中考语文专项——句子_段落_题目分别在文中的作用(含答案解析)

第一篇：中考语文专项——句子_段落_题目分别在文中的作用(含答案解析)

中考转专项训练——句子，段落，题目在文中的作用（附答案）

一·段 落 的 作 用：

1·开头段：

统摄全篇，提纲挈领，领起下文，引出悬念，开门见山，渲染气氛，奠定基调，或为后文做铺垫、埋下伏笔。2·过渡段：

承上启下（或启下），引出下文。3·结尾段：

总结全文，呼应前文或题目，深化、升华主旨，卒章显志，言有尽而意无穷，回味深长，承接上文欲扬先抑的手法，画龙点睛，与首段相照应使结构严谨，含蓄深刻，启发联想，象征、暗示、点名或揭示。4·环境描写的作用：

①是否交代了故事发生的时间地点，设置了背景，②是否渲染了气氛，为后面内容做铺垫 ③是否奠定基调，④是否烘托了人物的心情，表现人物性格 ⑤是否烘托了人物形象，⑥是否推动情节的发展。5·引用或文学性强的语段：

创造文化氛围或……行文章法思路开阔，再结合文章语境分析。6·写景的语段：

①交代作品的时代背景，烘托、渲染……气氛，②为下文埋下伏笔，表现人物……的心情，③暗示社会环境，④结合具体语境：设置了……的背景，烘托形象，⑤深化主题，与开头形成照应，⑥使文章形象、生动、细腻，⑦使读者有身临其境之感，增强文章感染力。7·其他语段：

呼应上文，形成对比，补充说明等等。

二·句 子 的 作 用：

1·中心句：

点明中心、揭示主旨。画龙点睛。2·点睛句：

点明全文中心，统领全文；句子含义深刻，耐人寻味，读后能给人以启迪。3·情感句：

抒发强烈内在情感，直抒胸臆。4·矛盾句：

从字面上看自相矛盾，但作者却寄寓了深刻的用意。揭示深刻内涵，表达深刻见解。

三·题 目 的 作 用：

1·记叙文题目点明了地点：

如《钱塘江观潮》,还交代了主要事件是观潮,全文紧紧围绕题目的限制范围展开叙述。

2·题目有的交代主要内容：如鲁迅的《阿长与〈山海经〉》； 3·有的揭示(或暗示)主旨：如《长在岩石下面的小花》；《董存瑞舍身炸暗堡》舍身一词就高度赞扬了董存瑞为了革命事业壮烈牺牲的大无畏的英雄气概

4·有的点明线索：如鲁迅的《从百草园到三味书屋》； 5·有的交代描写对象：如老舍的《济南的冬天》； 6·有的交代故事发生环境：如孙犁的《芦花荡》； 7·有的设置悬念：如《城市给了我们什么》等。8·议论文题目往往揭示(暗示)论题或论点。

9·说明文的题目往往交代说明对象或对象的特点。注：分析题目作用，要把握文章中心，联系主要内容，考虑题目的来源，拟题的依据，题目的内涵，深层意义，考虑题目所用的手法，分析题目的比喻义、双关义、象征义等等，此外，还要考虑题目的句式结构，综合各种信息、分析具体情况，再做全面表述。

如：易水之滨，高渐离击筑，悲凉的旋律中，荆轲告别燕太子丹，踏上刺秦的不归路，他身后的芦花，一定在萧萧寒风中轻肠，乌江之畔，四面楚歌，西楚霸王柔肠寸断，在“虞兮虞兮奈若何”的哀叹声中，虞姬挥动长剑，裙袂飘飘，作最后的生命之舞。在她倒下的地方，白雾茫茫，一片缟素，那是一岸的芦花在为这悲怆的诀别飘雪飞霜。汩罗江边，披发行吟的屈原，掩涕叹息，仰天长问。臣专权，楚王昏庸。居庙堂，不能为民解难；谪乡野，不能为民解难。生命的大寂寞郁结于心，奔突于胸，使诗人纵身大江，荡起的涟漪是芦苇悲鸣的泪滴，在湿湿的夜色中流淌。青青的苇叶包裹起后人的崇敬和思念，投入历史的长河，成为端午节最深沉的纪念。（选自张驰《心中的芦苇》）“芦花”在该段中起到了哪些作用？（分条作答）答案为：（1）是串连事件的线索。（2）渲染了悲凉的气氛。（3）芦花见证、记录、蕴涵着历史的痛苦和沧桑。（4）表达了同情或崇敬的感情。

例文一 村路怎能不弯呢

①村路怎能不弯呢？

②好的地方，都让人家、河流、田地占住了，留给路的，实在太少了。

③路从不计较这些，很知足，知足常乐。天天，捡着这些人脚迹、牛脚迹、狗脚迹吃着，小日子过得滋润着。尤其是在冬天，有人穿着布鞋，刚刚从家里烤火出来，留下一行人脚迹，还是暖乎乎的。夏天的牛脚迹又肥又大，闻一闻，还带着青草的味儿，还带着蘑菇的味儿。狗脚迹一长串，小小的，就像我家屋檐下，挂着的一长串板栗，不着急吃，待其风干，又是另外一种风味了。偶尔，还会有一两只野猪、狗獾之类的，偷偷地下山来，留下一朵朵野梅花样的脚迹，更是难得一尝的野味了。这村路，还真不羡慕那些大马路呢，窄一点有什么关系呢？弯一点有什么关系呢？ ④其实，路何尝又不想宽一点、直一点？

⑤路从我家里延伸出来，走不到十几米，迎面就是二哥家的一堵墙壁。你总不能叫路穿过那堵墙而去，于是，路只得拐一个弯了。路又走了五六十米，翠花曾婆家的房子，正横在路当中。路有什么办法？只好又拐了一个弯，从翠花曾婆家门前过去，翠花曾婆人真好，碰上一棵树，也能说上半天话。不管张

三、李四，还是王二麻子，从她家门前经过，只要她在家，看见了，都要邀请人家进屋坐坐，喝一碗茶。那些远道而来的卖窑货的、贩树的，经常在她家歇脚。你们这些人啊，都是沾了路的光了！路这个弯也拐得值了！路再往前走，又碰上了春伢家的猪圈。照理说，这又脏又臭的猪圈，应该让一让路吧。路不想说这些，更不想去和猪圈争，弯就弯点吧。

⑥路七拐八弯，总算出了村子。村外就是田畈，一块块田，未免也太霸道了一点，总想多占些地盘，你用手推我一下，我用屁股挤你一下。本来应该是一条直路，硬是让它们挤弯了，挤窄了。我想，路一定也被挤痛了，不过它不会说而已。我说你们这些田呀，不要再挤了，让路从这里经过吧。没有这条路，牛怎么来耕田？稻子成熟了，人怎么来收割？路弯过了田地，遇到了河流，没有桥，在河里放几个跳石，人踩着跳石过去，这是秋冬。倘若到了梅雨天，过不了几天，发一场洪水，淹没了那几个跳石，路还得去弯，从上游的一座石桥上穿过去。又遇到了人家的莱园，你也总不能叫路穿过人家的菜园而去，把人家好端端的莱园，弄成路这边一半，路那边一半，再弯一弯吧。前面，路又遇到了谁家的祖坟？更不能去打搅祖老人家的睡眠呀。路悄悄地，弯了个大弯，多少个弯都弯了，不在乎这一个弯。

⑦“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。”路到山前，似乎没有地方可去了，真有些让人怀疑，是不是走错了。路和你开玩笑呢，走过去，拐一个弯，嗬，在山冲里，又是一个大村子，屋檐连着屋檐，炊烟缠着炊烟，一条小河绕屋流过，河畔有三两垂柳，五六月季，十七八鹅。20.（2分）第①段在全文中起什么作用？

21.（2分）本文主要运用了什么修辞手法？请选择一处进行赏析。

22.（2分）读第⑤⑥段，我家门前的路弯过了哪些地方？请按顺序摘录。如：墙壁、、、、、、。

23.（3分）品读第⑦段，体会诗句“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。”在文中有何作用？

答案20.（2分）开门见山点题贯穿全文的线索总领全文引起读者的思考和阅读兴趣（答出一点即可）

21.（2分）运用了拟人手法，如“路不想说这些，更不想去和猪圈争，弯就弯点吧。”表现了村路与世无争、豁达宽容的性格特征。（可以选其他例句，赏析有理即可）22.（2分）房子、猪圈、田地、河流、菜园、祖坟。

23.（3分）引用诗句呈现出了更加美好的意境，进入了更新的境界，深化了文章主题。领起下文，增添文采。（言及一点，意思相近即可）

例文二 你的眼泪，我的成人礼

①开学三天后，我如愿当上了班长。我在高中时一直做班长，有经验，所以充满自信。

②我希望一个班级能有好的团队精神和面貌。当天下午，我走上讲台对大家说：“打扰各位同学几分钟，为了方便大家联系，我决定在班里开通飞信。”

③“什么是飞信啊？”前排，一个短头发的女生问。

④“就是综合通信服务啊，可以实现互联网和手机间的无缝通信服务……通俗点说吧，就是可以群体使用的短信息，免费的，就像QQ群，我们班先建立起自己的飞信群。”

⑤短头发的女生吐吐舌头，有点不好意思，然后半开玩笑地说：“我从小县城来的，消息不灵通。”好多同学笑起来。我也笑了笑说：“如果大家都明白了的话，把手机号报给我……” ⑥我的话还没说完，听到有个男生问：“必须要用手机吗？”

⑦“当然，不用手机怎么发短信？”我不解地向后看去，问话的，是个皮肤微黑的男生，瘦瘦的，但是眼睛很亮，唇角微微上扬，有点倔强的表情。但是我没想到那个男生忽然站起来说：“我没有手机。” ⑧“去买一个啊。”我不假思索地脱口而出。

⑨“我是从农村来的，家里穷，家里还有奶奶和妹妹，母亲身体不好，一家人的生活都靠父亲在城里做建筑工。我上大学的学费是父亲借来的，在大学里怎么生活下去，还要靠我自己，所以对不起，虽然我热爱我们的班级，但是班里的飞信群，我不能参加。”说完，那个男生朝外走去。

⑩我愣住了，而此刻，全班同学，也都鸦雀无声。那个高高瘦瘦的男生，穿着普通的蓝色运动装，白球鞋，街边小摊的廉价物品，做工粗糙……而裹在这样劣质运动装里的背影，却依然挺拔。却依然挺拔。

（11）许久，我站在那里，感觉心里有一种从未有过的惭愧、自责，甚至有一种失效。

（12）第二天，我在教室里挂了一块黑板，我说：“以后有什么消息，我会写在黑板上通知大家，请大家留意！”然后，走到教室后面，走到那个拒绝了我并敢于承认贫穷的男生面前，什么都没有说，只是弯下身，深深地鞠了一躬。（13）教室的某个角落，发出了孤单的掌声，很快，掌声多了起来，连成了片。（14）我抬起头的时候，那个高高的倔强的男生清亮的眼睛里，盈满了泪水。

（15）这一天，是我18岁生日，虽然我收到了许多贵重的礼物，但是我知道，这眼泪，才是生活送给我的真正的成人礼。

（作者：宁子 有删改）

25.(2分）通读全文，理清“我”的心理变化脉络，在空白处填上恰当的词语。（）→（）→自责、失败→真诚、成熟

26.(2分）第⑩段划线句子运用了什么描写方法？表现了人物怎样的性格特征？ 27.(2分）第（13）段运用了侧面描写，你认为在这里有什么作用？

28.(3分）你怎样理解“这眼泪，才是生活送给我的真正的成人礼。”这句话？ 29.(3分）如果小说第（11）段改成“许久，我站在那里，感觉心里有一种从未有过的不屑、耻辱，甚至有一种愤恨。”请你为小说改写一个结尾（简述即可）。答案25.（2分）自信、优越感（或骄傲）

26.（2分）主要运用了外貌描写（或肖像描写），表现了男生虽家境贫困，但性格倔强、自尊、不卑不亢。（意思相近即可）

27.（2分）描写同学们的掌声渲染了气氛，衬托了人物形象，是对“我”的一种赞赏。（抓住渲染、衬托、赞赏，其中一点即可）28.（3分）点明主题，男生感动的眼泪，让“我”明白了尊重别人，就会获得别人的尊重。男生感动的泪水，让“我”学会了成熟、理智地处理事情，突然觉得自己长大了。（言及一点，意思相近即可）

29.（3分）示例1：“我”坚持使用了飞信，只有那个农村男生没有参加，我们渐渐地也疏远了他。

示例2：开学的第一件事就草草收场，同学们不欣赏“我”的傲慢，“我”的威信也大打折扣。（结尾设计合情合理即可）

那年大雪

肖建国

那年雪好大，鹅毛片片飞。

梁子回来了。穿着皮夹克，披着黄大衣，足蹬大马靴，威武得像个军官。梁子在城里做生意，没几年的光景就发了，是我们这一带穷山沟的名人。狗儿、海子和我的母亲提前几天就托人给梁子捎了话，希望他这次回来，能把我们带出去，跟着他见见世面，挣不挣钱无关紧要。

梁子见到我，先一愣，后大笑，拍着我刚剃的光头说：“好小子，哥就需要你这样的人。”

海子也在院内。海子手里牵着一只小绵羊，雪白的毛，弯弯的角，很温顺地低着头。狗儿说：“梁子哥，中午咱们杀羊吃。”

围观的人都齐声叫好，落雪的小院儿顿时沸腾起来。说到杀羊，在咱村里真是少见。我们地处汉江河畔，水美草肥，家家养羊，可自家很少吃，大都卖给羊贩子。要想很利索地杀死一只羊，还真是件棘手的事。

为了表现自己，海子先动起了手。他把羊往树上一拴，从灶房拿出一把菜刀就向羊奔来。海子向左，羊角向左，海子向右，羊角向右。几个来回后，小绵羊奋力一击，反把海子掀了个仰八叉，引来大伙儿一阵哄笑。

“山子上。”梁子点了我的名，我的脸就莫名其妙地发烧起来。我靠近小绵羊，小绵羊“咩咩”地叫了两声。它可是认识我的，同在一个村里生活，它吃草我吃饭，抬头不见低头见。前天我还扯过红薯藤给它吃呢。

我瞅它不备，弯下腰，伸出右臂，一下子搂着了小绵羊的头，准备朝小绵羊的咽喉切下。这时，我看到了小绵羊的眼睛里有了泪，晶莹剔透，顺着眼角流了下来。霎时，我心里一紧，“扑通”一声，手里的刀和羊一起落到了地上。

最后，梁子出手了。梁子笑眯眯地骂我们都是笨蛋。这羊表面上看起来很温柔，其实骨子里倔犟着呢。梁子从屋里取出一棵大白菜。绿的叶，白的帮，极鲜嫩。梁子将白菜递到小绵羊的嘴边，小绵羊几经折腾，瞪着惊恐的双眼，不闻，不吃。

“别怕，别怕，我不会杀你的。”梁子乐呵呵地蹲下来，像对一位老朋友那么亲热。小绵羊看看梁子手里没有刀，眼神稍稍松懈了一下。梁子以手为梳，给小绵羊搔起痒痒来，那动作极温顺。小绵羊可能被感动了，饱含在眼眶的一窝泪水，扯成线流了下来。

小绵羊开始吃起白菜，并将身躯靠近了梁子。大伙儿也以为梁子不再杀羊了，打着哈哈准备离去。就在这时，只见梁子猛地一咬牙，飞快从袖简里抽出一柄匕首来，从小绵羊的颈部扎了进去，手腕一翻，利刃直捣颈骨，然后顺势向下一划拉……小绵羊和我们还没明白怎么回事，只见一股鲜血喷涌而出，羊的气管已被生生切断。小绵羊扑倒在地，一双翻白的眼睛瞪着梁子，嘴里还噙着一片白菜。

围观的人们也是一阵惊叫。梁子站起来，擦了擦带血的匕首，自得地说，准备剥皮起锅了。

那一晚的羊肉，我至今回忆不起是个什么味道。

第二天，雪依然下，大地一片耀眼的白。梁子走了，是一个人。苍茫的雪地上留下了一串孤独的脚窝。

(选自《第四届小小说金麻雀奖获奖作品》，有改动)7．请你用几句话概述这篇小小说的故事情节。(3分)答：

8．结合上下文，品味下列句子中的加点词语，指出其表达效果。(4分)(1)围观的人都齐声叫好，落雪的小院儿顿时沸腾起来。

答：

(2梁子猛地一咬牙，飞快从袖简里抽出一柄匕首来，从小绵羊的颈部扎了进去，手腕一翻，利刃直捣颈骨，然后顺势向下一划拉……

答：

9．文中写到梁子点“我”名时，为什么“我的脸就莫名其妙地发烧起来”?(4分)答：

10．阅读小说的最后一段，请你联系全文，说说这样结尾有何作用。(6分)答: 7.梁子回来了→梁子和我们一起杀羊→梁子孤独地离开村子。8.(1)“沸腾”一词，运用比喻和夸张的修辞手法，形象生动地写出围观者的兴奋和当时场面的热闹。(2)运用动作描写，写出梁子杀羊时动作之快，下手之狠。

9.自己从来没有杀过羊，有些紧张；预感自己不能完成杀羊任务，有些害羞；面对朝夕相处的小绵羊，有些不忍。10.示例：这样结尾交待了故事的结局，起到前后呼应的作用；运用环境描写，以雪的白、纯洁映衬“梁子”灵魂的黑暗、凶残；含蓄地揭示了小说的主题：以欺诈、凶残、伪善获得的成功必遭人们唾弃。

第二篇：「中考数学」证明题：真题专项突破冲刺提分60题（含答案解析）

【中考数学】证明题：精选真题专项打破冲刺提分60题

（含答案解析）

一、解

答

题（共60小题）

1．（2015•遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延伸线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

2．（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．

（1）如图1，连接BD，AF，则BD　　　　　　AF（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．

3．（2015•镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延伸OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．

（1）求证：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=　　　　　　°时，四边形BFDE是正方形．

4．（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．

（1）求证：四边形DEFG为菱形；

（2）若CD=8，CF=4，求的值．

5．（2015•玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延伸线于点C，E为的中点，连接DE，EB．

（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；

（2）已知图中暗影部分面积为6π，求⊙O的半径r．

6．（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E点，使DE=AB．

（1）求证：∠ABC=∠EDC；

（2）求证：△ABC≌△EDC．

7．（2015•营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若PD=，AC=8，求图中暗影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．

8．（2015•徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．

（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=

时，四边形BFCE是菱形．

9．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延伸与AD的延伸线相交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

10．（2015•湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）求证：四边形BFDE为矩形．

11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

12．（2015•咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．

13．（2015•梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．

（1）求证：HF=AP；

（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．

14．（2015•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．

（1）求证：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

15．（2015•铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延伸交BC的延伸线于点E，EF=FD．

求证：AD=CE．

16．（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．

17．（2015•铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．

（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．

18．（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：

（1）AC•PD=AP•BC；

（2）PE=PD．

19．（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

20．（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．

（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；

（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．

21．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延伸线于点E．

（1）求证：BD+2DE=BM．

（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=　　　　　　．

22．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延伸线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．

23．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延伸线上，且OE=OB，连接DE．

（1）求证：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．

24．（2015•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．

求证：四边形ABCD是矩形．

25．（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．

（1）当AB=2时，求△GEC的面积；

（2）求证：AE=EF．

26．（2015•青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．

27．（2015•钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接OC，如果OC恰好弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．

28．（2015•黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．

（1）求证：PN与⊙O相切；

（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．

29．（2015•潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延伸线交于点M，∠COB=∠APB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．

30．（2015•盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延伸线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；

（2）求证：直线BF是⊙O的切线；

（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延伸线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

31．（2015•内江）如图，将▱ABCD的边AB延伸至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．

（1）求证：△ABD≌△BEC；

（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

32．（2015•南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求证：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．

33．（2015•南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延伸线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．

（1）求证：∠BAD=∠BDC；

（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（到0.01）

34．（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延伸线与AD的延伸线交于点E，且DC=DE．

（1）求证：∠A=∠AEB；

（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．

35．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

36．（2015•南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的地位，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的外形为

A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形

（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的地位，拼成四边形AFF′D．

①求证：四边形AFF′D是菱形．

②求四边形AFF′D的两条对角线的长．

37．（2015•梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．

（1）求证：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．

38．（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．

（1）求证：AE=DC；

（2）已知DC=，求BE的长．

39．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．

（1）求证：AB=AC；

（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．

40．（2015•辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延伸线于点F．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线；

（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．

41．（2015•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．

（1）求证；∠EDB=∠EBD；

（2）判断AF与DB能否平行，并阐明理由．

42．（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的外形，并阐明理由．

（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．

43．（2015•酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延伸线与BC的延伸线交于点F，连结CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AE=　　　　　　cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE=　　　　　　cm时，四边形CEDF是菱形．

（直接写出答案，不需求阐明理由）

44．（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延伸线上一点，且∠ODB=∠AEC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE2=EH•EA；

（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．

45．（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．经过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．

类比扇形，我们探求扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其运用．

（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；

（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积，面积是多少？

46．（2015•黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．

（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ能否成立？请阐明理由．

47．（2015•黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延伸线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN

（2）求证：=．

48．（2015•湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：BE=CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

49．（2015•葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延伸线于点E，与⊙O相交于G、F两点．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？

50．（2015•呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．

51．（2015•呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延伸线交直线l于点C．

（1）求证：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半径．

52．（2015•贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）．

53．（2015•贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8．

（1）求证：AF=EF；

（2）求证：BF平分∠ABD．

54．（2015•河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延伸BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．

（1）求证：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，则四边形AOPD的面积为　　　　　　；

②连接OD，当∠PBA的度数为　　　　　　时，四边形BPDO是菱形．

55．（2015•桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．

（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；

（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．

56．（2015•贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延伸线相交于点M，连接AC，CM．

（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）

（2）求证：四边形ABMC是菱形．

57．（2015•甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．

（1）求证：CF=CH；

（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

58．（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延伸EF交边BC于点G，连接AG．

（1）求证：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的长．

59．（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．

（1）证明：AB=CD；

（2）证明：DP•BD=AD•BC；

（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．

60．（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延伸线交于点D，DE⊥PO交PO延伸线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：PB是的切线．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．

2015年全国中考数学证明题60例

参考答案与试题解析

一、解

答

题（共60小题）

1．（2015•遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延伸线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

考点：

菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；

（2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；

（3）由直角三角形ABC与菱形有相反的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．

解答：

（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．

∵DB=DC，∴AF=CD．

∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；

（3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的运用，菱形的面积计算，次要考查先生的推理能力．

2．（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．

（1）如图1，连接BD，AF，则BD　=　AF（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；

（2）根据类似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．

解答：

（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．

由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．

在△ABF和△DFB中，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；

（2）证明：如图：

MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF．

在△BMH和△FNG中，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，类似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．

3．（2015•镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延伸OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．

（1）求证：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=　20　°时，四边形BFDE是正方形．

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又由于BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF；

（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只需∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．

解答：

（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE与△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）；

（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，∴只需∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．

故答案为：20．

点评：

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF．

4．（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．

（1）求证：四边形DEFG为菱形；

（2）若CD=8，CF=4，求的值．

考点：

翻折变换（折叠成绩）；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；

（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．

解答：

（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；

（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．

点评：

本题次要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．

5．（2015•玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延伸线于点C，E为的中点，连接DE，EB．

（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；

（2）已知图中暗影部分面积为6π，求⊙O的半径r．

考点：

切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由∠BOD=60°E为的中点，得到，于是得到DE∥BC，根据CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；

（2）连接OE，由（1）知，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．

解答：

解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E为的中点，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形；

