【中考数学】类似三角形：精选真题专项打破冲刺提分60题
（含答案解析）
一、解
答
题（共65小题）
1．（2014•淄博）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．
（1）判断△BMN的外形，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并阐明理由．
2．（2014•岳阳）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点地位，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，反弹后，球刚好弹到D点地位．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
3．（2014•永州）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．
4．（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；
（2）以原点O为位似，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；
（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．
5．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求AP•AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P的路径长．
6．（2014•扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延伸线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在挪动过程中，线段EF的长度能否发生变化？若变化，阐明理由；若不变，求出线段EF的长度．
7．（2014•烟台）如图，AB是⊙O的直径，延伸AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．
求证：tanα•tan=．
8．（2014•湘西州）如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．
（1）填空：AC=，AB= ．
（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；
（3）判断△CAB和△DEF能否类似？并阐明理由．
9．（2014•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．
10．（2014•铜仁地区）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．
11．（2014•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：=；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
12．（2014•绥化）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
13．（2014•绍兴）课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的成绩．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有值，求达到这个值时矩形零件的两条边长．
14．（2014•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延伸线上一点，且∠CDE=∠ABD．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）连接AE，交BD于点G，求证：=．
15．（2014•陕西）某，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视野经过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；
②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视野经过帽檐落在了DB延伸线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
16．（2014•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延伸交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．
（1）求证：△ADF∽△AED；
（2）求FG的长；
（3）求证：tan∠E=．
17．（2014•宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．
（1）试阐明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC类似；
（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积，并求出值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，能否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．
18．（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延伸线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
19．（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．
20．（2014•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．
（1）求证：AP=AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．
21．（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延伸AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延伸线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．
22．（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延伸线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并阐明理由．
23．（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．
24．（2014•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．
25．（2014•福州）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动工夫为t秒．
（1）当t=秒时，则OP=，S△ABP= ；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．
26．（2014•防城港）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请阐明理由．
27．（2014•东营）【探求发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；
【数学考虑】某数学兴味小组在探求AE、EF的关系时，运用“从到普通”的数学思想，经过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．
假如你是该兴味小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延伸线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延伸线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展运用】当点E在线段BC的延伸线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．
28．（2014•大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°﹣cos72°的值．
29．（2014•郴州）在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．
（1）以点M为位似，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．
30．（2014•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：=（不写解答过程，直接写出结果）．
31．（2013•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
32．（2013•铜仁市）为了测量旗杆AB的高度．甲同窗画出了表示图1，并把测量结果记录如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD=a，CA=b，CE=c；乙同窗画出了表示图2，并把测量结果记录如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE=m，AE=n，∠BDC=α．
（1）请你协助甲同窗计算旗杆AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；
（2）请你协助乙同窗计算旗杆AB的高度（用含m、n、α的式子表示）．
33．（2013•汕头）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对类似三角形，并选择其中一对进行证明．
34．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
35．（2013•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
（2）以原点O为位似，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
36．（2013•佛山）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试阐明△ABC∽△DEF．
37．（2013•德宏州）如图，是一个照相机成像的表示图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要残缺的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
38．（2013•滨州）某高中学校为高一重生设计的先生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．
39．（2012•武汉）已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6
（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC类似，求线段MN的长；
（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．
①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）
②试直接写出所给的网格中与△ABC类似且面积的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．
40．（2012•上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．
（1）求证：BE=DF；
（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．
41．（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的值和最小值，并阐明理由．
42．（2012•南京）下框中是小明对一道标题的解答以及老师的批改．
标题：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？
解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．
解这个方程，得x1=﹣12（不合题意，舍去），x2=12
所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）
答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．
结果为何正确呢？
（1）请指出小明解答中存在的成绩，并补充缺少的过程：
变化一下会怎样…
（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请阐明理由．
43．（2012•连云港）如图，甲、乙两人分别从A（1，）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请阐明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA；
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．
44．（2012•锦州）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
45．（2012•衡阳）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动工夫为t（0＜t＜）秒．解答如下成绩：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取值时，求“向量PQ”的坐标．
46．（2012•菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF能否类似，并阐明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC类似（要求：不写作法与证明）．
47．（2012•河北）如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．
（1）AE和ED的数量关系为 ；AE和ED的地位关系为 ；
（2）在图1中，以点E为位似，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3．
①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的类似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．
②在图3中，点F在的BE延伸线上，△EGF与△EAB的类似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．
