utt(x,t),vt(x,t)ut(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)w(x)，22

vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)a(uxx(x,t)w(x))

utt(x,t)auxx(x,t)aw(x)，15 设u(x,t)是原定解问题的解函数，2xl取aw(x)sin222xl，则有： 0，即w(x)sinl2a222vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)auxx(x,t)aw(x)sin2xl aw(x)0，2而

v(0,t)u(0,t)w(0)000,3xlv(l,t)u(l,t)w(l)0

v(x,0)u(x,0)w(x)2sin2xl2xl，sin2al2

vt(x,0)ut(x,0)sin，所以，v(x,t)为如下定解问题的解函数： v(x,t)a2v(x,t)0ttxx（*）

v(0,t)0,v(l,t)03xlv(x,0)2sinl2a(0xl,2xsin,l2t0)，vt(x,0)sin2xl用分离变量法求解此定解问题：由分离变量法的标准过程可得： n

n,l2X(x)Xn(x)sinnatlBnsinnatlnxl,，T(t)Tn(t)Ancos设（*）的解函数为

(n1,2,)



v(x,t)n1un(x,t)n1(AncosnatlBnsinnatl)sinnxl，由初始条件可得：2sin3xl2xlv(x,0)sin2al22n1Ansinnxl

l可得： A10,A2,A32,2aAn0(n4,5,)

natllna

vt(x,t)n1nal(AnsinnatlnxlBncos)sinnxl，sin2xlvt(x,0)n1nalBnsinB2,Bn0(n1,3,4,5,)

2atl2at2x3at3xl所以，v(x,t)(，cossin)sin2cossinl2allll2a2所以，题目所给的定解问题的解函数为u(x,t)v(x,t)w(x)。15． 求解混合问题

2x2sinx(0xl,utt(x,t)auxx(x,t)l

u(0,t)t,u(l,t)sintu(x,0)0,u(x,0)(为常数)tt0)。

[注]：此定解问题中的微分方程非齐次项中的sinx应为sint，才能得到书中答案。

解：先将边界条件齐次化：令v(x,t)u(x,t)((sintt)t)，lx则

vtt(x,t)utt(x,t)xlsint,2vxx(x,t)uxx(x,t)，若u(x,t)是原定解问题的解函数，则

vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)2xl2sintauxx(x,t)

xl22

utt(x,t)auxx(x,t)0lsint0，2tt)t)tt0，v(0,t)u(0,t)((sintt)t)tt0，v(l,t)u(l,t)((sinll

v(x,0)u(x,0)00,vt(x,0)ut(x,0)(xl(cos*0))0，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vtt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)0,v(x,0)0t(0xl,t0)v(x,t)0，所以，原定解问题的解函数为 u(x,t)xl(sintt)t

utt(x,t)a2uxx(x,t)3x2tex16． 求解 ux(0,t)t,ux(l,t)u(l,t)tu(x,0)0,u(x,0)1ext(0xl,t0)。

解：作如下函数变换：v(x,t)u(x,t)t(1ex)u(x,t)ttex，若u(x,t)是原定解问题的解函数，则经验证可得：v(x,t)是如下定解问题的解函数： vtt(x,t)a2vxx(x,t)3x2(1a2)tex

vx(0,t)0,vx(1,t)v(1,t)0v(x,0)0,v(x,0)0t(0x1,t0)

用分离变量法求解此定解问题：设v(x,t)X(x)T(t)，T(t)aT(t)2由分离变量法的标准过程可得：

X(x)X(x)X(x)X(x)0，vx(0,t)0,vx(1,t)v(1,t)0X(0)0,X(1)X(1)0 由X(x)所满足的方程可得：X(x)c1cosxc2sinx，由边界条件可得：c20,0，取c11，则得X(x)cos

X(1)X(1)0sincos02所以，nn,X(x)Xn(x)cosnxx，ctg，(n1,2,)，其中，n是方程ctg的所有正解。因为

10cosnxdx22100.5(1cos2nx)dx0.5(1sinn)，2令

fn(t)1sinn21sin2210f(x,t)cosnxdx

1n0((3x)(1a)te22x)cosnxdx

4sinn(1sinn)3n22(1a)sinn1sinn222tbncnt

则

f(x,t)n1fn(t)cosnx，设原定解问题的解函数为v(x,t)Tn12n(t)cosnx，则

vttavxx2(Tn1n(t)aT(t))cosnx2nn1fn(t)cosnx，22从而有：

Tn(t)anTn(t)fn(t)(n1,2,)，由初始条件可得：v(x,0)vt(x,0)0Tn(0)Tn(t)0，所以，Tn(t)为如下初值问题的解函数： 22Tn(t)anTn(t)fn(t)

Tn(0)0,Tn(0)0(t0)

22用常数变易法：Tn(t)anTn(t)0Tn(t)AncosantBnsinant，设此边值问题的解为： Tn(t)An(t)cosantBn(t)sinant，A(t)cosatB(t)sinat0nnnn经简单推导得： ，1A(t)sinatB(t)cosatf(t)nnnnnan1A(t)fn(t)sinantnan解此线性方程级：

1Bn(t)fn(t)cosantan积分并利用初始条件可得：

cn1A(t)((bct)cosatb)sinantnnnn23nanan

，cn1Bn(t)(bncnt)sinant(cosant1)23anan

Tn(t)An(t)cosantBn(t)sinant

1anbn2bncnt1an2(bncosantcnansinant)

an21cosantcnan21tsinatn an所以，u(x,t)Tn1n(t)cosnx，其中的Tn(t)、bn、cn和n均由以上各式给定。[注]课本上的答案为此处的a=1。

ut(x,t)a2uxx(x,t)0(0xl,17． 求解 ux(0,t),ux(l,t)u(x,0)A(A,为常数)t0)。

解：设u(x,t)是原定解问题的解函数，作函数变换v(x,t)u(x,t)x，19 则

vt(x,t)ut(x,t),vx(x,t)ux(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)

vx(0,t)ux(0,t)0,vx(l,t)ux(l,t)0,v(x,0)u(x,0)xAx，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vt(x,t)a2vxx(x,t)0(0xl,t0)

vx(0,t)0,vx(l,t)0

v(x,0)Ax用分离变量法求解此定解问题：设v(x,t)X(x)T(t)为微分方程的满足齐次边界条件的非零解函数，则将v(x,t)代入方程后化简可得：

T(t)aT(t)X(x)X(x)T(t)aT(t)0,2X(x)X(x)0，vx(0,t)0,vx(l,t)0X(0)0,X(l)0，所以，X(x)为如下边值问题的非零解函数：