（2）连接OE，由（1）知，∴∠BOE=120°，∵暗影部分面积为6π，∴=6π，∴r=6．

点评：

本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明是解题的关键．

6．（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E点，使DE=AB．

（1）求证：∠ABC=∠EDC；

（2）求证：△ABC≌△EDC．

考点：

全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；

（2）根据“边角边”证明即可．

解答：

（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS）．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．

7．（2015•营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若PD=，AC=8，求图中暗影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．

考点：

切线的判定；扇形面积的计算．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；

（2）证明△ADP∽△PDA，得到成比例线段求出BC的长，根据S阴=S⊙O﹣S△ABC求出答案；

（3）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．

解答：

（1）证明：如图1，连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD•DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD为△的中位线，∴BC=6，OD=6，AB=10．

∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；

（3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵点E是的中点，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB•cos45°=5，∴EM==4，则CE=CM+EM=7．

点评：

本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和类似三角形的判定和性质，灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键．

8．（2015•徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．

（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=　4

时，四边形BFCE是菱形．

考点：

平行四边形的判定；菱形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；

（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．

解答：

（1）证明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF

∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；

（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴当BE=4

时，四边形BFCE是菱形，故答案为：4．

点评：

此题考查了类似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，留意数形思想的运用，留意掌握辅助线的作法．

9．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延伸与AD的延伸线相交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

考点：

平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；

（2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．

解答：

（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC与△FED中，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是边CD的中点，∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；

②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四边形BDFC的面积=3×=3；

③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；

综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．

10．（2015•湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）求证：四边形BFDE为矩形．

考点：

矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；

（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．

解答：

证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS）；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．

点评：

此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，纯熟掌握矩形的判定方法是解本题的关键．

11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

考点：

根的判别式；解一元二次方程-公式法．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；

（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．

解答：

（1）证明：△=（m+2）2﹣8m

=m2﹣4m+4

=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；

（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．

点评：

本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的运用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．

12．（2015•咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．

考点：

切线的性质；菱形的判定与性质；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；

（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC•AF，进而求出AD．

解答：

（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．

∵BC与⊙O相切于一点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE=AO=0D，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AODE是菱形．

（2）解：设⊙O的半径为r．

∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．

∴，即10r=6（10﹣r）．

解得r=，∴⊙O的半径为．

如图2，连接OD、DF．

∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC•AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．

点评：

本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及类似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．纯熟掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．

13．（2015•梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．

（1）求证：HF=AP；

（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；

（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．

解答：

（1）证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．

∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．

在Rt△APB与Rt△HFE中，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；

（2）解：由勾股定理得，BP===4．

∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2×=．

由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．

点评：

本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．

14．（2015•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．

（1）求证：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

考点：

类似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；

（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用类似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．

解答：

（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；

（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．

点评：

本题考查了类似三角形的判定与性质：在判定两个三角形类似时，应留意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻觅类似三角形的普通方法是经过作平行线构造类似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．

15．（2015•铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延伸交BC的延伸线于点E，EF=FD．

求证：AD=CE．

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．

解答：

证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：

则∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等边三角形，∴AD=GD，∴AD=CE．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；纯熟掌握等边三角形的判定与性质，并能进行推理论证是处理成绩的关键．

16．（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．

考点：

全等三角形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．

解答：

解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）．

点评：

本题次要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

17．（2015•铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．

（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．

考点：

矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）首先根据矩形的性质可得AB平行且等于CD，然后根据DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形；

（2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．

解答：

解；（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AE=CE，设DE=x，则AE=，CE=8﹣x，则=8﹣x，解得：x=，则菱形的边长为：8﹣=，周长为：4×=25，故菱形AFCE的周长为25．

点评：

本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质．

18．（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：

（1）AC•PD=AP•BC；

（2）PE=PD．

考点：

切线的性质；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判断出=，即可判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可．

（2）首先根据△AEP∽△ABC，判断出；然后根据PE=PD，可得，据此判断出AC•PD=AP•BC即可．

解答：

解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴=…①，又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴===…②，由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD．

（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴，∵PE=PD，∴，∴AC•PD=AP•BC．

点评：

（1）此题次要考查了切线的性质和运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于切点的半径．②圆心且垂直于切线的直线必切点．③切点且垂直于切线的直线必圆心．

（2）此题还考查了类似三角形的判定和性质的运用，要纯熟掌握．

19．（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

考点：

全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）延伸DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；

（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．

解答：

证明：（1）延伸DE交AB于点G，连接AD．

∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．

∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．

∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．

又BF=BC，∴BF=DE．

∴在△AED与△DFB中，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；

（2）设AC与FD交于点O．

∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．

∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DOE+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．

点评：

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

20．（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．

（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；

（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．

考点：

切线的判定与性质；弧长的计算；作图—基本作图．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，根据角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；

（2）首先证明△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．

解答：

解：（1）作图如右图，连接OA，过O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切线；

（2）∵PA、PC是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°=

∴OA=

∴==．

点评：

本题考查了尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及弧长的计算，求出圆心角和半径长是处理成绩的关键．

21．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延伸线于点E．

（1）求证：BD+2DE=BM．

（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=　　．

考点：

类似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）过点M作MP⊥BC交BD的延伸线于点P，首先证明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到结论；

（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的长．

解答：

（1）证明：过点M作MP⊥BC交BD的延伸线于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形

∴BP=BM

∴BD+2DE=BM．

（2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴

设正方形边长为a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2

∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=．

故答案为：．

点评：

本题次要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、类似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形类似求出正方形的边长是处理第2小题的关键．

22．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延伸线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据题意得出BD=CD=BC，由SSS证明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可；

（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根据弧长公式求出、的长度，即可得出结果．

解答：

（1）证明：根据题意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；

（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC为等边三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的长度=的长度==；

∴、的长度之和为+=．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算；纯熟掌握全等三角形和等边三角形的判定与性质，并能进行推理计算是处理成绩的关键．

23．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延伸线上，且OE=OB，连接DE．

（1）求证：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．

考点：

类似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；

（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．

解答：

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD

∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．

点评：

本题考查了类似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．

24．（2015•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．

求证：四边形ABCD是矩形．

考点：

矩形的判定；函数图象上点的坐标特征．版权一切

专题：

证明题．

分析：

首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．

解答：

证明：作EF⊥AB于点F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相反，∴AB∥CD∥x轴，∴m﹣2=4，m=6，将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4，△AEB的面积是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形．

点评：

本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．

25．（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．

（1）当AB=2时，求△GEC的面积；

（2）求证：AE=EF．

考点：

全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）首先根据△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，从而求得GC=即可求得S△GEC；

（2）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF；

解答：

解：（1）∵AB=BC=2，点E为BC的中点，∴BE=EC=1，∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB：EC=BE：GC，即：2：1=1：GC，解得：GC=，∴S△GEC=•EC•CG=×1×=；

（2）证明：取AB的中点H，连接EH；

∵ABCD是正方形，AE⊥EF；

∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°

∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF；

点评：

此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解（2）题的关键是取AB的中点H，得出AH=EC，再根据全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．

26．（2015•青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．

考点：

菱形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

首先根据平行四边形的判定方法，判断出四边形ADCE是平行四边形；然后判断出AE=CE，即可判断出四边形ADCE是菱形，据此解答即可．

解答：

证明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．

点评：

此题次要考查了菱形的判定和性质的运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

27．（2015•钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接OC，如果OC恰好弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．

考点：

切线的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由AB为⊙O的直径，可得∠D=90°，继而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，则可证得BC是⊙O的切线；

（2）根据点O是AB的中点，点E时BD的中点可知OE是△ABD的中位线，故AD∥OE，则∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出结论．

解答：

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；

（2）∵点O是AB的中点，点E时BD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．、∵由（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC=，∴tan∠ABD===，解得BD=6，∴AB===3．

点评：

本题考查的是切线的判定，熟知半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键．

28．（2015•黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．

（1）求证：PN与⊙O相切；

（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．

考点：

切线的判定与性质；弧长的计算．版权一切

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，利用AAS得到三角形PEO与三角形PFO全等，利用全等三角形对应边相等得到=OE，即可确定出PN与圆O相切；

（2）在直角三角形POE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，∠EOB度数，利用弧长公式即可求出劣弧的长．

解答：

（1）证明：连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，∵PM与圆O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，则PN与圆O相切；

（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，则的长l==．

点评：

此题考查了切线的判定与性质，弧长公式，纯熟掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

29．（2015•潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延伸线交于点M，∠COB=∠APB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．

考点：

切线的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据切线的性质，可得∠MAP=90°，根据直角三角形的性质，可得∠P+M=90°，根据余角的性质，可得∠M+∠MOB=90°，根据直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根据切线的判定，可得答案；

（2）根据类似三角形的判定与性质，可得==，根据解方程组，可得答案．

解答：

（1）证明：∵PA切⊙O于点A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°．

∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB直径的外端点，∴PB是⊙O的切线；

（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴==，=

①，=

②

联立①②得，解得，当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2．

点评：

本题考查了切线的判定与性质，（1）利用了切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质；（2）利用了类似三角形的判定与性质，解方程组．

30．（2015•盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延伸线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；

（2）求证：直线BF是⊙O的切线；

（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延伸线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

考点：

圆的综合题．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据垂径定理求得PC，连接OC，根据勾股定理求得即可；

（2）求得△PBC∽△BFA，根据类似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可证得结论；

（3）经过证得AE=BF，AE∥BF，从而证得四边形AEBF是平行四边形．

解答：

（1）解：CD⊥AB，∴PC=PD=CD=，连接OC，设⊙O的半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r，在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=．

（2）证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直线BF是⊙O的切线；

（3）四边形AEBF是平行四边形；

理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P，∴当点P与点O重合时，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O的切线，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位线，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．

∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位线，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四边形AEBF是平行四边形．

点评：

本题考查了切线的判定，勾股定理的运用，三角形类似的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定等，纯熟掌握性质定理是解题的关键．

31．（2015•内江）如图，将▱ABCD的边AB延伸至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．

（1）求证：△ABD≌△BEC；

（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

考点：

矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；

（2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC=ED．

解答：

证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．

又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD=EC．

∴在△ABD与△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SSS）；

（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．

∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．

又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．

32．（2015•南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求证：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；

（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证．

解答：

证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB（ASA）；

（2）作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四边形EBFD为平行四边形，∴FD=EB，∴DA=DF．

点评：

此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，纯熟掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．

33．（2015•南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延伸线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．

（1）求证：∠BAD=∠BDC；

（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（到0.01）

考点：

切线的性质；解直角三角形．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；

（2）根据三角函数进行计算即可．

解答：

证明：（1）连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；

（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半径为．

点评：

此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行分析．

34．（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延伸线与AD的延伸线交于点E，且DC=DE．

（1）求证：∠A=∠AEB；

（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．

考点：

圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；

（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．

解答：

证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB；

（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．

点评：

此题次要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．

35．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；

（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．

解答：

证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B

在△AEF与△CEB中，∴△AEF≌△CEB（AAS）；

（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．

点评：

本题次要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．

36．（2015•南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的地位，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的外形为　C

A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形

（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的地位，拼成四边形AFF′D．

①求证：四边形AFF′D是菱形．

②求四边形AFF′D的两条对角线的长．

考点：

图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定；平移的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据矩形的判定，可得答案；

（2）①根据菱形的判定，可得答案；

②根据勾股定理，可得答案．

解答：

解：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的地位，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的外形为矩形，故选：C；

（2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴AE=3．

如图2：，∵△AEF，将它平移至△DE′F′，∴AF∥DF′，AF=DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF===5，∴AF=AD=5，∴四边形AFF′D是菱形；

②连接AF′，DF，如图3：

在Rt△DE′F中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF===，在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′===3．

点评：

本题考查了图形的剪拼，利用了矩形的判定，菱形的判定，勾股定理．

37．（2015•梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．

（1）求证：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．

考点：

全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）利用SSS定理证得结论；

（2）设BE=x，利用角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．

解答：

（1）证明：在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）；

（2）解：设BE=x，∵∠BAC=30°，∴∠ABE=60°，∴AE=tan60°•x=x，∵△ABC≌△ADC，∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，∵∠BCA=45°，∴∠BCA=∠DCA=45°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CE=BE=x，∴x+x=4，∴x=2﹣2，∴BE=2﹣2．

点评：

本题次要考查了全等三角形的判定及性质，角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．

38．（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．

（1）求证：AE=DC；

（2）已知DC=，求BE的长．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF≌△DCE，可证得AE=DC；

（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长．

解答：

（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=DC；

（2）解：由（1）得AE=DC，∴AE=DC=，在矩形ABCD中，AB=CD=，在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，∴BE=2．

点评：

本题次要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，在（1）中证得三角形全等是解题的关键，在（2）中留意勾股定理的运用．

39．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．

（1）求证：AB=AC；

（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．

考点：

切线的性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据弦切角定理和圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；

（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．

解答：

证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；

（2）作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH．

点评：

本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，留意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．

40．（2015•辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延伸线于点F．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线；

（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．

考点：

切线的判定；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）首先判断出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根据DG⊥AC，可得∠DGC=90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判断出直线FG是⊙O的切线．

（2）首先根据类似三角形判定的方法，判断出△ODF∽△AGF，再根据cosA=，可得cos∠DOF=；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少．

解答：

（1）证明：如图1，连接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴∠ODG=∠DGC，∵DG⊥AC，∴∠DGC=90°，∴∠ODG=90°，∴OD⊥FG，∵OD是⊙O的半径，∴直线FG是⊙O的切线．

（2）解：如图2，∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径，∴OA=OD=10÷2=5，由（1），可得

OD⊥FG，OD∥AC，∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，在△ODF和△AGF中，∴△ODF∽△AGF，∴，∵cosA=，∴cos∠DOF=，∴=，∴AF=AO+OF=5，∴，解得AG=7，∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，即CG的长是3．

点评：

（1）此题次要考查了切线的判定和性质的运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确切线的判定定理：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）此题还考查了三角形类似的判定和性质的运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形类似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形类似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形类似．

41．（2015•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．

（1）求证；∠EDB=∠EBD；

（2）判断AF与DB能否平行，并阐明理由．

考点：

翻折变换（折叠成绩）；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由折叠和平行线的性质易证∠EDB=∠EBD；

（2）AF∥DB；首先证明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根据三角形内角和与等式性质可证明∠BDE=∠AFE，所以AF∥BD．

解答：

解：（1）由折叠可知：∠CDB=∠EDB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDB=∠EBD，∴∠EDB=∠EBD；

（2）AF∥DB；

∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，由折叠可知：DC=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，∴DF=AB，∴AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，∴2∠EDB+∠DEB=180°，同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°，∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA，∴AF∥DB．

点评：

本题次要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合运用，运用三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是处理成绩的关键．

42．（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的外形，并阐明理由．

（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，由于G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；

（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．

解答：

（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°

∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；

（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；

∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．

点评：

本题次要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．

43．（2015•酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延伸线与BC的延伸线交于点F，连结CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AE=　3.5　cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE=　2　cm时，四边形CEDF是菱形．

（直接写出答案，不需求阐明理由）

考点：

平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．版权一切

专题：

证明题；动点型．

分析：

（1）证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可；

（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定推出即可；

②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE，根据菱形的判定推出即可．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG=∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG=DG，在△FCG和△EDG中，∴△FCG≌△EDG（ASA）

∴FG=EG，∵CG=DG，∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC中，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5；

②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD=5，AE=2，∴DE=3，∵CD=3，∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：2．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的运用，留意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．

44．（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延伸线上一点，且∠ODB=∠AEC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE2=EH•EA；

（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．

考点：

圆的综合题．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；

（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；

（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．

解答：

（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；

（2）证明：连接AC，如图1所示：

∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；

（3）解：连接BE，如图2所示：

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．

点评：

本题是圆的综合标题，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、类似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需求经过作辅助线证明三角形类似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．

45．（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．经过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．

类比扇形，我们探求扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其运用．

（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；

（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积，面积是多少？

考点：

圆的综合题．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据扇形公式之间的关系，已知条件推出结果即可；

（2）求出l1+l2=40﹣2h，代入（1）的结果，化成顶点式，即可得出答案．

解答：

（1）S扇环=（l1﹣l2）h，证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=，得R=，r=

所以图中扇环的面积S=×l1×R﹣×l2×r

=l1•﹣l2•

=（l12﹣l22）

=（l1+l2）（l1﹣l2）

=••（R﹣r）（l1﹣l2）

=（l1﹣l2）（R﹣r）

=（l1+l2）h，故猜想正确．

（2）解：根据题意得：l1+l2=40﹣2h，则S扇环=（l1+l2）h

=（40﹣2h）h

=﹣h2+20h

=﹣（h﹣10）2+100

∵﹣1＜0，∴开口向下，有值，当h=10时，值是100，即线段AD的长h为10m时，花园的面积，面积是100m2．

点评：

本题次要考查了扇形面积公式，弧长公式，二次函数的顶点式的运用，能猜想出正确结论是解此题的关键，有一定的难度．

46．（2015•黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．

（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ能否成立？请阐明理由．

考点：

类似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；

②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；

（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．

解答：

（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；

②延伸AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：

∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；

（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：

∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．

点评：

本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、类似三角形的判定与性质；纯熟掌握旋转的性质，并能进行推理论证是处理成绩的关键．

47．（2015•黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延伸线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN

（2）求证：=．

考点：

切线的性质；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．

（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论．

解答：

（1）证明：∵AC为⊙O直径，∴∠ANC=90°，∴∠NAC+∠ACN=90°，∵AB=AC，∴∠BAN=∠CAN，∵PC是⊙O的切线，∴∠ACP=90°，∴∠ACN+∠PCB=90°，∴∠BCP=∠CAN，∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，∴∠PBC=∠AMN，由（1）知∠BCP=∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴．

点评：

本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，类似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是纯熟掌握定理．

48．（2015•湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：BE=CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

考点：

旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．版权一切

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；

（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．

解答：

（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；

（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．

点评：

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．

49．（2015•葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延伸线于点E，与⊙O相交于G、F两点．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？

考点：

切线的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD即可；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，则四边形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解．

解答：

解：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O与AC相切于点D．

∴OD⊥AC，∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等边三角形，∴∠DAO=∠NAO，∴OM=OD．

∴AB与⊙O相切；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．

∵O是BC的中点，∴OB=2．

在直角△OBM中，∠MBO=60du6，∴OM=OB•sin60°=，BM=OB•cos60°=1．

∵BE⊥AB，∴四边形OMBN是矩形．

∴ON=BM=1，BN=OM=．

∵OF=OM=，由勾股定理得NF=．

∴BF=BN+NF=+．

点评：

本题考查了切线的性质与判定，以及等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是处理本题的关键．

50．（2015•呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF；

（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴AE=AB，CF=CD，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：

解：由（1）可得BE=DF，又∵AB∥CD，∴BE∥DF，BE=DF，∴四边形BEDF是平行四边形，连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF∥AE，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∴EF∥AD，∵∠ADB是直角，∴AD⊥BD，∴EF⊥BD，又∵四边形BFDE是平行四边形，∴四边形BFDE是菱形．

点评：

本题次要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中点是解题的关键．

51．（2015•呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延伸线交直线l于点C．

（1）求证：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半径．

考点：

切线的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；

（2）延伸AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，根据AB=AC推出52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出=，代入求出即可．

解答：

证明：（1）如图1，连接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；

（2）如图2，延伸AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=．

∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质和判定，类似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的地位关系等知识点的运用，次要培养先生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．

52．（2015•贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）．

考点：

切线的判定；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠，推出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线判定推出即可；

（2）首先求得线段AO的长，然后证△AOE∽△ACD，得出比例式，代入求出即可．

解答：

（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∴∠ADC=∠OCF，∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，∴∠OCF=90°，∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线．

（2）∵OE⊥AC，∴AE=AC=cm，在Rt△AOE中，AO===4cm，由（1）得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，∴△AOE∽△ACD，∴，即，∴DC=cm．

点评：

本题考查了类似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，平行线性质和判定，等腰三角形性质，切线的判定的运用，次要考查先生的推理能力．

53．（2015•贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8．

（1）求证：AF=EF；

（2）求证：BF平分∠ABD．

考点：

翻折变换（折叠成绩）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）先根据翻折变换的性质得出ED=CD，∠E=∠C，故ED=AB，∠E=∠A．由AAS定理得出△ABF≌△EDF，故可得出结论；

（2）在Rt△BCD中根据sin∠CBD==可得出∠CBD=30°，∠EBD=∠CBD=30°，由直角三角形的性质可知∠ABF=90°﹣30°×2=30°，所以∠ABF=∠DBF，BF平分∠ABD．

解答：

（1）证明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，∵△BED是△BCD翻折而成，∴ED=CD，∠E=∠C，∴ED=AB，∠E=∠A．

在△ABF与△EDF中，∵，∴△ABF≌△EDF（AAS），∴AF=EF；

（2）在Rt△BCD中，∵DC=DE=4，DB=8，∴sin∠CBD==，∴∠CBD=30°，∴∠EBD=∠CBD=30°，∴∠ABF=90°﹣30°×2=30°，∴∠ABF=∠DBF，∴BF平分∠ABD．

点评：

本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

54．（2015•河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延伸BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．

（1）求证：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，则四边形AOPD的面积为　4　；

②连接OD，当∠PBA的度数为　60°　时，四边形BPDO是菱形．

考点：

菱形的判定；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可证△CDP≌△POB；

（2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有面积，依此即可求解；

②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解．

解答：

（1）证明：∵PC=PB，D是AC的中点，∴DP∥AB，∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，∵BO=AB，∴DP=BO，在△CDP与△POB中，∴△CDP≌△POB（SAS）；

（2）解：①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有面积，（4÷2）×（4÷2）

=2×2

=4；

②如图：

∵DP∥AB，DP=BO，∴四边形BPDO是平行四边形，∵四边形BPDO是菱形，∴PB=BO，∵PO=BO，∴PB=BO=PO，∴△PBO是等边三角形，∴∠PBA的度数为60°．

故答案为：4；60°．

点评：

考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，解题的关键是SAS证明△CDP≌△POB．

55．（2015•桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．

（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；

（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；

（2）根据平行四边的性质：平行四边形的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判定，可得答案．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．

∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形；

（2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN与△CDM中，∴△ABN≌△CDM

（ASA）．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．

56．（2015•贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延伸线相交于点M，连接AC，CM．

（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）

（2）求证：四边形ABMC是菱形．

考点：

切线的性质；菱形的判定；弧长的计算．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OB，由E为OD中点，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，进而求出∠AOE与∠AOB的度数，设OA=x，利用勾股定理求出x的值，确定出圆的半径，利用弧长公式即可求出的长；

（2）由问得到∠BAM=∠BMA，利用等角对等边得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM与三角形OBM全等，利用全等三角形对应边相等得到CM=BM，等量代换得到CM=AB，再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角相等，进而确定出CM与AB平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABMC为平行四边形，由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

解答：

（1）解：∵OA=OB，E为AB的中点，∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，∵OE⊥AB，E为OD中点，∴OE=OD=OA，∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，设OA=x，则OE=x，AE=x，∵AB=4，∴AB=2AE=x=4，解得：x=4，则的长l==；

（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，∴∠BAM=∠BMA=30°，∴AB=BM，∵BM为圆O的切线，∴OB⊥BM，在△COM和△BOM中，∴△COM≌△BOM（SAS），∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，∴CM∥AB，∴四边形ABMC为菱形．

点评：

此题考查了切线的性质，菱形的判断，全等三角形的判定与性质，以及弧长公式，纯熟掌握切线的性质是解本题的关键．

57．（2015•甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．

（1）求证：CF=CH；

（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

考点：

菱形的判定；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）要证明CF=CH，可先证明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；