48．（2012•桂林）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）以原点O为位似，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=．
49．（2012•恩施州）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后经过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新地位B′，因此EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
50．（2012•丹东）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．
51．（2012•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．
按下列要求画图：以O为位似，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并处理下列成绩：
（1）顶点A1的坐标为，B1的坐标为，C1的坐标为 ；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1经过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．
52．（2011•徐州）如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A﹣C运动到点C时中止运动．设点P出发x
s时，△PBC的面积为y
cm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列成绩：
（1）试判断△DOE的外形，并阐明理由；
（2）当a为何值时，△DOE与△ABC类似？
53．（2011•泰安）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．
54．（2011•南平）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A
（1，2），B
（3，1），C
（2，3），以原点O为位似，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．
（1）在图中象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法）
（2）△A′B′C′的面积是： ．
55．（2011•南宁）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）点A的坐标为，点C的坐标为 ．
（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为 ．
（3）以原点O为位似，将△ABC减少，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标： ．
56．（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向挪动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之中止挪动．设挪动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上挪动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形类似？请阐明理由．
57．（2011•来宾）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．
（1）用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD；
（2）证明：△ABC∽△BDC．
58．（2011•河北）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点0和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似，在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为
1：2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
59．（2011•常德）如图，已知四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：△MEF∽△MBA；
（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC．
60．（2011•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
中考数学提分冲刺真题精析：类似三角形
参考答案与试题解析
一、解
答
题（共65小题）
1．（2014•淄博）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．
（1）判断△BMN的外形，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并阐明理由．
考点：
类似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EAB+∠EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；
（2）根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF与BD的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与BC的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形类似，可得答案．
解答：
（1）答：△BMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB=AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．
∵BN平分∠ABE，∠EBN=∠ABN．
∵AC⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠M=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．
∴△BMN是等腰直角三角形；
（2）答：△MFN∽△BDC．
证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM=AC．
∵AC=BD，∴FM=BD，即．
∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM=BM=BC，即，∴．
∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB=90°．
∵FM∥AC，∴∠ACB=∠FMB．
∵∠CEB=90°，∴∠ACB+∠CBD=90°．
∴∠CBD+∠FMB=90°，∴∠NMF=∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．
点评：
本题考查了类似三角形的判定与性质，利用了锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形类似．
2．（2014•岳阳）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点地位，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，反弹后，球刚好弹到D点地位．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
考点：
类似三角形的运用．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）利用“两角法”证得这两个三角形类似；
（2）由（1）中类似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．
解答：
（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴=，即=，解得：CF=169．
即：CF的长度是169cm．
点评：
本题考查了类似三角形的运用．此题利用了“类似三角形的对应边成比例”推知所求线段CF与已知线段间的数量关系的．
3．（2014•永州）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．
考点：
类似三角形的判定与性质．版权一切
专题：
计算题．
分析：
由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB类似，由类似得比例，将AB与AD长代入即可求出CD的长．
解答：
解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴=，∵AB=6，AD=4，∴AC===9，则CD=AC﹣AD=9﹣4=5．
点评：
此题考查了类似三角形的判定与性质，纯熟掌握类似三角形的判定与性质是解本题的关键．
4．（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；
（2）以原点O为位似，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；
（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．
考点：
作图-位似变换；作图-轴对称变换．版权一切
专题：
作图题．
分析：
（1）利用关于y轴对称点的性质得出各对应点地位，进而得出答案；
（2）利用位似变换的性质得出对应点地位，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出D点坐标变化规律即可．
解答：
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，C1点坐标为：（3，2）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，C2点坐标为：（﹣6，4）；
（3）如果点D（a，b）在线段AB上，（2）的变化后D的对应点D2的坐标为：（2a，2b）．
点评：
此题次要考查了轴对称变换以及位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键．
5．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求AP•AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P的路径长．
考点：
类似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．版权一切
专题：
证明题；压轴题；动点型．
分析：
（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形类似定理求得的比值，即可以得到答案．
（2）当点F靠近点C的时分点P的路径是一段弧，由标题不难看出当E为AC的中点的时分，点P弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；
解答：
（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．
②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12
（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．
①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由标题不难看出当E为AC的中点的时分，点P弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．
②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；由于等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．
所以，点P的路径长为或3．
点评：
本题考查了等边三角形性质的综合运用以及类似三角形的判定及性质的运用，解答本题的关键是留意转化思想的运用．
6．（2014•扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延伸线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在挪动过程中，线段EF的长度能否发生变化？若变化，阐明理由；若不变，求出线段EF的长度．
考点：
类似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；角的三角函数值．版权一切
专题：
综合题；压轴题；动点型；探求型．
分析：
（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形类似，然后根据类似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．
（2）由DP=DC=AB=AP及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP的度数，进而求出∠OAB的度数．
（3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的地位很不协调，可经过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长．
解答：
解：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．
∴△OCP∽△PDA．
②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴====．
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．
∵AD=8，∴CP=4，BC=8．
设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．
在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴边AB的长为10．
（2）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=DC．
∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．
∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．
∴∠DAP=30°．
∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．
∴∠OAB的度数为30°．
