《变量》的读后感（通用）（最终5篇）

第一篇：《变量》的读后感（通用）

《变量》的读后感（通用9篇）

细细品味一本名著后，相信大家的收获肯定不少，这时就有必须要写一篇读后感了！现在你是否对读后感一筹莫展呢？以下是小编收集整理的《变量》的读后感（通用9篇），欢迎阅读与收藏。

《变量》的读后感1

这是新学期翻开的第一本书。选择这本书的原因，并不仅仅因为完成硬指标，更多地是因为这本书的作者，何帆老师。

这本书与其说是书，更不如说是年度报告，写的是2019年的变化，并深刻分析其中的原因并将其总结为五个变量，分别是：大国博弈，技术赋能，新旧结合，正上而下和重建社群。每一个变量中都有作者走过的城市，体验的生活方式，采访的人，并写出了我们看见的文字。我拿其中一个变量简单的来说，“自上而下”。“自上而下”说的是城市的变化。区城市中心化可能是城市发展中“精简收缩”的趋势。

随着科技的进步和交通的便捷，可能越来越多的人未来生活的半径将要变小，同样城市的建筑不再以“位置”经济为交通。打开网红点，各种苍蝇馆子等已经在朋友圈中很常见。

东莞就是一个未来城市发展的趋势，东莞的城市中心在哪里？这个问题连东莞市规划局的工作人员都没有办法回答。东莞市下面直接是镇，共三十三个。每个镇都有一个支撑城镇发展的产业。东莞流行的说法是，市里没有镇里有钱，镇里没有村里有钱。市里有时候会向镇要钱，可想而知，自上而下的行政命令就没有那么好使了。

有的时候，由中心不如没有中心。不少省会城市反而不如非省会城市有多样性和活力。比如广州和深圳，南京和苏州，济南和青岛，自己在城市内部和自己的生态圈子，从单核城市变成自下而上的生长，是一种生命的活力，是城市的发展，也是个人发展。

我不懂经济，但是我生活的这个国家，这些作者观察的变化，也是我正在经历的，人口老龄化，经济救援，各个城市的“抢夺人才”大战等。碎片化时间。碎片化警示，碎片化时代，很像孔子所处的时代，一切的体系，似乎都没有体系。

看完这本书，突然很激动。这也许是不想战争时代，但是经济的战争已无声的形式打响。

赢，是什么样子？

没人知道。

但是，时势造英雄，每个个体因此而有机会，成为或则个时代的主角。

《变量》的读后感2

何帆老师的写作脉络是想要写出像美国记者威廉曼彻斯特写的《光荣与梦想》这样的书，于是在罗振宇的推动下他就写了，而且从2018年起，每年写一本，一共写30年，讲述这个时代的中国故事。为了写好这些故事，他给自己制定了7条规则以诫勉自己。

1、未来30年用最多的精力，最大的热忱来写。

2、采访和观察由他自己和团队完成，写作由他自己完成，写不动了就指定接班人。

3、写平凡人做的不平凡的事。

4、尽可能采用第一手资料来做研究。

5、坚持独立的个人观点。

6、保留自己对书稿的最终修改权。

7、书中不含任何植入、商业推广、宣传。

要想做好一件事，首先要有想法和点子，还要有热忱，时间和精力最大的投入，坚持个人观点的独立，深入做研究，得到第一手的资料，坚持自己的立场和修改权，制定适应的原则并坚持做到，是最好事的最大保证。

《变量》的读后感3

这是2019年读的第一本书，也是非常喜欢的一本。首先，我很喜欢何帆老师，他在得到的大局观可能就让我获益匪浅，他总是具备全球的视野，从历史的纵深和空间的多维纵横相交，建立一个坐标抽，同时又能够以学者深入研究的态度展现局部最生动的细节。

这是鹰眼的视角。同时他也采用了所有文学著作和历史著作最优的记录方法：展示真相的视角，却能窥见真相的全貌。

本书的观察方法也很特别，采取观察一棵树的方法论来细致观察中国的变化。通过观察嫩芽和新枝，并不管把目光拉回母体，才能更好感知中国这棵大树的生命力。以这样严谨而又独特的方式呈现出的中国历史必然是宏大的、生动而又独特，让人充满惊奇、叹服，又看到中国社会发展的希望，从小趋势里看见到城市和个人发展的方向，是一本鼓舞人心，给人信心的好书。

一本好书，值得一读再读。

《变量》的读后感4

近期，读了何帆的《变量》，感受颇深。

在开篇中，作者就强调，过去的2019年是中国局势变化巨大的一年。这一年，中美展开了贸易战，中国的5G技术在世界引起轰动，华为孟晚舟被捕于温哥华，中国距离全面建成小康社会仅剩两年。我首先是有感于国家局势的变化莫测，也为自己身为一名大学生对国内。国际形势的模糊不清感到一些愧疚。

作者说，自己要每年写一本书，要写成30本书。我敬佩作者的抱负，这不仅是他本身，更是在于他的记录。倘若我们中年后，回顾近30年中国的发展历程，这一系列的书可以为我们作为回忆录。做时代的记录者，这正是作者的伟大之处，正如何帆所言：“我的写作目期只有一个，那就是唤醒你的方史感，让你能够更好地理解自己的命运以及自己所处的时代。”

随着深入的阅读，我了解到了何帆所调”变量”的含义。变量分为”快变量”和“慢变量”，历史是由快变量决定的，也是由慢变量决定的，但归根结底是由慢变量决定的。慢变量是指那些细微的变化，但却不可忽略，一但打开就无法合上，推动历史进程。

作者提出了“大国博突”、“技术赋成”、”新旧融合”、”自上而上”、”重建社群”这五个变量，接下来对这五个变量引起的质变进行了举例和分析。这五个变量中，我感触最深的是“新旧融合”。在书中，何帆提出了“老兵不成”的观点，也就是传统产业在当代社会作占据着重要地位。近年来，新兴技术蓬勃发展，但期间也暴露出诸多问题。新兴技术在发展的同时，也要做到的重要一点是向传统产业学习经验。做到新旧融合，不能急于求成。

“野火烧尽，新木丛生”，这些变量正是野火烧尽后留下的种子，正如生物中的次生演替，这些种子在时代的大环境下，必能生根发芽，茁壮成长，长成参天大树，荫蔽一方水土。

《变量》的读后感5

这本书也给我了很多写作的启发，写作内容要写平凡人不平凡的事，要有宏大的视角，细致而又生动的观察，通过展示真相的一角，让人窥见真相的全貌。叙述方式可以按时间顺序，写出历史事件的来龙去脉，像河流一样奔流而出。

写作最好给个人以历史感，跨越不同圈子的界限，理解社会的全貌，一窥历史的端倪，了解了历史的进程才能更好的活在当下。

这样宏大而又细致的写作方式很像曹雪芹的《红楼梦》，给人历史感，宏大的历史社会背景，却有着极其细致生动的局部描写，写的是平凡人，做的确实不平凡的事，故事的.冲击与反转，总是耐人寻味，却又给人无限启迪。自己的写作，不能瞎写，没有一手资料的研究，人云亦云，不能坚持独立的观点就不会有创新，这是严肃、专业对待写作、写书的态度。这是一个高目标，严要求。

在这样规则的要求的下，写的来的东西必然也会与众不同。说到底，还是一个写作人的选择，最终也会成为他的自由。

《变量》的读后感6

翻开《变量》这本刚刚出版的书，不禁惊叹于身为一名经济学家的何帆具有的强大的文字功底和丰富的知识储备。何帆首先从如何观察齐鲁平原上的树入手，告诉我们窥见真相全貌的方法是在慢变量中寻找小趋势。

快变量是中国社会和经济快速发展的表象，也是我们唾手可得的快信息，而慢变量则是给中国经济带来助力的工业化、城市化和技术创新。找到了慢变量，我们可以找到定力。找到了小趋势，我们才能看到信心。何帆为我们找到了全书最重要的一部分：5个变量，分别是：大国博弈、技术赋能、新旧融合、自下而上和重建社群。

大国博弈是何帆找到的第一个变量。过去30年中国经济快速的发展，国际环境的变化尤其是2018年中美贸易摩擦引起了中国外部环境的恶化。那么中美关系能够修复吗？可以，作者认为是中美未来都会遇到的挑战：“人工智能的到来。”

技术赋能。首先，我们问自己一个问题：如果你是一家新技术初创公司的CEO，你最关心的问题是什么？技术研发？那可能是一个误区。我们需要知道的是，除了极少数突破性技术外，大部分技术的应用都是已有技术的“混搭”——把已经存在的技术用一种别人未曾想到的方式重新搭建起来。何帆因此详细的叙述了无人机在新疆的应用。事实上，一个“混搭”的技术需要通过选择—适应—改造，寻找应用场景从而适应市场环境。

在介绍新旧融合这个变量的时候，何帆用到了一个词：“老兵不死”，出自麦克阿瑟的著名演讲《老兵不死》。在演讲中，麦克阿瑟是怀着伤感的情绪来表达一个老兵的哀鸣，如同苍老掉队的孤雁，抑或如草原上垂垂老矣的孤狼。而在书的这一部分，变量之新旧融合则想表达：面对着兵强马壮，如狂风般袭来的互联网大军，“老兵”—海尔和一汽们并没有被打的丢盔弃甲，而是依靠传统制造业多年积累下来的技术优势、流程管理优势和生产工艺优势，穿上了新的“军装”，展开了绝地反击。比如，海尔依靠创建生生不息的生态系统依旧屹立不倒，一汽红旗通过新的电动汽车重新杀进战场。

第四个变量—自下而上，何帆想表达的是在城市化中自下而上的力量已经逐渐浮出水面。但中国在过去二三十年的城市化实质上是一种政府主导、自上而下的城市化。如今，一些信号，土地流拍、房企改名和城市收缩已经表明，这种短短二三十年飞速发展的城市化模式已经无法持续。如果我们把目光投向在一些相对不是那么受到关注的城市就会发现，那里的自下而上的城市化正悄无声息的进行着。何帆用很长的篇幅描写了东莞的城市形态和在义乌打拼的林哥的故事。我看到了这两个城市有着共同的特点——活力和生命力。