（2）根据△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形．

解答：

（1）证明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．

在△BCF和△ECH中，∴△BCF≌△ECH（ASA），∴CF=CH（全等三角形的对应边相等）；

（2）解：四边形ACDM是菱形．

证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°．

∵∠E=45°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，又∵∠A=∠D=45°，∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．

点评：

菱形的判别方法是阐明一个四边形为菱形的理论根据，常用三种方法：

①定义；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需求根据已知条件来确定．

58．（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延伸EF交边BC于点G，连接AG．

（1）求证：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的长．

考点：

翻折变换（折叠成绩）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；

（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；

解答：

解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，设BG=FG=x，则GC=6﹣x，∵E为CD的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，∴BG=2．

点评：

此题次要考查了勾股定理的综合运用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．

59．（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．

（1）证明：AB=CD；

（2）证明：DP•BD=AD•BC；

（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．

考点：

类似三角形的判定与性质；圆周角定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）利用平行线的性质圆周角定理得出=，进而得出答案；

（2）首先得出△ADP∽△DBC，进而利用类似三角形的性质得出答案；

（3）利用类似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，进而求出AB2=DB•PB，再利用（2）中所求得出答案．

解答：

证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴=，∴AB=BC；

（2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°，∴∠BCD=∠APD，又∵∠ADB=∠CBD，∴△ADP∽△DBC，∴=，∴DP•BD=AD•BC；

（3）∵∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA，∴△ABP∽△DBA，∴=，∴AB2=DB•PB，∴AB2+AD•BC=DB•PB+AD•BC

∵由（2）得：DP•BD=AD•BC，∴AB2+AD•BC=DB•PB+DP•BD=DB（PB+DP）=DB2，即BD2=AB2+AD•BC．

点评：

此题次要考查了类似三角形的判定与性质以及圆周角定理，纯熟运用类似三角形的判定与性质是解题关键．

60．（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延伸线交于点D，DE⊥PO交PO延伸线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：PB是的切线．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．

考点：

切线的判定与性质．版权一切

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB类似，利用类似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；

（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．

解答：

（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD==10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．

点评：

此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，纯熟掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

第三篇：「中考数学」圆：真题专项突破冲刺提分60题（含答案解析）

【中考数学】圆：精选真题专项打破冲刺提分60题

（含答案解析）

一、解

答

题（共60小题）

1．（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

2．（2014•永州）如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延伸线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．

3．（2014•无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．

（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；

（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．

4．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线．

（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．

5．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延伸线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判断直线CD和⊙O的地位关系，并阐明理由．

（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．

6．（2014•天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；

（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

7．（2014•绥化）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．

（1）求证：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．

8．（2014•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．

（1）求证：AD=CD；

（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

9．（2014•厦门）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．

（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；

（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．

10．（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延伸线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．

（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；

（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？

②求∠ODC的度数．

11．（2014•黔东北州）如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延伸线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的暗影部分的面积．（结果保留π）

12．（2014•南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好圆心O，连接MB．

（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；

（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．

13．（2014•临沂）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）证明：DE为⊙O的切线；

（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．

14．（2014•聊城）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延伸线交于点P．连接PC并延伸与AB的延伸线交于点F．

（1）求证：PC是半⊙O的切线；

（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．

15．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延伸线上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

16．（2014•凉山州）已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．

（1）求证：∠PCA=∠PBC；

（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．

17．（2014•凉山州）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；

（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；

（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B（1）、（2）变换的路径总长．

18．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延伸AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列成绩：

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．

19．（2014•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．

（1）求证：EB=EC；

（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的外形，并阐明理由．

20．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．

（1）求证：AC=BD；

（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

21．（2014•哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度数；

（2）过点O作OF⊥AC于点F，延伸FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．

22．（2014•福州）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延伸线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．

（1）求BC的长；

（2）求⊙O的半径．

23．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

24．（2014•滨州）如图，点D在⊙O的直径AB的延伸线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中暗影部分的面积．

25．（2014•北京）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延伸线于点D，E是OB的中点，CE的延伸线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

（1）求证：AC=CD；

（2）若OB=2，求BH的长．

26．（2013•营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）

（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；

（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所的路线长．

27．（2013•乌鲁木齐）如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：

（1）△AEB∽△OFC；

（2）AD=2FO．

28．（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延伸BC至点D，使DC=CB，延伸DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．

（1）求证：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．

29．（2013•深圳）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．

30．（2013•邵阳）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．

31．（2013•厦门）（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：

郊县

人数/万

人均耕地面积/公顷

A

0.15

B

0.20

C

0.18

求甲市郊县一切人口的人均耕地面积（到0.01公顷）；

（2）先化简下式，再求值：，其中，；

（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延伸DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．

32．（2013•黔东北州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．

33．（2013•梅州）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延伸线于点F，设DA=2．

（1）求线段EC的长；

（2）求图中暗影部分的面积．

34．（2013•凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．

（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的地位关系；

（2）若直线l点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的地位关系．

35．（2013•巴中）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的地位关系．

36．（2012•岳阳）如图所示，在⊙O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．

（1）求证：AC2=AB•AF；

（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中暗影部分面积．

37．（2012•宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作不断线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延伸线交于点E．

（1）求证：；

（2）若PQ=2，试求∠E度数．

38．（2012•武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；

（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

39．（2012•无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都中止运动．设点P运动的工夫为ts．

（1）当P异于A、C时，请阐明PQ∥BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

40．（2012•台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．

（1）求证：△ABD≌△CBE；

（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的外形，并证明你的结论．

41．（2012•日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．

（Ⅰ）探求新知

如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．

（1）求证：内切圆的半径r1=1；

（2）求tan∠OAG的值；

（Ⅱ）结论运用

（1）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；

（2）如图③，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值．

42．（2012•泉州）已知：A、B、C三点不在同不断线上．

（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长；

ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=；

（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探求在整个滑动过程中，P、A两点间的距离能否保持不变？请阐明理由．

43．（2012•南昌）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．

（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；

②如图2，当折叠后的圆心为O时，求的长度；

③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；

（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．

①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；

②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探求四边形OMPN的外形，并证明你的结论．

44．（2012•荆州）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（暗影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）

45．（2012•呼伦贝尔）如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6，AB=6．

（1）求⊙O的半径；

（2）求图中暗影部分的面积．

46．（2012•桂林）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1⊙O2的圆心，依次连接A、O1、B、O2．

（1）求证：四边形AO1BO2是菱形；

（2）过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延伸线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE=2O2D；

（3）在（2）的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．

47．（2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．

（1）D为AB延伸线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；

（2）求EF•EC的值；

（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．

48．（2012•崇左）已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．

（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB地位关系；

（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．

49．（2012•崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C．

（1）求点D沿三条弧运动到点G所的路线长；

（2）判断直线GB与DF的地位关系，并阐明理由．

50．（2011•资阳）如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．

（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；

（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必阐明理由）．

51．（2011•宜昌）如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．

（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；

（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）

52．（2011•盘锦）如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm．

（1）风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）．

（2）在风车转动一周的过程中，求点A绝对于桌面的高度不超过20cm所的路径长（结果保留π）．

53．（2011•南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相反点和不同点．例如：

它们的一个相反点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．

它们的一个不同点：正五边形不是对称图形，正六边形是对称图形．

请你再写出它们的两个相反点和不同点：

相反点：

①　　　　　　；

②　　　　　　．

不同点：

①　　　　　　；

②　　　　　　．

54．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．

（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；

（2）当点P沿直线AC挪动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上能否存在使△DOM与△ABC类似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请阐明理由；

（3）当点P沿直线AC挪动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中能否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请阐明理由．

55．（2011•绵阳）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切．

（1）求证：OB⊥OC；

（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．

56．（2014•贵港）如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，PA与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．

（1）求证：CD是小半圆M的切线；

（2）若AB=8，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），设PD=x，CD2=y．

①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②当y=3时，求P，M两点之间的距离．

57．（2011•杭州）在平面上，七个边长为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图）．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形

（1）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；

（2）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于？请阐明理由．

58．（2011•东莞）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1

（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的地位关系；

（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A、B．求劣弧与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）

59．（2011•大庆）如图，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，延伸C0交斜边AB于点G．

（1）求⊙0的半径长；

（2）求线段DG的长．

60．（2014•河南）（1）成绩发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同不断线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为　　　　　　；

②线段AD，BE之间的数量关系为　　　　　　．

（2）拓展探求

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同不断线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并阐明理由．

（3）处理成绩

如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

中考数学提分冲刺真题精析：圆

参考答案与试题解析

一、解

答

题（共60小题）

1．（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

考点：

切线的性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC；

（2）利用△DAE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可．

解答：

（1）证明：连接OD，∵D是BC的中点，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；

（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，∴∠ADE=∠DCE

在△ADE和△CDE中，∴△CDE∽△DAE，∴，设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，∴，整理得：x2﹣3x+1=0，解得：x=，∴tan∠ACB=或．

（可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况）

点评：

本题次要考查了切线的性质的综合运用，解答本题的关键在于如何利用三角形类似求出线段DE与CE的比值．

2．（2014•永州）如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延伸线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．

考点：

切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连结OC，根据垂径定理由AC⊥OB得AM=CM，于是可判断OB为线段AC的垂直平分线，所以BA=BC，然后利用“SSS”证明△OAB≌△OCB，得到∠OAB=∠OCB，由于∠OAB=90°，则∠OCB=90°，于是可根据切线的判定定理得BC是⊙O的切线；

（2）在Rt△OAB中，根据勾股定理计算出OB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠ABO=30°，∠AOB=60°，在Rt△PBO中，由∠BPO=30°得到PB=OB=2；在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=1，根据勾股定理计算出PD=，然后利用正弦的定义求sin∠BPD的值．

解答：

（1）证明：连结OC，如图，∵AC⊥OB，∴AM=CM，∴OB为线段AC的垂直平分线，∴BA=BC，在△OAB和△OCB中，∴△OAB≌△OCB（SSS），∴∠OAB=∠OCB，∵OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∴∠OCB=90°，∴OC⊥BC，故BC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=，∴OB==2，∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，∵PB⊥OB，∴∠PBO=90°，∠BPO=30°，在Rt△PBO中，OB=2，∴PB=OB=2，在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=2﹣1=1，PB=2，∴PD==，∴sin∠BPD===．

点评：

本题考查了切线的判定定理：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、勾股定理和全等三角形的判定与性质．

3．（2014•无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．

（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；

（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．

考点：

圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；

（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．

解答：

解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．

∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°

∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；

（2）在直角△ABC中，BC===．

∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．

又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．

点评：

本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．

4．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线．

（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．

考点：

切线的判定；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；

（2）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．

解答：

证明：（1）如图1，连接OE．

∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；

（2）如图2，连结DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．

在△CDE与△HFE中，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．

点评：

本题次要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

5．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延伸线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判断直线CD和⊙O的地位关系，并阐明理由．

（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．

考点：

切线的判定与性质．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答：

解：（1）直线CD和⊙O的地位关系是相切，理由是：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的地位关系是相切；

（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3，在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90°，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，则（4+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，即BE=6．

点评：

本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的运用，标题比较典型，综合性比较强，难度适中．

6．（2014•天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；

（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

考点：

圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理异样得到BD=CD=5；

（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．

解答：

解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．

∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．

∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=BD．

在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；

（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．

∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．

又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．

∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．

点评：

本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．

7．（2014•绥化）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．

（1）求证：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．

考点：

圆周角定理；平行线的判定与性质；垂径定理；解直角三角形．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）根据圆周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根据平行线的判定推出即可；

（2）根据垂径定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．

解答：

（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，∴∠D=∠BCD，∴CB∥PD；

（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴=，∴∠BPD=∠CAB，∴sin∠CAB=sin∠BPD=，即=，∵BC=3，∴AB=5，即⊙O的直径是5．

点评：

本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，平行线的判定的运用，次要考查先生的推理能力．

8．（2014•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．

（1）求证：AD=CD；

（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

考点：

圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；

（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．

解答：

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；

（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO中，OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AE===4，在Rt△AED中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE，∴tan∠DBC=．

点评：

此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，留意掌握数形思想的运用．

9．（2014•厦门）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．

（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；

（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．

考点：

垂径定理；勾股定理；圆周角定理．版权一切

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；

（2）连结DO，延伸交圆O于F，连结CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧AB，则CF=AB．根据勾股定理即可求解．

解答：

解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；

（2）连结DO，延伸交圆O于F，连结CF、BF．

∵DF是直径，∴∠DCF=∠DBF=90°，∴FB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∴CF=AB．

根据勾股定理，得

CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，∴DF=，∴OD=，即⊙O的半径为．

点评：

此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理．学会作辅助线是解题的关键．

10．（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延伸线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．

（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；

（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？

②求∠ODC的度数．

考点：

直线与圆的地位关系；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）连接OC，由于CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．

（2）连接OE，①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；

②利用等腰三角形及平行线的性质，可求得∠ODC的度数．

解答：

解：（1）如图①，连接OC，∵OC=OA，CD=OA，∴OC=CD，∴∠ODC=∠COD，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ODC=45°；

（2）如图②，连接OE．

∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AE∥OC，∴∠2=∠3．

设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．

∴∠AOE=∠OCD=180°﹣2x．

①AE=OD．理由如下：

在△AOE与△OCD中，∴△AOE≌△OCD（SAS），∴AE=OD．

②∠6=∠1+∠2=2x．

∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．

∵AE∥OC，∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°．

∴∠ODC=36°．

点评：

本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，作出辅助线是解题的关键．

11．（2014•黔东北州）如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延伸线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的暗影部分的面积．（结果保留π）

考点：

切线的判定；扇形面积的计算．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；

（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分别求出△ACO的面积和扇形COD的面积，即可得出答案．

解答：

（1）证明：连接OC，交BD于E，∵∠B=30°，∠B=∠COD，∴∠COD=60°，∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°，∴DE=BD=，∵sin∠COD=，∴OD=2，在Rt△ACO中，tan∠COA=，∴AC=2，∴S暗影=×2×2﹣=2﹣．

点评：

本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，标题比较好，难度适中．

12．（2014•南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好圆心O，连接MB．

（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；

（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．

考点：

垂径定理；勾股定理；圆周角定理．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；

（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，直角三角形可以求得结果；

解答：

解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．

（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．

点评：

本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；

13．（2014•临沂）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）证明：DE为⊙O的切线；

（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．

考点：

切线的判定；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；圆周角定理．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；

（2）首先根据三角函数的性质，求得BD，DE，AE的长，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面积，继而求得答案．

解答：

（1）证明：连接OD，CD，∵BC为⊙O直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵D点在⊙O上，∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，∴CD=BC=2，BD=BC•cos30°=2，∴AD=BD=2，AB=2BD=4，∴S△ABC=AB•CD=×4×2=4，∵DE⊥AC，∴DE=AD=×2=，AE=AD•cos30°=3，∴S△ODE=OD•DE=×2×=，S△ADE=AE•DE=××3=，∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=×4=，∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4﹣﹣﹣=．

点评：

此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识．此题难度适中，留意掌握辅助线的作法，留意掌握数形思想的运用．

14．（2014•聊城）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延伸线交于点P．连接PC并延伸与AB的延伸线交于点F．

（1）求证：PC是半⊙O的切线；

（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．

考点：

切线的判定与性质；解直角三角形．版权一切

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；

（2）根据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后经过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可．

解答：

（1）证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP

∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．

∴∠OCP=90°，即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∵PC是⊙O的切线，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF===10，∴BF=OF﹣OB=5．

点评：

本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的运用，证明圆的切线的成绩常用的思绪是根据切线的判定定理转化成证明垂直的成绩．

15．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延伸线上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

考点：

切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；类似三角形的判定与性质；解直角三角形．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．

（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．

解答：

（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．

∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：过点C作CG⊥AB于G．

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴

∴BF==

点评：

本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求先生掌握常见的解题方法，并能图形选择简单的方法解题．

16．（2014•凉山州）已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．

（1）求证：∠PCA=∠PBC；

（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．

考点：

切线的性质；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据三角形内角和定理可知∠ACO+∠+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；

（2）先根据类似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由类似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答：

（1）证明：连结OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠，∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠PBC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；

（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA•PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．

点评：

本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．

17．（2014•凉山州）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；

（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；

（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B（1）、（2）变换的路径总长．

考点：

弧长的计算；作图-平移变换；作图-旋转变换．版权一切

专题：

作图题；网格型．

分析：

（1）利用平移的性质画图，即对应点都挪动相反的距离；

（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相反的角度；

（3）利用弧长公式求点B（1）、（2）变换的路径总长．

解答：

解：（1）连接AA1，然后从C点作AA1的平行线且AA1=CC1．

同理找到点B．

（2）画图如下：

（3）B（1）、（2）变换的路径如图红色部分所示：，弧B1B2的长=，故点B所走的路径总长=．

点评：

本题次要考查了平移变换、旋转变换的相关知识，做这类题时，理解平移旋转的性质是关键．

18．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延伸AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列成绩：

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．

考点：

切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可．

解答：

（1）证明：连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠A，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中

∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵△EOC≌△DOC，∴CE=CD=4，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC=3，∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的运用，解此题的关键是推出△EOC≌△DOC．

19．（2014•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．

（1）求证：EB=EC；

（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的外形，并阐明理由．

考点：

切线的性质；正方形的性质；圆周角定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OD，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由BC是⊙O的切线得出∠BCA=90°，由DE是⊙O的切线，得出ED=EC，∠ODE=90°，故可得出∠EDB=∠EBD，由此可得出结论．

（2）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则△DEB是等腰直角三角形，据此即可判断．

解答：

（1）证明：连接OD，∵AC是直径，∠ACB=90°，∴BC是⊙O的切线，∠BCA=90°．

又∵DE是⊙O的切线，∴ED=EC，∠ODE=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，又∵∠OAD+∠DBE=90°，∴∠EDB=∠EBD，∴ED=EB，∴EB=EC．

（2）解：当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则∠DEB=90°，又∵ED=EB，∴△DEB是等腰直角三角形，则∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．

点评：

本题考查了切线的性质以及切线长定理、圆周角定理，解题的关键是连接OD得垂直，构造出等腰三角形，利用“等角的余角相等解答．

20．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．

（1）求证：AC=BD；

（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

考点：

垂径定理；勾股定理．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；

（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．

解答：

（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；

（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE===2，AE===8，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．

点评：

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

21．（2014•哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度数；

（2）过点O作OF⊥AC于点F，延伸FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．

考点：

三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，即可得出答案；

（2）由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．

解答：

（1）证明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠ACB=60°；

（2）解：作BM⊥AC于点M，∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF=60°，∴∠EGF=30°，∵EG=2，∴EF=1，又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=，BM==，∴AM=AC﹣CM=，∴AB==7．

点评：

此题次要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，得出CM，BM的长是解题关键．

22．（2014•福州）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延伸线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．

（1）求BC的长；

（2）求⊙O的半径．

考点：

三角形的外接圆与外心；圆周角定理；解直角三角形．版权一切

分析：

（1）根据题意得出AE的长，进而得出BE=AE，再利用tan∠ACB=，求出EC的长即可；

（2）首先得出AC的长，再利用圆周角定理得出∠D=∠M=60°，进而求出AM的长，即可得出答案．

解答：

解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE中，∵si=，∴AE=ABsi=3sin45°=3×=3，∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，∴EC====，∴BC=BE+EC=3+；

（2）连接AO并延伸到⊙O上一点M，连接CM，由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=2，∵∠D=∠M=60°，∴sin60°===，解得：AM=4，∴⊙O的半径为2．

点评：

此题次要考查了解直角三角形以及锐角三角函数关系运用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．

23．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

考点：

垂径定理；勾股定理．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．

解答：

解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．

点评：

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

24．（2014•滨州）如图，点D在⊙O的直径AB的延伸线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中暗影部分的面积．

考点：

扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；角的三角函数值．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）暗影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．

解答：

（1）证明：连接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形BOC=．

在Rt△OCD中，∵，∴．

∴．

∴图中暗影部分的面积为：．

点评：

此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．

25．（2014•北京）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延伸线于点D，E是OB的中点，CE的延伸线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

（1）求证：AC=CD；

（2）若OB=2，求BH的长．

考点：

切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切

分析：

（1）连接OC，由C是的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；

（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．

解答：

（1）证明：连接OC，∵C是的中点，AB是⊙O的直径，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA=OB，∴AC=CD；

（2）解：∵E是OB的中点，∴OE=BE，在△COE和△FBE中，∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF=CO，∵OB=2，∴BF=2，∴AF==2，∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴=，∴AB•BF=AF•BH，∴BH===．

点评：

本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．

26．（2013•营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）

（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；

（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所的路线长．

考点：

弧长的计算；作图-平移变换；作图-旋转变换．版权一切

专题：

网格型．

分析：

（1）根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，依次连接即可；

（2）根据旋转的性质找出旋转后各个对应点的坐标，依次连接即可．点A旋转到A2所的路线是半径为OA，圆心角是90度的扇形的弧长．

解答：

解：（1）画出△A1B1C1；

（2）画出△A2B2C2

连接OA，OA2，点A旋转到A2所的路线长为．

点评：

本题考查的是平移变换与旋转变换作图．

作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的普通步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用组对应点和平移的性质确定图中一切关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．

作旋转后的图形的根据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式依次连接对应点．要留意旋转，旋转方向和角度．

27．（2013•乌鲁木齐）如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：

（1）△AEB∽△OFC；

（2）AD=2FO．

考点：

圆周角定理；垂径定理；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OB，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BOC，根据垂径定理可得∠COF=∠BOC，再根据垂直的定义可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根据两角对应相等，两三角形类似证明即可；

（2）根据类似三角形对应边成比例可得=，再根据圆周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE类似，根据类似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，再根据垂径定理BC=2FC，代入整理即可得证．

解答：

证明：（1）如图，连接OB，则∠BAE=∠BOC，∵OF⊥BC，∴∠COF=∠BOC，∴∠BAE=∠COF，又∵AC⊥BD，OF⊥BC，∴∠OFC=∠AEB=90°，∴△AEB∽△OFC；

（2）∵△AEB∽△OFC，∴=，由圆周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∴=，∴=，∵OF⊥BC，∴BC=2FC，∴AD=•FO=2FO，即AD=2FO．

点评：

本题考查了圆周角定理，垂径定理，类似三角形的判定与性质，熟记两个定理并精确识图找出相等的角从而得到三角形类似是解题的关键．

28．（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延伸BC至点D，使DC=CB，延伸DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．

（1）求证：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．

考点：

圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切

分析：

（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；

（2）首先设BC=x，则AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．

解答：

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；

（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．

点评：

此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，留意掌握方程思想与数形思想的运用．

29．（2013•深圳）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．

考点：

垂径定理的运用；勾股定理；类似三角形的运用．版权一切

分析：

根据已知得出旗杆高度，进而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半径即可．

解答：

解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12﹣3﹣1=8（m），∴GM=MH=4m．

如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．

设小桥所在圆的半径为r，∵MN=2m，∴OM=（r﹣2）m．

在Rt△OGM中，由勾股定理得：

∴OG2=OM2+42，∴r2=（r﹣2）2+16，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m．

点评：

此题次要考查了垂径定理以及勾股定理的运用，根据已知得出关于r的等式是解题关键．

30．（2013•邵阳）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．

考点：

垂径定理的运用；勾股定理．版权一切

分析：

根据垂径定理可得AF=AB，再表示出AO、OF，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．

解答：

解：∵弓形的跨度AB=3m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB，∴AF=AB=m，∵所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1m，∴AO=r，OF=r﹣1，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=（）2+（r﹣1）2，解得r=（m）．