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．
∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．
∴∠APB=∠MQP．
∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．
∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．
∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，．
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=BF．
∴QF=QB．
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．
由（1）中的结论可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB==4．
∴EF=PB=2．
∴在（1）的条件下，当点M、N在挪动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．
点评：
本题是一道运动变化类的标题，考查了类似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是处理一个成绩的关键．
7．（2014•烟台）如图，AB是⊙O的直径，延伸AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．
求证：tanα•tan=．
考点：
类似三角形的判定与性质；圆周角定理．版权一切
专题：
证明题．
分析：
连接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，得到tanα•tan=．
解答：
证明：连接AC，则∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠PBD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana•tan=•==．
点评：
本题次要考查了类似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα•tan=．
8．（2014•湘西州）如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．
（1）填空：AC= 2，AB= 2 ．
（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；
（3）判断△CAB和△DEF能否类似？并阐明理由．
考点：
类似三角形的判定；勾股定理；锐角三角函数的定义．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
（1）根据勾股定理来求AC、AB的长度；
（2）利用勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义来解题；
（3）由“三边法”法来证它们类似．
解答：
解：（1）如图，由勾股定理，得
AC==2．
AB==2
故答案是：2，2；
（2）如图所示，BC==2．
又由（1）知，AC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2=40，∴∠ACB=90°．
tan∠1==．
综上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是；
（3）△CAB和△DEF类似．理由如下：
如图，DE=DF==，EF==．
则===2，所以△CAB∽△DEF．
点评：
本题考查了类似三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义．辨认两三角形类似，除了要掌握定义外，还要留意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段能否成比例时常用的方法．
9．（2014•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．
考点：
类似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．
（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．
解答：
解：（1）如图（1）所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，∴PA===．
（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，又由于AB为直径
∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB=∠POB，又由于∠ACB=∠ONP=90°，∴△ACB∽△0NP
∴=，又∵AB=13
AC=5
OP=，代入得
ON=，∴AN=OA+ON=9
∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36
在Rt△ANP中
有PA===3
∴PA=3．
点评：
本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，类似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．
10．（2014•铜仁地区）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．
考点：
类似三角形的判定与性质．版权一切
专题：
证明题．
分析：
由AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，可得∠D=∠E=90°，又由∠ACD=∠BCE，即可证得△ACD∽△BCE，然后由类似三角形的对应边成比例，证得结论．
解答：
证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=．
点评：
此题考查了类似三角形的判定与性质．此题比较简单，留意掌握数形思想的运用．
11．（2014•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：=；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
考点：
类似三角形的判定与性质；菱形的判定．版权一切
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）利用类似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；
（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．
解答：
证明：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴=，又∵AB=AD，∴=；
（2）设AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，由（1）得：AB2=AE•AC，即AB2=x•3x
∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°，∵F是BC中点，∴BF=x，∴BF=AB=AD，又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD=AB，∴四边形ABFD是菱形．
点评：
此题次要考查了类似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△ABE∽△ACB是解题关键．
12．（2014•绥化）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；
（2）以点B为位似，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；
（3）△A2B2C2的面积是 10 平方单位．
考点：
作图-位似变换；作图-平移变换．版权一切
专题：
作图题．
分析：
（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点地位即可；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
解答：
解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．
故答案为：10．
点评：
此题次要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．
13．（2014•绍兴）课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的成绩．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有值，求达到这个值时矩形零件的两条边长．
考点：
类似三角形的运用；二次函数的最值．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）设PN=2y（mm），则PQ=y（mm），然后根据类似三角形对应高的比等于类似比列出比例式求出即可；
（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据类似三角形对应高的比等于类似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值成绩解答．
解答：
解：（1）设矩形的边长PN=2y（mm），则PQ=y（mm），由条件可得△APN∽△ABC，∴=，即=，解得y=，∴PN=×2=（mm），答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；
（2）设PN=x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2），由条件可得△APN∽△ABC，∴=，即=，解得PQ=80﹣x．
∴S=PN•PQ=x（80﹣x）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400，∴S的值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．
点评：
本题考查了类似三角形的运用，二次函数的最值成绩，根据类似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键，此题规律性较强，是道好题．
14．（2014•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延伸线上一点，且∠CDE=∠ABD．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）连接AE，交BD于点G，求证：=．
考点：
类似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）证△BAD≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；
（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案．
解答：
证明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，在△BAD和△CDA中
∴△BAD≌△CDA（SAS），∴∠ABD=∠ACD，∵∠CDE=∠ABD，∴∠ACD=∠CDE，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵AD∥BC，∴=，=，∴=，∵平行四边形ACED，AD=CE，∴=，∴=，∴=，∴=．
点评：
本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的运用，次要考查先生运用定理进行推理的能力，标题比较好，难度适中．
15．（2014•陕西）某，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视野经过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；
②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视野经过帽檐落在了DB延伸线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
考点：
类似三角形的运用．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
根据题意求出∠BAD=∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形类似求出△BAD和△BCE类似，再根据类似三角形对应边成比例列式求解即可．
解答：
解：由题意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，∴=，∴=，解得BD=13.6．
答：河宽BD是13.6米．
点评：
本题考查了类似三角形的运用，读懂标题信息得到两三角形相等的角并确定出类似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
16．（2014•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延伸交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．
（1）求证：△ADF∽△AED；
（2）求FG的长；
（3）求证：tan∠E=．
考点：
类似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；
②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=．
解答：
解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DG=CG，∴弧AD=弧AC，∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；
②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；
③∵AF=3，FG=2，∴AG=，tan∠E=．
点评：
此题考查了类似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，留意掌握数形思想的运用．
17．（2014•宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．
（1）试阐明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC类似；
（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积，并求出值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，能否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．
