中考数学高分突破相似三角形专题一遍过强化卷

2021届初三中考数学高分突破相似三角形专题一遍过强化卷

一、单选题

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）

A．5

B．6

C．7

D．8

2．如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于

A．3

B．4

C．6

D．8

3．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（）

A．9

B．12

C．15

D．18

4．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，F是AD、BE的交点，CE=2AE，BF=EF，EN∥BC交AD于N，若BD=2，则CD长度为（）

A．6

B．7

C．8

D．9

5．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（）

A．1对

B．2对

C．3对

D．4对

6．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（）

A．3

B．

C．

D．

7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD＝30°；②S平行四边形ABCD＝；③OE：AC＝1：4；④S△OCF＝2S△OEF．其中正确的有（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

8．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，若AE＝5，AC＝4，则BE的长为

A．

B．

C．3

D．1

9．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（）

A．

B．4

C．3

D．2

10．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

11．如图，光源在水平横杆的上方，照射横杆得到它在平地上的影子为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），不难发现．已知，点到横杆的距离是，则点到地面的距离等于______．

12．已知是等边三角形，点D，E，F点分别在边上，同时平分和，则的长为_____．

13．如图，在中，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于_______．

14．如图，正方形的对角线，相交于点，为上一点，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．

15．如图，在中，平分在延长线上，且，若，则的长为_____．

三、解答题

16．如图，在矩形中，是上一点，于点，设．

（1）若，求证：；

（2）若，且在同一直线上时，求的值．

17．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．

（1）求证：△AED∽△ADC；

（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；

（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．

19．如图1，四边形内接于是的直径，．延长交的延长线于点．

（1）证明：．

（2）当时，①求的长度．

②如图2，作平分交于点，连结，求的面积．

20．如图：中，以为直径作交于点，交于点，点在的延长线上，．

（1）求证：直线是的切线；

（2）若，求的长．

21．如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．

（1）求证：△ABE∽△EGF；

（2）若EC＝2，求△CEF的面积；

（3）当△CEF的面积最大时，求EC．

22．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．

（1）求此函数的关系式；

（2）在下方的抛物线上有一点，过点作直线轴，交与点，当点坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？

（3）在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，为顶点形成平行四边形，求出，点的坐标．

（4）在轴上是否存在一点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案

1．C

解：如图，标注字母，∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，由正方形可得：

同理：

∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，结合正方形的性质可得：OE=x-3，PF=x-4，∴（x-3）：4=3：（x-4），∴（x-3）（x-4）=12，即，∴x=0（不符合题意，舍去）或x=7．

2．D

解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴

∴

解得DF=8，3．D

解：∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴，∴，∵四边形MNQP的面积为3，∴，∴S△ANQ=1，∵，∴S△AOB=9，∴k=2S△AOB=18，4．A

解：∵NE∥BC，∴∠NEF=∠DBF，∠ENF=∠BDF，又∵BF=EF，∴△NEF≌△DBF，∴NE=BD=2．

∵NE∥BC，∴△ANE∽△ADC，∴，∵CE=2AE，∴，∴CD=6．

5．C

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB

∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD

所以有三对相似三角形，6．A

如下图，过D做于点H

∴

∵正方形ABCD

∴

且

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

∵

∴

又∵正方形ABCD

∴

∴

∵于点G

∴

∴

∴

∵

∴

∵且

∴

∴

∴

7．C

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BCD=120°，∵CE平分∠BCD交AB于点E，∴∠DCE=∠BCE=60°

∴△CBE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；

∵AC⊥BC，∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC=BC，∵AO=OC，AE=BE，∴OE=BC，∴OE：AC=：6；故③错误；

∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴=2

∴S△OCF：S△OEF==2，∴S△OCF=2S△OEF；故④正确．

8．A

连接ED并延长交AC的延长线于点F，连接OD，如图，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴，即，∴BE＝．

9．C

解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8

∴∠BAG+∠DAE=90°

∵折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，∴BF垂直平分AG

∴∠ABF+∠BAG=90°

∴∠DAE=∠ABF，∴△ABF∽△DAE

∴即

10．C

设，则CD=3x，由折叠得，∴CF=3x-10，∵

∴100=，解得x=6或x=0（舍去），∴CD=18，CF=8，=12，∵∠C=∠D=∠,∴∠,∴△∽△,∴，∴，∴DM=9，∴，AM=9，在Rt△中，∴,解得EM=5，∴AE=4，过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18，∴FH=10-4=6，∴EF=,故选：C.11．3

解：如图，作PF⊥CD于点F，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∴△PAB∽△PCD，∴，即：，12．