2nnX(x)X(x)0(0xl)lX(0)0,X(l)lX(x)X(x)cosnxnl(n0,1,2,)

将n代入T(t)的方程可得：

na

T(t)a2nT(t)0T(t)Tn(t)Bnexp(t)lnxna所以，vn(x,t)Tn(t)Xn(x)Bnexp(。t)cosll22(n0,1,2,)，设

v(x,t)n0nxna，Bnexp(t)cosll2则由初始条件可得：Axv(x,0)1l2ln0Bncosnxl

可得：

B0

Bn)0l(Ax)dxA12l，(n1,2,)，nx2ln(Ax)cosdx(1(1))220lln 20 所以，v(x,t)A

12ln12ln22nxna。(1(1))exp(t)coslln2ut(x,t)a2uxx(x,t)f(x)(0xl,18． 求解 u(0,t)A,u(l,t)B(A,B为常数)u(x,0)g(x)t0)。

解：设F(x)(0xx0f(x)dx)dx，w(x)1a2F(x)(AB)aF(l)al22xA，1a2

v(x,t)u(x,t)w(x)vt(x,t)ut(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)

vt(x,t)a2vxx(x,t)ut(x,t)a2uxx(x,t)f(x)0，1a1a22f(x)，v(0,t)u(0,t)w(0)AF(0)(AB)aF(l)al2220A0，v(l,t)u(l,t)w(l)BF(l)(AB)aF(l)al2lA0，v(x,0)u(x,0)w(x)g(x)w(x)，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)g(x)w(x)(0xl,t0)，用分离变量法可求得：



v(x,t)其中，Ann1nxna，Anexp(t)sinll(g(x)w(x))sin22llnxl20dx(n1,2,)。

所以，u(x,t)n1nxnaAnexp(w(x)。t)sinll21．在扇形区域内求解边值问题

u0(ra,0)

u(r,0)0,u(r,)0。

u(a,)f()解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：

1u1u2

u0rurrruru0。r22rrrr2用分离变量法求解此定解问题：设u(r,)R(r)()，代入以上微分方程化简后可rR(r)rR(r)R(r)2得

()()2：

()()0,rR(r)rR(r)R(r)0

u(r,0)R(r)(0)0(0)0, u(r,)R(r)()0()0，所以，()是如下边值问题的非零解函数：

2nn()()0

(0)0,()0()sinnxn(n1,2,)，2n/n/Bnr

rR(r)rR(r)nR(r)0R(r)Rn(r)Anr，n/又显然有：R(0)Bn0，也就是：Rn(r)Anr，所以，un(r,)Rn(r)n()Anrn/sinnsin，n设原定解问题的解函数是 u(r,)n1Anrn/n/，由关于r的边界条件可得：f()u(a,)其

n1Anasinn，中

Anan/20f()sinn2d(n1,2,)，n/nr所以，u(r,)f()sindn10asinn。

u0(1r2,0)22 求解边值问题

u(1,)sin,u(2,)0。

u(r,0)0,u(r,)0解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：

1u1u20rurrruru0

ur22rrrr

2用分离变量法求解：设u(r,)R(r)()代入方程中并化简得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0，()()()0()

u(r,0)0,u(r,)0(0)0,()0，()()0

(0)0,()02n2nn()()sinnn(n1,2,)，将nn2代入R(r)所满足的方程可得：

r2R(r)rR(r)n2R(r)0R(r)Rn(r)AnrnBnrn，n设原定解问题的解函数为 u(r,)Rn1(r)n()(An1nrBnrnn)sinn，nn0u(2,)(An2Bn2)sinnn1由r的边界条件可得：

，sinu(1,)(AnBn)sinnn1容易得到：

AnBn0(n2,3,)，11A12A2B10

3，14B11A1B13所以，u(r,)13r43r1sin。2(ra)uxxuyyy23． 求解边值问题  222uraxy,rxy解：作函数变换 v(x,y)u(x,y)112y，24则有：

vxx(x,y)uxx(x,y),vyy(x,y)uyy(x,y)y 此时，有：

vxxvyyuxxuyyyyy0，所以，v(x,y)是如下边值问题的解函数：

222 23 vxxvyy0(ra)

 14222vxyy,rxy12ra将此定解问题由直角坐标改为极坐标：

r2vrrrvrv0(ra)

1424v(a,)acossinasin12(xrcos,yrsin)，用分离变量法求解此定解问题：设v(r,)R(r)F()，由分离变量法的标准步骤rR(r)rR(r)R(r)2容易得到：

F()F()02，rR(r)rR(r)R(r)0F()F()由v(r,)的实际意义可知：F()是以2为周期的周期函数，R(0) 所以

nn2,F()Fn()AncosnBnsinn(n0,1,2)

22nnn

rR(r)rR(r)nR(r)0R(r)c1rc2r,letRn(r)r，n设

v(r,)Rn0(r)Fn()(An0nncosnBnsinn)r

由关于r的边界条件可得：v(a,)112(An04ncosnBnsinn)a，n而

v(a,)acossin

所以，A013213242asin

12412acos219644a412asin21a,B222196acos4，4a,A224,A4，其余的An、Bn的值均为零。所以，v(r,) u(r,)1324132ar(242124acos212212sin2)1964196rcos4，112rsin。