考点：
类似形综合题；二次函数的最值；三角形的面积；全等三角形的性质．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）利用“两角法”可以证得△PBQ与△ABC类似；
（2）设BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理、（1）中类似三角形的对应边成比例以及三角形的面积公式列出S与x的函数关系式，利用配方法求得二次函数的最值；
（3）利用全等三角形的对应边相等得到AQ=AC，AQ=QB，即AQ=QB=AC．在Rt△ABC中，由勾股定理得
BC2=AB2﹣AC2，易求得：BC=AC，则λ=．
解答：
解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有
∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B
∴△PBQ∽△ABC；
（2）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得
AB=5
∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，∴，即
∴，S△APQ=
=
=
∴当x=时，△APQ的面积，值是；
（3）存在．
∵Rt△AQP≌Rt△ACP
∴AQ=AC
又∵Rt△AQP≌Rt△BQP
∴AQ=QB
∴AQ=QB=AC
在Rt△ABC中，由勾股定理得
BC2=AB2﹣AC2
∴BC=AC
∴λ=时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．
点评：
本题综合考查了类似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，三角形的面积公式以及二次函数的最值的求法等知识点．难度较大．留意，在证明三角形类似时，充分利用公共角，在利用全等三角形的性质时，要找准对应边．
18．（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延伸线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
考点：
类似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）利用类似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP=AB=1，然后求得EP=2，利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．
解答：
（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．
点评：
本题考查了类似多边形的性质，解题的关键是了解类似多边形的对应边的比相等，对应角相等．
19．（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．
考点：
类似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质．版权一切
专题：
几何动点成绩；压轴题；数形．
分析：
（1）由已知求出∠C=30°，列出y与x的函数关系式；
（2）由四边形AEFD为菱形，列出方程y=60﹣x与y=x组成方程组求x的值，（3）当∠EDF=90°时，由△DEF是直角三角形，列出方程60﹣x=2y，与y=x组成方程组求x的值；当∠DEF=90°时，根据EF∥AC可知∠EDA=∠DEF=90°，所以当△ADE∽△ABC，再由类似三角形的对应边成比例可得出关于x的方程，再把y=x代入即可得出x的值．
解答：
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30，∴∠C=30°，∵CD=x，DF=y．
∴y=x；
（2）∵四边形AEFD为菱形，∴AD=DF，∴y=60﹣x
∴方程组，解得x=40，∴当x=40时，四边形AEFD为菱形；
（3）当∠EDF=90°时，∵△DEF是直角三角形，∴∠FDE=90°，∵FE∥AC，∴∠EFB=∠C=30°，∵DF⊥BC，∴∠DEF+∠DFE=∠EFB+∠DFE，∴∠DEF=∠EFB=30°，∴EF=2DF，∴60﹣x=2y，与y=x，组成方程组，得
解得x=30；
当∠DEF=90°时，∵EF∥AC，∴∠EDA=∠DEF=90°，∴当△ADE∽△ABC时，△DEF是直角三角形，∴=，即=，把y=x代入得，x=48，∴当△DEF是直角三角形时，x=48或30．
点评：
本题次要考查了含30°角的直角三角形与菱形的知识，解本题的关键是找出x与y的关系列方程组．
20．（2014•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．
（1）求证：AP=AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．
考点：
类似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，从而得证；
（3）设C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=10﹣4k，再根据类似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．
解答：
（1）证明：∵∠C=90°，∠BAP=90°
∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，又∵∠CBO=∠ABP，∴∠BOC=∠APB，∵∠BOC=∠AOP，∴∠AOP=∠APB，∴AP=AO；
（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO=∠ABP，∴CO=DO，∵AE=OC，∴AE=OD，∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠PAE，在△AOD和△PAE中，∴△AOD≌△PAE（SAS），∴∠AEP=∠ADO=90°
∴PE⊥AO；
（3）解：设AE=OC=3k，∵AE=AC，∴AC=8k，∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，∴OA=OE+AE=5k．
由（1）可知，AP=AO=5k．
如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．
在Rt△AOD中，AD===4k．
∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．
∵OD∥AP，∴，即
解得k=1，∵AB=10，PE=AD，∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k=6，OD=3
在Rt△BDO中，由勾股定理得：
BO===3．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，类似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用类似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键．
21．（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延伸AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延伸线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．
考点：
类似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DAC得出结论．
（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=，再由割线定理PC•PD=PB•PA求得半径为4，根据勾股定理求得AC=，再证明△AFD∽△ACB，得，则可设FD=x，AF=，在Rt△AFP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求解得DF．
解答：
（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DAC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC=CD；
（2）解：方法一：如图，连接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=
∴PC=4
又∵PC•PD=PB•PA
∴4•（4+2）=OB•3OB
∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，在Rt△ACB中，AC===2，∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°
∴∠FDA+∠BDC=90°
∠CBA+∠CAB=90°
∵∠BDC=∠CAB，∴∠FDA=∠CBA，又∵∠AFD=∠ACB=90°，∴△AFD∽△ACB
∴
在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，∴在Rt△APF中有，求得DF=．
方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，易证△PCO∽△PDA，可得=，△PGO∽△PFA，可得=，可得，=，由方法一中PC=4代入，即可得出DF=．
点评：
本题次要考查类似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解．
22．（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延伸线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并阐明理由．
考点：
类似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权一切
分析：
（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为1，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；
（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据类似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．
解答：
解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠QPE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∴∠ADP=∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°，在△ADP和△QPE中，∴△ADP≌△QPE（AAS），∴PQ=AD=1；
（2）∵△PFD∽△BFP，∴，∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，∴△DAP∽△PBF，∴，∴=，∴PA=PB，∴PA=AB=
∴当PA=时，△PFD∽△BFP．
点评：
此题考查了类似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，留意掌握数形思想的运用．
23．（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．
考点：
类似三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）根据圆周角定理求出∠B=∠D，根据类似三角形的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出OD⊥BC，根据线段垂直平分线性质得出OB=BD，OC=CD，根据菱形的判定推出即可．
解答：
证明：（1）∵∠BAC的角平分线AD，∴∠BAE=∠CAD，∵∠ABC=∠ADC，∴△ABE∽△ADC；
（2）
∵∠BAD=∠CAD，∴=，∵OD为半径，∴DO⊥BC，∵F为OD的中点，∴OB=BD，OC=CD，∵OB=OC，∴OB=BD=CD=OC，∴四边形OBDC是菱形．
点评：
本题考查了类似三角形的判定，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，线段垂直平分线性质的运用，次要考查先生的推理能力．
24．（2014•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．
考点：
类似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形C类似，由类似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；
（2）由类似三角形类似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△C的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解．
解答：
解：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠C，∴△MND∽△C，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△C，且类似比为1：2，∴MN：CN=DN：BN=1：2，∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．
∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6
∴S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．
点评：
此题考查了类似三角形的判定与性质，纯熟掌握类似三角形的判定与性质是解本题的关键．
25．（2014•福州）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动工夫为t秒．
（1）当t=秒时，则OP= 1，S△ABP= ；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．
考点：
类似形综合题．版权一切
专题：
几何动点成绩；压轴题．
分析：
（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；
（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需求分类讨论；
（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对类似三角形△OAQ∽△PBO，利用类似关系证明结论．
解答：
（1）解：当t=秒时，OP=2t=2×=1．
如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．