解：如图，同时平分和，，在与中，，，是等边三角形，，，，设，，，，，．

故答案为：．

13．解：∵，∴，∵四边形DEFG是正方形，∴∠DEB=∠A=90°，∠B=∠B，∴△ABC∽△EBD，∴，即，同理，设BE为3x，则DE为4x，FC为，解得，DE=4×=，14．

解：四边形是正方形，，OA=OB=OC=OD，∵,∴，，即，，，解得

15．解：∵BD平分∠ABC，DE=BD

∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD

∴∠DBC=∠AED

如图，在BC上取点，使BF=AE

则在与中，∴

∴AE=BF=2，∴CF=BC-BF=8-2=6

∵∠BAD=，∠DFC=

∴∠BAD=∠DFC

又∵∠C=∠C

∴CFD∽CAB

∴

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∠BAD=∠DFC

∴

∵

∴

∴DF=FC=6，则AD=DF

=6

∴CA=6+CD

又∵CF=6，BC=8

∴

解得．

16．（1）∵，∴，∴，又∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴在和中，∴≌，∴，∵，∴，∴；

（2）如图，三点共线，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴在和中，∴∽，∴，即

∴，∴，∴．

17．解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．

又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．

（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．

又∵AD＝AB，∴AB＝2

18．解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；

（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，∴DG∥OB，∴△ADG∽△ABO，∴，∵AD＝3BD，∴AG＝3OG，∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴OG＝1，DG＝，∵D（1，），由平移得：点C的横坐标为1，当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3，∴m＝3﹣＝；

（3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限，∴点C在AB的上方，如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E，∴BE∥OA，∴∠BAO＝∠ABE，∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，∴∠FBE＝∠ABE，∵∠BEF＝∠AEB＝90°，∴∠F＝∠BAF，∴AB＝BF，∴AE＝EF＝OB＝2，∴F（4，4），设BF的解析式为：y＝kx+n，则，解得：，∴BF的解析式为：y＝x+2，∴，解得或，∴C（2，3）．

19．（1）证明：∵，∴∠BAD=∠ACD，∵四边形内接于，∴∠ECD=∠BAD，∴；

（2）解：①由（1）得：，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠CDE=90°，∵CD=CD，∴△ADC≌△EDC（ASA），∴AD=DE，AC=CE，∵∠E=∠E，∴△CDE∽△ABE，∵，∴，∴，∴，设，在Rt△CDE中，∴，解得：，∴；

②连接CF，过点F作FH⊥AE于点H，如图所示：

由①得：，∵平分，∠ABC=90°，∴∠ABF=45°，∴∠ACF=∠ADF=45°，∵AC是是⊙O的直径，∴∠AFC=90°，∴△AFC和△FHD是等腰直角三角形，∴AF=FC，FH=DH，∴，设DH=FH=x，则，∴在Rt△AHF中，解得：（不符合题意，舍去）

∴，∴．

20．（1）证明：连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵是的半径，∴是的切线．

（2）设，则，在中，∵，∴，解得，∴，连接，∵是的直径，∴，∴，又∵，∴，∴，∴

∴．

21．解：（1）四边形是正方形，，，，；

（2），，，由（1）知，，，；

（3）设，则，由（1）知，，，当时，．

22．解：（1）∵

∴点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，-3）

把点A，点C的坐标代入得，解得，所以，此函数关系式为：

（2）如图，设直线AC的函数解析式为：，将，代入，得，解得，∴直线AC的解析式为

∵点N在直线AC下方的抛物线上，轴

∴

为了使MN最大，就要使取最大值，∴取最小值

∵

∴当时，MN有最大值，最大值为，将代入中，得y=，∴N的坐标为

（3）抛物线对称轴为

令y=0得，解得，，∴点B的坐标为（1，0）

①当AB和KL是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时，∴，②当AB和KL是平行四边形的两条对边，且KL在y轴右侧时，∵

∴

∴的横坐标为3，∴，③当AB和KL是平行四边形的两条对边，且KL在y轴左侧时，∵

∴的横坐标为-5

∴，综上所述，点的坐标为，或，或，；

（4）如图，设直线AD的函数解析式为

将，代入

得，解得

∴

①当，A为垂足时，∵,∴

∴

∴

∵AO=3，AP=2，PD=4

∴

∴

∴

②当，D为垂足时，同理可证

∴，即,∴

∴

∴

③当AE⊥DE,E为垂足时，设OE=x，则QE=4-x

∴，∴

解得：，∴，∴，．

综上，点E的坐标为：，，．