444ar(124acos22sin2)rcos4u0(ra,0)224.求解边值问题 ur(a,)f()。

u(r,0)0,u(r,)02解：因为其自变量的取值区域是扇形区域，所以可在极坐标系下用分离变量法求解此定 24 解问题，因为，u1rrrur1ur2220，设 u(r,)R(r)()，求出其各阶偏导数并代入方程后化简可得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0 ()()()0()(由u(r,)关于的边界条件可得

(0)0,2)0

()()0n4n2所以

(0)0,()0n()sin2n2(n1,2)

r2R(r)rR(r)4n2R(r)0RRn(r)Anr2nBnr2n

u(0,)Rn(0)Rn(r)Anr2n

设原定解问题的解函数为

u(r,)An1nr2nsin2n，则

ur(r,)2nAn1nr2n1sin2n，由边界条件得

f()ur(a,)从而有：

An2na2n12nAn1na2n1sin2n

/20f()sin2nd

（1）

所以，原定解问题的解函数为u(r,)其中的系数由（1）式给出。

An1nr2nsin2n，uxy(ra,0)225．求解边值问题

ur(a,)f()

222u(r,0)0,u(r,)0,rxy2解：设w(x,y)112xy(xy)，作函数变换v(x,y)u(x,y)w(x,y)，22则

vvxxvyyuxxuyy(wxxwyy)0 在极坐标下：

v(r,)u(r,)w(r,)u(r,)124rsin2，25

vr(r,)ur(r,)

vr(a,)ur(a,)经验算得知：

v(r,0)0,v(r,1616rsin2，asin2，332)0，所以，v(r,)为如下边值问题的解函数：

21v1v(r)20v2rrrr13v(a,)f()asin2r6v(r,0)0,v(r,)02(ra,02)

用分离变量法求解，设v(r,)R(r)()代入方程并化简得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0，()()()0()由关于的边界条件可得：(0)0,(2)0，(n1,2,)，2由此可得： n4n,n()sin2n222n2n

rR(r)rR(r)4nR(r)0RRn(r)AnrBnr，v(0,)R(0)Rn(r)Anrn2n。

设

v(r,)Rn13(r)n()An1nr2nsin2n，则

f()16asin2vr(a,)22nAn1na2n1sin2n，由可求得： v(r,)An1nr2nsin2na12rsin2，2其中，An2na2n1/20f()sin2nd，124rsin2。

u(r,)v(r,)

第二篇：数理方程-分离变量法

第八章

分离变量法

22u2ua0xl,t022tx u(0,t)0,u(l,t)0t0u(x,0)u(x,0)(x),(x)0xlt对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数

分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x、t两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。

分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。

叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。（2）物理上 由叠加原理作保证。例：有界弦的自由振动

1.求两端固定的弦的自由振动的规律

22u2ua0xl,t022tx u(0,t)0,u(l,t)0t0u(x,0)u(x,0)(x),(x)0xlt第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题）令u(x,t)X(x)T(t)

这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。

第二步：代入方程

（偏微分就可写成微分的形式，对于u有两个变量，但对于X、T都只有一个变量）

X(x)T(t)a2X(x)T(t)

变形得X(x)T(t)=  X(x)a2T(t)左边与t无关，右边与x无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。由于x, t 是相互

独立的变量，上式必然等于同一常数。

方程左边为关于x的函数，方程右边为关于t的函数，只有当左右两边都等于常数的时候才成立 令其为（得到的两个常微分方程形式比较标准）

X(x)X(x)0

T(t)a2T(t)0

得到两个常微分方程 第三步：代入边界条件

得到：X(0)T(t)0

X(l)T(t)0，由于是t>0得值，T(t)是一个范围内不固定的值，所以X(0)0

X(l)0

常微分方程含，未知，需要对进行讨论

X(x)X(x)0，X(0)0

X(l)0

特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程子一定条件下的求解问题。特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 第四步：确定特征值并得到它的特征函数 分情况讨论：

1）<0时, 特征方程为R0,特征根为：R- 得通解为X(x)Aex2Bex（A、B为待定系数）

x把定解条件X(0)0

X(l)0代入通解X(x)Ae得到A+B=0

Bex

AelBel0

x于是A=B=0X(x)AeBex即X(x)=0 则u(x,t)X(x)T(t)=0，零解无意义 即<0时，定解问题无解。2）=0时, X(x)X(x)0 有X(x)AxB A=B=0X(x)AexBex即X(x)=0 则u(x,t)X(x)T(t)=0，零解无意义 3）>0时, X(x)X(x)0

令2（为非零实数）

特征方程为R0,特征根为虚数：R-i 通解为X(x)AcosxBsinx（A、B为待定系数）

把定解条件X(0)0，X(l)0代入通解X(x)AcosxBsinx 2X(0)0得到A =0，即X(x)Bsinx X(a)0得到Bsinl0

在B≠0的情况下，有sinl=0，即n为非零实数）

现在就完成了用分离变量法求解X（x）的部分，得到特征值为nn(数为：X(x)Bnsin2n（n=1,2,3，…注意n≠0，若n=0，则=0，0而ln2)，所对应的特征函lnx ln2)代入 l下面求解关于t的常微分方程

T(t)T(t)0，将n(2n22Tn(t)aTn(t)0，这种情况的通解与X(x)X(x)0的>0的情况相同。

l2cos即Tn(t)CnnatnatsinDn

（n=1,2,3，…）

ll至此Xn(x)与Tn(t)都求出来了，所以定解问题的n个特解（这n个特解均满足边界条件）为：

un(x,t)Xn(x)Tn(t)=(CncosnatnatnDnsin)sinx

（n=1,2,3，…）lll根据叠加原理，特解的叠加仍是方程的解，所以得到通解

u(x,t)un(x,t))

i1n=(Cncosi1nnatnatnDnsin)sinx（n=1,2,3，…）lllu(x,0)(x)求解）t其中Cn、Dn为待定系数（利用初始条件u(x,0)(x),第五步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数

u(x,t)(Cncosi1nnatnatnDnsin)sinx lll

u(x,t)t0u(x,0)