在Rt△POD中，PD=OP•sin60°=1×=，∴S△ABP=AB•PD=×（2+1）×=．
（2）解：当△ABP是直角三角形时，①若∠A=90°．
∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此种情形不存在；
②若∠B=90°，如答图2所示：
∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；
③若∠APB=90°，如答图3所示：
过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP•sin30°=t，PD=OP•sin60°=t，∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．
在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2
∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，即[（2+t）2+（t）2]+[（1﹣t）2+（t）2]=32
解方程得：t=或t=（负值舍去），∴t=．
综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=．
（3）证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，则有，∴PE=PB．
∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．
∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；
∴△OAQ∽△PEO，∴，即，化简得：AQ•PB=3．
点评：
本题是运动型综合题，考查了类似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造类似三角形，本问有多种解法，可探求尝试．
26．（2014•防城港）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请阐明理由．
考点：
类似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．版权一切
分析：
（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠B，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ类似，根据类似三角形对应边成比例可得=，再求出△AMQ∽△ABM，根据类似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，即可得解．
解答：
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，在△ABM和△BCP中，∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四边形BMNP是平行四边形；
（2）解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠ABC=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴=，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴=，∴=，∴BM=MC．
点评：
本题考查了类似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，（1）求出两个三角形全等是解题的关键，（2）根据类似于同一个三角形的两个三角形类似求出△AMQ∽△ABM是解题的关键．
27．（2014•东营）【探求发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；
【数学考虑】某数学兴味小组在探求AE、EF的关系时，运用“从到普通”的数学思想，经过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．
假如你是该兴味小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延伸线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延伸线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展运用】当点E在线段BC的延伸线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．
考点：
类似形综合题；全等三角形的判定与性质．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题；探求型．
分析：
根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根据三角形外角的性质，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根据ASA，可得△AGE≌△ECF，根据全等三角形的性质，可得结论；
根据等边三角形的判定，可得△AEF是等边三角形，根据等边三角形类似，可得△ABC与△AEF的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC与AH的关系，AC与AE的关系，根据类似三角形面积的比等于类似比的平方，可得答案．
解答：
证明：种情况：点E是线段BC上的任意一点，可作三种辅助线：
方法一：如图1，在B上截取AG，使AG=EC，连接EG，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．
∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．
∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．
∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．
在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；
方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；
方法三：延伸FC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG是等边三角形，∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，即∠GEF=∠AEC，∴△GEF≌△CEA，∴AE=EF．
第二种情况：点E是线段BC延伸线上的任意一点
如图2，可作三种辅助线：
①在CF上截取CG=CE，连接GE
②延伸AC到G，使CG=CE，连结EG；
③或延伸BA到G，使BG=BE，连结EG．
第②种添加辅助线的方法证明如下：
证明：延伸AC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，∴∠AEG=∠CEF，∴△AEG≌△FEC，∴AE=EF．
第三种情况：点E是线段BC反向延伸线上的任意一点
如图3，可作三种辅助线：
①延伸AB到G，使BG=BE，连结EG；
②延伸CF到G，使CG=CE，连结EG；
③在CE上截取CG=CF，连结GF
现就第①种添加辅助线的方法证明如下：
证明：延伸AB到G，使BG=BE，连结EG，易证△BEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，∴∠BAE=∠CEF，∵AB=BC，BG=BE，∴AB+BG=BC+BE，即AG=CE，∴△AEG≌△EFC，∴AE=EF．
拓展运用：
如图4：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．
由数学考虑得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC∽△AEF．
∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH=30°，AH=EH．
∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，∴．
∴==．
点评：
本题考查了类似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，类似三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键，标题稍有难度．
28．（2014•大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°﹣cos72°的值．
考点：
类似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；黄金分割；解直角三角形．版权一切
专题：
计算题．
分析：
（1）由等腰三角形ABC中，利用顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形类似得到三角形ABC与三角形BCD类似；
（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形类似得比例求出x的值即可；
（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．
解答：
解：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；
（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=BC=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，∴=，即=，整理得：x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=（负值，舍去），则x=；
（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，∵BD=BC，∴E为CD中点，即DE=CE=，在Rt△ABE中，cosA=cos36°===，在Rt△BCE中，cosC=cos72°===，则cos36°﹣cos72°=﹣=．
点评：
此题考查了类似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及一元二次方程的解法，纯熟掌握类似三角形的判定与性质是解本题的关键．
29．（2014•郴州）在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．
（1）以点M为位似，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．
考点：
作图-位似变换．版权一切
专题：
作图题．
分析：
（1）利用位似图形的性质即可位似比为2，进而得出各对应点地位；
（2）利用所画图形得出对应点坐标即可．
解答：
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．
点评：
此题次要考查了位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．
30．（2014•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：= 1：4（不写解答过程，直接写出结果）．
考点：
作图-位似变换；作图-轴对称变换．版权一切
专题：
作图题．
分析：
（1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点地位进而得出答案；
（2）根据将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得出各点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案．
解答：
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；
（3）∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，∴△A1B1C1与△A2B2C2的类似比为：1：2，∴：=1：4．
故答案为：1：4．
点评：
此题次要考查了位似变换以及轴对称变换，得出对应点地位是解题关键．
31．（2013•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
考点：
类似三角形的判定．版权一切
专题：
证明题；压轴题．
分析：
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形类似证明．
解答：
证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．
点评：
本题考查了类似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键．
32．（2013•铜仁市）为了测量旗杆AB的高度．甲同窗画出了表示图1，并把测量结果记录如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD=a，CA=b，CE=c；乙同窗画出了表示图2，并把测量结果记录如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE=m，AE=n，∠BDC=α．
（1）请你协助甲同窗计算旗杆AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；
（2）请你协助乙同窗计算旗杆AB的高度（用含m、n、α的式子表示）．
考点：
类似三角形的运用；解直角三角形的运用．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据DC⊥AE，BA⊥AE判定△ECD∽△EAB，利用类似三角形对应边的比相等列出比例式，从而用含有a、b、c的式子表示AB即可；
（2）首先在直角三角形DBC中用n和α表示出线段BC，然后再表示出AB即可．
解答：
解：（1）∵DC⊥AE，BA⊥AE
∴△ECD∽△EAB，∴
即：
∴；
（2）∵AE⊥AB，DC⊥AB，DE⊥AE
∴DC=AE=n，AC=DE=m
在Rt△DBC中，=tanα，∴BC=n•tanα
∴AB=BC+AC=n•tanα+m
点评：
本题考查了类似三角形的运用及解直角三角形的运用，处理本题的关键是根据标题的条件判定类似三角形．
33．（2013•汕头）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 = S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对类似三角形，并选择其中一对进行证明．
考点：
类似三角形的判定；矩形的性质．版权一切
分析：
（1）根据S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，即可得出答案．
（2）根据矩形的性质，图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．
解答：