什么是重建社群？简单的说，就是将当代社会中一个个“独立”的人再绑在一起，通过社群来增强彼此的认同，重建信任和亲近关系，消除自私、偏见和戾气。可是，与其他几个变量比起来，为什么何帆会把重建社群作为2018年最后一个也是最重要的一个变量呢？我的理解是，近几年来，随着互联网的发展和各类社交媒体的兴起，有越来越多负面的社会现象出现在民众的眼前。而越是在灰暗的背景下，重建社群的努力就显得越鲜亮。

这5个变量：大国博弈、技术赋能、新旧融合、自下而上和重建社群就是整本书的核心所在。身处在这样一个快速变化的时代中，我们在工作中更应该紧跟时代的脉搏，寻找属于自己的“小趋势”，同时，坚持学习，毕竟，未来最成功的人一定是终身学习者。

《变量》的读后感7

罗老师的跨年演讲，我始终觉得对我来说主要的作用在于推荐书，在听完全版的罗胖跨年演讲后，我就好奇地买了他重磅推荐的《变量》这本书。

《变量》是何帆今年出版的书，据他自己说，要写到2049年，对此我表示好奇，也很八卦地准备观察下去，看是否坚持得到30年，也许，很多读者都是这么无聊地基于这个原因看下去。

这本书用了小趋势的概念，小趋势应该不是本书作者先提出来的，按照美国未来学家马克，佩恩的定义，小趋势就是占人口1%的群体出现的变化。但是作者认为，先有大趋势，再有小趋势，发展初期看大趋势，发展后期看小趋势。未来时代，小众才是主流。

作者通过几个不同的故事来阐述小趋势中的变量，看得出来，成书很新，书中含的故事和案例都很新，延禧攻略都位列其中，作者试图通过每一个故事的解析来说明在观察时代带来的小趋势时，要剥离那些无关紧要的变化，而是关注重要的变化。这样，才能找到变量的密码，读完觉得这本书更像是面对面类似的节目，通过观察找出背后隐藏的规律，通过纷纭的现象找出同理，今年的规律和道理是小趋势，明年是什么？想来作者在忙着选题和分析吧。

《变量》的读后感8

寒假期间，阅读了罗振宇推荐的《变量》一书，读后很受启发。这本书由北京大学汇丰商学院何帆教授所著，200多页的内容让我读后感觉意犹未尽，现将相关感受与大家分享。

一、小趋势与慢变量

《变量》对于小趋势有这样一段论述“在小趋势里面的人觉得这是一片海，在小趋势外面的人则觉得这是一滴水。不过，这些群体虽然人数相对较少，但更为团结，观念更一致，更喜欢尝试一些与众不同的东西，而且他们同气连声，彼此鼓励和支持，形成了一个线上和线下的立体网络，这样就能成倍地放大其力量”。这让我对教育有了进一步的认识。首先，作为教师，要率先发现小趋势，进而引导自己的学生提高学习的预见性；同时，在未来时代，小众才是主流，要培养学生的自身特长，尊重学生之间的差异，让这些慢变量逐渐成长，进而成为推动社会不断进步的主流。

二、“群众路线”与赋能

书中对“群众路线”的意义的描述是“一种整合了工程师红利和市场红利，专注于应用技术的快速应用，再从应用技术反作用于核心技术，用强大的市场力量诱使核心技术与自己一同演进的战略”，对于教育事业而言，我们也应该坚持走“群众路线”，让更多的家长和群众认同我们、理解我们，只有拥有了强大的群众基础才能在育人之路上越走越远。同时，我们需要学会“赋能”，极飞公司在无马拉松人地带找到了无人机应用的广阔空间，作为我们教育工作者，需要为更多的普通人赋能，并进一步创造出新的需求，组建一个更生机勃勃的生态系统。

三、新与旧

何帆教授认为，我们目前处在一个新的时代，同时这也是一个旧的时代，新旧势力在冲突和融合中发生变化。教育工作中，新旧思想此起彼伏，但沉下心来，仔细思考，我们可以察觉到，原来新与旧之间并没有一条清晰的界限。有时候，老兵不死，只是穿上了一身新的军装，而新兴思想也正在积极向传统文化学习。

教育工作，需要吐故纳新，也需要坚持优良传统，我们应该让学生差异化发展，但是也应该教授每一名学生在分工的基础上有协作；在当今瞬息万变的社会中，身为教师的我们，更应该帮助学生分析好哪些是我们需要坚持到底的，哪些是我们需要改变创新的，进而真正实现更好地“传道、授业、解惑”。

《变量》的读后感9

《变量》是一本集记录，观察，预测为一体的纪实书。作者想通过树状形的方法论来观察中国在2018年的发展中所蕴藏的内涵和变量。书有五章，分别阐述了作者写书的立意，其后讲了无人机的应用场景情况，新旧交替及融合的力量，从不同的角度观察城市的建设需求，最后讲了教育的新芽萌发情况。针对这些事物，提出了自己的观点和看法，也提供了我们对与业务在不同场景下的解读。整体的阅读体验与吴晓波先生的视角和文笔大不相同。

吴晓波先生写的《激荡十年：水大鱼大》，主要立意和出发点是在宏观的政治和经济环境下，对具体行业和企业的发展及问题的解读和理解，从而更加的有历史感，会让读者读之感觉于我心有戚戚焉。而何帆先生的《变量》就是从微观和具体的行业中某一垂直领域的具体产品的应用的解读，从微观见长远，发掘的是现在看起来幼小，未来可能是大趋势的事物。因此二者花开两朵，各表一枝，相以为鉴，从而是自己的对事物的看法更加的立体及实际。

相阅相悦，因为我们对于时间的每一次记录，都是在对过去的点滴检视和反思。汉娜·阿伦特也说过：除非经由记忆之路，人不能抵达纵深。同理，我们的国家为何在记史、写史、读史上有别于其他国家，而且几无遗漏。因为凡是过往，皆为序曲，通过读史、思史、鉴史，我们就会愈发的明白，个人在历史中的渺小和群里力量影响的宏大。虽然个人力量的渺小确实是一个限制性因素，但是我们却不必妄自菲薄，个人的力量在历史中，确实有关键的作用的。

从大处说，我们是需要史官记史写史，而从个人角度而言，我们写日记的目的也在于此。日记其实就是一个人的个性化历史记录本，虽然行文和表述因个人的语言词语水平有高下之分，但是其对于历史的意义却是一样的。通过日记，我们能从中寻觅到个人的发展和变化的历程，同时也是非常个性化的历史表达。

回到《变量》本书，其中对于主要领域中的垂直市场中的观察，如无人地带无人机，社群及社群的新模式，素质教育的变化及萌发地方，进而论述了主要变量潜藏的地方和我们应该关注的地方。虽然萌芽虽小，但是未来的潜力却是无穷的。同时也给在城市生活得焦虑不已的我们，道明了一个新的道路和方向。

最后，我提一个小问题，习惯于城市便利生活的我们，是否还保留对新事物感知的好奇心和自我突破的勇气？

第二篇：变量读后感

变量读后感

变量读后感1

《变量》是一本集记录，观察，预测为一体的纪实书。作者想通过树状形的方法论来观察中国在20xx年的发展中所蕴藏的内涵和变量。书有五章，分别阐述了作者写书的立意，其后讲了无人机的应用场景情况，新旧交替及融合的力量，从不同的角度观察城市的建设需求，最后讲了教育的新芽萌发情况。针对这些事物，提出了自己的观点和看法，也提供了我们对与业务在不同场景下的解读。整体的阅读体验与吴晓波先生的视角和文笔大不相同。

吴晓波先生写的《激荡十年：水大鱼大》，主要立意和出发点是在宏观的政治和经济环境下，对具体行业和企业的发展及问题的解读和理解，从而更加的有历史感，会让读者读之感觉于我心有戚戚焉。而何帆先生的《变量》就是从微观和具体的行业中某一垂直领域的具体产品的应用的解读，从微观见长远，发掘的是现在看起来幼小，未来可能是大趋势的事物。因此二者花开两朵，各表一枝，相以为鉴，从而是自己的对事物的看法更加的立体及实际。

相阅相悦，因为我们对于时间的每一次记录，都是在对过去的点滴检视和反思。汉娜·阿伦特也说过：除非经由记忆之路，人不能抵达纵深。同理，我们的国家为何在记史、写史、读史上有别于其他国家，而且几无遗漏。因为凡是过往，皆为序曲，通过读史、思史、鉴史，我们就会愈发的明白，个人在历史中的渺小和群里力量影响的宏大。虽然个人力量的渺小确实是一个限制性因素，但是我们却不必妄自菲薄，个人的力量在历史中，确实有关键的作用的。

从大处说，我们是需要史官记史写史，而从个人角度而言，我们写日记的目的也在于此。日记其实就是一个人的个性化历史记录本，虽然行文和表述因个人的语言词语水平有高下之分，但是其对于历史的意义却是一样的。通过日记，我们能从中寻觅到个人的发展和变化的历程，同时也是非常个性化的历史表达。

回到《变量》本书，其中对于主要领域中的垂直市场中的观察，如无人地带无人机，社群及社群的新模式，素质教育的变化及萌发地方，进而论述了主要变量潜藏的地方和我们应该关注的地方。虽然萌芽虽小，但是未来的潜力却是无穷的。同时也给在城市生活得焦虑不已的我们，道明了一个新的道路和方向。

最后，我提一个小问题，习惯于城市便利生活的我们，是否还保留对新事物感知的好奇心和自我突破的勇气？

变量读后感2

我们的世界处于不断变化中，历史向来都是一个“反转大师”，未来出现的一系列变化将挑战我们的认知，而我们更要像细致地观察一颗树一样观察历史，从每年长出的“嫩芽”中去感受中华文明这棵大树的生命力。