答：所在圆O的半径为m．

点评：

本题考查了垂径定理的运用，勾股定理的运用，此类标题通常采用把半弦，弦心距，半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答．

31．（2013•厦门）（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：

郊县

人数/万

人均耕地面积/公顷

A

0.15

B

0.20

C

0.18

求甲市郊县一切人口的人均耕地面积（到0.01公顷）；

（2）先化简下式，再求值：，其中，；

（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延伸DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．

考点：

圆周角定理；分式的化简求值；等腰三角形的判定；加权平均数．版权一切

分析：

（1）求出总面积和总人口，再相除即可；

（2）先算加法，再化成最简分式，再代入求出即可；

（3）求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE．

解答：

解：（1）甲市郊县一切人口的人均耕地面积是≈0.17（公顷）；

（2）原式=

=

=x﹣y，当x=+1，y=2﹣2时，原式=+1﹣（2﹣2）

=3﹣；

（3）证明：∵A、D、C、B四点共圆，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠E，∴∠A=∠E，∴AD=DE，即△ADE是等腰三角形．

点评：

本题考查了分式求值，四点共圆，等腰三角形的性质和判定，求平均数等知识点的运用，次要考查先生的推理和计算能力．

32．（2013•黔东北州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．

考点：

圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．版权一切

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；

（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=，所以可以求得圆的直径．

解答：

（1）证明：∵∠C=∠P

又∵∠1=∠C

∴∠1=∠P

∴CB∥PD；

（2）解：连接AC

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°

又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．

点评：

本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．

33．（2013•梅州）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延伸线于点F，设DA=2．

（1）求线段EC的长；

（2）求图中暗影部分的面积．

考点：

扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质．版权一切

分析：

（1）根据扇形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案；

（2）利用锐角三角函数关系得出∠DEA=30°，进而求出图中暗影部分的面积为：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可．

解答：

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE==2，∴EC=CD﹣DE=4﹣2；

（2）∵sin∠DEA==，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴图中暗影部分的面积为：

S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB

=﹣×2×2﹣

=﹣2．

点评：

此题次要考查了扇形的面积计算以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出DE的长是解题关键．

34．（2013•凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．

（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的地位关系；

（2）若直线l点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的地位关系．

考点：

直线与圆的地位关系；点与圆的地位关系；作图—复杂作图．版权一切

专题：

压轴题；探求型．

分析：

（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的地位关系即可；

（2）连接PE，用待定系数法求出直线PD与PE的地位关系即可．

解答：

解：（1）如图所示：

△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；

（2）方法一：连接PD，设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2），∴，解得，∴此直线的解析式为y=2x+2；

设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），∴，解得，∴此直线的解析式为y=﹣x﹣3，∵2×（﹣）=﹣1，∴PD⊥DE，∵点D在⊙P上，∴直线l与⊙P相切．

方法二：连接PE，PD，∵直线

l过点

D（﹣2，﹣2），E

（0，﹣3），∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5，．．

∴PE2=PD2+DE2．

∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°．

∴PD⊥DE．

∵点D在⊙P上，∴直线l与⊙P相切．

点评：

本题考查的是直线与圆的地位关系，根据题意画出图形，利用数形求解是解答此题的关键．

35．（2013•巴中）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的地位关系．

考点：

圆与圆的地位关系；解二元方程组．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

首先由r1、r2是方程组的解，解此方程组即可求得答案；又由⊙O1和⊙O2的圆心距为4，根据两圆地位关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆地位关系．

解答：

解：∵，①×3﹣②得：11r2=11，解得：r2=1，把r2=1代入①得：r1=4；

∴，∵⊙O1和⊙O2的圆心距为4，∴两圆的地位关系为相交．

点评：

此题考查了圆与圆的地位关系与方程组的解法．留意掌握两圆地位关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．

36．（2012•岳阳）如图所示，在⊙O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．

（1）求证：AC2=AB•AF；

（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中暗影部分面积．

考点：

扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）由=，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形类似可得出△ACF与△ABC类似，根据类似得比例可得证；

（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出暗影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出暗影部分的面积．

解答：

（1）证明：∵=，∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC，∴=，即AC2=AB•AF；

（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，如图所示：

∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，在Rt△AOE中，OA=2cm，∴OE=OAcos60°=1cm，∴AE==cm，∴AC=2AE=2cm，则S暗影=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣×2×1=（﹣）cm2．

点评：

此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：类似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，纯熟掌握性质及定理是解本题的关键．

37．（2012•宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作不断线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延伸线交于点E．

（1）求证：；

（2）若PQ=2，试求∠E度数．

考点：

相交两圆的性质；三角形内角和定理；圆周角定理；类似三角形的判定与性质；解直角三角形．版权一切

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，推出=，代入求出即可；

（2）求出cos∠CPQ=，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°，推出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可．

解答：

（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=，∴PC=4，PD=2，∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°，∴PC、PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，∴△PAB∽△PCD，∴===，即=．

（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2（已知），∴cos∠CPQ=，∴∠CPQ=60°，∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，∴sin∠PDQ=，∴∠PDQ=45°，∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，又∵CD⊥PQ，∴∠PQD=90°，∴PD是⊙O2的直径，∴∠PBD=90°，∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°

在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，答：∠E的度数是75°．

点评：

本题考查了类似三角形的性质和判定，相切两圆的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，圆周角定理等知识点的运用，次要培养先生运用性质进行推理的能力，标题综合性比较强，是一道比较好的标题．

38．（2012•武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；

（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

考点：

三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．版权一切

专题：

计算题；压轴题．

分析：

（1）作DB垂直于BC，连DC，求出∠DBC=90°，∠A=∠D，根据sinA的值求出即可；

（2）连接IC、BI，且延伸BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF=CF，根据sinA求出BF/AB，求出AC，根据三角形的面积公式得出5×R+5×R+6×R=6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．

解答：

（1）解：作DB垂直于BC，连DC，∵∠DBC=90°，∴DC为直径．

∵∠A=∠D，BC=5，sinA=，∴sinD==，∴CD=，答：三角形ABC外接圆的直径是．

（2）解：连接IC、BI，且延伸BI交AC于F，过点I作IG⊥BC于点G，过I作IE⊥AB于E，∵AB=BC=5，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF=CF，∵sinA==，∴BF=4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=3，∵BA=BC，I是内心，即BF是∠ABC的角平分线，∴AC=2AF=6，∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE=IF=IG，设IE=IF=IG=R，∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，即5×R+5×R+6×R=6×4，∴R=，在△AIF中，AF=3，IF=，由勾股定理得：AI=．

答：AI的长是．

点评：

本题考查了三角形的面积公式，三角形的内切圆和内心，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，次要考查先生运用性质进行推理和计算的能力，标题综合性比较强，有一定的难度．

39．（2012•无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都中止运动．设点P运动的工夫为ts．

（1）当P异于A、C时，请阐明PQ∥BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

考点：

直线与圆的地位关系；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；切线的性质；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“类似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论；

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用角的三角函数值求得PM=PC=，然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程，经过解方程即可求得t的值；

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；

如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，经过解方程求得t的值．

解答：

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，又∵∠DAB=60°（已知），∴∠BAC=∠BCA=30°；

如图1，连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC，∴OB=AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），∴OA=（cm），AC=2OA=2（cm），运动ts后，∴

又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB，∴∠APQ=∠ACB（类似三角形的对应角相等），∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=PC=

由PM=PQ=AQ=t，即=t

解得t=4﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点；

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1

∴时，⊙P与边BC有2个公共点．

如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2t=t，∴t=3﹣．

∴当1＜t≤3﹣时，⊙P与边BC有一个公共点，当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，∴当t=4﹣6或1＜t≤3﹣或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；

当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．

点评：

本题综合考查了菱形的性质、直线与圆的地位关系以及类似三角形的判定等性质．解答（2）题时，根据⊙P的运动过程来确定t的值，以防漏解．

40．（2012•台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．

（1）求证：△ABD≌△CBE；

（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的外形，并证明你的结论．

考点：

三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．版权一切

专题：

几何综合题；探求型．

分析：

（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根据SAS定理可知△ABD≌△CBE；

（2）由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根据点D是△ABC外接圆圆心可知DA=DB=DC，再由BD=BE可判断出BD=BE=CE=CD，故可得出四边形BDCE是菱形．

解答：

（1）证明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD与△CBE中，∵，∴△ABD≌△CBE（SAS）

（2）解：四边形BDCE是菱形．证明如下：

同（1）可证△ABD≌△CBE，∴CE=AD，∵点D是△ABC外接圆圆心，∴DA=DB=DC，又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD，∴四边形BDCE是菱形．

点评：

本题考查的是三角形的外接圆与外心、全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理，先根据题意判断出△ABD≌△CBE是解答此题的关键．

41．（2012•日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．

（Ⅰ）探求新知

如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．

（1）求证：内切圆的半径r1=1；

（2）求tan∠OAG的值；

（Ⅱ）结论运用

（1）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；

（2）如图③，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值．

考点：

相切两圆的性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

（Ⅰ）（1）根据切线的性质以及正方形的判定得出四边形CEOF是正方形，进而得出CE=CF=r1，再利用切线长定理求出即可；

（2）在Rt△AOG中，根据r1=1，AG=3﹣r1=2，求出tan∠OAG的值即可；

（Ⅱ）（1）由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，同理可得：tan∠O2BE==，进而得出AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2，即可求出r2=；

（2）根据（1）中所求可以得出AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，得到2rn+2rn+…+3rn=5，求出即可．

解答：

（Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF，OA．

∵⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．

∴OF⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，∴四边形CEOF是矩形，又∵EO=OF，∴四边形CEOF是正方形，CE=CF=r1．

又∵AG=AE=3﹣r1，BG=BF=4﹣r1，AG+BG=5，∴（3﹣r1）+（4﹣r1）=5．

即r1=1．

（2）解：连接OG，在Rt△AOG中，∵r1=1，AG=3﹣r1=2，tan∠OAG==；

（Ⅱ）（1）解：连接O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E，AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC．

由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，同理可得：tan∠O2BE==，∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2．

∵AD+DE+BE=5，r2=；

（2）解：如图③，连接O1A、O，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnM⊥AB交于点M．

则AO1、BOn分别平分∠CAB、∠ABC．

tan∠O1AD=，tan∠OM=，AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，又∵AD+DE+…+MB=5，2rn+2rn+…+3rn=5，（2n+3）rn=5，rn=．

点评：

此题次要考查了切线长定理以及锐角三角函数关系以及相切两圆的性质，根据已知得出tan∠O1AD=，tan∠O2BE==是解题关键．

42．（2012•泉州）已知：A、B、C三点不在同不断线上．

（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长；

ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=；

（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探求在整个滑动过程中，P、A两点间的距离能否保持不变？请阐明理由．

考点：

三角形的外接圆与外心；圆周角定理；解直角三角形．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；

ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sinA=sinE=，得出即可；

（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°=，得出AP==（定值）．

解答：

解：（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°，∵OB=OC=1，∴BC=，注：也可延伸BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．

ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，∴∠EBC=90°

∴sinA=sinE=，证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，则∠A=∠BOC=∠BOH，BH=BC

∴sinA=sin∠BOH===，（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK，同理得：BK=AK=PK，∴CK=BK=AK=PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°=

∴AP==（定值），故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．

点评：

此题次要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C都在⊙K上以及sin60°=是解题关键．

43．（2012•南昌）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．

（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；

②如图2，当折叠后的圆心为O时，求的长度；

③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；

（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．

①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；

②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探求四边形OMPN的外形，并证明你的结论．

考点：

相切两圆的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；垂径定理；弧长的计算；翻折变换（折叠成绩）；解直角三角形．版权一切

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度；

②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可；

③如图3，连接O′A、O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心O′到弦AB的距离；

（2）①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于于点E，交于点F，根据折叠的性质，可求点O到AB、CD的距离之和；

②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证．

解答：

解：（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，∴O′A=OA=2；

②当圆O时，折叠后的所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A、OA、O′B，OB，OO′

∵△OO′A△OO′B为等边三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°

∴==；

③如图3所示，连接OA，OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB为等边三角形，过点O作OE⊥AB于点E，∴OE=OA•sin60°=．

（2）①如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上，∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD，根据折叠的性质，可知PH=PE，PG=PF，又∵EF=4，∴点O到AB、CD的距离之和d为：

d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2，②如图5，当AB与CD不平行时，四边形PNOM是平行四边形．证明如下：

设折叠后的所在圆的圆心为O′，折叠后的所在圆的圆心为O″，∵点O′与点O关于AB对称，点O″与点O关于CD对称，∴O′M=OM，ON=O″N，∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点

∵折叠后的与所在圆外切，∴连心线O′O″必过切点P，∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆，∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，同理：PN=OM，∴四边形OMPN是平行四边形．

点评：

综合考查了相切两圆的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，翻折变换（折叠成绩），解直角三角形，综合性较强，难度较大．

44．（2012•荆州）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（暗影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）

考点：

垂径定理的运用；勾股定理；等腰梯形的性质；解直角三角形的运用．版权一切

分析：

连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB，先根据垂径定理求出AF的值，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB的度数，由勾股定理求出OF的长，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由S阴=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）即可得出结论．

解答：

解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB．

∵OA=OB=5m，AB=8m，OM是半径，OM⊥AB，∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，在Rt△AOF中，sin∠AOF==0.8=sin53°，∴∠AOF=53°，则∠AOB=106°，∵OF==3（m），由题意得：MN=1m，∴FN=OM﹣OF+MN=3（m），∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．

在Rt△ADE中，tan56°==，∴DE=2m，DC=12m．

∴S阴=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）=（8+12）×3﹣（π×52﹣×8×3）≈20（m2）．

答：U型槽的横截面积约为20m2．

点评：

本题考查的是垂径定理的运用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键．

45．（2012•呼伦贝尔）如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6，AB=6．

（1）求⊙O的半径；

（2）求图中暗影部分的面积．

考点：

扇形面积的计算；勾股定理；切线的性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）线段AB与⊙O相切于点C，则可以连接OC，得到OC⊥AB，则OC是等腰三角形OAB底边上的高线，根据三线合一定理，得到AC=3，在直角△OAC中根据勾股定理得到半径OC的长；

（2）图中暗影部分的面积等于△OAB的面积与扇形OCD的面积的差的一半．

解答：

解：（1）连接OC，则OC⊥AB．（1分）

∵OA=OB，∴AC=BC=AB=×6=3．（2分）

在Rt△AOC中，OC==3，∴⊙O的半径为3；（4分）

（2）∵OC=，∴∠B=30°，∠COD=60°（5分）

∴扇形OCD的面积为S扇形OCD==π，（7分）

∴暗影部分的面积为S暗影=SRt△OBC﹣S扇形OCD=OC•CB﹣π=﹣π．（8分）

点评：

本题次要考查了圆的切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且留意，不规则图形的面积可以转化为一些规则图形的面积的和或差．

46．（2012•桂林）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1⊙O2的圆心，依次连接A、O1、B、O2．

（1）求证：四边形AO1BO2是菱形；

（2）过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延伸线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE=2O2D；

（3）在（2）的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．

考点：

相交两圆的性质；菱形的判定；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）根据⊙O1与⊙O2是等圆，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论；

（2）根据已知得出△ACE∽△AO2D，进而得出，即可得出答案；

（3）首先证明△ACD∽△BO2D，得出，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面积关系得出答案即可．

解答：

证明：（1）∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴AO1=O1B=BO2=O2A，∴四边形AO1BO2是菱形；

（2）∵四边形AO1BO2是菱形，∴∠O1AB=∠O2AB，∵CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径，∴∠ACE=∠AO2C=90°，∴△ACE∽△AO2D，即CE=2DO2；

（3）∵四边形AO1BO2是菱形，∴AC∥BO2

∴△ACD∽△BO2D，∴，∴AD=2BD，∵，∴，点评：

此题次要考查了类似三角形的判定与性质以及三角形面积关系和菱形判定等知识，纯熟利用类似三角形的判定得出△ACE∽△AO2D是解题关键．

47．（2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．

（1）D为AB延伸线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；

（2）求EF•EC的值；

（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．

考点：

圆的综合题；勾股定理的运用；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；类似三角形的运用．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）连接OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是的中点，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶相等得∠HFE=∠CFD，则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与⊙O相切；

（2）由=，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可判断△EBF∽△ECB，利用类似比得到EF•EC=BE2=（r）2=r2；

（3）如图2，连接OA，由=得AE=BE=r，设OH=x，则HE=r﹣x，根据勾股定理，在Rt△OAH中有AH2+x2=r2；在Rt△EAH中由AH2+（r﹣x）2=（r）2，利用等式的性质得x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，则HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，根据勾股定理计算出AH=，由OE⊥AB得AH=BH，而F是AB的四等分点，所以HF=AH=，于是在Rt△EFH中可计算出EF=r，然后利用（2）中的结论可计算出EC．

解答：

（1）证明：连接OC、OE，OE交AB于H，如图1，∵E是的中点，∴OE⊥AB，∴∠EHF=90°，∴∠HEF+∠HFE=90°，而∠HFE=∠CFD，∴∠HEF+∠CFD=90°，∵DC=DF，∴∠CFD=∠DCF，而OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，∴OC⊥CD，∴直线DC与⊙O相切；

（2）解：连接BC，∵E是的中点，∴=，∴∠ABE=∠BCE，而∠FEB=∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴EF：BE=BE：EC，∴EF•EC=BE2=（r）2=r2；

（3）解：如图2，连接OA，∵=，∴AE=BE=r，设OH=x，则HE=r﹣x，在Rt△OAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，在Rt△EAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（r﹣x）2=（r）2，∴x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，∴HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，AH===，∵OE⊥AB，∴AH=BH，而F是AB的四等分点，∴HF=AH=，在Rt△EFH中，EF===r，∵EF•EC=r2，∴r•EC=r2，∴EC=r．

点评：

本题考查了圆的综合题：纯熟掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和圆周角定理；会利用勾股定理进行几何计算，利用类似三角形的知识处理有关线段等积的成绩．

48．（2012•崇左）已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．

（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB地位关系；

（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．

考点：

直线与圆的地位关系．版权一切

分析：

（1）过点P作PC⊥OB，垂足为C根据含30度角的直角三角形性质求出PC，得出PC=r，则得出⊙P与OB地位关系是相切；

（2）根据相切时半径=12，再根据当r＜d时相离，即可求出答案．

解答：

解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．

∵∠AOB=30°，OP=24cm，∴PC=OP=12cm．

（1）当r=12cm时，r=PC，∴⊙P与OB相切，即⊙P与OB地位关系是相切．

（2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，∴r需满足的条件是：0cm＜r＜12cm．

点评：

本题考查了直线与圆的地位关系和含30度角的直角三角形性质，留意：已知圆的半径r，圆心到直线l的距离为d，①当d＞r时，直线l与圆相离，②当d=r时，直线l与圆相切，③当d＜r时，直线l与圆相交．

49．（2012•崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C．

（1）求点D沿三条弧运动到点G所的路线长；

（2）判断直线GB与DF的地位关系，并阐明理由．

考点：

弧长的计算；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权一切

分析：

（1）根据弧长的计算公式，代入运算即可．

（2）先证明△FCD≌△GCB，得出∠G=∠F，从而利用等量代换可得出∠GHD=90°，即GB⊥DF．

解答：

解：（1）根据弧长公式得所求路线长为：++=3π．

（2）GB⊥DF．

理由如下：

在△FCD和△GCB中，∵，∴△FCD≌△GCB（SAS），∴∠G=∠F，∵∠F+∠FDC=90°，∴∠G+∠FDC=90°，∴∠GHD=90°，∴GB⊥DF．

点评：

本题考查了弧长的计算、全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解答本题的关键是纯熟各个知识点，将所学知识融会贯通，难度普通．

50．（2011•资阳）如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．

（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；

（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必阐明理由）．

考点：

圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．版权一切

专题：

动点型．

分析：

（1）连接OB、OF，得到等边△AOB、△AOF，据此并演的性质，即可推理出AB=AF=AO=OD，从而得到AB+AF=AD；

（2）由于AD是⊙O的直径，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，故点B与点F，点C与点E均关于AD对称，故分点P在不同的地位﹣﹣﹣在上、在上、在上三种情况讨论．

解答：

解：（1）连接OB、OF．

∵A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，∴AD是⊙O的直径，且∠AOB=∠AOF=60°，∴△AOB、△AOF是等边三角形．

∴AB=AF=AO=OD，∴AB+AF=AD．

（2）当P在上时，PB+PF=PD；

当P在上时，PB+PD=PF；

当P在上时，PD+PF=PB．

点评：

本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，要留意标题中的隐含条件﹣﹣﹣半径相等及分类讨论思想的运用．

51．（2011•宜昌）如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．

（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；

（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）

考点：

正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平面镶嵌（密铺）；几何概率．版权一切

专题：

计算题．

分析：

（1）过A作AD⊥BC于D，根据等边△ABC，得到BD=BC，由勾股定理求出AD=，根据△ABC的面积是BC•AD代入即可求出答案；

（2）由图形得到由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，分别求出三个图形的面积，即可求出点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率．

解答：

解：（1）过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，BC=2，∴BD=CD=BC=1，在△BDA中由勾股定理得：AD===，∴△ABC的面积是BC•AD=×2×=，答：这个镶嵌图案中一个正三角形的面积是．

（2）由图形可知：由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，正方形的面积是2×2=4，连接OA、OB，∵图形是正六边形，∴△OAB是等边三角形，且边长是2，即等边三角形的面积是，∴正六边形的面积是6×=6，∴点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率是≈0.54，答：点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率约为0.54．

点评：

本题次要考查对正多边形与圆，等边三角形的性质和判定，几何概率，勾股定理，平面镶嵌等知识点的理解和掌握，能根据性质进行计算是解此题的关键．

52．（2011•盘锦）如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm．

（1）风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）．

（2）在风车转动一周的过程中，求点A绝对于桌面的高度不超过20cm所的路径长（结果保留π）．

考点：

弧长的计算；勾股定理；锐角三角函数的定义；角的三角函数值．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

（1）作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，在Rt△A1OG中，利用三角函数可求得OG，从而得出点A到桌面的距离A1F；

（2）作A2H⊥MN于H，则A2H=20．作A2D⊥OE于点D，则DE=A2H．在Rt△A2OD中，由角的三角函数得∠A2OD=60°，由圆的轴对称性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．从而得出点A所的路径长．

解答：

解：（1）如图（1），点A运动到点A1的地位时∠AOE=45°．

作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，∴A1F=GE．

在Rt△A1OG中，∵∠A1OG=45°，OA1=10，∴OG=OA1•cos45°=10×=5．

∵OE=25，∴GE=OE﹣OG=25﹣5．

∴A1F=GE=25﹣5．

答：点A到桌面的距离是（25﹣5）厘米．

（2）如图（2），点A在旋转过程中运动到点A2、A3的地位时，点A到桌面的距离等于20厘米．

作A2H⊥MN于H，则A2H=20．作A2D⊥OE于点D，∴DE=A2H．

∵OE=25，∴OD=OE﹣DE=25﹣20=5．

在Rt△A2OD中，∵OA2=10，∴cos∠A2OD===．

∴∠A2OD=60°．

由圆的轴对称性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．

∴点A所的路径长为=．

答：点A所的路径长为厘米．

点评：

本题考查了弧长的计算、勾股定理、角的三角函数值以及锐角三角函数的定义，综合性较强难度偏大．

53．（2011•南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相反点和不同点．例如：

它们的一个相反点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．

它们的一个不同点：正五边形不是对称图形，正六边形是对称图形．

请你再写出它们的两个相反点和不同点：

相反点：

①　都是轴对称图形　；

②　都有外接圆和内切圆　．

不同点：

①　内角和不同　；

②　对角线的条数不同　．

考点：

正多边形和圆．版权一切

专题：

计算题．

分析：

此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，一切的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是对称图形．根据正多边形的性质进行分析它们的相反和不同之处．