（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，∴S1=S矩形BDEF，∴S2+S3=S矩形BDEF，∴S1=S2+S3．
（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．
证明△BCD∽△DEC；
证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC．
点评：
本题考查了类似三角形的判定，留意掌握类似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度普通．
34．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
考点：
黄金分割．版权一切
分析：
（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．
（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．
解答：
解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=，∴AD2=AC•CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD=AC，∵AC=2，∴AD=﹣1．
点评：
本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是细心审题，理解黄金分割的定义，留意掌握黄金比值．
35．（2013•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
（2）以原点O为位似，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
考点：
作图-位似变换；作图-旋转变换．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；
（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2．
解答：
解：如图：（1）△A1B1C1
即为所求；
（2）△A2B2C2
即为所求．
点评：
此题考查了位似变换的性质与旋转的性质．此题难度不大，留意掌握数形思想的运用．
36．（2013•佛山）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试阐明△ABC∽△DEF．
考点：
类似三角形的判定；勾股定理．版权一切
专题：
证明题；网格型．
分析：
利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF．
解答：
证明：∵AC=，BC==，AB=4，DF==2，EF==2，ED=8，∴===，∴△ABC∽△DEF．
点评：
本题考查了类似三角形的判定、勾股定理．类似三角形类似的判定方法有：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形类似；
这是判定三角形类似的一种基本方法．类似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在运用时要善于从复杂的图形中笼统出这些基本图形；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形类似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形类似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形类似．
37．（2013•德宏州）如图，是一个照相机成像的表示图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要残缺的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
考点：
类似三角形的运用．版权一切
分析：
（1）利用类似三角形对应边上的高等于类似比即可列出比例式求解；
（2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可．
解答：
解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴．
（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，∴，解得：LD=7，∴拍摄点距离景物7米；
（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，∴，解得：LC=70，∴相机的焦距应调整为70mm．
点评：
本题考查了类似三角形的运用，解题的关键是根据题意得到类似三角形，并熟知类似三角形对应边上的高的比等于类似比．
38．（2013•滨州）某高中学校为高一重生设计的先生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．
考点：
类似三角形的运用；等腰梯形的性质．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
根据等腰梯形的性质，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的长度，再由△BEM∽△BAH，可得出EM，继而得出EF的长度．
解答：
解：过点B作BH⊥AD于点H，交EF于点M，过点C作CG⊥AD于点G，交EF于点N，由题意得，MH=8cm，BH=40cm，则BM=32cm，∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，∴AH=（AD﹣BC）=15cm．
∵EF∥AD，∴△BEM∽△BAH，∴=，即=，解得：EM=12，故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm．
答：横梁EF应为44cm．
点评：
本题考查了类似三角形的运用及等腰梯形的性质，解答本题的关键是纯熟掌握等腰梯形的性质，这些是需求我们纯熟记忆的内容．
39．（2012•武汉）已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6
（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC类似，求线段MN的长；
（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．
①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）
②试直接写出所给的网格中与△ABC类似且面积的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．
考点：
作图—类似变换．版权一切
专题：
作图题．
分析：
（1）作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作∠ANM=∠B，利用类似可得MN的长；
（2）①AC为两直角边长为4，8的直角三角形的斜边，2为两直角边长为2，4的两直角三角形的斜边；
②以所给网格的对角线作为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作4个三角形与原三角形类似，那么共有8个．
解答：
解：（1）①∵△AMN∽△ABC，∴=
∵M为AB中点，AB=2，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；
②∵△AMN∽△ACB，∴=，∵BC=6，AC=4，AM=，∴MN=1.5；
（2）①如图所示：
②每条对角线处可作4个三角形与原三角形类似，那么共有8个．
点评：
次要考查类似作图和全等作图；留意类似作图及解答有多种情况．
40．（2012•上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．
（1）求证：BE=DF；
（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．
考点：
平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）证得△ABE与△AFD全等后即可证得结论；
（2））利用=得到，从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，证得BE=GF，利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF
∴BE=DF；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG
∴=
又∵BE=DF，=
∴==
∴GF∥BC
（平行线分线段成比例）
∴∠DGF=∠DBC
∵BC=CD
∴∠BDC=∠DBC=∠DGF
∴GF=DF=BE
∵GF∥BC，GF=BE
∴四边形BEFG是平行四边形
点评：
本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，特别是第二问如何利用已知比例式进行转化是处理此题的关键．
41．（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的值和最小值，并阐明理由．
考点：
位似变换；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示；
（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长；
（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：S=+（m﹣n）2，可见S的大小只与m、n的差有关：
①当m=n时，S取得最小值；
②当m而n最小时，S取得值．mn最小的情形见第（1）（2）问．
解答：
解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．
（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′=BF′=x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+x+x=3+，∴x=，即x=3﹣3，（x≈2.20也正确）
（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），它们的面积和为S，则NE=，PE=n．
∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．
∴S=m2+n2=PN2，延伸PH交ND于点G，则PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m﹣n）2．
∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3．
∴S=[32+（m﹣n）2]=+（m﹣n）2
①当（m﹣n）2=0时，即m=n时，S最小．
∴S最小=；
②当（m﹣n）2时，S．
即当m且n最小时，S．
∵m+n=3，由（2）知，m=3﹣3．
∴S=[9+（m﹣n最小）2]
=[9+（3﹣3﹣6+3）2]
=99﹣54…．
（S≈5.47也正确）
综上所述，S=99﹣54，S最小=．
点评：
本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点，有一定的难度．本题（1）（2）（3）问之间互相关联，逐级推进，留意发现并利用好其中的联系．第（3）问的要点是求出面积和S的表达式，然后针对此表达式进行讨论，在求S值的过程中，利用了第（1）（2）问的结论．
42．（2012•南京）下框中是小明对一道标题的解答以及老师的批改．
标题：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？
解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．
解这个方程，得x1=﹣12（不合题意，舍去），x2=12
所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）
答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．
结果为何正确呢？
（1）请指出小明解答中存在的成绩，并补充缺少的过程：
变化一下会怎样…
（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请阐明理由．
考点：
类似多边形的性质；一元二次方程的运用．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据题意可得小明没有阐明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；
（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用类似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．
解答：
解：（1）小明没有阐明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x
m，则长为2x
m．”前补充以下过程：
设温室的宽为x
m，则长为2x
m．
则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．
∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；
（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）=2AB﹣（a+c），∴a+c=2（b+d），即．
点评：
此题考查了类似多边形的性质．此题属于阅读性标题，留意理解题意，读懂标题是解此题的关键．
43．（2012•连云港）如图，甲、乙两人分别从A（1，）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请阐明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA；
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．
考点：
类似三角形的性质；坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）用反证法阐明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形类似得比例式阐明；
（2）根据两个点到达O点的工夫不同分段讨论解答；
（3）在不同的工夫段运用类似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答成绩．
解答：
证明：（1）由于A坐标为（1，），所以OA=2，∠AOB=60°．
由于OM=2﹣4t，ON=6﹣4t，当=时，解得t=0，即在甲、乙两人到达O点前，只要当t=0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行；
（2）由于甲达到O点工夫为t=，乙达到O点的工夫为t==，所以甲先到达O点，所以t=或t=时，O、M、N三点不能连接成三角形，①当t＜时，如果△OMN∽△OBA，则有=，解得t=2＞，所以，△OMN不可能类似△OBA；