Cnsini1nnx(x)l(i1nu(x,t)ti1nt0natnatnanatnCnsinccos)sinxt0 lllllnanDnsinx(x)ll(x)与(x)正是傅里叶正弦级数，Cn、Dn是傅里叶系数。

利用三角函数的正交性

l1cos(2n/l)nlxdxdx 00l22lnm1lnmnmsinxxdx[coscosxx]dx0（m≠n）0ll20lllsin2lmnml得到：(x)sinxdxCnsinxxdxCn

00lll2n0l2lm(x)sinxdx 0lll2lm2lm(x)sinxdx(x)sinxdx 同理，Dnnal0lna0l于是得到：Cn回顾整个求解过程，可作出分离变量法流程图

u|t0(x)u|t0(x)uta2uxxu|x0u|xl0X(0)X(L)0分离变量流程图uT(t)X(x)T'/(a2T)X“/XT'a2T0TAexp(a2t)X”X0Xsinx,nlunTn(t)Xn(x)uu(x,t)2.解的性质

uTnXn

un(x,t)=(Cncos于x的函数）natnatnDnsin)sinx---------方程的特解（前面是关于t的函数，后面是关lllun(x,t)=(CncosnnatnatnDnsin)sinx=Ancos(ntn)sinx llllnaD，narctann lCn22其中：AnCnDn，n当xx0时，un(x,t)=Ansin点的振动方程）。

nx0cos(ntn)---------弦上确定的一点以频率n做振动（弦上某lnx----------某一时刻，特解为正弦函数的形式，所有点l当tt0时，un(x,t)=Ancos(nt0n)sin的位置，波动方程（驻波的方程），每个特解代表一个驻波，因此分离变量法又称为驻波法。

标准的驻波方程：y2Acos2xcost

sinn2x的（驻波）波长为nl（n=1,2,3，…）

nl

频率：fnnna 22lna2T la2ln波速：vnfnn3.分离变量法概要：

（1）作分离变量假设，代入方程和边界条件中得到固有值问题（2）确定固有函数和固有值（3）写出定解问题的特解（4）将特解叠加无，给出通解

（5）用初始条件确定通解系数（傅立叶展开）4.回顾整体思路：

2u(x,0)2u2u(x)

定解问题2a初始条件u(x,0)(x), 边界条件u(0,t)0,u(l,t)0 2ttx22u2ua将假设u(x,t)X(x)T(t)代入方程，此偏微分方程得到两个常微分方程t2x2X(x)X(x)0

T(t)a2T(t)0。

将边界条件u(0,t)0,u(l,t)0代入u(x,t)X(x)T(t)，得到X(0)0、X(l)0，求解已知定解条件的常微分方程X(x)X(x)0的特征值为nn(n2n)，特征方程Xn(x)Bnsinx，llnatnatcossinDn求解T(t)a2T(t)0的特征函数Tn(t)Cn，所以

llnatnatnDnsin)Bnsinx。un(x,t)Xn(x)Tn(t)=(Cncoslll2根据叠加原理，特解的叠加是方程的通解，所以得到：

u(x,t)un(x,t))i1n=

(Cncosi1nnatnatnDnsin)sinxlll，将初始条件u(x,0)(x),u(x,0)(x)代入，求解待定系数Cn、Dn（傅立叶展开）。tx(10x)，求弦做

1000分离变量法的适用条件：任何二阶线性（齐次）偏微分方程

例一：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速度为零，初位移为(x)微小横振动时的位移。

22u4u100x10,t022tx u(0,t)0,u(10,t)0t0x(10x)u(x,0)u(x,0),01000t解：设u(x,t)X(x)T(t)，代入

X1T4 X10T4得到：X(x)X(x)0

T(t)10T(t)0

u(0,t)X(0)T(t)0,u(10,t)X(10)T(t)0

X(x)X(x)0,0x10得到本征值问题：，

X(0)0,X(10)0经讨论20时，有非零解，X(x)AcosxBsinx

X(0)A0,X(10)Bsin100，n2n，n=1,2,3，… 10nn22x 得到特征值：

得到特征方程：Xn(x)Bnsin10100于是：T(t)100n2cos10ntDnsin10nt 2T(t)0，其解为Tn(t)Cnun(x,t)Xn(x)Tn(t)

ncos10ntDnsin10nt)x(Cn10nx =(Cncos10ntDnsin10nt)sin10Bnsinu(x,t)un(x,t))=(Cncos10ntDnsin10nt)sini1n1nnx 10将初始条件u(x,0) Cnsin10nt n1x(10x)

1000210x(10x)nsinxdx运用分部积分法求解 010100010110nx(10x)sinxdx

=5000010n为偶数20=44(1cosn)4

n为奇数5n5n44Cnu(x,0)nanDnsinx0，故Dn=0.tlln1所以uun(x,t))=i1n1n(2n1)4sinx cos10(2n1)t105(2n1)4422u2ua0xl,t022txu(l,t)例二： u(0,t)0,0t0xu(x,0)x22lx,u(x,0)00xlt解：设u(x,t)X(x)T(t)，代入

X1T2 XaT得到：X(x)X(x)0

T(t)a2T(t)0

u(0,t)X(0)T(t)0u(l,t)0x

X(0)0

 u(l,t)X(l)T(t)0xX(l)0

X(x)X(x)0,0xl得到本征值问题：，

X(0)0,X(l)0经讨论0，X(x)AexBex（A、B为待定系数）

x把定解条件X(0)0

X(l)0代入通解X(x)Ae得到A+B=0

Bex

AelBel0

于是A=B=0即X(x)=0 =0时, X(x)X(x)0，有X(x)AxB，A=B=0即X(x)=0 20时，X(x)X(x)0，X(x)AcosxBsinx

X(0)0X(l)0所以n A0

X(x)Bcosl0

(2n1) n=1,2,3，… 2l2(2n1)(2n1)22X(x)Bsinx 写出特征值和特征函数，nn22l4l(2n1)22Tn(t)0 T(t)aT(t)0变为Tn(t)a4l222(2n1)a(2n1)asintDnt，2l2l(2n1)a(2n1)a(2n1)cossintDnt)sinx 所以un(x,t)Xn(x)Tn(t)=(Cn2l2l2lcosTn(t)Cn所以uun(x,t))=(Cncosi1i12nn(2n1)a(2n1)a(2n1)atDnsint)sinx 2l2l2l由初始条件u(x,0)x2lx,u(x,0)0确定Cn、Dn。tu(x,0)Cnsinl(2n1)xx22lx 2l2(2n1)32l22 Cn(x2lx)sinxdx33l02l(2n1)u(x,0)(2n1)a(2n1)Dnsinx0，Dn=0 t2l2luun(x,t))=i1n32l231(2n1)a(2n1)costsinx 32l2li1(2n1)n附录1：二阶常系数微分方程：ypyqy0 特征方程：rprq0 根的三种情况