中国是一个拥有五千年文化的文明古国，自古以来，人们都喜欢用河流来形容历史，那是因为文明的起源大多在河流岸边，长河模式作为一种历史观，会给我们坚定的方向感，因为我们知道河流不管如何最终一定会汇入大海。如果拉长历史的视野，你会发现所熟悉的那个过去的时代是极其特殊的，历代中国人用勤劳和智慧描绘出了中华民族无数壮丽的画卷，那是个草莽英雄出没的时代，前人的经验和教训值得我们学习和思考，但那个时代已经一去不复返，旧的事物会被清除，新的事物也会落伍，寻找能够带来“反转”的“新新事物”，在迎接和拥抱新变化的同时，找到适合自己的发展路径。

“在一个所有人都赞美创新的年代，让我们先向传统致敬。创新没有止境，但传统定义了创新的底线。”这段话出自本书的第三章“老兵不死”，通过讲述海尔的老兵张天鹏的故事提出了“企业必死，生态永存”。在参加完达沃斯世界经济论坛之后，张瑞敏就预见了互联网行业的侵入，于是他尝试了很多种方法，从邀请互联网企业请教自己怎么做到去海尔化，我们看到了一个企业摒弃原来那种圈定接班人的做法，变成了一个生生不息的生态系统。传统行业的老兵早已悄悄穿上了新的军装，而新兴的产业正在积极的向传统产业学习，新兴行业和传统产业的边界，也许并没有我们想象的那般泾渭分明。

在更迭如此迅速地时代，不仅企业需要不断创新以满足市场的需求，个人也是如此。在现实生活和工作中，很少有人将各种主意、构思表露出来，并付诸于实践，这样做其实埋葬了许多初萌发的创新闪光点，习惯了用新思维去思考问题，实际上激发出一些创新构思相对是比较容易的事情，而真正利用这些构思所作出卓有成效的实际创造性的工作相对很难。由此来看，我们更需要在实际坚持理念中奋战到底。

怀念历史不如亲自去感知历史，与其说从历史中找到经验与教训，不如学会从慢变量中寻找小趋势，也许我们目前看到的只是冰山一角，未来冰山可能会浮出水面，成为下一个时代的慢变量，把握这些，就是何帆老师这本书对我们最大的意义。

变量读后感3

翻开这本书，不禁惊叹于身为一名经济学家的何帆具有如此强大的文字功底和知识储备，何帆首先从如何观察齐鲁平原上的树入手，告诉我们窥见真相的全貌的方法是在慢变量中寻找小趋势。

快变量韶光中间社会和经济快速发展的表象，也是我们唾手可得的信息，而慢变量则是给中国经济带来阻力的工业化，城市化，创新技术，找到了小趋势，我们才能有信心，何帆为我们找到了全书最重要的一部分：五个变量，分别是：大国博弈，技术赋能，新旧融合，自上而下，重建社群。

过去的三十年里中国经济快速发展，国际环境的变化，尤其是20xx年中美贸易摩擦引起的中国外部环境的恶化，那么中美关系可以修复吗？可以，作者认为中美未来都会遇见挑战：“人工智能的到来”

首先我们问自己一个问题：“如果你是一家新技术初创公司的CEO，你最关心的问题是什么？技术的研发？那可能是一个误区，我们需要知道的是除了极少性突破技术外，大部分技术的应用都是已有技术的混搭，何帆用此详细的叙述了无人机在新疆的应用。事实上，一个“混搭“技术需要通过选择——适应——改造。寻找应用场景从而适应市场环境。

在介绍新旧融合这个变量的时候，何帆用到了一个词“老兵不死”出自麦克阿瑟的著名演讲《老兵不死》，在演讲中，麦克阿瑟是怀着伤感的情绪来表达一个老兵的哀鸣，如同苍老掉队的孤雁，亦或是如如草原上垂垂老矣的孤狼，而在这本书里的一部分，变量之新旧融合则想表达：面对着兵强马壮，如狂风般袭来的互联网大军，“老兵”—海尔和一汽们并没有被打的丢盔弃甲，而是依靠传统制造业多年积累夏利的技术优势，流程管理优势和生产工艺优势，穿上了新的“军装”，展开了绝地反击。比如，海尔依靠创造生生不息的生态系统依旧屹立不倒，一汽红旗通过新的电动汽车重新杀进战场。

第四个变量—自下而上，何帆想表达的是在城市化中自上而下的力量已经逐渐浮出水面。但中国在过去二三十年的城市化实质上是一种政府主导，自上而下的城市化。如今，一些信号，土地流拍，房企改名和城市收缩已经表明，这种短短二三十年飞速发展的城市化模式已经无法持续。如果我们吧目光投向在一些相对不是那么受到关注的城市就会发现，哪里的自上而下的城市化正在悄无声息的进行着。何帆用很长的篇幅描写了东莞的城市形态和子义乌打拼的林哥的故事。我看到了这两个城市有着共同的'特点—活力和生命力。

变量读后感4

叔本华曾说：“坏的东西无论如何少读也嫌太多，而好的作品无论怎样多读也嫌太少。”我很庆幸，选择了何帆老师的作品《变量：看见中国社会小趋势》作为20xx年的第一本书。

本书开篇就为我们展现一个宏观世界，从大国博弈、技术赋能、新旧融合、自下而上、重建社群五个社会发展方向，站在冲击与反转的角度，在“慢变量”中寻觅那看不见的小趋势，以社会底层变化为依据，无论是建筑学教授何志森、海尔产品研发部张天鹏、范家小学李娜、新疆农田中的无人接还是昆明酒店的AI机器人、收缩与扩张下的东莞和义乌，都是作者有意放大后的慢变量，以局部分动态投射出整体变化，好比从大树的嫩芽和新枝去探究母体的生命力，意图就是让更多的人看见这个世界的发展趋势，因势利导，顺势而为，乘势而上，从而推动社会更好更快的发展。

势从何来，黄远庸早在《内外之形势》中就有提到：“该处市面，极为恐慌，乱机日深，皆由此等草灰蛇线而来。”我们感叹世间万物变化无常，但变化又岂能未有征兆，草蛇有痕，灰线有印，事物的发展趋势早在千里之外就为我们埋下伏笔，秋来之前还有叶变黄而落的过程，事物的发展也不是一蹴而就的事情，只有当量变积累到一定程度才会引起质变，量变的过程就是我们所说的的走势。而大千世界的我们需要一双善于发现的眼睛，见一叶落而知岁之将暮，重点就在于“见”，在保持置身事外的冷静基础上，准确的分析与思考，才能得“势”。

趋势，是我阅读完这本书后想到的最多词。顺势而为，犹如乘风而上，逆风飞翔注定负重前行。临时占道停车行业的出现就是一种城市发展的需求导向，随着一个城市的经济发展和生活水平的提高，人民出行方式得到改变。据新华社报道，截止20xx年末，南昌市汽车保有量达97万辆，占全省汽车保有量的20.4%，较20xx年末增加11万辆，同比增长12.1%。出行变得更加方便但停车却成为老大难，停车的需求要求城市必须发展临时占道停车行业，而市政资产所属停管公司也顺应时代，始终致力于有效解决南昌市城区机动车临时停车需求，立足于改善城区交通拥堵的现状，不断提升城市静态交通管理水平，为创建文明城市贡献自己的一份力。

发展是趋势，科技是第一生产力，近年来，停管公司不断探索发展新方向，为停车服务注入新鲜血液，目前已在部分停车泊位试行智慧停车系统，未来将充分利用“互联网+”的形式，让南昌临时占道停车开启智慧模式，让停车变得更加便捷，让服务更加优化。

没有方向的船只，任何方向都必将是逆风，找准自己的定位和方向，社会需求也是对我们的要求。

第三篇：scratch教案——变量

研究课教案

教学目标：

知识与技能：了解变量的定义；学会使用广播；学会设置变量。过程与方法：学会多个角色之间的配合使用；学会程序的调试； 情感态度与价值观：认真细致的态度，严谨的程序思想。教学重点：变量的设置和使用 教学难点：初步了解变量的含义和使用 教学过程：

导入：请一位同学到前面来，玩一个游戏“猫捉老鼠”。这个游戏好玩吗？其实，这个软件的编程并不难，只要了解程序的组成，我们也可以做出来。

哪位同学能为我们解读一下角色“猫”和角色“老鼠”的程序？（学生解读程序）

利用你们玩电脑游戏的经验，说说这个软件有哪些问题或不足？（预期答案：没有计数）

教师：既然是一款益智游戏，就应当有得分的显示。下面，我们来为游戏增加记分的功能。

新知：今天，我们要接触一个新的知识：“变量”。变量的定义：是指没有固定的值，可以改变的数，它可以保存供后续脚本使用的信息。

我们先在变量模块组中，设置一个变量“score”（得分、记分）。虽然在Scratch中对变量的名字没有过多的要求，但是，还是建议名字有具体的意义，便于识别。

对于游戏的记分功能，大家能否给我一些建议？（预期答案：游戏开始，计数为0；抓到1次，计数+1）请你们找到能够实现这两个功能的模块，并结合重复模块，完善程序，实现记分功能。

学生：以小组为单位，探究实现记分功能的方法。教师巡视指导。

（如果学生能够完成）请一位同学，介绍一下他的做法和思路。

（如果学生没有完成）我们大家来分析一下，只需要两个步骤：当点击绿旗开始后，将变量变为0；加入重复+1程序。我们看看效果。

请没有完成的同学，完成自己的游戏程序，并看看效果。小结：在程序中我们引入了一个变量，它代表着一个不断变化的数，并能根据我们的需要计算和存储。（语言描述变量记分的过程）