②当＜t＜时，∠MON＞∠AOB，显然△OMN不类似△OBA；
③当t＞时，=，解得t=2＞，所以当t=2时，△OMN∽△OBA；
（3）①当t≤时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，在Rt△MOH中，由于∠AOB=60°，所以MH=OMsin60°=（2﹣4t）×=（1﹣2t），OH=0Mcos60°=（2﹣4t）×=1﹣2t，所以NH=（6﹣4t）﹣（1﹣2t）=5﹣2t，所以s=[（1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28
②当＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H，在Rt△MOH中，MH=（4t﹣2）=（2t﹣1），NH=（4t﹣2）+（6﹣4t）=5﹣2t，所以s=[（1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28
③当t＞时，同理可得s=[（1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28，综上所述，s=[（1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．
由于s=16t2﹣32t+28=16（t﹣1）2+12，所以当t=1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2km．
点评：
此题综合考查了坐标与图形、类似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识点，难度较大．
44．（2012•锦州）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
考点：
作图-位似变换．版权一切
专题：
作图题；压轴题．
分析：
（1）连接CC′并延伸，连接BB′并延伸，两延伸线交于点O；
（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1；
（3），连接B′O并延伸，使OB″=OB′，延伸A′O并延伸，使OA″=OA′，C′O并延伸，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．
解答：
解：（1）图中点O为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，﹣2）；
C″（4，﹣4）．
点评：
此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的普通步骤为：①确似，②分别连接并延伸位似和能代表原图的关键点；③根据类似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；依次连接上述各点，得到放大或减少的图形．
45．（2012•衡阳）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动工夫为t（0＜t＜）秒．解答如下成绩：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取值时，求“向量PQ”的坐标．
考点：
平行线分线段成比例；二次函数的最值；勾股定理；三角形中位线定理．版权一切
专题：
代数几何综合题；压轴题；动点型．
分析：
（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值；
（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的值；
②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．
解答：
解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，∴AB===10．
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．
∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，∴当t=秒时，PQ∥BO．
（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，∴，即，解得PD=6﹣t．
S=AQ•PD=•2t•（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜），当t=秒时，S取得值，值为5（平方单位）．
②如图②所示，当S取值时，t=，∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又∵PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4，∴P（4，3）．
又∵AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．
依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．
∴当S取值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）．
点评：
本题是典型的动点型成绩，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或类似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为标题增添了新意，不过同窗们无须为此迷惑，求解过程仍然是利用本人所熟习的数学知识．
46．（2012•菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF能否类似，并阐明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC类似（要求：不写作法与证明）．
考点：
作图—类似变换；勾股定理的逆定理；类似三角形的判定．版权一切
分析：
（1）利用网格得出AB2=20，AC2=5，BC2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；
（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可；
（3）根据△P2P4
P5三边与△ABC三边长度得出答案即可．
解答：
解：（1）∵AB2=20，AC2=5，BC2=25；
∴AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理得△ABC
为直角三角形；
（2）△ABC和△DEF类似．
由（1）中数据得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2．
====，∴△ABC∽△DEF．
（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，AB=2，AC=，BC=5，∴===，∴，△ABC∽△P2P4
P5．
点评：
此题次要考查了类似三角形的判定以及勾股定理与逆定理运用，根据已知得出三角形各边长度是解题关键．
47．（2012•河北）如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．
（1）AE和ED的数量关系为 AE=ED ；AE和ED的地位关系为 AE⊥ED ；
（2）在图1中，以点E为位似，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3．
①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的类似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．
②在图3中，点F在的BE延伸线上，△EGF与△EAB的类似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．
考点：
位似变换；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权一切
分析：
（1）利用等腰直角三角形的性质得出△ABE≌△DCE，进而得出AE=ED，AE⊥ED；
（2）①根据△EGF与△EAB的类似比1：2，得出EH=HC=EC，进而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD；
②根据恰好使GH=HD且GH⊥HD时，得出△GFH≌△HCD，进而得出CH的长．
解答：
解：（1）∵点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，∴△ABE≌△DCE，∴AE=DE，∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AED=90°，∴AE⊥ED．
故答案为：AE=ED，AE⊥ED；
（2）①由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，∵△EGF与△EAB的类似比1：2，∴∠GFE=∠B=90°，GF=AB，EF=EB，∴∠GFE=∠C，∴EH=HC=EC，∴GF=HC，FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD，∴△HGF≌△DHC．
∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．
∵∠HDC+∠DHC=90°．
∴∠GHF+∠DHC=90°
∴∠GHD=90°．
∴GH⊥HD．
②根据题意得出：∵当GH=HD，GH⊥HD时，∴∠FHG+∠DHC=90°，∵∠FHG+∠FGH=90°，∴∠FGH=∠DHC，∴，∴△GFH≌△HCD，∴CH=FG，∵EF=FG，∴EF=CH，∵△EGF与△EAB的类似比是k：1，BC=2，∴BE=EC=1，∴EF=k，∴CH的长为k．
点评：
此题次要考查了位似图形的性质和全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质得出对应角与对应边之间的关系是解题关键．
48．（2012•桂林）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）以原点O为位似，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=．
考点：
作图-位似变换；作图-轴对称变换．版权一切
分析：
（1）根据坐标系找出点A、B、C关于x轴对应点A1、B1、C1的地位，然后依次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1、B1、C1的坐标即可；
（2）利用在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，原三角形的各顶点坐标都乘以﹣2，得出对应点的坐标即可得出图形．
解答：
解：（1）如图所示：
A1（1，﹣3），B1（4，﹣2），C1（2，﹣1）；
（2）根据A（1，3）、B（4，2）、C（2，1），以原点O为位似，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，则A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣4），C2（﹣4，﹣2）；在坐标系中找出各点，画出图形即可，结果如图所示．
点评：
本题考查了利用轴对称变换作图以及作位似图形，利用坐标系精确找出对应点的地位是解题的关键．
49．（2012•恩施州）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后经过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新地位B′，因此EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
考点：
黄金分割．版权一切
专题：
证明题．
分析：
设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AB″的长，二者相比即可得到黄金比．
解答：
证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1
∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″
∴点B″是线段AB的黄金分割点．
点评：
本题考查了黄金分割的运用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．
50．（2012•丹东）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．
考点：
作图-位似变换；作图-平移变换．版权一切
专题：
作图题；压轴题．
分析：
（1）根据网格结构，找出点A、B、C向下平移4个单位的对应点A1、B1、C1的地位，然后依次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；
（2）延伸BA到A2，使AA2=AB，延伸BC到C2，使CC2=BC，然后连接A2C2即可，再根据平面直角坐标系写出C2点的坐标，利用△A2BC2所在的矩形的面积减去周围三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
解答：
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（2，﹣2）；
（2）如图，△A2BC2即为所求，C2（1，0），△A2BC2的面积：
6×4﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4
=24﹣6﹣4﹣4
=24﹣14
=10．
点评：
本题考查了利用位似变换作图，利用平移变换作图，以及网格内三角形的面积的求解，根据网格结构精确找出对应点的地位是解题的关键，网格内的三角形的面积通常利用三角形所在的矩形的面积减去周围三个小直角三角形的面积，一定要纯熟掌握并灵活运用．
51．（2012•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．
按下列要求画图：以O为位似，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并处理下列成绩：
（1）顶点A1的坐标为（﹣2，0），B1的坐标为（﹣6，0），C1的坐标为（﹣4，﹣2）；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1经过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．
考点：
作图-位似变换；作图-平移变换；作图-旋转变换．版权一切
专题：
作图题；压轴题．
分析：
（1）延伸AO到A1，使A1O=2AO，延伸BO到B1，使B1O=2BO，连接CO并延伸到C1，使C1O=2CO，然后依次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）先绕点O顺时针旋转90°，然后向右平移再向下（或向上）平移，使△A2B2C2的直角边与△DEF的直角边重合即可．