2r1r2r1r2rri

得到常系数微分方程的通解： yC1er1xC2er2x

附录2：线性方程满足叠加原理。

线性齐次方程（只含未知量的一次项，无零次项）通解为所有线性无关特解的叠加；而线性非齐次方程通解为其特解与相应齐次方程（去掉零次项后的线性方程）通解的叠加。

rxrxyC1eC2xeyex(CcosxCsinx)12附录3：和差化积公式

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

第三篇：9分离富集习题及其答案

第9章 分析化学中的分离与富集方法

思考题答案

1.分析化学中，为何要进行分离富集？如何评价分离效果？

答：将被测组分从复杂体系中分离出来后测定；把对测定有干扰的组分分离除去；将性质相近的组分相互分开；把微量或痕量的待测组分通过分离达到富集的目的，提高测定灵敏度。用回收率（回收因子）和分离率（分离因子）评价分离效果。

2.某水样溶液中含有Fe3+、Al3+、Ca2+、Mn2+、Mg2+、Cr3+、Zn2+和Cu2+等离子，加入NH4Cl和氨水后，哪些离子以什么形式存在于沉淀中？哪些离子以什么形式存在于溶液中？如果加入NaOH溶液呢？

答：加入NH4Cl-NH3缓冲液，pH在8-9间，因此溶液中有Ca2+，Mg2+,，Cu(NH3)42-、Zn(NH3)42+等离子和少量Mn2+，而沉淀中有Fe(OH)3，Al(OH)3和Cr(OH)3和少量Mn(OH)2沉淀。试液中Fe3+，A13+，Cr3+可以与Ca2+，Mg2+，Cu2+和Zn2+等离子完全分开，而Mn2+分离不完全。

3.相对于无机共沉淀剂，有机共沉淀剂有何优点？其进行共沉淀分离有哪些方式？

答：与无机共沉淀剂相比，有机共沉淀剂可经灼烧而除去，被测组分则被留在残渣中，用适当的溶剂溶解后即可测定；有机共沉淀剂的相对分子质量较大，体积也大，有利于微量组分的共沉淀；与金属离子生成的难溶性化合物表面吸附少，沉淀完全，沉淀较纯净，选择性高，分离效果好。

进行共沉淀分离的方式：利用胶体的凝聚作用进行共沉淀；利用形成离子缔合物进行共沉淀；利用惰性共沉淀剂。

4.试说明分配系数和分配比的物理意义，两者有何关系？分配比与萃取率有何联系？如何提高萃取率？

答：分配系数：是溶质在两相中型体相同组分的浓度比（严格说应为活度比）。而分配比：是溶质在两相中的总浓度之比。在给定的温度下，KD是一个常数。但D除了与KD有关外，还与溶液酸度、溶质浓度等因素有关，它是一个条件常数。

D与KD的关系：DcHA,ocHA,w[HA]oHA,o[HA]wHA,wKDHA,oHA,w

D与E的关系：ED100%

DVW/VO提高萃取效率方法：增加有机溶剂量；增加分配比；少量多次萃取。5.何谓相似相溶原理？它在液-液萃取和液相色谱中有何作用？

答：“相似相溶”原则：极性物质易溶于极性溶剂中，非极性物质易溶于非极性溶剂中，碱性物质易溶于酸性溶剂中，酸性物质易溶于碱性溶剂。6.液-液萃取中产生乳浊液的原因是什么？破乳的方法有哪些？

答：因振荡过于激烈，使一相在另一相中高度分散，形成乳浊液；或反应中形成某种微溶化合物，既不溶于水，也不溶于有机相，以致在界面上出现沉淀，形成乳浊液。一般通过采用增大萃取剂用量，加入电解质，改变溶液酸度，振荡不过于激烈等措施，使相应的乳浊液消失。

7.用离子交换法分离两种酸（pKa分别为3和4）的混合试样，问：应选用何种类型的的离子交换树脂？哪一种酸先被洗脱？

答：用阴离子交换树脂，pKa为4的酸先被洗脱。对强酸型阳离子交换树脂交换柱，请预测下列离子用H+洗脱的顺序。①Th4+，Na+，Ca2+，Al3+；②Li+，Na+，K+，Cs+。

答：①Na+>Ca2+>Al3+>Th4+

②Li+> Na+>K+>Cs+

9.离子交换树脂按活性功能基团分类有哪些类型？其交换能力与溶液pH有何关系？什么是离子交换树脂的交联度和交换容量？

答：阳离子交换树脂：强酸型（—SO3H），弱酸型（—COOH、—OH，pH越高，交换能力越大）。阴离子交换树脂：强碱型（季铵基）、弱碱型（伯胺基等），pH越低，交换能力越大）。交换容量是指每克干树脂能交换离子的物质的量（mmol），其大小取决于树脂网的结构上活性基团的数目。交联剂在树脂单体总量中所占质量分数称为交联度。

10.如用BaSO4重量分析法测定SO42-时，大量Fe3+会产生共沉淀，如何消除Fe3+干扰？如用BaSO4重量分析法测定Ba2+时，大量PO43-会干扰，又如何消除？

答：测定SO42-时，Fe3+会产生共沉淀，可通过H+型强酸性阳离子交换树脂，交换除去Fe3+。测定Ba2+时，PO43-有干扰，可通过Cl-型强碱性阴离子交换树脂，交换除去PO43-。11.样品在薄层色谱中展开，5 cm处有一斑点，则10 cm处的斑点是哪一个？

①Rf加倍； ②Rf加倍不变；③样品移行距离加倍；④样品移行距离增加，但小于2倍；⑤样品移行距离增加，但大于2倍。答：①③

12.已知某混合试样A、B、C三组分的分配系数分别为400、450、500，则三组分在液相色谱上的Rf值的大小顺序如何？ 答：Rf(A)< Rf(B)< Rf(C)

习题及其答案

1.在HCl介质中，用乙醚萃取Ga离子时，分配比D=18，若萃取Ga时Vw = Vo，则Ga的萃取率E为多少 ?