解答：

解：相反点不同点

①都有相等的边．①边数不同；

②都有相等的内角．②内角的度数不同；

③都有外接圆和内切圆．③内角和不同；

④都是轴对称图形．④对角线条数不同；

⑤对称轴都交于一点．⑤对称轴条数不同．

点评：

本题考查了正多边形和圆的知识，一个是奇数边的正多边形，一个是偶数边的正多边形．此题的答案不，只需抓住正多边形的性质进行回答均可．

54．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．

（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；

（2）当点P沿直线AC挪动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上能否存在使△DOM与△ABC类似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请阐明理由；

（3）当点P沿直线AC挪动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中能否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请阐明理由．

考点：

圆的综合题；待定系数法求函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

综合题；压轴题；存在型；分类讨论．

分析：

（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．

（2）由于△DOM与△ABC类似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形类似求出OM的长，即可求出点M的坐标．

（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形类似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．

解答：

解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．

∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．

∴==．

∵点P是AC中点，∴CP=CA．

∴HP=OA，CH=CO．

∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．

∴HP=，CH=2．

∴OH=2．

∵PH∥OA，∠COA=90°，∴∠CHP=∠COA=90°．

∴点P的坐标为（，2）．

设直线DP的解析式为y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，∴

∴

∴直线DP的解析式为y=x﹣5．

（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．

∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0，﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．

∴=．

∴OM=．

∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）

②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，∵△DOM∽△CBA，∴=．

∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．

∴OM=．

∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）．

综上所述：若△DOM与△CBA类似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．

（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．

∴PE=PF=AC=．

∵DE、DF都与⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．

∴S△PED=S△PFD．

∴S四边形DEPF=2S△PED

=2×PE•DE

=PE•DE

=DE．

∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．

=DP2﹣．

根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：

当DP⊥AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．

∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．

∴∠AOC=∠DPC．

∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．

∴=．

∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴=．

∴DP=．

∴DE2=DP2﹣

=（）2﹣

=．

∴DE=，∴S四边形DEPF=DE

=．

∴四边形DEPF面积的最小值为．

点评：

本题考查了类似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是处理第3小题的关键．另外，要留意“△DOM与△ABC类似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．

55．（2011•绵阳）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切．

（1）求证：OB⊥OC；

（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．

考点：

相切两圆的性质；直角梯形．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）证明两个锐角的和等于90°即可；

（2）求得⊙O1的半径后代入圆的面积公式求得其面积即可．

解答：

（1）证明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切，∴AB，BC，CD均与半圆O相切，∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．

又∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．

∴2∠CBO+2∠BCO=180°，于是∠CBO+∠BCO=90°，∴∠BOC=180°﹣（∠CBO+∠BCO）=180°﹣90°=90°，即OB⊥OC．

（2）解：设CD切⊙O1于点M，连接O1M，则O1M⊥CD．

设⊙O1的半径为r．

∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O1CM，∴∠O1CM=30°．

在Rt△O1CM中，CO1=2r，O1M=r．

在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12．

∵⊙O1与半圆O外切，∴OO1=6+r，于是，由OO1+O1C=OC，即6+r+2r=12，解得r=2，因此⊙O1的面积为4π．

点评：

本题考查了相切两圆的性质及直角梯形的性质，解题的关键是根据相切两圆半径只间的关系确定两圆心之间的距离．

56．（2014•贵港）如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，PA与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．

（1）求证：CD是小半圆M的切线；

（2）若AB=8，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），设PD=x，CD2=y．

①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②当y=3时，求P，M两点之间的距离．

考点：

圆的综合题；平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；类似三角形的判定与性质；角的三角函数值．版权一切

专题：

代数几何综合题．

分析：

（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM是△AOP的中位线即可．

（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．

②当y=3时，得到﹣x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．

解答：

解：（1）连接CO、CM，如图1所示．

∵AO是小半圆M的直径，∴∠ACO=90°即CO⊥AP．

∵OA=OP，∴AC=PC．

∵AM=OM，∴CM∥PO．

∴∠MCD=∠PDC．

∵CD⊥OP，∴∠PDC=90°．

∴∠MCD=90°即CD⊥CM．

∵CD半径CM的外端C，且CD⊥CM，∴直线CD是小半圆M的切线．

（2）①∵CO⊥AP，CD⊥OP，∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．

∴∠OCD=90°﹣∠DCP=∠P．

∴△ODC∽△CDP．

∴．

∴CD2=DP•OD．

∵PD=x，CD2=y，OP=AB=4，∴y=x（4﹣x）=﹣x2+4x．

当点P与点A重合时，x=0；当点P与点B重合时，x=4；

∵点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），∴0＜x＜4．

∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x2+4x，自变量x的取值范围是0＜x＜4．

②当y=3时，﹣x2+4x=3．

解得：x1=1，x2=3．

Ⅰ．当x=1时，如图2所示．

在Rt△CDP中，∵PD=1，CD=．

∴tan∠CPD==，∴∠CPD=60°．

∵OA=OP，∴△OAP是等边三角形．

∵AM=OM，∴PM⊥AO．

∴PM=

=

=2．

Ⅱ．当x=3时，如图3所示．

同理可得：∠CPD=30°．

∵OA=OP，∴∠OAP=∠APO=30°．

∴∠POB=60°

过点P作PH⊥AB，垂足为H，连接PM，如图3所示．

∵sin∠POH===，∴PH=2．

同理：OH=2．

在Rt△MHP中，∵MH=4，PH=2，∴PM=

=

=2．

综上所述：当y=3时，P，M两点之间的距离为2或2．

点评：

本题考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、类似三角形的判定与性质、角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．

57．（2011•杭州）在平面上，七个边长为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图）．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形

（1）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；

（2）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于？请阐明理由．

考点：

正多边形和圆；等边三角形的性质；平移的性质．版权一切

专题：

计算题．

分析：

（1）取出⑦，观察图象，根据图象进行平移即可；

（2）可以做到．先求出每个等边三角形的面积，得到正六边形的面积为，根据﹣覆盖住正六边形即可．

解答：

解：（1）取出⑦，向上平移1个单位；

答：取出的是三角形⑦，平移的方向向上平移，平移的距离是1个单位．

（2）可以做到．

理由是：∵每个等边三角形的面积是，∴正六边形的面积为，而0＜S6﹣＜，∴0＜﹣＜S1，∴只需用⑦的面积覆盖住正六边形就能做到．

点评：

本题次要考查对正多边形与圆，等边三角形的性质，平移的性质等知识点的理解和掌握，能根据题意进行计算是解此题的关键．

58．（2011•东莞）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1

（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的地位关系；

（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A、B．求劣弧与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）

考点：

圆与圆的地位关系；坐标与图形性质；扇形面积的计算．版权一切

分析：

（1）根据题意作图即可求得答案，留意圆的半径为2；

（2）首先根据题意求得扇形BP1A与△BP1A的面积，再作差即可求得劣弧与弦AB围成的图形的面积．

解答：

解：（1）如图：

∴⊙P与⊙P1的地位关系是外切；

（2）如图：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，∴S扇形BP1A=，=π，S△AP1B=×2×2=2，∴劣弧与弦AB围成的图形的面积为：π﹣2．

点评：

此题考查了圆与圆的地位关系以及扇形面积的求解方法．标题难度不大，解题的关键是留意数形思想的运用．

59．（2011•大庆）如图，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，延伸C0交斜边AB于点G．

（1）求⊙0的半径长；

（2）求线段DG的长．

考点：

三角形的内切圆与内心；勾股定理；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

计算题；压轴题．

分析：

（1）由勾股定理求AB，设⊙O的半径为r，则r=（AC+BC﹣AB）求解；

（2）过G作GP⊥AC，垂足为P，根据CG平分直角∠ACB可知△PCG为等腰直角三角形，设PG=PC=x，则CG=x，由（1）可知CO=r=，由Rt△AGP∽Rt△ABC，利用类似比求x，由OG=CG﹣CO求OG，在Rt△ODG中，由勾股定理求DG．

解答：

解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB==5，∴⊙O的半径r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；

（2）过G作GP⊥AC，垂足为P，设GP=x，由∠ACB=90°，CG平分∠ACB，得∠GCP=45°，∴GP=PC=x，∵Rt△AGP∽Rt△ABC，∴=，解得x=，即GP=，CG=，∴OG=CG﹣CO=﹣=，在Rt△ODG中，DG==．

点评：

本题考查了三角形的内切圆与内心，类似三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据直角三角形的内心的性质作辅助线，运用三角形类似及勾股定理解题．

60．（2014•河南）（1）成绩发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同不断线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为　60°　；

②线段AD，BE之间的数量关系为　AD=BE　．

（2）拓展探求

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同不断线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并阐明理由．

（3）处理成绩

如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

考点：

圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；圆周角定理．版权一切

专题：

综合题；压轴题；探求型．

分析：

（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同不断线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．

（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接上去需对两个地位分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可处理成绩．

解答：

解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．

∵点A，D，E在同不断线上，∴∠ADC=120°．

∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

故答案为：60°．

②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．

故答案为：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点A，D，E在同不断线上，∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．

∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的圆上．

∴点P是这两圆的交点．

①当点P在如图3①所示地位时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．

∴BD=2．

∵DP=1，∴BP=．

∵A、P、D、B四点共圆，∴∠APB=∠ADB=45°．

∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．

∴=2AH+1．

∴AH=．

②当点P在如图3②所示地位时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延伸线于点E，如图3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD．

∴=2AH﹣1．

∴AH=．

综上所述：点A到BP的距离为或．

点评：

本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和处理成绩的能力，是表现新课程理念的一道好题．而经过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论处理成绩是处理第（3）的关键．

第四篇：「中考数学」四边形：真题专项突破冲刺提分60题（含答案解析）

【中考数学】四边形：精选真题专项打破冲刺提分60题

（含答案解析）

一、解

答

题（共60小题）

1．（2014•遵义）如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延伸EF交AD的延伸线于G，当FG=1时，求AD的长．

2．（2014•镇江）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．

（1）求证：∠1=∠2；

（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的外形，并阐明理由．

3．（2014•云南）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．

（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；

（2）求证：BD=MN．

4．（2014•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延伸线于点E、F，连接BE、DF．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．

5．（2014•雅安）如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延伸线交于E．

（1）求证：△ABC≌△DCE；

（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．

6．（2014•宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．动点P从点B开始沿折线BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度运动到点A．设点P运动的工夫为t（s），△PAB面积为S（cm2）．

（1）当t=2时，求S的值；

（2）当点P在边DA上运动时，求S关于t的函数表达式；

（3）当S=12时，求t的值．

7．（2014•）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；

③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）求证：四边形AECF是菱形．

8．（2014•襄阳）如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延伸线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．

（1）求证：EF∥CG；

（2）求点C，点A在旋转过程中构成的，与线段CG所围成的暗影部分的面积．

9．（2014•湘西州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE=DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）求证：AE=CF．

10．（2014•潍坊）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．

（1）求证：AE⊥BF；

（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延伸FP到BA的延伸线于点Q，求sin∠BQP的值；

（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

11．（2014•泰州）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．

（1）求证：BE=AF；

（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．

12．（2014•台州）如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，一直垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．

13．（2014•遂宁）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延伸线于点F，连结DF．求证：

（1）△ODE≌△FCE；

（2）四边形ODFC是菱形．

14．（2014•随州）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）填空：当AB：AD=　　　　　　时，四边形MENF是正方形．

15．（2014•深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）证明四边形ABDF是平行四边形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．

16．（2014•钦州）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．

17．（2014•攀枝花）如图，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，点O为坐标原点，且A（2，﹣3），C（0，2）．

（1）求过点B的双曲线的解析式；

（2）若将等腰梯形OABC向右平移5个单位，问平移后的点C能否落在（1）中的双曲线上？并简述理由．

18．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．

19．（2014•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么四边形？阐明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请阐明你的理由．

20．（2014•梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延伸线上一点，且DF=BE．

（1）求证：CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

21．（2014•龙岩）如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．

（1）若四边形ABCD是菱形，则它的中点四边形EFGH一定是　　　　　　；

A．菱形

B．矩形

C．正方形

D．梯形

（2）若四边形ABCD的面积为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=　　　　　　S2；

（3）在四边形ABCD中，沿中点四边形EFGH的其中三边剪开，可得三个小三角形，将这三个小三角形与原图中未剪开的小三角形拼接成一个平行四边形，请画出一种拼接表示图，并写出对应全等的三角形．

22．（2014•凉山州）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）试阐明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

23．（2014•连云港）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED为菱形；

（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请阐明理由．

24．（2014•乐山）如图，在△ABC中，AB=AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE=CE．

25．（2014•乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．

26．（2014•黄石）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点．

（1）求证：AB平分∠OAC；

（2）延伸OA至P，使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．

27．（2014•葫芦岛）如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延伸线于点F，连接AD，BF．

（1）求证：△AEF≌△BED．

（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．

28．（2014•贺州）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．

（1）求证：BE=DF；

（2）求证：AF∥CE．

29．（2014•菏泽）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MN．

（1）若正方形的边长为a，求BM•DN的值．

（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的外形，并证明你的结论．

30．（2014•桂林）在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交线段AD、BC于点E、F．

（1）根据题意，画出图形，并标上正确的字母；

（2）求证：DE=BF．

31．（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．

32．（2014•贵港）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．

（1）求证：DF=AE；

（2）当AB=2时，求BE2的值．

33．（2014•甘孜州）如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AB中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延伸线与DC的延伸线交于点N．

（1）求证：△ABE≌△NCE；

（2）若AB=3n，FB=GE，试用含n的式子表示线段AN的长．

34．（2014•抚顺）如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE=BA，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M，过点B作⊙A的切线BF，切点为F．

（1）请判断直线BE与⊙A的地位关系，并阐明理由；

（2）如果AB=10，BC=5，求图中暗影部分的面积．

35．（2014•崇左）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是矩形．

36．（2014•北京）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

37．（2014•包头）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，点E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的长．（留意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

38．（2014•安顺）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

39．（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）若∠EOD=30°，求CE的长．

40．（2013•云南）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．

（1）求证：四边形ADBE是矩形；

（2）求矩形ADBE的面积．

41．（2013•宜昌）如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF．

（1）请你判断所画四边形的外形，并阐明理由；

（2）连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长．

42．（2013•无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．

（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；

（2）写出按题意构成的一切命题中的假命题，并举出反例加以阐明．（命题请写成“如果…，那么…．”的方式）

43．（2013•铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延伸到点E，使OE=OD，连接AE，BE．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并阐明理由．

44．（2013•深圳）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，延伸BC到E，使得CE=AD，连接DE．

（1）求证：BD=DE．

（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．

45．（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延伸线于点F．

（1）求证：DE=EF；

（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延伸线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．

46．（2013•钦州）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形．

47．（2013•南京）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

48．（2013•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．

（1）求证：△APB∽△PEC；

（2）若CE=3，求BP的长．

49．（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．

50．（2013•防城港）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延伸线与BC的延伸线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．

（1）求证：四边形EMCN是矩形；

（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽．

51．（2013•鄂尔多斯）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．

（1）求证：AF=DE；

（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．

52．（2013•朝阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，过点A作AE∥DC交BC于点E．

（1）求证：四边形AECD是菱形．

（2）在（1）的条件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以点A为圆心，AE的长为半径画弧交BE于点F，连接AF，在图中，用尺规补齐图形（仅保留作图痕迹），并证明点F是BE的中点．

53．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．

求证：

（1）△AFD≌△CEB；

（2）四边形ABCD是平行四边形．

54．（2012•盐城）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．

（1）求证：DE=EC；

（2）若AD=BC，试判断四边形ABED的外形，并阐明理由．

55．（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）当AB与AC具有什么地位关系时，四边形AECD是菱形？请阐明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

56．（2012•湘西州）如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；

过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．

（1）求OC的长；

（2）求证：四边形OBEC为矩形；

（3）求矩形OBEC的面积．

57．（2012•苏州）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延伸线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．

（1）求证：△ABE≌△CDA；

（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．

58．（2012•呼伦贝尔）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．

（1）求证：DE=DF；

（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．

59．（2012•鄂尔多斯）已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延伸线于点E，且AE=AC，连AG．

（1）求证：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的长．

60．（2012•滨州）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．经过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的地位和数量关系？并证明你的结论．

中考数学提分冲刺真题精析：四边形

参考答案与试题解析

一、解

答

题（共60小题）

1．（2014•遵义）如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延伸EF交AD的延伸线于G，当FG=1时，求AD的长．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权一切

分析：

（1）经过证明△ODF与△OBE全等即可求得．

（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，由于EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2，然后平行线分线段成比例定理即可求得．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ODF=∠OBE，在△ODF与△OBE中

∴△ODF≌△OBE（AAS）

∴BO=DO；

（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∵∠A=45°，∴∠DBA=∠A=45°，∵EF⊥AB，∴∠G=∠A=45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE（AAS）

∴OE=OF，∴GF=OF=OE，即2FG=EF，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG==，∵AB∥CD，∴=，即=，∴AD=2，点评：

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行线分行段定理．

2．（2014•镇江）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．

（1）求证：∠1=∠2；

（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的外形，并阐明理由．

考点：

菱形的判定；线段垂直平分线的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）证明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的对应角相等证得结论；

（2）首先判定四边形BCDE是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可．

解答：

（1）证明：∵在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠1=∠2；

（2）四边形BCDE是菱形；

证明：∵∠1=∠2，CD=BC，∴AC垂直平分BD，∵OE=OC，∴四边形DEBC是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形DEBC是菱形．

点评：

本题考查了菱形的判定及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大．

3．（2014•云南）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．

（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；

（2）求证：BD=MN．

考点：

平行四边形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，根据MD与NC的关系，可得证明结论；

（2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，根据三角形外角的性质，可得∠DBC的度数，根据正切函数，可得答案．

解答：

证明：（1）∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M、N分别是AD、BC的中点，∴MD=NC，MD∥NC，∴MNCD是平行四边形；

（2）如图：连接ND，∵MNCD是平行四边形，∴MN=DC．

∵N是BC的中点，∴BN=CN，∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NCD是等边三角形．

∴ND=NC，∠DNC=60°．

∵∠DNC是△BND的外角，∴∠D+∠NDB=∠DNC，∵DN=NC=，∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，∴∠BDC=90°．

∵tan，∴DB=DC=MN．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．

4．（2014•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延伸线于点E、F，连接BE、DF．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．

考点：

菱形的性质；平行四边形的判定．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角边”证明△AEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；

（2）设OM=x，根据∠MBO的正切值表示出BM，再根据△AOM和△OBM类似，利用类似三角形对应边成比例求出AM，然后根据△AEM和△BFM类似，利用类似三角形对应边成比例求解即可．

解答：

（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，∴∠AEO=∠CFO，在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形BFDE是平行四边形；

（2）解：设OM=x，∵EF⊥AB，tan∠MBO=，∴BM=2x，又∵AC⊥BD，∴∠AOM=∠OBM，∴△AOM∽△OBM，∴=，∴AM==x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM：FM=AM：BM=x：2x=1：4．

点评：

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，类似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难点在于（2）两次求出三角形类似．

5．（2014•雅安）如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延伸线交于E．

（1）求证：△ABC≌△DCE；

（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．

考点：

菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）利用AAS判定两三角形全等即可；

（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．

解答：

证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠1，又∵DE∥AC

∴∠2=∠E，在△ABC与△DCE中，∴△ABC≌△DCE；

（2）∵平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，即AD∥CE，由DE∥AC，∴ACED为平行四边形，∵AC=BC，∴∠B=∠CAB，由AB∥CD，∴∠CAB=∠ACD，又∵∠B=∠ADC，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD，∴四边形ACED为菱形．

点评：

本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是纯熟掌握菱形的判定定理，难度不大．

6．（2014•宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．动点P从点B开始沿折线BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度运动到点A．设点P运动的工夫为t（s），△PAB面积为S（cm2）．

（1）当t=2时，求S的值；

（2）当点P在边DA上运动时，求S关于t的函数表达式；

（3）当S=12时，求t的值．

考点：

直角梯形；动点成绩的函数图象．版权一切

专题：

几何综合题；动点型．

分析：

（1）当t=2时，可求出P运动的路程即BP的长，再根据三角形的面积公式计算即可；

（2）当点P在DA上运动时，过D作DH⊥AB，P′M⊥AB，求出P′M的值即为△PAB中AB边上的高，再利用三角形的面积公式计算即可；

（3）当S=12时，则P在BC或AD上运动，利用（1）和（2）中的面积和高的关系求出此时的t即可，解答：

解：（1）∵动点P以1cm/s的速度运动，∴当t=2时，BP=2cm，∴S的值=AB•BP=×8×2=8cm2；

（2）过D作DH⊥AB，过P′作P′M⊥AB，∴P′M∥DH，∴△AP′M∽△ADH，∴，∵AB=8cm，CD=5cm，∴AH=AB﹣DC=3cm，∵BC=4cm，∴AD==5cm，又∵A′P=14﹣t，∴，∴P′M=，∴S=AB•P′M=，即S关于t的函数表达式S=；

（3）由题意可知当P在CD上运动时，S=AB×BC=×8×4=16cm2，所以当S=12时，P在BC或AD上，当P在BC上时，12=×8•t，解得：t=3；

当P在AD上时，12=，解得：t=．

∴当S=12时，t的值为3或．

点评：

本题考查了直角梯形的性质、类似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和三角形面积公式的运用，标题的综合性较强，难度中等，对于动点成绩特别要留意的是分类讨论数学思想的运用．

7．（2014•）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；

③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）求证：四边形AECF是菱形．

考点：

菱形的判定；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；

（2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．

解答：

解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD，∵CF∥AB

∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，∴AE=CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC=EA，FC=FA，∴EC=EA=FC=FA，∴四边形AECF为菱形．

点评：

本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解经过作图能得到直线的垂直平分线．

8．（2014•襄阳）如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延伸线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．

（1）求证：EF∥CG；

（2）求点C，点A在旋转过程中构成的，与线段CG所围成的暗影部分的面积．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）根据正方形的性质可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根据旋转变化只改变图形的地位不改变图形的外形可得△ABF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形对应边相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根据内错角相等，两直线平行可得EC∥FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EFGC是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明；

（2）求出FE、BE的长，再利用勾股定理列式求出AF的长，根据平行四边形的性质可得△FEC和△CGF全等，从而得到S△FEC=S△CGF，再根据S暗影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式计算即可得解．

解答：

（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，∴∠AFB+∠FAB=90°，∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG，∵AF=CE，AF=FG，∴EC=FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG；

（2）解：∵AD=2，E是AB的中点，∴BF=BE=AB=×2=1，∴AF===，由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF，∴S暗影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，=+×2×1+×（1+2）×1﹣，=﹣．

点评：

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，勾股定理的运用，扇形的面积计算，综合题，但难度不大，熟记各性质并精确识图是解题的关键．

9．（2014•湘西州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE=DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）求证：AE=CF．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF；

（2）根据全等三角形的对应边相等即可证得．

解答：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．

点评：

本题次要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键．

10．（2014•潍坊）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．

（1）求证：AE⊥BF；

（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延伸FP到BA的延伸线于点Q，求sin∠BQP的值；

（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

考点：

四边形综合题．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）运用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°求证；

（2）△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QP求解；

（3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于类似边长比的平方，求得S△AGN=，再利用S四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN求解．

解答：

（1）证明：如图1，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在Rt△ABE和Rt△BCF中，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF．