下面，我们来看“掷骰子”游戏。比一比，看谁的点数多。你们想做一个这样的游戏程序吗？这个程序非常简单，只要大家利用今天学习的变量，就可以制作出来。

大家观察游戏过程，想一想，哪个地方或对象应该用变量？（预期答案：骰子）

下面，我们来分析这个游戏的程序：

因为骰子的不确定性，会随机出现一个1—6之间的数，因此，要设置一个变量，来代替这个数。

游戏中有两个角色，学生和骰子。学生的动作是：让rand1变个数，然后发出掷骰子的命令。骰子的动作是：接到命令后，不断滚动，然后停止，显示对应的点数。

学生的程序包括：点绿旗开始，为rand1随机赋予数（1—6之间的数），发出命令；

骰子的程序包括：接到命令后，变成对应的点数（造型）。

现在以小组为单位，讨论，如何实现学生的程序和骰子的程序。（教师巡视指导，学生探究思考。）

（在学生解决主要程序后）教师问：骰子滚动的效果如何实现？（教师给出提示，学生思考重复的次数）

问：让学生喊出结果如何实现？用到什么模块？（学生解决）

教师小结，梳理学生和一个骰子的程序结构。

拓展：添加一个骰子，要求：点击绿旗，两个骰子不断变化，并随机出现点数，博士读出总点数。（学生动手完成，教师巡视指导）

总结：今天完成了两个程序的设计，同学们，你们都能在Scratch中实现哪些效果？谁能说一下你对变量的了解呢？

第四篇：变量与函数说课稿

变量与函数说课稿

变量与函数说课稿 篇1

一、说教材

本节课是人教版初中数学八年级上册《变量与函数》。本节的主要内容是理解变量与函数的概念。函数是研究客观世界变化规律的重要模型，它实现了从常量 数学到变量数学的转变，它解释了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，函数的学习对学生思维能力的发展具有重要的意义。本节是学习正比例函数、一 次函数、反比例函数、二次函数的基础。学好本节知识为过渡到学习本章正比例函数、一次函数起着铺垫作用。因此，对它的学习一直是初中阶段数学的一个重要内 容。

二、说学情

中学生心理学研究指出，初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。且初二的学生求知欲旺盛，具有强烈的操作兴趣。

三、说教学目标

结合学生现有的认知水平与实际情况，确定本节课的教学目标如下：

1.知识与技能目标：能够运用丰富的实例，在具体情境中领悟函数概念的意义。了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义。

2.过程与方法目标：通过动手实践与探索，参与变量的发现和函数概念的形成过程，提备考析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心。增强对学习的`兴趣和积极参与数学活动的热情。

四、说教学重、难点

根据学生现有水平及新课标的要求，确立本节课的重点和难点如下：

重点：了解函数概念的形成过程，正确理解函数的概念。

难点：理解变量的内涵。

五、说教学方法

(一)教法

现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都需须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用：启发式教学法、问答法、讨论法。

(二)学法

德国教育学家第斯多慧：差的教师只会奉送真理，好的教师则教给学生如何发现真理。在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法：分析归纳法、自主探究法、总结反思法。

六、说教学准备

本节课我准备了多媒体课件。

变量与函数说课稿 篇2

一、教材分析

1、教材的地位和作用

（1）本节课主要对函数单调性的学习；

（2）它是在学习函数概念的基础上进行学习的，同时又为基本初等函数的学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写）

（3）它是历年高考的热点、难点问题

（根据具体的课题改变就行了，如果不是热点难点问题就删掉）

2、教材重、难点

重点：函数单调性的定义

难点：函数单调性的证明

重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并通过小组合作探究的办法来实现重难点突破。（这个必须要有）

二、教学目标

知识目标：（1）函数单调性的定义

（2）函数单调性的证明

能力目标：培养学生全面分析、抽象和概括的能力，以及了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想

情感目标：培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识

（这样的教学目标设计更注重教学过程和情感体验，立足教学目标多元化）

三、教法学法分析

1、教法分析

“教必有法而教无定法”，只有方法得当才会有效。新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教学方法：开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法

2、学法分析

“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的只是。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：自主探究法、观察发现法、合作交流法、归纳总结法。

（前三部分用时控制在三分钟以内，可适当删减）

四、教学过程

1、以旧引新，导入新知

通过课前小研究让学生自行绘制出一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x^2的图像，并观察函数图象的特点，总结归纳。通过课上小组讨论归纳，引导学生发现，教师总结：一次函数f（x）=x的图像在定义域是直线上升的，而二次函数f（x）=x^2的图像是一个曲线，在（—∞，0）上是下降的，而在（0，+∞）上是上升的。（适当添加手势，这样看起来更自然）

2、创设问题，探索新知

紧接着提出问题，你能用二次函数f（x）=x^2表达式来描述函数在（—∞，0）的图像？教师总结，并板书，揭示函数单调性的定义，并注意强调可以利用作差法来判断这个函数的单调性。

让学生模仿刚才的表述法来描述二次函数f（x）=x^2在（0，+∞）的图像，并找个别同学起来作答，规范学生的数学用语。

让学生自主学习函数单调区间的定义，为接下来例题学习打好基础。

3、例题讲解，学以致用

例1主要是对函数单调区间的巩固运用，通过观察函数定义在（—5，5）的图像来找出函数的单调区间。这一例题主要以学生个别回答为主，学生回答之后通过互评来纠正答案，检查学生对函数单调区间的掌握。强调单调区间一般写成半开半闭的形式

例题讲解之后可让学生自行完成课后练习4，以学生集体回答的方式检验学生的学习效果。

例2是将函数单调性运用到其他领域，通过函数单调性来证明物理学的波意尔定理。这是历年高考的热点跟难点问题，这一例题要采用教师板演的方式，来对例题进行证明，以规范总结证明步骤。一设二差三化简四比较，注意要把f（x1）—f（x2）化简成和差积商的.形式，再比较与0的大小。

学生在熟悉证明步骤之后，做课后练习3，并以小组为单位找部分同学上台板演，其他同学在下面自行完成，并通过自评、互评检查证明步骤。

4、归纳小结

本节课我们主要学习了函数单调性的定义及证明过程，并在教学过程中注重培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。

5、作业布置

为了让学生学习不同的数学，我将采用分层布置作业的方式：一组习题1、3A组1、2、3，二组习题1、3A组2、3、B组1、2

6、板书设计

我力求简洁明了地概括本节课的学习要点，让学生一目了然。

（这部分最重要用时六到七分钟，其中定义讲解跟例题讲解一定要说明学生的活动）

五、教学评价

本节课是在学生已有知识的基础上学习的，在教学过程中通过自主探究、合作交流，充分调动学生的积极性跟主动性，及时吸收反馈信息，并通过学生的自评、互评，让内部动机和外界刺激协调作用，促进其数学素养不断提高。

变量与函数说课稿 篇3

一、教材说明

本节课是人教版高中数学必修I第一章《集合与函数概念》1、2、2函数的表示方法，该课时主要学习函数的三种表示方法：解析法，图像法，列表法，以及应用函数的表示方法解决一些实际问题

1、教材所处低位和作用

学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所涉及的问题，而且是加深理解函数的概念的过程。特别是在信息技术的环境下面可以使函数在数与形两方面的方式表示，因而使得学习函数的表示也是向学生渗透数形结合方法的重要过程。

2、学情分析

学生的年龄特点和认知特点

学生已具备的基本知识与技能

二、教学目标

知识与技能

1、进一步理解函数概念，使学生掌握函数的三种表示法：解析法，列表法，图像法

2、能够恰当运用函数的三种表示方法，并借此解决一些实际问题：初步培养学生实际问题转化为数学问题的能力

过程与方法

1、通过三种方法的学习，渗透数形结合的思想

2、在运用函数解决实际问题的过程中，培养学生分析问题的能力增强学生运用数学的意识

情感态度与价值：让学生体会数学在实际问题中的应用，培养学生学习兴趣

三、教学重点，难点

重点：函数的三种表示方法（因为学习本节课的目的就是为了掌握函数的三种不同表示方法）

难点：根据不同的实际需要选择恰当的方法表示函数（因为恰当比较难把握）

四、教法分析与学法指导

本着以“学生发展为本”。引导学生主动参与学习，指导学生学会学习方法，培养学生积极探索的精神，学生为主，教师指导。整个教学过程主要用启发式教学方法，体现“分析”——“研究”——“总结”的学习环节，并以多媒体为教辅手段。通过创设问题情境，营造学习氛围，组织学生讨论，让学生尝试探索中不断发现问题，以激发学生的求知欲，并在寻求解决问题的方法尝试的过程中获得自信心和成功感，在完成知识目标的同时，也完成情感目标的教育

五、教学过程

教学环节

教学环节与教学内容

设计意图

引入定义

表示法，这节课将更深入的了解、探讨这三种表示方法，先回顾函数解析法，图像法，列表法的定义；并给出一些众所周知的例子。例如，解析法：一次函数y=kx+b，二次函数y=ax2+bx+c等，图像法：我国人口出生率变化曲线等；

列表法：国内生产总值表格等

体会函数就在我们身边，这样的过程激发了学生的学习热情，培养了他们的学习兴趣，丰富了血生学习方式

问题情境

例1、某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）个笔记本需要y元、试用三种表示方法表示函数y=f（x）、

从简单的例题入手，初步了解函数的三种表示方法、重点是让学生明白：确定函数定义域是非常重要的；函数的图像并不是只能为连续的曲线，也可以是直线，折线和孤立的点组成，这里的函数图像则由一些孤立的点组成，从而加强学生对函数图像的认识

问题情境

例2下表是某校高一（1）班三名同学在高一学六次数学测试的成绩及班级平均分表。请你对这三位同学高一的数学情况作一个分析

王伟同学的成绩

98，87，91，92，88，95

张城同学的成绩

90，76，88，75，86，80

赵磊同学的成绩

68，65，73，72，75，82

班级平均分

88、2，78．3，85、4，80、3，75、7、82、6

让学生学会选择性的用函数的三种表示方法；先让学生分别用三种函数表示方法试试看，即可见这题最好是通过图像进行分析；通过不同的'分析法，更能突出“形”的优势，并让学生明白并不数所有的函数都能解析法表示

问题讨论

观察前面两个例子，说一说三种表示法各自的优点？

通过实例展示，对学生来说理解函数的三种表示方法是比较轻松的，但对于三种表示法的优点，学生未必能够准确的描述，通过学生讨论与教师的评价过程，能够培养学生用数学语言叙述问题和归纳总结的能力，同时考察同学的自学能力

课堂小结

我们这节课的主要内容是什么？

其中三种函数表示方法各自的优点

回顾整理这节课所学知识，能够是知识更加的料理分明，便于记忆

布置作业

课本P23习题1，3，4；

2（选作）

学生经过以上几个环节的学习，已经初步掌握了函数的三种表示法，有待进一步提高认知水平，因此针对学生素质的差异，设计了有层次的作业，留给课后自主探究，这样即使学生掌握了基础知识，又有余力的学生有发挥空间，从而达到拔尖和减负的目的