ED18100%100%94.7%

DVW/V01812．有100 mL含有I2 10 mg的水溶液，用90 mL CCl4分别按照下列情况进行萃取：(1)全量一次萃取；(2)分三次萃取。求萃取率各为多少？结果说明了什么？（D＝85）解：（1）m1m0VW100100.13mg

DVoVW8590100 E98.7%m0m1100.13100％100％m010（2）m3m0(E100V水)35.4104mg)310(8530100DV有V水m0m1105.4104100％100％99.99%m010少量多次萃取，但萃取次数不易过多。

3.含有OsO4的50.0 mL水溶液，欲用CHCl3进行萃取，要求萃取率达到99.8％以上。若每次使用的CHCl3的体积为10.0 mL，则至少需要萃取多少次？（D＝19.1）解：Em0m1100%99.8% m0∴m1<0.002 m0500.002 19.11050nnm1VWm0DVoVWn4

故至少应萃取4次才能达到题设要求

4.计算相比为0.75、1.5和4时，分配比D分别等于0.1、1.0、10和50时的萃取率，并以E为纵坐标，lgD为横坐标，根据此图，归纳出相比和分配比对溶质萃取率的影响规律。解：(1)

D0.1VW11.76% 0.75 D=0.1时，EDVW/V00.10.75VO同理：D=1.0 时，E=57.14% D=10 时，E=93.02% D=50 时，E=98.52%(2)VW1.5 D=0.1时，E=6.25% VO同理：D=1.0 时，E=40% D=10 时，E=86.96% D=50 时，E=97.09%(3)VW4 D=0.1时，E=2.44% VO同理：D=1.0 时，E=20% D=10 时，E=71.43% D=50 时，E=92.59% 1008060E40200-1012相比：0.75相比：1.5相比：4lgD

相比一定时，D增大，E增大；D相同时，相比增大，E减小。

5．从水溶液中萃取铜离子和钴离子，假定相比为1：3，单次萃取后，实测两相中金属离子浓度为[Cu]o=32.4 g ∙L-1，[Cu]w=0.21 g ∙L-1，[Co]o=0.075 g ∙L-1，[Co]w=0.47 g ∙L-1，试分别计算这两种金属离子的分配比、萃取率和分离系数，并判断此两种金属离子是否被定量分离。解：对Cu2+：D=Co32.4==154.3 Cw0.21ED100%DVW/V0D1D3100%99.79%

对Co2+：D=0.075=0.16 0..47E=32.65% βCu2+ /Co2+=DCu2=964<104 DCo2故：两种金属离子不能被定量分离。

6.称取某R4N+OH-型阴离子交换树脂2.00 g，置于锥型瓶中，加入0.2000 mol ∙L-1 HCl-1 100 mL 浸泡一昼夜。用移液管吸取25.00 mL, 以甲基红为指示剂，用0.1000 mol ∙L-1 NaOH溶液滴定，消耗20.00 mL。计算此阴离子交换树脂的交换容量。解：

交换容量=CHClVHClCNaOHVNaOH2.0100250.20001000.1000204=6 mol ∙g-1

2.07.用8-羟基喹啉氯仿溶液于pH=7.0时，从水溶液中萃取La3+。已知它在两相中的分配比D=43，今取含La3+的水溶液（1 mg ∙mL-1）20.0 mL，计算用萃取液10.0 mL 一次萃取和用同量萃取液分两次萃取的萃取率。

解：已知

m0=20.0mg，Vw=20.0mL，Vo=10.0mL，D=43 用10.0mL萃取液一次萃取时：

m1m0VW20200..89mg

DVoVW431020Em0m1100%=95.55% m0每次用5.0mL萃取液连续萃取两次时：

20=0.14mg m120431020E200.14100%=99.30% 2028.某一弱酸的HA的Ka=2×10-5，它在某种有机溶剂中的分配系数为30.0，当水溶液的（1）pH=1；（2）pH=6时，分配比各为多少？用等体积的有机溶剂萃取，萃取效率各为多少？ 解：(1)pH =1 时，δHA,0 =1 δHA,WH≈1 =KHaHA,WD=KDKD30.0 HA,OE=D100%=96.77% D1(2)(1)pH =6 时，δHA,0 =1 δHA,W=H=0.048 KHaD=KD0.048=1.44 1E=59.02% 9.今有两种性质相似的组分A和B。用纸色谱分离时，它们的比移值分别为0.50和0.68。欲使分离后两斑点中心间的距离为2 cm，滤纸条应取用多长? 解：

a0.50lba=0.18 lbRfB0.68lRfA又b-a=2cm ∴ l> 11.1cm 滤纸条至少为12cm。

10.称取0.5000g氢型阳离子交换树脂，装入交换柱中，用NaCl溶液冲洗，至流出液使甲基橙呈橙色为止。收集全部洗出液，用甲基橙作指示剂，以0.1000 mol∙L-1 NaOH标准溶液滴定，用去24.51 mL，计算树脂的交换容量。