（2）解：如图2，根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°

∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k

在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin∠BQP===．

（3）解：∵正方形ABCD的面积为4，∴边长为2，∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，∴AN=AB=2，∵∠AHM=90°，∴GN∥HM，∴=，∴=，∴S△AGN=，∴S四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣=，∴四边形GHMN的面积是．

点评：

本题次要考查了四边形的综合题，处理的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．

11．（2014•泰州）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．

（1）求证：BE=AF；

（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．

考点：

平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；

（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．

解答：

（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；

（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，∴DE=BE=2，∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=6．

点评：

此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，留意掌握辅助线的作法，留意掌握数形思想的运用．

12．（2014•台州）如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，一直垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．

考点：

平行四边形的判定与性质．版权一切

专题：

运用题．

分析：

首先证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断．

解答：

证明：∵AB=CD、AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，正确理解平行四边形的判定方法是关键．

13．（2014•遂宁）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延伸线于点F，连结DF．求证：

（1）△ODE≌△FCE；

（2）四边形ODFC是菱形．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；

（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．

解答：

证明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE=∠FCE，∵E是CD中点，∴CE=DE，在△ODE和△FCE中，∴△ODE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC，∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形，在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形ODFC是菱形．

点评：

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．

14．（2014•随州）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）填空：当AB：AD=　1：2　时，四边形MENF是正方形．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；正方形的判定．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）根据矩形性质得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根据全等三角形的判定推出即可；

（2）求出四边形MENF是平行四边形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵M为AD的中点，∴AM=DM，在△ABM和△DCM中

∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC，∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM，∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形，∵ME=MF，∠BMC=90°，∴四边形MENF是正方形，即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，故答案为：1：2．

点评：

本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的运用，次要考查先生运用定理进行推理的能力，标题比较好，难度适中．

15．（2014•深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）证明四边形ABDF是平行四边形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．

考点：

平行四边形的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理．版权一切

分析：

（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，由于BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得．

（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．

解答：

（1）证明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，在△ADB与△CDB中，∴△ADB≌△CDB（SSS）

∴∠BCD=∠BAD，∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF，∴AB∥FD，∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四边形ABDF是平行四边形，（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，∴▱ABDF是菱形，∴AB=BD=5，∵AD=6，设BE=x，则DE=5﹣x，∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2

解得：x=，∴=，∴AC=2AE=．

点评：

本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的运用．

16．（2014•钦州）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

根据正方形的性质可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出BE=CF，再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：

证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，∵AE=BF，∴AB﹣AE=BC﹣BF，即BE=CF，在△BCE和△CDF中，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴CE=DF．

点评：

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．

17．（2014•攀枝花）如图，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，点O为坐标原点，且A（2，﹣3），C（0，2）．

（1）求过点B的双曲线的解析式；

（2）若将等腰梯形OABC向右平移5个单位，问平移后的点C能否落在（1）中的双曲线上？并简述理由．

考点：

等腰梯形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-平移．版权一切

专题：

数形；待定系数法．

分析：

（1）过点C作CD⊥AB于D，根据等腰梯形的性质和点A的坐标求出CD、BD，然后求出点B的坐标，设双曲线的解析式为y=（k≠0），然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答；

（2）根据向右平移横坐标加求出平移后的点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征判断．

解答：

解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A（2，﹣3），∴CD=2，BD=3，∵C（0，2），∴点B的坐标为（2，5），设双曲线的解析式为y=（k≠0），则=5，解得k=10，∴双曲线的解析式为y=；

（2）平移后的点C落在（1）中的双曲线上．

理由如下：点C（0，2）向右平移5个单位后的坐标为（5，2），当x=5时，y==2，∴平移后的点C落在（1）中的双曲线上．

点评：

本题考查了等腰梯形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移，纯熟掌握等腰梯形的性质并求出点B的坐标是解题的关键．

18．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．

考点：

矩形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．

解答：

证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．

∴AD=BE．

∵点E是BC的中点，∴EC=BE=AD．

∴四边形AECD是平行四边形．

∵AB=AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．

∴▱AECD是矩形．

点评：

本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．

19．（2014•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么四边形？阐明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请阐明你的理由．

考点：

正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；

（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．

解答：

（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；

（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴四边形BECD是菱形；

（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：

解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．

点评：

本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的运用，次要考查先生运用定理进行推理的能力．

20．（2014•梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延伸线上一点，且DF=BE．

（1）求证：CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．

（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又由于DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．

解答：

（1）证明：在正方形ABCD中，∵，∴△CBE≌△CDF（SAS）．

∴CE=CF．

（2）解：GE=BE+GD成立．

理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵，∴△ECG≌△FCG（SAS）．

∴GE=GF．

∴GE=DF+GD=BE+GD．

点评：

本题次要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了经过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．

21．（2014•龙岩）如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．

（1）若四边形ABCD是菱形，则它的中点四边形EFGH一定是　B　；

A．菱形

B．矩形

C．正方形

D．梯形

（2）若四边形ABCD的面积为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=　2　S2；

（3）在四边形ABCD中，沿中点四边形EFGH的其中三边剪开，可得三个小三角形，将这三个小三角形与原图中未剪开的小三角形拼接成一个平行四边形，请画出一种拼接表示图，并写出对应全等的三角形．

考点：

中点四边形；作图—运用与设计作图．版权一切

专题：

探求型．

分析：

（1）连接AC、BD．先根据三角形中位线的性质得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，则四边形EFGH为平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直，得出EF⊥FG，从而证明▱EFGH是矩形；

（2）由E为AB中点，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK与△ABM类似，△AEN与△ABM类似，利用面积之比等于类似比的平方，得到△EBK面积与△ABM面积之比为1：4，且△AEN与△EBK面积相等，进而确定出四边形EKMN面积为△ABM的一半，同理得到四边形MKFP面积为△MBC面积的一半，四边形QMPG面积为△DMC面积的一半，四边形MNHQ面积为△ADM面积的一半，四个四边形面积之和即为四个三角形面积之和的一半，即为四边形ABCD面积的一半；

（3）利用中点四边形的性质得出拼接方法，进而得出全等三角形．

解答：

解：（1）如图1，连接AC、BD．

∵E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴▱EFGH是矩形；

故选：B．

（2）如图2，设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，∵E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD，∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，∴=，S△AEN=S△EBK，∴=，同理可得=，=，=，∴=，∴四边形ABCD的面积为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=2S2；

（3）如图3，四边形NEHM是平行四边形；

△MAH≌△GDH，△NAE≌△FBE，△CFG≌△ANM．

点评：

此题次要考查了中点四边形以及类似三角形的判定与性质和矩形的判定以及菱形的性质等知识，利用三角形中位线的性质得出是解题关键．

22．（2014•凉山州）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）试阐明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又由于△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；

（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．

解答：

证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF

∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；

（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°

又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．

点评：

此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．

23．（2014•连云港）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED为菱形；

（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请阐明理由．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形DOCE是平行四边形，进而利用矩形的性质得出DO=CO，即可得出答案；

（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出AD=BC，∠ADE=∠BCE，进而利用全等三角形的判定得出．

解答：

（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DOCE是平行四边形，∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OC=AC=BD=OD，∴四边形OCED为菱形；

（2）解：AE=BE．

理由：∵四边形OCED为菱形，∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠ADE=∠BCE，在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE=BE．

点评：

此题次要考查了矩形的性质以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，纯熟掌握矩形的性质进而得出对应线段关系是解题关键．

24．（2014•乐山）如图，在△ABC中，AB=AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE=CE．

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

根据四边形ADEF是菱形，得DE=EF，AB∥EF，DE∥AC可证明△DBE≌△FCE，即可得出BE=CE．

解答：

证明：∵四边形ADEF是菱形，∴DE=EF，AB∥EF，DE∥AC，∴∠C=∠BED，∠B=∠CEF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BED=∠CEF，在△DBE和△FCE中，∴△DBE≌△FCE，∴BE=CE．

点评：

本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，比较简单．

25．（2014•乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．

考点：

矩形的判定与性质；含30度角的直角三角形；锐角三角函数的定义．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

过点A作AH⊥BC于H，利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得出CE的长．

解答：

解：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1，在△ABH中，∠B=30°，AB=2，∴cos30°=，即BH=ABcos30°=2×=3，∴BC=BH+HC=4，∵CE⊥AB，∴CE=BC=2．

点评：

此题次要考查了锐角三角函数关系运用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键．

26．（2014•黄石）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点．

（1）求证：AB平分∠OAC；

（2）延伸OA至P，使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．

考点：

菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）求出等边三角形AOC和等边△OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；

（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．

解答：

（1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；

（2）解：连接OC，∵△OAC是等边三角形，OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．

点评：

本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等边三角形的性质和判定的运用，次要考查先生运用定理进行推理和计算的能力，标题比较典型，难度适中．

27．（2014•葫芦岛）如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延伸线于点F，连接AD，BF．

（1）求证：△AEF≌△BED．

（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．

考点：

矩形的判定；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）AAS或ASA证全等；

（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．

解答：

证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA=EB，在△AEF和△BED中，∴△AEF≌△BED（ASA）；

（2）∵△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．

点评：

本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．

28．（2014•贺州）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．

（1）求证：BE=DF；

（2）求证：AF∥CE．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）利用平行四边形的性质得出∠5=∠3，∠AEB=∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；

（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．

解答：

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；

（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．

点评：

此题次要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△ABE≌△CDF是解题关键．

29．（2014•菏泽）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MN．

（1）若正方形的边长为a，求BM•DN的值．

（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的外形，并证明你的结论．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）根据角平分线的定义求出∠CBM=∠CDN=45°，再求出∠ABM=∠ADN=135°，然后根据正方形的每一个角都是90°求出∠BAM+∠NAD=45°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和∠BAM+∠AMB=45°，从而得到∠NAD=∠AMB，再求出△ABM和△NDA类似，利用类似三角形对应边成比例列式求解即可；

（2）过点A作AF⊥AN并截取AF=AN，连接BF、FM，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“边角边”证明△ABF和△ADN全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，再求出∠FAM=∠MAN=45°，然后利用“边角边”证明△AFM和△ANM全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=NM，再求出△FBM是直角三角形，然后利用勾股定理判断即可．

解答：

解：（1）∵BM、DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM=∠CDN=45°，∴∠ABM=∠ADN=135°，∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°，在△ABM中，∠BAM+∠AMB=∠MBP=45°，∴∠NAD=∠AMB，在△ABM和△NDA中，∴△ABM∽△NDA，∴=，∴BM•DN=AB•AD=a2；

（2）以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．

证明如下：如图，过点A作AF⊥AN并截取AF=AN，连接BF、FM，∵∠1+∠BAN=90°，∠3+∠BAN=90°，∴∠1=∠3，在△ABF和△ADN中，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，∵∠FAN=90°，∠MAN=45°，∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45°，在△AFM和△ANM中，∴△AFM≌△ANM（SAS），∴FM=NM，∴∠FBP=180°﹣∠FBA=180°﹣135°=45°，∴∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°，∴△FBM是直角三角形，∵FB=DN，FM=MN，∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．

点评：

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，类似三角形的判定与性质，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形和直角三角形．

30．（2014•桂林）在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交线段AD、BC于点E、F．

（1）根据题意，画出图形，并标上正确的字母；

（2）求证：DE=BF．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．版权一切

专题：

作图题；证明题．

分析：

（1）根据题意直接画图即可；

（2）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OB=OD，继而可利用ASA，判定△DOE≌△BOF，继而证得DE=BF．

解答：

（1）解：如图所示：

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠OBF，在△DOE和△BOF中，∴DOE≌△BOF（ASA），∴DE=BF．

点评：

此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，留意掌握数形思想的运用．

31．（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．

考点：

菱形的判定与性质；旋转的性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；

（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．

解答：

（1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵D、E分别为AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°，∴DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，∴AB=10，∵D是AB边上的中点，∴AD=5，∵四边形ADCF是菱形，∴AF=FC=AD=5，∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．

点评：

此题次要考查了菱形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

32．（2014•贵港）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．

（1）求证：DF=AE；

（2）当AB=2时，求BE2的值．

考点：

正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理．版权一切

分析：

（1）连接CF，根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=EF，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF，然后等量代换即可得证；

（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：

（1）证明：如图，连接CF，在Rt△CDF和Rt△CEF中，∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），∴DF=EF，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠EAF=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF，∴DF=AE；

（2）解：∵AB=2，∴AC=AB=2，∵CE=CD，∴AE=2﹣2，过点E作EH⊥AB于H，则△AEH是等腰直角三角形，∴EH=AH=AE=×（2﹣2）=2﹣，∴BH=2﹣（2﹣）=，在Rt△BEH中，BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4．

点评：

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的运用，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．

33．（2014•甘孜州）如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AB中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延伸线与DC的延伸线交于点N．

（1）求证：△ABE≌△NCE；

（2）若AB=3n，FB=GE，试用含n的式子表示线段AN的长．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CN，由此可知∠B=∠ECN，再根据全等三角形的判定方法ASA即可证明△ABE≌△NCE；

（2）由于AB∥CN，所以△AFG∽△CNG，利用类似三角形的性质和已知条件即可得到含n的式子表示线段AN的长．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CN，∴∠B=∠ECN，∵E是BC中点，∴BE=CE，在△ABE和△NCE中，∴△ABE≌△NCE（ASA）．

（2）∵AB∥CN，∴△AFG∽△CNG，∴AF：CN=AG：GN，∵AB=CN，∴AF：AB=AG：GN，∵AB=3n，F为AB中点

∴FB=GE，∴GE=n，∴=，解得AE=3n，∴AG=2n，GE=n，EN=3n，∴AN=AG+GE+EN=2n+n+3n=6n．

点评：

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及类似三角形的平和性质，标题的综合性较强，难度中等．

34．（2014•抚顺）如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE=BA，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M，过点B作⊙A的切线BF，切点为F．

（1）请判断直线BE与⊙A的地位关系，并阐明理由；

（2）如果AB=10，BC=5，求图中暗影部分的面积．

考点：

矩形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）直线BE与⊙A的地位关系是相切，连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，再证明AH=AD即可；

（2）连接AF，则图中暗影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积．

解答：

解：（1）直线BE与⊙A的地位关系是相切，理由如下：连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，则四边形ADEG是矩形．

∵S△ABE=BE•AH=AB•EG，AB=BE，∴AH=EG，∵四边形ADEG是矩形，∴AD=EG，∴AH=AD，∴BE是圆的切线；

（2）连接AF，∵BF是⊙A的切线，∴∠BFA=90°

∵BC=5，∴AF=5，∵AB=10，∴∠ABF=30°，∴∠BAF=60°，∴BF=AF=5，∴图中暗影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积=×5×5﹣=．

点评：

本题考查了矩形的性质、切线的判定和性质、三角形和扇形面积公式的运用以及角的锐角三角函数值，标题的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．

35．（2014•崇左）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是矩形．

考点：

中点四边形；三角形中位线定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．

解答：

证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=AC，GH=AC，∴EF=GH，同理EH=FG

∴四边形EFGH是平行四边形；

又∵对角线AC、BD互相垂直，∴EF与FG垂直．

∴四边形EFGH是矩形．

点评：

本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．

36．（2014•北京）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

考点：

菱形的判定；平行四边形的性质；解直角三角形．版权一切

分析：

（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；

（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AE是角平分线，∴∠DAE=∠BAE．

∴∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

同理AB=AF．

∴AF=BE．

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形．

（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan∠ADP==．

点评：

本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．

37．（2014•包头）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，点E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的长．（留意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

考点：

梯形；勾股定理．版权一切

专题：

计算题．

分析：

过点D作DF⊥BC，根据∠BCD=45°，得DF=CF，再由AB=2，可得DF=CF=2，由勾股定理得CD的长，由于AD=1，所以BC=2+1，根据∠AEB=60°，可得BE，进而得出CE的长．

解答：

解：过点D作DF⊥BC，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴四边形ABFD为矩形，∵∠BCD=45°，∴DF=CF，∵AB=2，∴DF=CF=2，∴由勾股定理得CD=2；

∵AD=1，∴BF=1，∴BC=2+1，∵∠AEB=60°，∴tan60°=，∴=，∴BE=2，∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1．

点评：

本题考查了梯形的计算以及勾股定理，是基础知识要纯熟掌握．

38．（2014•安顺）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

考点：

矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．版权一切

专题：

证明题；开放型．

分析：

（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．

（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．

解答：

（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．

（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．

理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．

∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．

点评：

本题是以开放型试题，次要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．

39．（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）若∠EOD=30°，求CE的长．

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．版权一切

分析：

（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等；

（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，∵∠EOD=30°，∴∠AOE=90°﹣30°=60°，∴∠AEF=180°﹣∠DAO﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°，∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，∴OD=AD=×2=1，∴AO===，∴AE=CF=×=，∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，∴高EF=2×=，在Rt△CEF中，CE===．

点评：

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的运用，（2）求出△CEF是直角三角形是解题的关键，也是难点．

40．（2013•云南）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．

（1）求证：四边形ADBE是矩形；

（2）求矩形ADBE的面积．

考点：

矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．版权一切

分析：

（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；

（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．

解答：

解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四边形ADBE是平行四边形．

∴平行四边形ADBE是矩形；

（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S矩形ADBE=BD•AD=3×4=12．

点评：

本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．

41．（2013•宜昌）如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF．

（1）请你判断所画四边形的外形，并阐明理由；

（2）连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长．

考点：

菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．版权一切

分析：

（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF是菱形；

（2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长．

解答：

解：（1）菱形．

理由：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，∴四边形AEDF是菱形；

（2）连接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等边三角形，∴EF=AE=8厘米．

点评：

此题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，留意掌握辅助线的作法，留意数形思想的运用．

42．（2013•无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．

（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；

（2）写出按题意构成的一切命题中的假命题，并举出反例加以阐明．（命题请写成“如果…，那么…．”的方式）

考点：

平行四边形的判定；命题与定理．版权一切

分析：

（1）根据平行得出全等三角形，即可求出OB=OD，根据平行四边形的判定推出即可；

（2）根据等腰梯形和平行四边形的判定判断即可．

解答：

（1）以①②作为条件构成的命题是真命题，证明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，另一组对边相等，那么四边形是平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；

根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形是平行四边形，如图，根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．

点评：

本题考查了平行四边形的判定，类似三角形的性质和判定，等腰梯形的判定等知识点的运用，次要考查先生的推理能力和辨析能力，标题比较好，但是一道比较容易出错的标题．

43．（2013•铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延伸到点E，使OE=OD，连接AE，BE．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并阐明理由．

考点：

矩形的判定；正方形的判定．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；

（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．

解答：

（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延伸到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；

（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．

点评：

此题次要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，纯熟掌握正方形和矩形的判定是解题关键．

44．（2013•深圳）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，延伸BC到E，使得CE=AD，连接DE．

（1）求证：BD=DE．

（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．

考点：

等腰梯形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；平行四边形的判定与性质；类似三角形的判定与性质．版权一切

分析：

（1）由AD∥BC，CE=AD，可得四边形ACED是平行四边形，即可证得AC=DE，又由等腰梯形的性质，可得AC=BD，即可证得结论；

（2）首先过点D作DF⊥BC于点F，可证得△BDE是等腰直角三角形，由SABCD=16，可求得BD的长，继而求得答案．

解答：

（1）证明：∵AD∥BC，CE=AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE，∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∴BD=DE．

（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=3，AC∥DE，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，∵BD=DE，∴S△BDE=BD•DE=BD2=BE•DF=（BC+CE）•DF=（BC+AD）•DF=S梯形ABCD=16，∴BD=4，∴BE=BD=8，∴DF=BF=EF=BE=4，∴CF=EF﹣CE=1，∴由勾股定理得AB=CD==．

点评：

此题考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，留意掌握辅助线的作法，留意数形思想的运用．

45．（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延伸线于点F．

（1）求证：DE=EF；

（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延伸线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．

考点：

菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．版权一切

分析：

（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；

（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．

解答：

证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；

（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．

点评：

此题次要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

46．（2013•钦州）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形．

考点：

等腰梯形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

由AB∥DE，∠DEC=∠C，易证得∠B=∠C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论．

解答：

证明：∵AB∥DE，∴∠DEC=∠B，∵∠DEC=∠C，∴∠B=∠C，∴梯形ABCD是等腰梯形．

点评：

此题考查了等腰梯形的判定．此题比较简单，留意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的运用，留意数形思想的运用．

47．（2013•南京）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

考点：

正方形的判定；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．

解答：

证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°

∴PM=MD，∴四边形MPND是正方形．

点评：

本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．

48．（2013•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．

（1）求证：△APB∽△PEC；

（2）若CE=3，求BP的长．

考点：

等腰梯形的性质；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可证得∠BAP=∠EPC，根据有两角对应相等的三角形类似，即可证得：△APB∽△PEC；

（2）首先过点A作AF∥CD交BC于点F，则四边形ADCF是平行四边形，△ABF为等边三角形，又由△APB∽△PEC，根据类似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：

（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C=60°，∵∠APC=∠B+∠BAP，即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∵∠APE=∠B，∴∠BAP=∠EPC，∴△APB∽△PEC；

（2）解：过点A作AF∥CD交BC于点F，∵AD∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠AFB=∠C=∠B=60°，∴△ABF为等边三角形，∴CF=AD=3，AB=BF=7﹣3=4，∵△APB∽△PEC，∴，设BP=x，则PC=7﹣x，∵EC=3，AB=4，∴，解得：x1=3，x2=4，经检验：x1=3，x2=4是原分式方程的解，∴BP的长为：3或4．

点评：

此题考查了等腰梯形的性质、类似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，留意掌握辅助线的作法，留意数形思想与方程思想的运用．

49．（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．

考点：

菱形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．

解答：

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°，∵DH⊥AB，∴OH=BD=OB，∴∠OHB=∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO．

点评：

本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．

50．（2013•防城港）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延伸线与BC的延伸线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．

（1）求证：四边形EMCN是矩形；

（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽．

考点：

直角梯形；矩形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）根据轴对称的性质可得AD=DF，DE⊥AF，然后判断出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠DAF=∠EDF=45°，根据两直线平行，内错角相等求出∠BGE=45°，然后判断出△BGE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根据矩形的判定证明即可；

（2）判断出△BCD是等腰直角三角形，然后根据梯形的面积求出CD的长，再根据等腰直角三角形的性质求出DN，即可得解．

解答：

（1）证明：∵点A、F关于BD对称，∴AD=DF，DE⊥AF，又∵AD⊥DC，∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，∴∠DAF=∠EDF=45°，∵AD∥BC，∴∠G=∠GAD=45°，∴△BGE是等腰直角三角形，∵M，N分别是BG，DF的中点，∴EM⊥BC，EN⊥CD，又∵AD∥BC，AD⊥DC，∴BC⊥CD，∴四边形EMCN是矩形；

（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=CD，∴S梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=，即CD2+2CD﹣15=0，解得CD=3，CD=﹣5（舍去），∵△ADE、△DEF是等腰直角三角形，∴DF=AD=2，∵N是DF的中点，∴EN=DN=DF=×2=1，∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，∴矩形EMCN的长和宽分别为2，1．

点评：

本题考查了直角梯形的性质，轴对称的性质，矩形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，纯熟掌握轴对称的性质判断出相关的等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．

51．（2013•鄂尔多斯）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．

（1）求证：AF=DE；

（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．

考点：

等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．版权一切

专题：

探求型．

分析：

（1）根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明△AED≌△DFA即可；

（2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长．

解答：

（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，∴△AED≌△DFA（SAS），∴AF=DE；

（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK，∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°，∴AB=BH=AH，同理：CD=CK=KD，∵S梯形ABCD=，AB=a，∴S梯形ABCD==，而S△ABE=S△DCF=a2，∴=2×a2，∴BC=a．