解答：
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，A1（﹣2，0）B1（﹣6，0）C1（﹣4，﹣2）；
（2）如图，把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向下平移1个单位，使B2C2与DE重合，或者：把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向上平移3个单位，使A2C2与EF重合，都可以拼成一个平行四边形．
点评：
本题考查了利用位似变换作图，利用平移变换与旋转变换作图，纯熟掌握网格结构，精确找出对应点的地位是解题的关键．
52．（2011•徐州）如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A﹣C运动到点C时中止运动．设点P出发x
s时，△PBC的面积为y
cm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列成绩：
（1）试判断△DOE的外形，并阐明理由；
（2）当a为何值时，△DOE与△ABC类似？
考点：
类似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）首先作DF⊥OE于F，由AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，可得点P在边AB和AC上的运动工夫相反，即可得点F是OE的中点，即可证得DF是OE的垂直平分线，可得△DOE是等腰三角形；
（2）设D（a，a2），由DO=DE，AB=AC，可得当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，然后由三角函数的性质，即可求得当a=时，△DOE∽△ABC．
解答：
解：（1）△DOE是等腰三角形．
理由如下：过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM=×=a，AC=AB=a，∴S△ABC=BC•AM=a2，∴P在边AB上时，y=•S△ABC=ax，P在边AC上时，y=•S△ABC=a2﹣ax，作DF⊥OE于F，∵AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，∴点P在边AB和AC上的运动工夫相反，∴点F是OE的中点，∴DF是OE的垂直平分线，∴DO=DE，∴△DOE是等腰三角形．
（2）由题意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM=×=a，∴AB=a，∴D（a，a2），∵DO=DE，AB=AC，∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，在Rt△DOF中，tan∠DOF===a，由a=tan30°=，得a=，∴当a=时，△DOE∽△ABC．
点评：
此题考查了类似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形思想的运用．
53．（2011•泰安）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．
考点：
类似三角形的判定；菱形的判定．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF；
（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形．
解答：
证明：（1）∵点E是BC的中点，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD，又∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE∥DC，∴△AOE∽△COF；
（2）连接DE，∵AD∥BE，AD=BE，∴四边形ABED是平行四边形，又∠ABE=90°，∴四边形ABED是矩形，∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，∴E、F分别是BC、CD的中点，∴EF、GE是△CBD的两条中位线，∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF，∴四边形EFDG是菱形．
点评：
此题考查了类似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形与菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要留意数形思想的运用．
54．（2011•南平）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A
（1，2），B
（3，1），C
（2，3），以原点O为位似，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．
（1）在图中象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法）
（2）△A′B′C′的面积是： 6 ．
考点：
作图-位似变换．版权一切
专题：
作图题．
分析：
（1）延伸OA到A′，使OA′=2OA，同法得到其余点的对应点，依次连接即可；
（2）把所求三角形的面积分割为矩形的面积减去若干直角三角形的面积即可．
解答：
解：（1）；
（2）△A′B′C′的面积=4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4=6，故答案为6．
点评：
考查位似图形的画法及相关计算；得到关键点的地位是处理本题的关键；网格中三角形面积的求法通常整理为规则图形的面积的和或者差．
55．（2011•南宁）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）点A的坐标为（2，8），点C的坐标为（6，6）．
（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为（a﹣7，b）．
（3）以原点O为位似，将△ABC减少，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：（1，4）或（﹣1，﹣4）．
考点：
作图-位似变换；点的坐标；坐标与图形变化-平移．版权一切
专题：
作图题．
分析：
（1）直接根据图形即可写出点A和C的坐标；
（2）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后依次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；
（3）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后依次连接各点即可，留意有两种情况．
解答：
解：（1）A点坐标为：（2，8），C点坐标为：（6，6）；
（2）所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，可知M1的坐标（a﹣7，b）；
（3）所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（1，4）或（﹣1，﹣4）．
点评：
本题考查了旋转变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点，难度普通．
56．（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向挪动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之中止挪动．设挪动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上挪动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形类似？请阐明理由．
考点：
类似三角形的判定；函数的运用；三角形的面积；矩形的性质．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）当t=1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系．
（2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之中止挪动．设挪动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式．
（3）两边对应成比例夹角相等的三角形是类似三角形可求出解．
解答：
解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2，由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，=×﹣
=×（10+2）×8﹣×10×4﹣
=24（cm2）；
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上挪动，此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t，S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG
=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）
=8t2﹣32t+48．
②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4，当2＜t＜4时，点E在边AB上挪动，点F、G都在边CD上挪动，此时CF=4t﹣8，CG=2t，FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，S=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．
即S=﹣8t+32．
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边挪动时，0≤t≤2，在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，1若=，即=，解得t=．
又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG，2若=即=，解得t=．
又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形类似．
点评：
本题考查了类似三角形的判定定理，函数的运用和三角形的面积以及矩形的性质等知识点．
57．（2011•来宾）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．
（1）用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD；
（2）证明：△ABC∽△BDC．
考点：
类似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．版权一切
专题：
作图题；证明题．
分析：
（1）分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为AB的垂直平分线；
（2）由线段垂直平分线的性质，得DA=DB，则∠ABD=∠BAC=40°，从而求得∠CBD=40°，即可证出△ABC∽△BDC．
解答：
解：（1）
（2）∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∵∠ABC=80°，∠BAC=40°，∴∠ABD=∠BAC=40°，∴∠CBD=40°，∴△ABC∽△BDC．
点评：
本题考查了类似三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质和作法，基本作图是难点．
58．（2011•河北）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点0和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似，在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为
1：2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
考点：
作图-位似变换．版权一切
专题：
计算题；作图题．
分析：
（1）根据位似比是1：2，画出以O为位似的△A′B′C′；
（2）根据勾股定理求出AC，A′C′的长，由于AA′，CC′的长易得，相加即可求得四边形AA′C′C的周长．
解答：
解：（1）如图所示：
（2）AA′=CC′=2．
在Rt△OA′C′中，OA′=OC′=2，得A′C′=2；
同理可得AC=4．
∴四边形AA′C′C的周长=4+6．
点评：
本题考查了画位似图形．画位似图形的普通步骤为：①确似，②分别连接并延伸位似和能代表原图的关键点；③根据类似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；依次连接上述各点，得到放大或减少的图形．同时考查了利用勾股定理求四边形的周长．
59．（2011•常德）如图，已知四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：△MEF∽△MBA；
（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC．
考点：
类似三角形的判定；平行四边形的性质．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）由平行四边形的性质得出角相等，再根据类似三角形的判定得出答案；
（2）由AB∥CD，得∠DFA=∠FAB，再由角平分线的定义得出∠DAF=∠FAB，从而得出∠DAF=∠DFA，即DA=DF，同理得出CE=CB，由平行四边形的性质得出DF=EC．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EFM=∠MAB，∠FEM=∠MBA，∴△MEF∽△MBA；
（2）∵AB∥CD，∴∠DFA=∠FAB，∵AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，∴∠DAF=∠FAB，∴∠DAF=∠DFA，∴DA=DF，同理得出CE=CB，∴DF=EC．
点评：
本题考查了类似三角形的判定以及平行四边形的性质，是基础知识要纯熟掌握．
60．（2011•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
考点：
作图-位似变换；作图-平移变换．版权一切
专题：
作图题．
分析：
（1）把A、B、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A1，B1，C1，依次连接得到的各点即可；
（2）延伸OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各点，依次连接即可．
解答：
解：如图
点评：
本题考查图形的平移变换及旋转变换；留意图形的变换，看关键点是变换即可．
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