六、教学设计说明

本节课实际遵循新课标过程的基本理念：发展学生的教学应用知识，体现数学的文化价值；注意信息技术与数学课程的整合，是学生学习过程中体会用数学的思考方法去解决问题。：以上，我仅从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学过程上说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”。希望各位专家领导对本堂说课提出宝贵意见

八、板书设计

函数的表示方法

一、知识回顾

二、函数的三种表示方法

1、解析法：

2、列表法：

3、图像法：

三、强化新知

例3：

例4：

四、小结及作业

变量与函数说课稿 篇4

一、说教材

1、内容分析：本节课是“反比例函数”的第一节课，是继正比例函数、一次函数之后，二次函数之前的又一类型函数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概念，并进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，从中体会函数的模型思想。因此本节课重点是理解和领悟反比例函数的概念，所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。

2、学情分析：对八年级学生来说，虽然他们已经对函数，正比例函数，一次函数的概念、图象、性质以及应用有所掌握，但他们面对新的一次函数时，还可能存在一些思维障碍，如学生不能准确地找出变量之间的自变量和因变量，以及如何从事例中领悟和总结出反比例函数的概念，因此，本节课的难点是理解和领悟反比例函数的.概念。

二、说教学目标

根据本人对《数学课程标准》的理解与分析，考虑学生已有的认知结构、心理特征，我把本课的目标定为：

1、从现实的情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。

2、经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

三、说教法

本节课从知识结构呈现的角度看，为了实现教学目标，我建立了“创设情境→建立模型→解释知识→应用知识”的学习模式，这种模式清晰地再现了知识的生成与发展的过程，也符合学生的认知规律。于是，从教学内容的性质出发，我设计了如下的课堂结构：创设出电流、行程等情境问题让学生发现新知，把上述问题进行类比，导出概念，获得新知，最后总结评价、内化新知。

四、说学法

我认为学生将实际问题转化成函数的能力是有限的，所以我借助多媒体辅助教学，指导学生通过类比、转化、直观形象的观察与演示，亲身经历函数模型的转化过程，为学生攻克难点创造条件，同时考虑到本课的重点是反比例函数概念的教学，也考虑到概念教学要从大量实际出发，通过事例帮助完成定义。

好学教育：

因此，我采用了“问题式探究法”的教法，利用多媒体设置丰富的问题情境，让学生的思维由问题开始，到问题深化，让学生的思维始终处于积极主动的状态，并随着问题的深入而跳跃。

变量与函数说课稿 篇5

一、教材分析：

反函数这一节在《函数》这章中是一个难点，篇幅不多（课时少），在高考考纲中的要求也比较简单。但我个人这样认为，复习课应尽量把与本节内容相关的新旧知识系统地串在一起，所以在备课时要找一条能把知识点连在一起的线索。这线索就是函数的三要素：

（一）教学目标：

①使学生掌握反函数的概念并能求出简单函数的反函数（考纲要求）。

②互为反函数的两个函数具有的性质，以及这些性质在解题中的运用。

③通过知识的系统性，培养学生的逆向思维能力和逻辑思维能力。

（二）重点、难点：

①重点：使学生能求出简单函数的反函数。

②难点：反函数概念的理解。

二、教学方法：

整节课采用传统的讲解法。

首先要认识反函数应先有函数的概念这知识，用例子来说明反函数的求法以及让学生来完成一题没有反函数的函数，从而得出一个不满足函数定义的关系式，通过分析来得到一个函数具有反函数的条件。这里是用“欲擒故纵”的手法，加深对概念的`理解，也是突破难点的关键。

三、学生学习方法：

学生认识了反函数的求法（步骤），在老师的引导下得出三个结论，并运用这些结论来解题。希望能达到提高学生性质的解题能力和思维能力的目标。

四、教学过程：

（一）温故：函数的概念、三要素

（二）新课：例1：求y=2x+1的反函数

解：

即（x∈R）

注意步骤，新关系式满足从R到R是一个函数关系式。

互这反函数的特点：

①运算互逆；②顺序倒置

例2：y=x2（x∈R）用y的代数表示x

得x=这x不是y的函数，不满足函数定义

若对，y=x2的定义域改为x≥0

可得x=，即y=（x≥0）

当逆对应满足函数定义，原函数才存在反函数。

得到结论①互为反函数的定义域、值域交换

即

分别在同一坐标上画出以上互为反函数的图象

得到结论②图象关于y=x对称

③单调性一致

（三）练习

1、求的反函数，并求出反函数的值域。

2、函数的图象关于对称，求a的值。

讲评：略。

（四）小结：

（五）布置作业：

变量与函数说课稿 篇6

【教材分析】

1、本节教材的地位与作用

本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f（x）在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题。这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义。

2、教学重点

会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值。

3、教学难点

高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法。

4、教学关键

本节课突破难点的关键是：理解方程f′（x）=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点。

【教学目标】

根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的'认知水平，制定本节如下的教学目标：

1、知识和技能目标

（1）理解函数的最值与极值的区别和联系。

（2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f（x），在[a，b]上必有最大、最小值。

（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤。

2、过程和方法目标

（1）了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值。

（2）理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置：极值点处或区间端点处。

（3）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值。

3、情感和价值目标

（1）认识事物之间的的区别和联系。

（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题。

（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神。

【教法选择】

根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用。

本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输。为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学。

【学法指导】

对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用。

【教学过程】

本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈回授”四个环节进行组织。

第五篇：分离变量法习题

第十章习题解答 求解混合问题

utta2uxx0(0xl,t0)0

u(0,t)0,u(l,t)0，其中(x)v00u(x,0)0,u(x,0)(x)t0xccxc cxl解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为u(x,t)X(x)T(t)，则，utt(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)

代入混合问题中的微分方程可得：

X(x)T(t)aX(x)T(t)02X(x)X(x)aT(t)T(t)2

由初始条件可得：u(0,t)X(0)T(t)u(l,t)X(l)T(t)0X(0)X(l)0由此可得，X(x)为如下常微分方程边值问题的非零解：

X(x)X(x)0X(0)0,X(l)0(0xl)



若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为 X(x)c1exp(x)c2exp(x)，代入边值条件后可得c1c20X(x)0，不符合要求。若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为

X(x)c1c2x，代入边值条件后仍可得c1c20X(x)0，不符合要求。若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为 X(x)c1cos代入边界条件后可得： X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx，2xc2sinx，X(l)c2sinl0,X(x)0sinnxlnl0,n，l所以可取 X(x)Xn(x)sin

(n1,2,)由T(t)所满足的方程可得：

T(t)a22T(t)0T(t)Tn(t)ancosnatlnatlbnsinnatl，所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为 u(x,t)un(x,t)Xn(x)Tn(t)(ancosbnsinnatl)sinnxl，设原混合问题的解函数为 u(x,t)n1(ancosnatlbnsinnatl)sinnxl，则由初始条件可得：0u(x,0)n1ansinnxlan0(n1,2,)

 ut(x,t)n1nalbncosnatlsinnxlnxl， (x)ut(x,0)n1natlbnsinbnna2l0(x)sinnxldx，bnna2ccv0sinnxldx2v0lna22(cosn(c)lnxlcosn(c)l)（*）所以，原混合问题的解为 u(x,t)2 求解混合问题

bn1nsinnatlsin，其中的bn由（*）给出。

utta2uxx0(0xl,t0)

u(0,t)E,u(l,t)0

u(x,0)0,u(x,0)0(E为常数）t解：由于边界条件非齐次，需作函数变换如下：设

v(x,t)u(x,t)El(lx)u(x,t)v(x,t)El(lx)，则

vxx(x,t)uxx(x,t),vt(x,t)ut(x,t),vtt(x,t)utt(x,t)，2vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)auxx(x,t)0，v(0,t)u(0,t)

v(x,0)u(x,0)ElEl(l0)u(0,t)E0,v(l,t)u(l,t)00，(lx)El(lx),vt(x,0)ut(x,0)0，所以，u(x,t)是原混合问题的解的充要条件是：v(x,t)是如下混合问题的解：

2vtt(x,t)avxx(x,t)0(0xl,

v(0,t)0,v(l,t)0Ev(x,0)(lx),vt(x,t)0lt0)

（*）

用分离变量法求解此定解问题，由分离变量法的标准步骤可得：



v(x,t)n1(AncosnatlBnsinnatl)sinnxl，代入初始条件可得：，Bn0，An2llEl0(lx)sinnxldx2En(n1,2,)

所以，v(x,t)n12EncosnatlElsinnxl，原混合问题的解函数为u(x,t)3 求解下列阻尼波动问题的解：

(lx)n12Encosnatlsinnxl

utt2huta2uxx0(0xl,t0)

u(0,t)0,ux(l,t)0

u(x,0)(x),u(x,0)(x)t其中，h为正常数，且ha2l。

解：使用分离变量法，设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边界条件：

u(x,t)X(x)T(t)

则容易算得：uxx(x,t)X(x)T(t),ut(x,t)X(x)T(t),utt(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简可得：

T(t)2hT(t)aT(t)2X(x)X(x)

0u(0,t)X(0)T(t)X(0)0，0ux(l,t)X(l)T(t)X(l)0，T(t)2hT(t)aT(t)0

X(x)X(x)0

，X(0)0,X(l)02由X(x)的非零性可得0，此时，X(x)c1cosxc2sinx，X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx，取c21得：X(x)sin2n1l0n

2l22x,X(l)cos2n1将代入T(t)所满足的方程可得：T(t)2hT(t)aT(t)0

l

22n12ha0nh2l2(2n1)ah

2l222

ha2l(2n1)a2lnh(2n1)a2hi2l(n1,2,)

从而有：

T(t)Tn(t)eht(AncosntBnsinnt)，2n1a2l22其中

nh(n1,2,)，（1）

设原混合问题的解函数为：



u(x,t)n1eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)2lx，

(x)u(x,0)ln1Ansinl(2n1)2lx，(2n1)xl(1cosdx，0022l2l22l(2n1)xdx(n1,2,)