点评：

本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式，属于中档标题．

52．（2013•朝阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，过点A作AE∥DC交BC于点E．

（1）求证：四边形AECD是菱形．

（2）在（1）的条件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以点A为圆心，AE的长为半径画弧交BE于点F，连接AF，在图中，用尺规补齐图形（仅保留作图痕迹），并证明点F是BE的中点．

考点：

梯形；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；作图—复杂作图．版权一切

分析：

（1）由AD∥BC，AE∥DC，可证得四边形AECD是平行四边形，又由AD=CD，即可证得四边形AECD是菱形．

（2）由∠B=30°，AE⊥AB，AE=AF，易得△AEF是等边三角形，继而证得△ABF是等腰三角形，则可证得BF=AF=EF，即可得点F是BE的中点．

解答：

证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AD=CD，∴四边形AECD是菱形．

（2）补齐图形：

证明：∵∠B=30°，AE⊥AB，∴∠AEB=60°，∵AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴AF=EF，∠EAF=60°，∴∠BAF=90°﹣∠EAF=30°，∴∠BAF=∠B，∴AF=BF，∴BF=EF，即点F是BE的中点．

点评：

此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，留意掌握数形思想的运用．

53．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．

求证：

（1）△AFD≌△CEB；

（2）四边形ABCD是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定；全等三角形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．

（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

解答：

证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．

又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．

（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．

∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

点评：

此题次要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

54．（2012•盐城）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．

（1）求证：DE=EC；

（2）若AD=BC，试判断四边形ABED的外形，并阐明理由．

考点：

梯形；直角三角形的性质；菱形的判定．版权一切

分析：

（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角对等边，即可证得DE=EC；

（2）易证得AD=BE，AD∥BC，即可得四边形ABED是平行四边形，又由BE=DE，即可得四边形ABED是菱形．

解答：

（1）证明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，∴∠EDC=∠BDC﹣∠BDE=90°﹣∠BDE，又∵∠C=90°﹣∠DBC，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC；

（2）若AD=BC，则四边形ABED是菱形．

证明：∵∠BDE=∠DBC．

∴BE=DE，∵DE=EC，∴DE=BE=EC=BC，∵AD=BC，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∵BE=DE，∴▱ABED是菱形．

点评：

此题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质以及菱形的判定．此题综合性较强，难度适中，留意数形思想的运用．

55．（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）当AB与AC具有什么地位关系时，四边形AECD是菱形？请阐明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

考点：

等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．版权一切

分析：

（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；

（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．

解答：

（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．

证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．

∴ABED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴平行四边形AECD是菱形．

过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2．

点评：

此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，留意数形思想的运用．

56．（2012•湘西州）如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；

过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．

（1）求OC的长；

（2）求证：四边形OBEC为矩形；

（3）求矩形OBEC的面积．

考点：

矩形的判定与性质；菱形的性质．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）在直角△OCD中，利用勾股定理即可求解；

（2）利用矩形的定义即可证明；

（3）利用矩形的面积公式即可直接求解．

解答：

解：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴直角△OCD中，OC===4cm；

（2）∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵AC⊥BD，即∠COB=90°，∴平行四边形OBEC为矩形；

（3）∵OB=0D，∴S矩形OBEC=OB•OC=4×3=12（cm2）．

点评：

本题考查了菱形的性质以及矩形的判定，理解菱形的对角线的关系是关键．

57．（2012•苏州）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延伸线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．

（1）求证：△ABE≌△CDA；

（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．

考点：

梯形；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后题意条件利用SAS可判断三角形的全等；

（2）根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角和定理即可得出答案．

解答：

（1）证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，∴∠ABE=∠CDA

在△ABE和△CDA中，∴△ABE≌△CDA．

（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC，∴∠AEB=∠ACE，∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°，∴∠EAC=180°﹣40°﹣40°=100°．

点评：

此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质，解答本题的关键是根据梯形及题意条件得出一些线段之间的关系，留意所学知识的融会贯通．

58．（2012•呼伦贝尔）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．

（1）求证：DE=DF；

（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．

考点：

正方形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

（1）利用“HL”证明Rt△BDF≌Rt△CDE，即可得到DE=DF；

（2）由已知可证明它是矩形，由于有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．

解答：

（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴DE=DF；

（2）答：四边形AFDE是正方形．

证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形．

点评：

此题次要考查先生对全等三角形的判定和性质及正方形的判定方法的掌握情况．

59．（2012•鄂尔多斯）已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延伸线于点E，且AE=AC，连AG．

（1）求证：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的长．

考点：

直角梯形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）由直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC，AE=AC，根据AAS易证得△ABC≌△AFE，根据全等三角形的对应边相等，即可得AB=AF，继而可得FC=BE；

（2）利用等腰三角形的三线合一定理可得AF=AC=AE，进而求得一些角是30°，次要利用AD长，直角三角形勾股定理来求解即可求得答案．

解答：

（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．

∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．

∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；

（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．

∴AG=CG，∠E=30°．

∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．

点评：

本题考查直角梯形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定．此题知识点多，综合性强．打破此题的关键在于问证得△ABC≌△AFE，第二问利用等腰△ADC的性质得AF=AC=AE．从而得出∠E=30°，留意数形思想的运用．

60．（2012•滨州）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．经过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的地位和数量关系？并证明你的结论．

考点：

梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．版权一切

专题：

探求型．

分析：

连接AF并延伸交BC于点G，则△ADF≌△GCF，可以证得EF是△ABG的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得．

解答：

解：结论为：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．理由如下：

连接AF并延伸交BC于点G．

∵AD∥BC，∴∠DAF=∠G，在△ADF和△GCF中，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AF=FG，AD=CG．

又∵AE=EB，∴EF∥BG，EF=BG，即EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．

点评：

本题猜想并且证明了梯形的中位线定理，经过辅助线转化成三角形的中位线的成绩．

第五篇：「中考数学」三角形：真题专项突破冲刺提分60题（含答案解析）

【中考数学】三角形：精选真题专项打破冲刺提分60题

（含答案解析）

一、解

答

题（共60小题）

1．（2014•重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．

（1）求证：BE=CF；

（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．

求证：①ME⊥BC；②DE=DN．

2．（2014•张家界）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．

（1）证明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；

（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．

3．（2014•湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延伸线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作不断线（在山的旁边），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，到1米）

4．（2014•西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．

（1）求证：△ADC≌△CEB；

（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

5．（2014•温州）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延伸线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2，求DF的长．

6．（2014•温州）勾股定理奥秘而美好，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，上面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．

证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．

∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．

又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）

∴b2+ab=c2+a（b﹣a）

∴a2+b2=c2

请参照上述证法，利用图2完成上面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．

求证：a2+b2=c2

证明：连结

∵S五边形ACBED=

又∵S五边形ACBED=

∴

∴a2+b2=c2．

7．（2014•）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．请残缺阐明为何△ABC与△DEC全等的理由．

8．（2014•遂宁）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

sin2A1+sin2B1=　　　　　　；sin2A2+sin2B2=　　　　　　；sin2A3+sin2B3=　　　　　　．

（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=　　　　　　．

（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．

（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求si．

9．（2014•邵阳）如图，已知点A、F、E、C在同不断线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．

（1）从图中任找两组全等三角形；

（2）从（1）中任选一组进行证明．

10．（2014•南京）【成绩提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研讨．

【初步考虑】

我们不妨将成绩用符号言语表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探求．

【深入探求】

种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．

第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC≌△DEF．

11．（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：

（1）∠ADE=　　　　　　°；

（2）AE　　　　　　EC；（填“=”“＞”或“＜”）

（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=　　　　　　．

12．（2014•锦州）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．

（1）求证：EF=AC．

（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．

13．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．

14．（2014•黄石）小明听说“武黄城际列车”曾经开通，便设计了如下成绩：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，如今可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．请你协助小明处理以下成绩：

（1）求A、C之间的距离；（参考数据=4.6）

（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短工夫到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车？请阐明理由．（不计候车工夫）

15．（2014•衡阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

求证：△BED≌△CFD．

16．（2014•菏泽）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．

（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．

17．（2014•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延伸交AB的延伸线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若=，求cos∠ABC的值．

18．（2014•德州）成绩背景：

如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探求图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同窗探求此成绩的方法是，延伸FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　　　　　　；

探求延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论能否仍然成立，并阐明理由；

实践运用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥的距离相等，接到举动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

19．（2013•淄博）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．

20．（2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．

（1）你添加的条件是　　　　　　．

（2）添加条件后，请阐明△ABC≌△ADE的理由．

21．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的长；

（2）求△ADB的面积．

22．（2013•仙桃）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．

23．（2013•天水）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

24．（2013•随州）如图，点F、B、E、C在同不断线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．

提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．

25．（2013•宁德）如图，点D、A、C在同不断线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：△ABC≌△CDE．

26．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并阐明理由．

27．（2013•杭州）（1）先求解下列两题：

①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；

②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象点B，D，求k的值．

（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．

28．（2013•贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探求△ABC的外形（按角分类）．

（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为　　　　　　三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为　　　　　　三角形．

（2）猜想，当a2+b2　　　　　　c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2　　　　　　c2时，△ABC为钝角三角形．

（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的外形，并求出对应的c的取值范围．

29．（2013•佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需求经过推理的方法证明．

（1）叙说三角形全等的判定方法中的推论AAS；

（2）证明推论AAS．

要求：叙说推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明根据．

30．（2013•防城港）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．

求证：△ABC≌△AED．

31．（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼最少20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没成绩！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同不断线上）问：

（1）楼高多少米？

（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请阐明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）

32．（2013•郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．

（1）证明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探求EM、FN、BH之间的数量关系；

（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有值？并求出S的值．

33．（2013•朝阳）某段河流的两岸是平行的，数学兴味小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一颗树A；

②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处中止行走；

④测得DE的长就是河宽AB．

请你证明他们做法的正确性．

34．（2013•包头）如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．

（1）求OB的长；

（2）当AA′=1米时，求BB′的长．

35．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延伸线上一点，与点P同时以相反的速度由B向CB延伸线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长能否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请阐明理由．

36．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的外形．（只写结果）

37．（2012•枣庄）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

（1）求证：AB=BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．

38．（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．

求证：AB=AC．

39．（2012•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．

（1）猜想AC与BD的地位关系，并证明你的结论；

（2）求线段BD的长．

40．（2012•梧州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延伸线上的一点，且CE=CD．

求证：∠B=∠E．

41．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．

举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．

运用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．

探求：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探求PA的长．

42．（2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．

（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，①若AB是⊙O的直径，则∠APB=　　　　　　°；

②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；

（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探求∠APB与∠MAN、∠A之间的数量关系．

43．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．

∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延伸线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=　　　　　　．点P到AB边的距离PE=　　　　　　．

44．（2012•黄冈）

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为　　　　　　．

45．（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．

46．（2012•河池）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：tanA=，AC=（结果保留根号）；

（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．

47．（2012•抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE．

（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并图①证明你的结论；

（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论能否成立？若成立，请图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；

（3）若AC=3，点D在直线BC上挪动的过程中，能否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请阐明理由．

48．（2012•鄂州）小明是一位善于考虑的先生，在数学课上，他将一副直角三角板如图地位摆放，A、B、D在同不断线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．

49．（2012•大庆）已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，次回到点A处中止运动，设AP=S，用t表示运动工夫．

（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示S；

（2）当t取何值时，S等于（求出一切的t值）；

（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP？

50．（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．

51．（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE=5，求BC长．

52．（2011•枣庄）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（1）画线段AD∥BC且使AD=BC，连接CD；

（2）线段AC的长为，CD的长为，AD的长为　　　　　　；

（3）△ACD为　　　　　　三角形，四边形ABCD的面积为　　　　　　；

（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是　　　　　　．

53．（2011•随州）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

54．（2011•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度数；

（2）求证：DC=AB．

55．（2011•青海）认真阅读上面关于三角形内外角平分线所夹角的探求片段，完成所提出的成绩．

探求1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，经过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探求2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请阐明理由．

探求3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）

结论：　　　　　　．

56．（2011•宁波）阅读上面的情景对话，然后解答成绩：

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

57．（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

58．（2011•梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=　　　　　　；（直接写结果）

（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小能否会随点P的挪动面变化？请阐明理由；

（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小能否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

59．（2011•连云港）某课题研讨小组就图形面积成绩进行专题研讨，他们发现如下结论：

（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；

（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；

…

现请你继续对上面成绩进行探求，探求过程可直接运用上述结论．（S表示面积）

成绩1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探求知=S△ABC，请证明．

成绩2：若有另一块三角形纸板，可将其与成绩1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探求与S四边形ABCD之间的数量关系．

成绩3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．

成绩4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．

60．（2011•乐山）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

中考数学提分冲刺真题精析：三角形

参考答案与试题解析

一、解

答

题（共60小题）

1．（2014•重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．

（1）求证：BE=CF；

（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．

求证：①ME⊥BC；②DE=DN．

考点：

全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．版权一切

专题：

证明题；几何综合题．

分析：

（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；

②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：

证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；

（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；

②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，又∵∠DAE=×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=CD=BC，在△ADE和△CDN中，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于一问根据角的度数得到相等的角．

2．（2014•张家界）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．

（1）证明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；

（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．

考点：

全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题；开放型．

分析：

（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可证明△CBF≌△CDF．

（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC与△ADC是轴对称图形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，由于OC=OA，所以AC与BD互相垂直平分，即可证得四边形ABCD是菱形，然后根据勾股定理全等AB长，进而求得四边形的面积．

（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．

解答：

（1）证明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，在△CBF和△CDF中，∴△CBF≌△CDF（SAS），（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴△ABC和△ADC是轴对称图形，∴OB=OD，BD⊥AC，∵OA=OC，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AC=2，BD=2，∴OA=，OB=1，∴AB===2，∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．

（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，∵△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BAD．

点评：

此题次要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．

3．（2014•湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延伸线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作不断线（在山的旁边），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，到1米）

考点：

勾股定理的运用．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可．

解答：

解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400≈566（米），答：直线L上距离D点566米的C处开挖．

点评：

此题次要考查了勾股定理的运用，在运用勾股定理处理实践成绩时勾股定理与方程的是处理实践成绩常用的方法，关键是从题中笼统出勾股定理这一数学模型，画出精确的表示图．领会数形的思想的运用．

4．（2014•西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．

（1）求证：△ADC≌△CEB；

（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

考点：

全等三角形的运用；勾股定理的运用．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．

（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，根据勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．

解答：

（1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）解：由题意得：

∵一块墙砖的厚度为a，∴AD=4a，BE=3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，∴（4a）2+（3a）2=252，∵a＞0，解得a=5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．

点评：

此题次要考查了全等三角形的运用，以及勾股定理的运用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．

5．（2014•温州）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延伸线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2，求DF的长．

考点：

等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；

（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．

解答：

解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；

（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．

∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．

点评：

本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．

6．（2014•温州）勾股定理奥秘而美好，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，上面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．

证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．

∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．

又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）

∴b2+ab=c2+a（b﹣a）

∴a2+b2=c2

请参照上述证法，利用图2完成上面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．

求证：a2+b2=c2

证明：连结　BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED=　S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED=　S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴　ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．

考点：

勾股定理的证明．版权一切

专题：

推理填

空

题．

分析：

首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED，进而得出答案．

解答：

证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．

点评：

此题次要考查了勾股定理得证明，表示出五边形面积是解题关键．

7．（2014•）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．请残缺阐明为何△ABC与△DEC全等的理由．

考点：

全等三角形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

根据∠BCE=∠ACD=90°，可得∠3=∠5，又根据∠BAE=∠1+∠2=90°，∠2+∠D=90°，可得∠1=∠D，继而根据AAS可判定△ABC≌△DEC．

解答：

解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）．

点评：

本题考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

8．（2014•遂宁）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

sin2A1+sin2B1=　1　；sin2A2+sin2B2=　1　；sin2A3+sin2B3=　1　．

（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=　1　．

（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．

（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求si．

考点：

勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形．版权一切

专题：

几何综合题；规律型．

分析：

（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，si=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；

（3）利用关系式sin2A+sin2B=1，已知条件sinA=，进行求解．

解答：

解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；

sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；

sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．

观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．

（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．

∵sinA=，si=，∴sin2A+sin2B=，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2，∴sin2A+sin2B=1．

（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，∴si==．

点评：

本题考查了在直角三角形中互余两角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．

9．（2014•邵阳）如图，已知点A、F、E、C在同不断线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．

（1）从图中任找两组全等三角形；

（2）从（1）中任选一组进行证明．

考点：

全等三角形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据标题所给条件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；

（2）根据AB∥CD可得∠1=∠2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明△ABE≌△CDF即可．

解答：

解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；

（2）∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）．

点评：

此题次要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

10．（2014•南京）【成绩提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研讨．

【初步考虑】

我们不妨将成绩用符号言语表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探求．

【深入探求】

种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据　HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．

第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若　∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．

考点：

全等三角形的判定与性质；作图—运用与设计作图．版权一切

专题：

压轴题；探求型．

分析：

（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；

（2）过点C作CG⊥AB交AB的延伸线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延伸线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；

（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；

（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．

解答：

（1）解：HL；

（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延伸线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延伸线于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；

（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．

故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，运用与设计作图，纯熟掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真细心．

11．（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：

（1）∠ADE=　90　°；

（2）AE　=　EC；（填“=”“＞”或“＜”）

（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=　7　．

考点：

线段垂直平分线的性质；勾股定理的运用．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论；

（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；

（3）先根据勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．

解答：

解：（1）∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°．

故答案为：90°；

（2）∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=EC．

故答案为：=；

（3）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵AE=CE，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．

故答案为：7．

点评：

本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的运用，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．

12．（2014•锦州）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．

（1）求证：EF=AC．

（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．

考点：

直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AC；

（2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解．

解答：

（1）证明：∵CD=CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵点F为AC的中点，∴EF=AC；

（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM=CM，∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，∴BC=AM+DM．

点评：

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）判断出EF垂直平分AC．

13．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．

考点：

全等三角形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

根据∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．

解答：

证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△AEC中，∴△ABD≌△AEC（SAS）．

点评：

本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判断两个直角三角形全等的方法HL．

14．（2014•黄石）小明听说“武黄城际列车”曾经开通，便设计了如下成绩：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，如今可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．请你协助小明处理以下成绩：

（1）求A、C之间的距离；（参考数据=4.6）

（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短工夫到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车？请阐明理由．（不计候车工夫）

考点：

勾股定理的运用．版权一切

专题：

几何图形成绩．

分析：

（1）过点C作AB的垂线，交AB的延伸线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可；

（2）分别求得乘车工夫，然后比较即可得到答案．

解答：

解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延伸线于E点，∵∠ABC=120°，BC=20，∴BE=10，在△ACE中，∵AC2=8100+300，∴；

（2）乘客车需工夫（小时）；

乘列车需工夫（小时）；

∴选择城际列车．

点评：

本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是正确的构造直角三角形．

15．（2014•衡阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

求证：△BED≌△CFD．

考点：

全等三角形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

首先根据AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．

解答：

证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS）．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

16．（2014•菏泽）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．

（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．

考点：

等腰三角形的判定与性质；分式的化简求值；平行线的性质；直角三角形斜边上的中线．版权一切

分析：

（1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．

（2）化简当前，用全体思想代入即可得到答案．

解答：

解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE==2.5．

（2）原式=

=

∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，原式=

点评：

本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的运用，关键是求出DE=BE=AE．学会用全体思想解答有关成绩是我们学习的关键．

17．（2014•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延伸交AB的延伸线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若=，求cos∠ABC的值．

考点：

勾股定理；切线的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）如图，连接OC．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE；

（2）由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE==2k．则tan∠E==．所以在Rt△OCE中，tan∠E==．

在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD==k，故cos∠ABC=cos∠AOD==．

解答：

（1）证明：如图，连接OC．

∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，∴AD⊥AB，∴∠DAB=90°．

∵OD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵OC=OB，∴∠2=∠4．

∴∠1=∠3．

在△COD和△AOD中，∴△COD≌△AOD（SAS）

∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于点C．

∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；

（2）解：由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，∴AD=DC=k．

∴在Rt△DAE中，AE==2k．

∴tan∠E==．

∵在Rt△OCE中，tan∠E==．

∴=，∴OC=OA=．

∴在Rt△AOD中，OD==k，∴cos∠ABC=cos∠AOD==．

点评：

本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

18．（2014•德州）成绩背景：

如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探求图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同窗探求此成绩的方法是，延伸FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　EF=BE+DF　；

探求延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论能否仍然成立，并阐明理由；

实践运用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥的距离相等，接到举动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

考点：

全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

压轴题；探求型．

分析：

成绩背景：根据全等三角形对应边相等解答；

探求延伸：延伸FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；

实践运用：连接EF，延伸AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF=∠AOB，判断出符合探求延伸的条件，再根据探求延伸的结论解答即可．

解答：

解：成绩背景：EF=BE+DF；

探求延伸：EF=BE+DF仍然成立．

证明如下：如图，延伸FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；

实践运用：如图，连接EF，延伸AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探求延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．

答：此时两舰艇之间的距离是210海里．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂成绩背景的求解思绪，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．

19．（2013•淄博）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．

考点：

等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

根据AD∥BC，可求证∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代换可求证∠ABD=∠ADB，然后即可得出结论．

解答：

证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．

点评：

此题次要考查先生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，此题很简单，属于基础题．

20．（2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．

（1）你添加的条件是　∠C=∠E　．

（2）添加条件后，请阐明△ABC≌△ADE的理由．

考点：

全等三角形的判定．版权一切

专题：

开放型．

分析：

（1）可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件；

（2）根据全等三角形的判定方法证明即可．

解答：

解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）；

故答案为：∠C=∠E；

（2）选∠C=∠E为条件．

理由如下：在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）．

点评：

本题次要考查了全等三角形的判定，开放型标题，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相反．

21．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的长；

（2）求△ADB的面积．

考点：

角平分线的性质；勾股定理．版权一切

分析：

（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；

（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．

解答：

解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．

点评：

本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，留意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

22．（2013•仙桃）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．

考点：

全等三角形的判定．版权一切

分析：

找到两三角形全等的条件，三角形全等就写出来，选择一组证明即可．

解答：

解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．

选择△AEM≌△ACN，理由如下：

∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，∴∠EAM=∠CAN，∵在△AEM和△ACN中，∴△AEM≌△ACN（ASA）．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

23．（2013•天水）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

考点：

勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版权一切

分析：

利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．

解答：

解：过点D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH，∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．

点评：

此题次要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．

24．（2013•随州）如图，点F、B、E、C在同不断线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．

提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．

考点：

全等三角形的判定．版权一切

分析：

由BF=CE可得EF=CB，再有条件∠ABC=∠DEF不能证明△ABC≌△DEF；可以加上条件①AB=DE，利用SAS定理可以判定△ABC≌△DEF．

解答：

解：不能；

选择条件：①AB=DE；

∵BF=CE，∴BF+BE=CE+BE，即EF=CB，在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS）．

点评：

此题次要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

25．（2013•宁德）如图，点D、A、C在同不断线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：△ABC≌△CDE．

考点：

全等三角形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

首先根据AB∥CE可得∠BAC=∠DCE，再加上条件AB=CD，∠B=∠D可利用ASA定理证明三角形全等．

解答：

证明：∵AB∥CE，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（ASA）．

点评：

此题次要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

26．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并阐明理由．

考点：

全等三角形的判定；等腰直角三角形．版权一切

分析：

分析

根据等角的余角相等可得出∠ACD=∠BCE，CA=CB，CD=CE，可证明△ACD≌△BCE．

解答：

解：△ACD≌△BCE．

证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE．

∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CA=CB，CD=CE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握三角形全等的判定定理．