解：用去NaOH溶液的物质的量等于被交换到树脂上Na+的物质的量，也等于树脂上被交换下来的H+的物质的量。

交换容量CNaOHVNaOHG0.100024.514.902(mmol/g)0.5000

第四篇：《变量》读后感

罗老师的跨年演讲，我始终觉得对我来说主要的作用在于推荐书，在听完全版的罗胖跨年演讲后，我就好奇地买了他重磅推荐的《变量》这本书。

《变量》是何帆今年出版的书，据他自己说，要写到2049年，对此我表示好奇，也很八卦地准备观察下去，看是否坚持得到30年，也许，很多读者都是这么无聊地基于这个原因看下去。

这本书用了小趋势的概念，小趋势应该不是本书作者先提出来的，按照美国未来学家马克，佩恩的定义，小趋势就是占人口1%的群体出现的变化。但是作者认为，先有大趋势，再有小趋势，发展初期看大趋势，发展后期看小趋势。未来时代，小众才是主流。

作者通过几个不同的故事来阐述小趋势中的变量，看得出来，成书很新，书中含的故事和案例都很新，延禧攻略都位列其中，作者试图通过每一个故事的解析来说明在观察时代带来的小趋势时，要剥离那些无关紧要的变化，而是关注重要的变化。这样，才能找到变量的密码，读完觉得这本书更像是面对面类似的节目，通过观察找出背后隐藏的规律，通过纷纭的现象找出同理，今年的规律和道理是小趋势，明年是什么？想来作者在忙着选题和分析吧。

第五篇：变量读后感

变量读后感

变量读后感1

《变量》是一本集记录，观察，预测为一体的纪实书。作者想通过树状形的方法论来观察中国在20xx年的发展中所蕴藏的内涵和变量。书有五章，分别阐述了作者写书的立意，其后讲了无人机的应用场景情况，新旧交替及融合的力量，从不同的角度观察城市的建设需求，最后讲了教育的新芽萌发情况。针对这些事物，提出了自己的观点和看法，也提供了我们对与业务在不同场景下的解读。整体的阅读体验与吴晓波先生的视角和文笔大不相同。

吴晓波先生写的《激荡十年：水大鱼大》，主要立意和出发点是在宏观的政治和经济环境下，对具体行业和企业的发展及问题的解读和理解，从而更加的有历史感，会让读者读之感觉于我心有戚戚焉。而何帆先生的《变量》就是从微观和具体的行业中某一垂直领域的具体产品的应用的解读，从微观见长远，发掘的是现在看起来幼小，未来可能是大趋势的事物。因此二者花开两朵，各表一枝，相以为鉴，从而是自己的对事物的看法更加的立体及实际。

相阅相悦，因为我们对于时间的每一次记录，都是在对过去的点滴检视和反思。汉娜·阿伦特也说过：除非经由记忆之路，人不能抵达纵深。同理，我们的国家为何在记史、写史、读史上有别于其他国家，而且几无遗漏。因为凡是过往，皆为序曲，通过读史、思史、鉴史，我们就会愈发的明白，个人在历史中的渺小和群里力量影响的宏大。虽然个人力量的渺小确实是一个限制性因素，但是我们却不必妄自菲薄，个人的力量在历史中，确实有关键的作用的。

从大处说，我们是需要史官记史写史，而从个人角度而言，我们写日记的目的也在于此。日记其实就是一个人的个性化历史记录本，虽然行文和表述因个人的语言词语水平有高下之分，但是其对于历史的意义却是一样的。通过日记，我们能从中寻觅到个人的发展和变化的历程，同时也是非常个性化的历史表达。

回到《变量》本书，其中对于主要领域中的垂直市场中的观察，如无人地带无人机，社群及社群的新模式，素质教育的变化及萌发地方，进而论述了主要变量潜藏的地方和我们应该关注的地方。虽然萌芽虽小，但是未来的潜力却是无穷的。同时也给在城市生活得焦虑不已的我们，道明了一个新的道路和方向。

最后，我提一个小问题，习惯于城市便利生活的我们，是否还保留对新事物感知的好奇心和自我突破的勇气？

变量读后感2

我们的世界处于不断变化中，历史向来都是一个“反转大师”，未来出现的一系列变化将挑战我们的认知，而我们更要像细致地观察一颗树一样观察历史，从每年长出的“嫩芽”中去感受中华文明这棵大树的生命力。

中国是一个拥有五千年文化的文明古国，自古以来，人们都喜欢用河流来形容历史，那是因为文明的起源大多在河流岸边，长河模式作为一种历史观，会给我们坚定的方向感，因为我们知道河流不管如何最终一定会汇入大海。如果拉长历史的视野，你会发现所熟悉的那个过去的时代是极其特殊的，历代中国人用勤劳和智慧描绘出了中华民族无数壮丽的画卷，那是个草莽英雄出没的时代，前人的经验和教训值得我们学习和思考，但那个时代已经一去不复返，旧的事物会被清除，新的事物也会落伍，寻找能够带来“反转”的“新新事物”，在迎接和拥抱新变化的同时，找到适合自己的发展路径。

“在一个所有人都赞美创新的年代，让我们先向传统致敬。创新没有止境，但传统定义了创新的底线。”这段话出自本书的第三章“老兵不死”，通过讲述海尔的老兵张天鹏的故事提出了“企业必死，生态永存”。在参加完达沃斯世界经济论坛之后，张瑞敏就预见了互联网行业的侵入，于是他尝试了很多种方法，从邀请互联网企业请教自己怎么做到去海尔化，我们看到了一个企业摒弃原来那种圈定接班人的做法，变成了一个生生不息的生态系统。传统行业的老兵早已悄悄穿上了新的军装，而新兴的产业正在积极的向传统产业学习，新兴行业和传统产业的边界，也许并没有我们想象的那般泾渭分明。

在更迭如此迅速地时代，不仅企业需要不断创新以满足市场的需求，个人也是如此。在现实生活和工作中，很少有人将各种主意、构思表露出来，并付诸于实践，这样做其实埋葬了许多初萌发的创新闪光点，习惯了用新思维去思考问题，实际上激发出一些创新构思相对是比较容易的事情，而真正利用这些构思所作出卓有成效的实际创造性的工作相对很难。由此来看，我们更需要在实际坚持理念中奋战到底。