（2）所以

An(x)sin0l2l而

sin2(2n1)xdx1ut(x,t)n1eht((hAnnBn)cosnt(hBnnAn)sinnt))sin(2n1)x2l



(x)ut(x,0)1n1(hAnnBn)sin(2n1)x2l，Bnn(hAn2ll0(x)sin(2n1)x2ldx)。

（3）

所以，原混合问题的解是u(x,t)n1eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)2lx，其中的 n,An,Bn分别由（1）式、（2）式、（3）式给出。

4 求解混合问题

uxxLCutt(LGRC)utGRu

u(0,t)0,ux(l,t)0GEu(x,0)E,u(x,0)tC(0xl,t0)

其中L、C、G、R为常数，且LG=RC。（提示：作函数变换u(x,t)exp(Rt/L)v(x,t)）

解：记a21LC,bGCRL，混合问题的微分方程两边同除LC，方程可化为

a2uxx(x,t)utt(x,t)2but(x,t)b2u(x,t)，a22x(u(x,t)exp(bt))t22(u(x,t)exp(bt))，设v(x,t)u(x,t)exp(bt)，则有

a2vxx(x,t)vtt(x,t)，而且，vx(x,t)ux(x,t)exp(bt),()0,所以

v(0,t)u(0,t)expbtvt(x,t)ut(x,t)exp(bt)bu(x,t)exp(bt)，vx(l,t)ux(l,t)expbt()0，vt(x,0)ut(x,0)bu(x,0)0，(0)u(x,0)E, v(x,0)u(x,0)expb所以，若u(x,t)是原混合问题的解函数，则v(x,t)是如下混合问题的解函数：

vtt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,vx(x,t)0v(x,0)E,v(x,t)0t(0xl,t0)

用分离变量法求解此混合问题，设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解为 v(x,t)X(x)T(t)，则

vx(x,t)X(x)T(t)，vxx(x,t)X(x)T(t),vxx(x,t)X(x)T(t), X(x)X(x)T(t)aT(t)2

由齐次边界条件可得，X(x)为如下定解问题的解：

X(x)X(x)0X(x)c1cosxc2sinx，X(0)0,X(l)0

X(0)0c10，取c21得X(x)sinx，X(l)T(t)aT(t)2(2n1)cosl0n2lnT(t)Tn(t)Ancos(2n1)x2l2(n1,2,)，(2n1)at2l

(2n1)at2lBnsin，X(x)Xn(x)sin(n1,2,)，设

v(x,t)n1(Ancos(2n1)at2llBnsin(2n1)at2l)sin(2n1)x2l

代入初始条件可得：An2l0v(x,0)sin(2n1)x2ldx4E(2n1),Bn0，所以

v(x,t)(2n1)n14Ecos(2n1)at2lsin(2n1)x2l

所以，原题目所给的混合问题的解函数为：

u(x,t)exp(bt)n14E(2n1)cos(2n1)at2lsin(2n1)x2l。用固有函数法求解

utta2uxxg(const),

u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)0,u(x,0)0t(0xl,t0)

解：用分离变量法：设原混合问题的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，利用分离变量法的标准步骤可求得： (2n1)

n,2l2X(x)Xn(x)sin(2n1)x2l(n1,2,)

将f(x,t)g展开成Xn(x)的广义Fourier级数如下：

fn(t)2ll0f(x,t)Xn(x)dx2ll0gsin(2n1)x2ldx4g(2n1)，T(t)a2nT(t)fn(t)16gl(2n1)atT(t)T(t)(1cos)n3322l(2n1)aT(0)0,T(0)02[注：方程T(t)aT(t)fn(t)的通解为

Tn(t)Ancos

(2n1)at2lBnsin(2n1)at2l16gl(2n1)a332，代入初始条件即可得此处的结果。] 所以，题目所给的混合问题的解函数为

u(x,t)Tn(t)Xn(x)n1(2n1)16gl3a32(1cos(2n1)at2lt0))sin(2n1)x2l。

ut(x,t)a2uxx(x,t)06．求解混合问题u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)u(const)0(0xl,。

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，则

ut(x,t)X(x)T(t),ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简再由边界条件可得：

T(t)aT(t)2X(x)X(x)T(t)aT(t)0,22X(x)aX(x)0

u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0,ux(l,t)X(l)T(t)0X(l)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的非零解函数：

X(x)X(x)0X(0)0,X(l)0

2(0xl)

(2n1)解之得 n,2lX(x)Xn(x)sin(2n1)x2l(n1,2,)，2(2n1)a

T(t)na2T(t)0T(t)Tn(t)Anexp(t)。

2l设原问题的解函数为

u(x,t)n1(2n1)x(2n1)a，Anexp(t)sin2l2l2由初始条件可得：

u0u(x,0)An1nsin(2n1)x2l4u0，由此可得：

An2ll0u0sin(2n1)x2ldx(2n1)2(n1,2,)，所以，u(x,t)n1(2n1)x(2n1)a exp(t)sin(2n1)2l2l4u0 7 ut(x,t)a2uxx(x,t)0(0xl,7．求解混合问题u(0,t)0,ux(l,t)u(l,t)0u(x,0)(x)t0)

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，则

ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t),ut(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简，并由边界条件可得：

T(t)a2T(t)0,X(x)X(x)0，u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0，ux(l,t)u(l,t)(X(l)X(l))T(t)0X(l)X(l)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的解函数：

X(x)X(x)0(0xl)



X(0)0,X(l)X(l)0由u(x,t)是非零解可得：0X(x)c1cos

X(0)0c10X(x)sinxxc2sinx

(letc21)，X(l)X(l)设

tanlcoslsinl0tanl(n1,2,)，则nn

2

n0所以，X(x)Xn(x)sinnx，22((an)t)

T(t)(an)T(t)0T(t)Tn(t)Anexp(n1,2,)，设原混合问题的解函数为

u(x,t)An1nexp((an)t)sinnx，2利用Xn(x)的正交性可求得 An(x)sin0lnxdx(n1,2,)。

[注]：可以证明：Xn(x)具有正交性。

l0sinnxdx2 8 ut(x,t)a2uxx(x,t)08．求解混合问题u(0,t),u(l,t)u(x,0)u0(0xl,t0)，其中，,,u0为常数。

解：作函数变换 v(x,t)u(x,t)(则

ut(x,t)vt(x,t),lx)u(x,t)v(x,t)(l x)，uxx(x,t)vxx(x,t)，u(0,t),u(l,t)v(0,t)0,v(l,t)0，u(x,0)u0v(x,0)u0(lx)

所以，u(x,t)是原混合问题的解的充要条件是v(x,t)是如下混合问题的解： 2vt(x,t)avxx(x,t)0(0xl,（*）

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)u(x)0lt0)

用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

X(x)Xn(x)sinnxl,naT(t)Tn(t)Anexp(t)，l2

v(x,t)Tn1n(t)Xn(x)n1nxna，Anexp(t)sinll2代入初始条件可得：u0(l2lx)v(x,0)ln1Ansinnxlnxl

由Xn(x)的正交性可得：An

An0(u0(nlx))sindx，2n((u0)(1)(u0))(n1,2,)，2所以，v(x,t)n1nxnan((u0)(1)(u0))exp(t)sinnll2

u(x,t)v(x,t)(lx)。

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,9．求解 u(x,0)x(xa),limu(x,y)0yu(0,y)0,u(a,y)0y0)。

解：用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下满足齐次边界条件的分离变量形式非零解：

u(x,y)X(x)Y(y)，则

uxx(x,y)X(x)Y(y),uyy(x,y)X(x)Y(y)，uxx(x,y)uyy(x,y)X(x)Y(y)X(x)Y(y)0，X(x)X(x)Y(y)Y(y)X(x)X(x)0,Y(y)Y(y)0，

u(0,y)X(0)Y(y)0X(0)0，u(a,y)X(a)Y(y)0X(a)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的解函数：

2X(x)X(x)0nn

,X(0)0,X(a)0aX(x)Xn(x)sinnyanxa，从而有：Y(y)Yn(y)Anexp(又由另一个边界条件可得：

nya)Bnexp()(n1,2,)

（limun(x,y)limXn(x)Yn(y)0An0Yn(y)Bnexpyynya)，设原定解问题的解函数是u(x,y)n1un(x,y)n1Bnexp(nya)sinnxa，则

u(x,0)x(xa)x(xa)n1Bnsinnxa

Bna2a0x(xa)sinnxandx22aannya333((1)1)n(n1,2,)，所以，u(x,y)10．求解边值问题：

4a23n1(1)1n3exp()sinnxa。

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,

u(0,y)0,u(a,y)0xxu(x,0)0,u(x,b)sinaa0yb)。

解： 用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下分离变量形式的满足齐次边界条件的非零解：

u(x,y)X(x)Y(y)，则有：

uxx(x,y)X(x)Y(y), X(x)X(x)Y(y)Y(y)uyy(x,y)X(x)Y(y)，0X(x)X(x)0,Y(y)Y(y)0，u(0,y)X(0)Y(y)0X(0)0，同理 X(a)0，所以，X(x)是如下二阶常微分方程边值问题的解函数：

2X(x)X(x)0nn

,X(0)0,X(a)0aXn(x)sinnyanxa，Y(y)nY(y)0Y(y)Yn(y)Ancoshny，Bnsinha设原定解问题的解为：u(x,y)n1(AncoshnyaBnsinhnya)sinnxa，则

0u(x,0)n1AnsinnxaAn0(n1,2,)，xasinxa2au(x,b)nban1aBnsinhnbasinsinnxadx，所以，Bn(sinh)1xa0sinxanxanb2

sinha11(1)n1(1)n(n1)2(n1)2(n2,3,)

axbxxb

B1(sinh)1sinsindx2sinh0aaaaaa21。

所以，原定解问题的解函数为u(x,y)n1Bnsinhnyasinnxa，其中的Bn由以上式子给出。11．求解边值问题

uxx(x,y)uyy(x,y)k(0xa,

u(0,y)0,u(a,y)0u(x,0)0,u(x,b)00yb)，提示：令u(x,y)v(x,y)w(x),而w(x)满足条件w(x)k,w(0)w(a)0。解：令w(x,y)k2x(xa),v(x,y)u(x,y)w(x,y)，则

vxx(x,y)uxx(x,y)wxx(x,y)uxx(x,y)k，vyy(x,y)uyy(x,y)wyy(x,y)uyy(x,y)