27．（2013•杭州）（1）先求解下列两题：

①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；

②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象点B，D，求k的值．

（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．

考点：

等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；

②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相反，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．

（2）从数学思想上考虑解答．

解答：

解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；

②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，∴点B（3，），∵BC=2，∴点C（3，+2），∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴D（1，+2），∵点D也在反比例函数图象上，∴+2=k，解得，k=3；

（2）用已知的量经过关系去表达未知的量，运用转换的思想和方法．（开放题）

点评：

本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题．

28．（2013•贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探求△ABC的外形（按角分类）．

（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为　锐角　三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为　钝角　三角形．

（2）猜想，当a2+b2　＞　c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2　＜　c2时，△ABC为钝角三角形．

（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的外形，并求出对应的c的取值范围．

考点：

勾股定理的逆定理；勾股定理．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；

（2）根据（1）中的计算作出判断即可；

（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．

解答：

解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；

当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；

故答案为：锐角；钝角；

（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；

当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；

故答案为：＞；＜；

（3）∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；

②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；

③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．

点评：

本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂标题信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．

29．（2013•佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需求经过推理的方法证明．

（1）叙说三角形全等的判定方法中的推论AAS；

（2）证明推论AAS．

要求：叙说推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明根据．

考点：

全等三角形的判定；命题与定理．版权一切

分析：

（1）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．

（2）根据三角形内角和定理和全等三角形的判断定理ASA来证明．

解答：

解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

（2）已知：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．

求证：△ABC≌△DEF．

证明：如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），∴∠B=∠E．

∵在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

30．（2013•防城港）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．

求证：△ABC≌△AED．

考点：

全等三角形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AB=AE，∠C=∠D可证明△ABC≌△AED．

解答：

证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（AAS）．

点评：

此题次要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

31．（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼最少20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没成绩！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同不断线上）问：

（1）楼高多少米？

（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请阐明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）

考点：

勾股定理的运用．版权一切

专题：

运用题．

分析：

（1）设楼高为x，则CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD=150，求出x的值即可；

（2）根据（1）求出的楼高x，然后求出20层楼的高度，比较x和20层楼高的大小即可判断谁的观点正确．

解答：

解：（1）设楼高为x米，则CF=DE=x米，∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，∴AC=x米，BD=x米，∴x+x=150﹣10，解得x==70（﹣1）（米），∴楼高70（﹣1）米．

（2）x=70（﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，∴我支持小华的观点，这楼不到20层．

点评：

本题考查了勾股定理的运用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解，难度普通．

32．（2013•郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．

（1）证明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探求EM、FN、BH之间的数量关系；

（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有值？并求出S的值．

考点：

等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；

（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值成绩解答．

解答：

（1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k，∴EM=CM•tanC=•k=，同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣，由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；

（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，所以，S△PCE=x•2x=x2，S△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，=64﹣x2﹣（8﹣x）2，=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，所以，当x=4时，S有值32．

点评：

本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值成绩，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．

33．（2013•朝阳）某段河流的两岸是平行的，数学兴味小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一颗树A；

②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处中止行走；

④测得DE的长就是河宽AB．

请你证明他们做法的正确性．

考点：

全等三角形的运用．版权一切

分析：

将标题中的实践成绩转化为数学成绩，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可阐明其做法的正确性．

解答：

证明：如图，由做法知：

在Rt△ABC和Rt△EDC中，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）

∴AB=ED

即他们的做法是正确的．

点评：

本题考查了全等三角形的运用，解题的关键是将实践成绩转化为数学成绩．

34．（2013•包头）如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．

（1）求OB的长；

（2）当AA′=1米时，求BB′的长．

考点：

勾股定理的运用；解直角三角形的运用．版权一切

分析：

（1）由已知数据解直角三角形AOB即可；

（2）首先求出OA的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长即可．

解答：

解：（1）根据题意可知：AB=6，∠ABO=60°，∠AOB=90°，在Rt△AOB中，∵cos∠ABO=，∴OB=ABcos∠ABO=6cos60°=3米，∴OB的长为3米；

（2）根据题意可知A′B′=AB=6米，在Rt△AOB中，∵sin∠ABO=，∴OA=ABsin∠ABO=6sin60°=9米，∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米，∴OA′=8米，在Rt△A′OB′中，OB′=2米，∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣3）米．

点评：

本题考查了勾股定理的运用和角的锐角三角函数，是中考常见题型．

35．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延伸线上一点，与点P同时以相反的速度由B向CB延伸线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长能否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请阐明理由．

考点：

等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．版权一切

专题：

压轴题；动点型．

分析：

（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；

（2）作QF⊥AB，交直线AB的延伸线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相反，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

解答：

解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；

（2）当点P、Q同时运动且速度相反时，线段DE的长度不会改变．理由如下：

作QF⊥AB，交直线AB的延伸线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相反，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相反时，线段DE的长度不会改变．

点评：

本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．

36．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的外形．（只写结果）

考点：

等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．版权一切

专题：

作图题．

分析：

（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．

（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．

解答：

解：（1）如图所示：

（2）△ADF的外形是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．

点评：

本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的运用，次要培养先生的动手操作能力和推理能力，标题比较典型，难度也适中．

37．（2012•枣庄）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

（1）求证：AB=BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．

考点：

勾股定理；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，进而得出AB=BC；

（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE=BF，进而证明结论．

解答：

证明：（1）连接AC．

∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2．

∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2．

∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴BC2=AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB=BC．

（2）过C作CF⊥BE于F．

∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，∴四边形CDEF是矩形．

∴CD=EF．

∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴在△BAE与△CBF中

∴，∴△BAE≌△CBF．（AAS）

∴AE=BF．

∴BE=BF+EF=AE+CD．

点评：

此题次要考查了勾股定理的运用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是处理成绩的关键．

38．（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．

求证：AB=AC．

考点：

等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定．版权一切

专题：

证明题；压轴题．

分析：

根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证．

解答：

证明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2，∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC．

点评：

本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

39．（2012•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．

（1）猜想AC与BD的地位关系，并证明你的结论；

（2）求线段BD的长．

考点：

等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质．版权一切

专题：

探求型．

分析：

（1）由平移的性质可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论；

（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．

解答：

解：（1）AC⊥BD．

∵△DCE由△ABC平移而成，∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，∴DE=BE，∴BD⊥DE，又∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE，∴BD⊥AC，∵△ABC是等边三角形，∴BF是边AC的中线，∴BD⊥AC，BD与AC互相垂直平分；

（2）∵由（1）知，AC∥DE，BD⊥AC，∴△BED是直角三角形，∵BE=6，DE=3，∴BD===3．

点评：

本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．

40．（2012•梧州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延伸线上的一点，且CE=CD．

求证：∠B=∠E．

考点：

等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权一切

专题：

证明题；压轴题．

分析：

先根据等腰梯形的性质得出∠B+∠ADC=180°，再根据两角互补的性质得出∠B=∠CDE，再根据CE=CD即可得出∠CDE=∠E，进而得出结论．

解答：

证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠B=∠CDE，∵CE=CD，∴△CDE是等腰三角形，∴∠CDE=∠E，∴∠B=∠E．

点评：

本题考查的是等腰三角形的判定与性质及等腰梯形的性质，熟知等腰梯形的两底角相等是解答此题的关键．

41．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．

举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．

运用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．

探求：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探求PA的长．

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理．版权一切

专题：

新定义．

分析：

运用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只要情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；

探求：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．

解答：

运用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；

探求：解：∵BC=5，AB=3，∴AC===4，①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4﹣x）2，∴x=，即PA=，②若PA=PC，则PA=2，③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．

故PA=2或．

点评：

本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要留意分三种情况进行讨论．

42．（2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．

（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，①若AB是⊙O的直径，则∠APB=　90　°；

②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；

（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探求∠APB与∠MAN、∠A之间的数量关系．

考点：

勾股定理；垂径定理；圆周角定理；点与圆的地位关系；圆与圆的地位关系．版权一切

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；

②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；

（2）根据点P在⊙O1上的地位分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠A之间的数量关系．

解答：

解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．

②如图，连接AB、OA、OB．

在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2．

∴∠AOB=90°．

当点P在优弧上时，∠APB=∠AOB=45°；

当点P在劣弧上时，∠AP′B=（360°﹣∠AOB）=135°

（2）根据点P在⊙O1上的地位分为以下四种情况．

种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①

∵∠MAN=∠APB+∠A，∴∠APB=∠MAN﹣∠A；

第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠A），∴∠APB=∠MAN+∠A﹣180°；

第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．

∵∠APB+∠A+∠MAN=180°，∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠A，第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠A．

点评：

综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的地位关系，本题难度较大，留意分类思想的运用．

43．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．

∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延伸线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=　7　．点P到AB边的距离PE=　4或10　．

考点：

等腰三角形的性质；三角形的面积．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；

（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延伸线上的点时，运用结论PE=PF+CH．

解答：

解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．

∵S△ABC=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．

分两种情况：

①P为底边BC上一点，如图①．

∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；

②P为BC延伸线上的点时，如图②．

∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．

故答案为：7；4或10．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使成绩简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．

44．（2012•黄冈）

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为　36°　．

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．版权一切

分析：

由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．

解答：

解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C==72°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=72°﹣36°=36°．

故答案为：36°．

点评：

此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，留意数形思想的运用．

45．（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．

考点：

含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版权一切

分析：

首先在直角三角形BDC中，利用BD的长和∠BDC=45°求得线段BC的长，然后在直角三角形ABC中求得∠A的度数即可；

解答：

解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC=45°，BD=10，∴BC=BD•sin∠BDC=10×=10

∵∠C=90°AB=20

∴sin∠A===，∴∠A=30°．

点评：

本题考查了等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的知识，属于基础题，比较简单．

46．（2012•河池）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：tanA=，AC=　2（结果保留根号）；

（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．

考点：

勾股定理；全等三角形的判定；锐角三角函数的定义．版权一切

专题：

网格型．

分析：

（1）延伸AB，过C作延伸线的垂线CG，在直角三角形ACG中，由CG及AG的长，利用锐角三角函数定义求出tanA的值，利用勾股定理求出AC的值即可；

（2）图中找出一点D，连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如图所示，理由为：在直角三角形FDM中，由FM与MD的长，利用勾股定理求出FD的长，同理求出BC的长，可得出FD=BC，同理可得出ED=AC，EF=AB，利用SSS可得出△ABC≌△EFD．

解答：

解：（1）延伸AB，过C作CG⊥AB，交延伸线于点G，在Rt△ACG中，CG=2，AG=4，根据勾股定理得：AC==2，tanA==；

（2）图中找出一点D，连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如右图所示，证明：在Rt△EMD中，EM=4，MD=2，根据勾股定理得：ED==2，在Rt△FDM中，FM=2，MD=2，根据勾股定理得：FD==2，同理在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC=2，在△ABC和△EFD中，∵，∴△ABC≌△EFD（SSS）．

故答案为：（1）；2

点评：

此题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，以及全等三角形的判定，纯熟掌握勾股定理是解本题的关键．

47．（2012•抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE．

（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并图①证明你的结论；

（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论能否成立？若成立，请图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；

（3）若AC=3，点D在直线BC上挪动的过程中，能否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请阐明理由．

考点：

等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；梯形．版权一切

分析：

（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；

（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半处理成绩；

（3）从A、C、D、E为顶点的梯形的性质入手，逐渐找出处理成绩的．

解答：

解：（1）DE=BE．

理由如下：

∵△ADE为等边三角形，∴AD=DE=AE，∠AED=60°．

∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB，∴∠EAB=60°﹣30°=30°，∴∠ABC=∠EAB，∴EB=AE，∴EB=DE；

（2）如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，在△ABC中，∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，∴∠DAE=∠CAB，∴∠DAE﹣∠CAE=∠BAC﹣∠CAE，则∠CAD=∠EAF．

又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE，∴△ADC≌△AEF，∴AC=AF．

在△ABC中，∠ABC=30°，∴AC=AB，∴AF=BF，∴EA=EB，∴DE=EB；

（3）如图，∵四边形ACDE是梯形，∠ACD=90°，∴∠CAE=90°．

∵∠CAE=∠CAD+∠EAD，又∵在正三角形ADE中，∠EAD=60°，∴∠CAD=30°．

在直角三角形ACD中，AC=3，∠CAD=30°，由勾股定理可得CD=．

同理可得：若点D与点B重合，AC平行DE，此时CD=3，综上所述：若AE∥CD，CD=；若点D与点B重合，此时CD=3．

点评：

此题综合考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，梯形的性质等知识点．

48．（2012•鄂州）小明是一位善于考虑的先生，在数学课上，他将一副直角三角板如图地位摆放，A、B、D在同不断线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．

考点：

勾股定理；平行线的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版权一切

分析：

过点F作FM⊥AD于M，利用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半和平行线的性质以及等腰直角三角形的性质即可求出BD的长．

解答：

解：过点F作FM⊥AD于M，∵∠EDF=90°，∠E=60°，∴∠EFD=30°，∵DE=8，∴EF=16，∴DF==8，∵EF∥AD，∴∠FDM=30°，∴FM=DF=4，∴MD==12，∵∠C=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴FM=BM=4，∴BD=DM﹣BM=12﹣4．

点评：

本题考查了勾股定理的运用、平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是作垂直构造直角三角形，利用勾股定理求出DM的长．

49．（2012•大庆）已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，次回到点A处中止运动，设AP=S，用t表示运动工夫．

（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示S；

（2）当t取何值时，S等于（求出一切的t值）；

（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP？

考点：

等边三角形的性质；一元二次方程的运用；勾股定理．版权一切

专题：

代数几何综合题；动点型．

分析：

（1）用t表示出PB的长，利用余弦定理即可表示出AP的长；

（2）令S等与，建立关于t的方程，解答即可；

（3）利用（2）中所求，即可得出AP时t的取值．

解答：

解：（1）∵AB=3，BP=t﹣3；

∴AP2=32+（t﹣3）2﹣2×3•（t﹣3）•cos60°

=9+9﹣6t+t2﹣6（t﹣3）×

=18﹣6t+t2+9﹣3t

=t2﹣9t+27，∴S=．

（2）当t在BC上时，∵S=，∴t2﹣9t+27=7，解得t1=4，t2=5；

当p在AB上时，t=；

当p在CA上时，t=9﹣．

当点P在BC上时，由（2）∵S=开口向上，与S=交点横坐标为t1=4，t2=5；

综上所述：t=4或t=5或或9﹣；

（3）根据（2）可知：0≤t＜；4＜t＜5；9﹣＜t≤9；

这三个工夫段内S＜．

点评：

本题考查了等边三角形的性质、余弦定理、一元二次方程与二次函数之间的关系，难度较大，会解一元二次方程是解题的关键．

50．（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题；压轴题．

分析：

方法一：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．

方法二：首先证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF．

解答：

证明：连接CE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，OA=OC，∵AE∥BC，∴∠ACB=∠DAC，在△AOE与△COF中，∵，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AFCE是菱形，∴AE=AF．

另法：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵，∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，∴OE=OF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF．

点评：

本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．

51．（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE=5，求BC长．

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．版权一切

专题：

计算题；几何图形成绩．

分析：

（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得；

（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5；

解答：

解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；

（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．

答：（1）∠ECD的度数是36°；

（2）BC长是5．

点评：

本题考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质，应熟记其性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

52．（2011•枣庄）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（1）画线段AD∥BC且使AD=BC，连接CD；

（2）线段AC的长为　2，CD的长为，AD的长为　5　；

（3）△ACD为　直角　三角形，四边形ABCD的面积为　10　；

（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是　　．

考点：

勾股定理；勾股定理的逆定理；作图—基本作图；锐角三角函数的定义．版权一切

专题：

作图题．

分析：

（1）根据题意，画出AD∥BC且使AD=BC，连接CD；

（2）在网格中利用直角三角形，先求AC2，CD2，AD2的值，再求出AC的长，CD的长，AD的长；

（3）利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，再求出四边形ABCD的面积；

（4）把成绩转化到Rt△ACF中，利用三角函数的定义解题．

解答：

解：（1）如图；

（2）由图象可知AC2=22+42=20，CD2=12+22=5，AD2=32+42=25，∴AC=2，CD=，AD=5；

故答案为：2，5；

（3）∵AD2=CD2+AC2，∴△ACD是直角三角形．

四边形ABCD的面积为2×（2×÷2）=10；

故答案为：直角，10；

（4）由图象可知CF=2，AF=4，∴tan∠CAE==．

故答案为：．

点评：

本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，锐角三角函数的定义，关键是运用网格表示线段的长度．

53．（2011•随州）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

考点：

勾股定理；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

几何综合题．

分析：

首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，从而得出BE=FC=3，那么AB=7，则BC=7，BF=4，再根据勾股定理求出EF的长．

解答：

解：连接BD，∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE丄DF，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，∴∠FDC=∠EDB，在△EDB与△FDC中，∵，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴BE=FC=3，∴AB=7，则BC=7，∴BF=4，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，∴EF=5．

答：EF的长为5．

点评：

此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长．

54．（2011•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度数；

（2）求证：DC=AB．

考点：

等腰三角形的性质．版权一切

专题：

计算题．

分析：

（1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°；

（2）根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．

解答：

（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；

（2）证明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，∴DC=AB．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．

55．（2011•青海）认真阅读上面关于三角形内外角平分线所夹角的探求片段，完成所提出的成绩．

探求1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，经过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探求2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请阐明理由．

探求3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）

结论：　∠BOC=90°﹣∠A　．

考点：

三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；

（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答：

解：（1）探求2结论：∠BOC=∠A，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；

（2）探求3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC=90°﹣∠A．

点评：

本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂标题提供的信息，然后利用提供信息的思绪也很重要．

56．（2011•宁波）阅读上面的情景对话，然后解答成绩：

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

考点：

勾股定理；等边三角形的性质；圆周角定理．版权一切

专题：

压轴题；新定义．

分析：

（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；

（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；

（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；

②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：：与AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得结果．

解答：

解：（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，∴符合奇异三角形”的定义．

∴是真命题；

（2）∵∠C=90°，则a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=a，c=a，∴a：b：c=1：：；

（3）∵①AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵点D是半圆的中点，∴=，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇异三角形；

②由①可得△ACE是奇异三角形，∴AC2+CE2=2AE2，当△ACE是直角三角形时，由（2）得：AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1，当AC：AE：CE=1：：时，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°；

当AC：AE：CE=：：1时，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°．

∴∠AOC的度数为60°或120°．

点评：

此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形思想的运用．

57．（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

考点：

勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质．版权一切

分析：

根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．

解答：

解：∵AC=4，BC=2，AB=，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．

分三种情况：

如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．

∵DE⊥CB（已知）

∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），∵△ABD为等腰直角三角形（已知），∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），在△ACB与△BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），∴CE=6（等量代换）

根据勾股定理得：CD=2；

如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．

∵BC⊥CA（已知）

∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义）

∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）

∵△ABD为等腰直角三角形（已知）

∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）

∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）

∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）

在△ACB与△DEA中，∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证）

AB=DA（已证）

∴△ACB≌△DEA（AAS）

∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等）

∴CE=6（等量代换）

根据勾股定理得：CD=2；

如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．

∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，则ED=AF，由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4，设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF﹣DF=4﹣x，则2+x=4﹣x，解得：x=1，故EC=DE=3，则CD=3．

点评：

此题综合考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理．

58．（2011•梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=　a　；（直接写结果）

（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小能否会随点P的挪动面变化？请阐明理由；

（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小能否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

考点：

等边三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

（1）设AP的长是x，然后利用x表示出两个三角形的面积的和，利用二次函数的性质即可求得x的值；

（2）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；

（3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因此角度不会变化．

解答：

解：（1）设AP的长是x，则BP=2a﹣x，∴S△APC+S△PBD=x•x+（2a﹣x）•（2a﹣x）

=x2﹣ax+a2，当x=﹣=﹣=a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，故答案为：a；

（2）α的大小不会随点P的挪动而变化，理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°；

（3）此时α的大小不会发生改变，一直等于60°．

理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°．

点评：

本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是解题的关键．

59．（2011•连云港）某课题研讨小组就图形面积成绩进行专题研讨，他们发现如下结论：

（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；

（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；

…

现请你继续对上面成绩进行探求，探求过程可直接运用上述结论．（S表示面积）

成绩1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探求知=S△ABC，请证明．

成绩2：若有另一块三角形纸板，可将其与成绩1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探求与S四边形ABCD之间的数量关系．

成绩3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．

成绩4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．

考点：

三角形的面积．版权一切

专题：

压轴题．

分析：

成绩1，图1中，连接P1R2，R2B，由三角形中线的性质得S△AP1R1=S△P1R1R2，S△P1R2P2=S△P2R2B，再由R1，R2为AC的三等分点，得S△BCR2=S△ABR2，根据图形的面积关系，得S△ABC与S四边形P1P2R2R1的数量关系，证明结论；

成绩2，图2中，连接AQ1，Q1P2，P2C，由三角形的中线性质，得S△AQ1P1=S△P1Q1P2，S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，得出S△ADQ1+S△BCP2与S四边形AQ1CP2的关系，再根据图形的面积关系，得S四边形ABCD与S四边形P1Q1Q2P2的等量关系；

成绩3，图3中，依次设四边形的面积为S1，S2，S3，S4，S5，由成绩2的结论可推出2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加，得S2+S4=S1+S5，利用换元法求S1+S2+S3+S4+S5与S3的数量关系，已知S四边形ABCD=1，可求S四边形P2Q2Q3P3；

成绩4，图4中，由成绩2的结论可知，2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，两式相加得S1，S2，S3，S4的等量关系．

解答：

解：成绩1，证明：

如图1，连接P1R2，R2B，在△AP1R2中，∵P1R1为中线，∴S△AP1R1=S△P1R1R2，同理S△P1R2P2=S△P2R2B，∴S△P1R1R2+S△P1R2P2=S△ABR2=S四边形P1P2R2R1，由R1，R2为AC的三等分点可知，S△BCR2=S△ABR2，∴S△ABC=S△BCR2+S△ABR2=S四边形P1P2R2R1+2S四边形P1P2R2R1=3S四边形P1P2R2R1，∴S四边形P1P2R2R1=S△ABC；

成绩2，S四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2．

理由：如图2，连接AQ1，Q1P2，P2C，在△AQ1P2中，∵Q1P1为中线，∴S△AQ1P1=S△P1Q1P2，同理S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2=S四边形AQ1CP2=S四边形P1Q1Q2P2，由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，∴S△ADQ1+S△BCP2=（S△AQ1C+S△AP2C）=S四边形AQ1CP2，∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=S四边形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP2=3S四边形P1Q1Q2P2，即S四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2；

成绩3，解：

如图3，由成绩2的结论可知，3S2=S1+S2+S3，即2S2=S1+S3，同理得2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加得，S2+S4=S1+S5，∴S1+S2+S3+S4+S5=2（S2+S4）+S3=2×2S3+S3=5S3，即S四边形P2Q2Q3P3=S四边形ABCD=；

成绩4，如图4，关系式为：S2+S3=S1+S4．

点评：

本题考查了三角形面积成绩．关键是利用三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形的性质进行推理．

60．（2011•乐山）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

考点：

线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质．版权一切

专题：

计算题．

分析：

根据DE垂直平分AB，求证∠DAE=∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．

解答：

解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，∴∠DAE=∠CAB=（90°﹣∠B），∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B，∴∠DAE=∠CAB=（90°﹣∠B）=∠B，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．

答：若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°．

点评：

此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，比较简单，合适先生的训练．