怀念历史不如亲自去感知历史，与其说从历史中找到经验与教训，不如学会从慢变量中寻找小趋势，也许我们目前看到的只是冰山一角，未来冰山可能会浮出水面，成为下一个时代的慢变量，把握这些，就是何帆老师这本书对我们最大的意义。

变量读后感3

翻开这本书，不禁惊叹于身为一名经济学家的何帆具有如此强大的文字功底和知识储备，何帆首先从如何观察齐鲁平原上的树入手，告诉我们窥见真相的全貌的方法是在慢变量中寻找小趋势。

快变量韶光中间社会和经济快速发展的表象，也是我们唾手可得的信息，而慢变量则是给中国经济带来阻力的工业化，城市化，创新技术，找到了小趋势，我们才能有信心，何帆为我们找到了全书最重要的一部分：五个变量，分别是：大国博弈，技术赋能，新旧融合，自上而下，重建社群。

过去的三十年里中国经济快速发展，国际环境的变化，尤其是20xx年中美贸易摩擦引起的中国外部环境的恶化，那么中美关系可以修复吗？可以，作者认为中美未来都会遇见挑战：“人工智能的到来”

首先我们问自己一个问题：“如果你是一家新技术初创公司的CEO，你最关心的问题是什么？技术的研发？那可能是一个误区，我们需要知道的是除了极少性突破技术外，大部分技术的应用都是已有技术的混搭，何帆用此详细的叙述了无人机在新疆的应用。事实上，一个“混搭“技术需要通过选择——适应——改造。寻找应用场景从而适应市场环境。

在介绍新旧融合这个变量的时候，何帆用到了一个词“老兵不死”出自麦克阿瑟的著名演讲《老兵不死》，在演讲中，麦克阿瑟是怀着伤感的情绪来表达一个老兵的哀鸣，如同苍老掉队的孤雁，亦或是如如草原上垂垂老矣的孤狼，而在这本书里的一部分，变量之新旧融合则想表达：面对着兵强马壮，如狂风般袭来的互联网大军，“老兵”—海尔和一汽们并没有被打的丢盔弃甲，而是依靠传统制造业多年积累夏利的技术优势，流程管理优势和生产工艺优势，穿上了新的“军装”，展开了绝地反击。比如，海尔依靠创造生生不息的生态系统依旧屹立不倒，一汽红旗通过新的电动汽车重新杀进战场。

第四个变量—自下而上，何帆想表达的是在城市化中自上而下的力量已经逐渐浮出水面。但中国在过去二三十年的城市化实质上是一种政府主导，自上而下的城市化。如今，一些信号，土地流拍，房企改名和城市收缩已经表明，这种短短二三十年飞速发展的城市化模式已经无法持续。如果我们吧目光投向在一些相对不是那么受到关注的城市就会发现，哪里的自上而下的城市化正在悄无声息的进行着。何帆用很长的篇幅描写了东莞的城市形态和子义乌打拼的林哥的故事。我看到了这两个城市有着共同的'特点—活力和生命力。

变量读后感4

叔本华曾说：“坏的东西无论如何少读也嫌太多，而好的作品无论怎样多读也嫌太少。”我很庆幸，选择了何帆老师的作品《变量：看见中国社会小趋势》作为20xx年的第一本书。

本书开篇就为我们展现一个宏观世界，从大国博弈、技术赋能、新旧融合、自下而上、重建社群五个社会发展方向，站在冲击与反转的角度，在“慢变量”中寻觅那看不见的小趋势，以社会底层变化为依据，无论是建筑学教授何志森、海尔产品研发部张天鹏、范家小学李娜、新疆农田中的无人接还是昆明酒店的AI机器人、收缩与扩张下的东莞和义乌，都是作者有意放大后的慢变量，以局部分动态投射出整体变化，好比从大树的嫩芽和新枝去探究母体的生命力，意图就是让更多的人看见这个世界的发展趋势，因势利导，顺势而为，乘势而上，从而推动社会更好更快的发展。

势从何来，黄远庸早在《内外之形势》中就有提到：“该处市面，极为恐慌，乱机日深，皆由此等草灰蛇线而来。”我们感叹世间万物变化无常，但变化又岂能未有征兆，草蛇有痕，灰线有印，事物的发展趋势早在千里之外就为我们埋下伏笔，秋来之前还有叶变黄而落的过程，事物的发展也不是一蹴而就的事情，只有当量变积累到一定程度才会引起质变，量变的过程就是我们所说的的走势。而大千世界的我们需要一双善于发现的眼睛，见一叶落而知岁之将暮，重点就在于“见”，在保持置身事外的冷静基础上，准确的分析与思考，才能得“势”。

趋势，是我阅读完这本书后想到的最多词。顺势而为，犹如乘风而上，逆风飞翔注定负重前行。临时占道停车行业的出现就是一种城市发展的需求导向，随着一个城市的经济发展和生活水平的提高，人民出行方式得到改变。据新华社报道，截止20xx年末，南昌市汽车保有量达97万辆，占全省汽车保有量的20.4%，较20xx年末增加11万辆，同比增长12.1%。出行变得更加方便但停车却成为老大难，停车的需求要求城市必须发展临时占道停车行业，而市政资产所属停管公司也顺应时代，始终致力于有效解决南昌市城区机动车临时停车需求，立足于改善城区交通拥堵的现状，不断提升城市静态交通管理水平，为创建文明城市贡献自己的一份力。

发展是趋势，科技是第一生产力，近年来，停管公司不断探索发展新方向，为停车服务注入新鲜血液，目前已在部分停车泊位试行智慧停车系统，未来将充分利用“互联网+”的形式，让南昌临时占道停车开启智慧模式，让停车变得更加便捷，让服务更加优化。

没有方向的船只，任何方向都必将是逆风，找准自己的定位和方向，社会需求也是对我们的要求。