所以，uxx(x,y)uyy(x,y)kvxx(x,y)vyy(x,y)0，u(0,y)0,u(a,y)0v(0,y)0,v(a,y)0，u(x,0)0,u(x,b)0v(x,0)k2x(xa),v(x,b)k2x(xa)

所以，u(x,y)是原定解问题的解的充要条件是v(x,y)是如下定解问题的解： vxx(x,y)vyy(x,y)0（*）v(0,y)0,v(a,y)0，kkv(x,0)x(xa),v(x,b)x(xa)22用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

v(x,y)X(x)Y(y)X(x)X(x)0,n

n,a2Y(y)Y(y)0，Xn(x)sinnxa,nynyYn(y)Anexp()Bnexp()

aa(n1,2,)，v(x,y)vn(x,y)Xn(x)Yn(y)设（*）的解函数为v(x,y)n1(Anexp(nyak2)Bnexp(nya))sinnxa

则

v(x,0)n1(AnBn)sinnxa1x(xa)，v(x,b)n1(AnDnBnDn)sinnxa，（其中 Dnexp(nba)）

若记

Cna2ak20x(xa)sinnxadx2k2aa2n333((1)1)，31nb)1CnAnexp(ABCannn则有： ，11ADBDCnbnbnnnnnBexp()exp()1Cnnaa 12 其中，An,Bn,Cn,Dn由以上各式给出。而题目所给的定解问题的解函数为

u(x,y)v(x,y)w(x,y)v(x,y)12．求解边值问题

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,

u(x,0)0,u(x,b)0u(0,y)y(yb),u(a,y)00yb)k2x(xa)。

解：用分离变量法求解此定解问题：设u(x,y)X(x)Y(y)，由分离变量法的标准过程

nyn可得

n,Yn(y)sinX(x)Y(y)bbX(x)nX(x)0X(x)Xn(x)Anexp(nxb)Bnexp(nxb)(n1,2,)X(x)Y(y)2设原定解问题的解函数为



u(x,y)n1Xn(x)Yn(y)n1(Anexp(nxb)Bnexp(nxb))sinnyb，则由关于x的边界条件可得：y(yb)u(0,y)2bn1(AnBn)sinnyb，AnBnb0y(yb)sinnybdy



0u(a,y)nabn1(Anexp(nabnab1b)Bnexp(nab))sinnyb，Anexp(所以

An

Bn2b)Bnexp(2nabb)0，y(yb)sin)1)12b(exp()1)nyb0dy，nybdy，exp(2na)(exp(2nabb0y(yb)sin所以，u(x,y)所以，……。

13.求解混合问题

(An1nexp(nxb)Bnexp(nxb))sinnyb

3x3at2u(x,t)au(x,t)sinsinxxtt2l2l

u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)0,u(x,0)0t(0xl,t0)。

解：用分离变量法求解此混合问题：设原给定的混合问题中的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的满足边界条件的非零解：

u(x,t)X(x)T(t)ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)，ut(x,t)X(x)T(t),utt(x,t)X(x)T(t)，utt(x,t)a2uxx(x,t)0

X(x)X(x)0, 由边界条件可得：u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0，ux(l,t)X(l)T(t)0X(l)0，所以，X(x)是如下边值问题的非零解函数：

X(x)X(x)0



X(0)0,X(l)0X(x)X(x)T(t)aT(t)2

(2n1)求解此问题，可当n时，问题有非零解，其解函数集构成一个

2l2一维线性空间，它的一个基向量函数为X(x)Xn(x)sin令

fn(t)2l(2n1)x2l2lsin，dx，l0f(x,t)Xn(x)dx,fn(t)0,l0sin3x2lsin3at(2n1)x2l则

f2(t)sin3at2l(n1,3,4,5,)

令{Tn(t)}为如下初值问题的解函数： T(t)na2T(t)fn(t)

T(0)0,T(0)0(t0)，（1）

则Tn(t)0(n1,3,4,5,)，对于n=2,可用常数变易法来求：

T(t)2aT(t)0T(t)Acos设（1）的解函数为 T(t)A(t)cos则 T(t)A(t)cos令

A(t)cos3at2lB(t)sin3at2l3at2l3atB(t)sin3a2l2l3at2lBsin3at2l，3at2lB(t)cos3at2l)

(A(t)sin3at2lB(t)sin3at2l0，14 则

T(t)3a2l3a2l(A(t)sin3at2l3atB(t)cos)，2lT(t)(A(t)sin3at2lB(t)cos3a2l3at3at3at3a)B(t)sin)(A(t)cos2l2l2l2l3at2l3at B(t)cos)f2(t)，2l2

T(t)2a2T(t)f2(t)(A(t)sin3at3at(t)cos(t)sinAB02l2l也就是：

，3a3at3at3at(A(t)sinB(t)cos)sin2l2l2l2l求解此线性方程组得：A(t)22l3asin23at2l,B(t)2l3asin23at2lcos3at2l，3atll

A(t)sintc1,l3a3a3atl B(t)cosc2，l3a所以，（1）的解为：

3atl3at3at3atl

T(t)T2(t) tcosc1cosc2sinsin3a2l3a2l2l2l2由初始条件T(0)0,T(0)0可得：c10,2l22lc2，3a3at2l2所以，T2(t)3asin3at2ll3atcos，所以，题目所给的定解问题的解函数为：



u(x,t)14．求解混合问题

n12l23atl3atXn(x)Tn(t)sintcos(3a)22l3a2l3xsin。2l2x2u(x,t)au(x,t)sin(0xl,xxttl

u(0,t)0,u(l,t)03x2xu(x,0)2sin,u(x,0)sintllt0)。

解：作函数变换v(x,t)u(x,t)w(x)，其中w(x)为待定函数，则

vtt(x,t)utt(x,t),vt(x,t)ut(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)w(x)，22

vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)a(uxx(x,t)w(x))

utt(x,t)auxx(x,t)aw(x)，15 设u(x,t)是原定解问题的解函数，2xl取aw(x)sin222xl，则有： 0，即w(x)sinl2a222vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)auxx(x,t)aw(x)sin2xl aw(x)0，2而

v(0,t)u(0,t)w(0)000,3xlv(l,t)u(l,t)w(l)0

v(x,0)u(x,0)w(x)2sin2xl2xl，sin2al2

vt(x,0)ut(x,0)sin，所以，v(x,t)为如下定解问题的解函数： v(x,t)a2v(x,t)0ttxx（*）

v(0,t)0,v(l,t)03xlv(x,0)2sinl2a(0xl,2xsin,l2t0)，vt(x,0)sin2xl用分离变量法求解此定解问题：由分离变量法的标准过程可得： n

n,l2X(x)Xn(x)sinnatlBnsinnatlnxl,，T(t)Tn(t)Ancos设（*）的解函数为

(n1,2,)



v(x,t)n1un(x,t)n1(AncosnatlBnsinnatl)sinnxl，由初始条件可得：2sin3xl2xlv(x,0)sin2al22n1Ansinnxl

l可得： A10,A2,A32,2aAn0(n4,5,)

natllna

vt(x,t)n1nal(AnsinnatlnxlBncos)sinnxl，sin2xlvt(x,0)n1nalBnsinB2,Bn0(n1,3,4,5,)

2atl2at2x3at3xl所以，v(x,t)(，cossin)sin2cossinl2allll2a2所以，题目所给的定解问题的解函数为u(x,t)v(x,t)w(x)。15． 求解混合问题

2x2sinx(0xl,utt(x,t)auxx(x,t)l

u(0,t)t,u(l,t)sintu(x,0)0,u(x,0)(为常数)tt0)。

[注]：此定解问题中的微分方程非齐次项中的sinx应为sint，才能得到书中答案。

解：先将边界条件齐次化：令v(x,t)u(x,t)((sintt)t)，lx则

vtt(x,t)utt(x,t)xlsint,2vxx(x,t)uxx(x,t)，若u(x,t)是原定解问题的解函数，则

vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)2xl2sintauxx(x,t)

xl22

utt(x,t)auxx(x,t)0lsint0，2tt)t)tt0，v(0,t)u(0,t)((sintt)t)tt0，v(l,t)u(l,t)((sinll

v(x,0)u(x,0)00,vt(x,0)ut(x,0)(xl(cos*0))0，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vtt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)0,v(x,0)0t(0xl,t0)v(x,t)0，所以，原定解问题的解函数为 u(x,t)xl(sintt)t

utt(x,t)a2uxx(x,t)3x2tex16． 求解 ux(0,t)t,ux(l,t)u(l,t)tu(x,0)0,u(x,0)1ext(0xl,t0)。

解：作如下函数变换：v(x,t)u(x,t)t(1ex)u(x,t)ttex，若u(x,t)是原定解问题的解函数，则经验证可得：v(x,t)是如下定解问题的解函数： vtt(x,t)a2vxx(x,t)3x2(1a2)tex

vx(0,t)0,vx(1,t)v(1,t)0v(x,0)0,v(x,0)0t(0x1,t0)

用分离变量法求解此定解问题：设v(x,t)X(x)T(t)，T(t)aT(t)2由分离变量法的标准过程可得：

X(x)X(x)X(x)X(x)0，vx(0,t)0,vx(1,t)v(1,t)0X(0)0,X(1)X(1)0 由X(x)所满足的方程可得：X(x)c1cosxc2sinx，由边界条件可得：c20,0，取c11，则得X(x)cos

X(1)X(1)0sincos02所以，nn,X(x)Xn(x)cosnxx，ctg，(n1,2,)，其中，n是方程ctg的所有正解。因为

10cosnxdx22100.5(1cos2nx)dx0.5(1sinn)，2令

fn(t)1sinn21sin2210f(x,t)cosnxdx

1n0((3x)(1a)te22x)cosnxdx

4sinn(1sinn)3n22(1a)sinn1sinn222tbncnt

则

f(x,t)n1fn(t)cosnx，设原定解问题的解函数为v(x,t)Tn12n(t)cosnx，则

vttavxx2(Tn1n(t)aT(t))cosnx2nn1fn(t)cosnx，22从而有：

Tn(t)anTn(t)fn(t)(n1,2,)，由初始条件可得：v(x,0)vt(x,0)0Tn(0)Tn(t)0，所以，Tn(t)为如下初值问题的解函数： 22Tn(t)anTn(t)fn(t)

Tn(0)0,Tn(0)0(t0)

22用常数变易法：Tn(t)anTn(t)0Tn(t)AncosantBnsinant，设此边值问题的解为： Tn(t)An(t)cosantBn(t)sinant，A(t)cosatB(t)sinat0nnnn经简单推导得： ，1A(t)sinatB(t)cosatf(t)nnnnnan1A(t)fn(t)sinantnan解此线性方程级：

1Bn(t)fn(t)cosantan积分并利用初始条件可得：

cn1A(t)((bct)cosatb)sinantnnnn23nanan

，cn1Bn(t)(bncnt)sinant(cosant1)23anan

Tn(t)An(t)cosantBn(t)sinant

1anbn2bncnt1an2(bncosantcnansinant)

an21cosantcnan21tsinatn an所以，u(x,t)Tn1n(t)cosnx，其中的Tn(t)、bn、cn和n均由以上各式给定。[注]课本上的答案为此处的a=1。

ut(x,t)a2uxx(x,t)0(0xl,17． 求解 ux(0,t),ux(l,t)u(x,0)A(A,为常数)t0)。

解：设u(x,t)是原定解问题的解函数，作函数变换v(x,t)u(x,t)x，19 则

vt(x,t)ut(x,t),vx(x,t)ux(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)

vx(0,t)ux(0,t)0,vx(l,t)ux(l,t)0,v(x,0)u(x,0)xAx，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vt(x,t)a2vxx(x,t)0(0xl,t0)

vx(0,t)0,vx(l,t)0

v(x,0)Ax用分离变量法求解此定解问题：设v(x,t)X(x)T(t)为微分方程的满足齐次边界条件的非零解函数，则将v(x,t)代入方程后化简可得：

T(t)aT(t)X(x)X(x)T(t)aT(t)0,2X(x)X(x)0，vx(0,t)0,vx(l,t)0X(0)0,X(l)0，所以，X(x)为如下边值问题的非零解函数：

2nnX(x)X(x)0(0xl)lX(0)0,X(l)lX(x)X(x)cosnxnl(n0,1,2,)

将n代入T(t)的方程可得：

na

T(t)a2nT(t)0T(t)Tn(t)Bnexp(t)lnxna所以，vn(x,t)Tn(t)Xn(x)Bnexp(。t)cosll22(n0,1,2,)，设

v(x,t)n0nxna，Bnexp(t)cosll2则由初始条件可得：Axv(x,0)1l2ln0Bncosnxl

可得：

B0

Bn)0l(Ax)dxA12l，(n1,2,)，nx2ln(Ax)cosdx(1(1))220lln 20 所以，v(x,t)A

12ln12ln22nxna。(1(1))exp(t)coslln2ut(x,t)a2uxx(x,t)f(x)(0xl,18． 求解 u(0,t)A,u(l,t)B(A,B为常数)u(x,0)g(x)t0)。

解：设F(x)(0xx0f(x)dx)dx，w(x)1a2F(x)(AB)aF(l)al22xA，1a2

v(x,t)u(x,t)w(x)vt(x,t)ut(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)

vt(x,t)a2vxx(x,t)ut(x,t)a2uxx(x,t)f(x)0，1a1a22f(x)，v(0,t)u(0,t)w(0)AF(0)(AB)aF(l)al2220A0，v(l,t)u(l,t)w(l)BF(l)(AB)aF(l)al2lA0，v(x,0)u(x,0)w(x)g(x)w(x)，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)g(x)w(x)(0xl,t0)，用分离变量法可求得：



v(x,t)其中，Ann1nxna，Anexp(t)sinll(g(x)w(x))sin22llnxl20dx(n1,2,)。

所以，u(x,t)n1nxnaAnexp(w(x)。t)sinll21．在扇形区域内求解边值问题

u0(ra,0)

u(r,0)0,u(r,)0。

u(a,)f()解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：

1u1u2

u0rurrruru0。r22rrrr2用分离变量法求解此定解问题：设u(r,)R(r)()，代入以上微分方程化简后可rR(r)rR(r)R(r)2得

()()2：

()()0,rR(r)rR(r)R(r)0

u(r,0)R(r)(0)0(0)0, u(r,)R(r)()0()0，所以，()是如下边值问题的非零解函数：

2nn()()0

(0)0,()0()sinnxn(n1,2,)，2n/n/Bnr

rR(r)rR(r)nR(r)0R(r)Rn(r)Anr，n/又显然有：R(0)Bn0，也就是：Rn(r)Anr，所以，un(r,)Rn(r)n()Anrn/sinnsin，n设原定解问题的解函数是 u(r,)n1Anrn/n/，由关于r的边界条件可得：f()u(a,)其

n1Anasinn，中

Anan/20f()sinn2d(n1,2,)，n/nr所以，u(r,)f()sindn10asinn。

u0(1r2,0)22 求解边值问题

u(1,)sin,u(2,)0。

u(r,0)0,u(r,)0解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：

1u1u20rurrruru0

ur22rrrr

2用分离变量法求解：设u(r,)R(r)()代入方程中并化简得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0，()()()0()

u(r,0)0,u(r,)0(0)0,()0，()()0

(0)0,()02n2nn()()sinnn(n1,2,)，将nn2代入R(r)所满足的方程可得：

r2R(r)rR(r)n2R(r)0R(r)Rn(r)AnrnBnrn，n设原定解问题的解函数为 u(r,)Rn1(r)n()(An1nrBnrnn)sinn，nn0u(2,)(An2Bn2)sinnn1由r的边界条件可得：

，sinu(1,)(AnBn)sinnn1容易得到：

AnBn0(n2,3,)，11A12A2B10

3，14B11A1B13所以，u(r,)13r43r1sin。2(ra)uxxuyyy23． 求解边值问题  222uraxy,rxy解：作函数变换 v(x,y)u(x,y)112y，24则有：

vxx(x,y)uxx(x,y),vyy(x,y)uyy(x,y)y 此时，有：

vxxvyyuxxuyyyyy0，所以，v(x,y)是如下边值问题的解函数：

222 23 vxxvyy0(ra)

 14222vxyy,rxy12ra将此定解问题由直角坐标改为极坐标：

r2vrrrvrv0(ra)

1424v(a,)acossinasin12(xrcos,yrsin)，用分离变量法求解此定解问题：设v(r,)R(r)F()，由分离变量法的标准步骤rR(r)rR(r)R(r)2容易得到：

F()F()02，rR(r)rR(r)R(r)0F()F()由v(r,)的实际意义可知：F()是以2为周期的周期函数，R(0) 所以

nn2,F()Fn()AncosnBnsinn(n0,1,2)

22nnn

rR(r)rR(r)nR(r)0R(r)c1rc2r,letRn(r)r，n设

v(r,)Rn0(r)Fn()(An0nncosnBnsinn)r

由关于r的边界条件可得：v(a,)112(An04ncosnBnsinn)a，n而

v(a,)acossin

所以，A013213242asin

12412acos219644a412asin21a,B222196acos4，4a,A224,A4，其余的An、Bn的值均为零。所以，v(r,) u(r,)1324132ar(242124acos212212sin2)1964196rcos4，112rsin。

444ar(124acos22sin2)rcos4u0(ra,0)224.求解边值问题 ur(a,)f()。

u(r,0)0,u(r,)02解：因为其自变量的取值区域是扇形区域，所以可在极坐标系下用分离变量法求解此定 24 解问题，因为，u1rrrur1ur2220，设 u(r,)R(r)()，求出其各阶偏导数并代入方程后化简可得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0 ()()()0()(由u(r,)关于的边界条件可得

(0)0,2)0

()()0n4n2所以

(0)0,()0n()sin2n2(n1,2)

r2R(r)rR(r)4n2R(r)0RRn(r)Anr2nBnr2n

u(0,)Rn(0)Rn(r)Anr2n

设原定解问题的解函数为

u(r,)An1nr2nsin2n，则

ur(r,)2nAn1nr2n1sin2n，由边界条件得

f()ur(a,)从而有：

An2na2n12nAn1na2n1sin2n

/20f()sin2nd

（1）

所以，原定解问题的解函数为u(r,)其中的系数由（1）式给出。

An1nr2nsin2n，uxy(ra,0)225．求解边值问题

ur(a,)f()

222u(r,0)0,u(r,)0,rxy2解：设w(x,y)112xy(xy)，作函数变换v(x,y)u(x,y)w(x,y)，22则

vvxxvyyuxxuyy(wxxwyy)0 在极坐标下：

v(r,)u(r,)w(r,)u(r,)124rsin2，25

vr(r,)ur(r,)

vr(a,)ur(a,)经验算得知：

v(r,0)0,v(r,1616rsin2，asin2，332)0，所以，v(r,)为如下边值问题的解函数：

21v1v(r)20v2rrrr13v(a,)f()asin2r6v(r,0)0,v(r,)02(ra,02)

用分离变量法求解，设v(r,)R(r)()代入方程并化简得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0，()()()0()由关于的边界条件可得：(0)0,(2)0，(n1,2,)，2由此可得： n4n,n()sin2n222n2n

rR(r)rR(r)4nR(r)0RRn(r)AnrBnr，v(0,)R(0)Rn(r)Anrn2n。

设

v(r,)Rn13(r)n()An1nr2nsin2n，则

f()16asin2vr(a,)22nAn1na2n1sin2n，由可求得： v(r,)An1nr2nsin2na12rsin2，2其中，An2na2n1/20f()sin2nd，124rsin2。

u(r,)v(r,)