二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破

一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题

2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

一解决此类题目的基本步骤与思路

1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标

2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式

3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

二、二次函数问题中三角形面积最值问题

（一）例题演示

1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．

D

B

O

A

y

x

C

解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．

∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：

当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)

∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．

∴抛物线的函数表达式为：．

(2)设P(m,)

∴

∴△BPD面积的最大值为．

【试题精炼】

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且．

（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；

H

F

解答：1）A（－1，0）

∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4

∴，∴.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a

（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H

设E（x，ax

2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴

∴.∴△ADE的面积的最大值为，∴，解得.∴抛物线的函数表达式为.【中考链接】

3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3=

=（m﹣）2+

∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；

二、二次函数问题中直角三角形问题

（一）例题演示

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

解答：（1）依题意得：，解得，∴抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；

（2）设P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；

②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）．

【试题精炼】

如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代数式表示a；

（2）)求证：为定值；

（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】

试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C（0，-3）代入函数表达式得，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．

∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．

∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“

由勾股定理得，GF=，AD=

∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．

∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】

如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝x2＋x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．

(1)求BC所在直线的函数关系式．

(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC

为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．

∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）

设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得

∴BC所在直线的函数关系式为y=x．

（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。又因为直线BC的解析式为y=x，所以将代入可得点P1的坐标为(-,-)。

②若以为AC直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，如图所示，过点A作AP2∥BC，因为BC的解析式为y=x，设直线AP2的解析式为y=x+d。直线交对称轴直线于点P2，即点P2的横坐标为-。因为OD=3，OC=1，所以OA=CD=2，所以A点的坐标为(0,2)。将点A的坐标代入直线AP2，所以直线的解析式为2y=x+2，所以点P2的坐标为(-,)。

综上所述，点的坐标为P1

(-,-)、P2(-,)。

三、二次函数问题中等腰等边三角形问题

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=-x2+bx的图像过点A(4,0),顶点为B，连接AB、BO.(1)求二次函数的表达式；

(2)若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CP的对称点为B′，当△OCB′为等边三角形时，求BQ的长度；

(3)若点D在线段BO上，OD=2BD，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标.解答：(1)将A(4,0)代入y=-x2+bx得，-×42+b×4=0,解得b=2,所以二次函数的表达式为y=-x2+2x；

(3)

①当点F在OB上时，如图，当且仅当DE∥OA，即点E与点A重合时△DOF≌△FED，此时点E的坐标为E(4,0)；

②点F在OA时，如图DF⊥OA，当OF=EF时△DOF≌△DEF，由于OD=2BD，所以点D坐标为(，)，点F坐标为(，0)，点E坐标为(，0)；

综上满足条件的点E的坐标为(4,0)、(，0)、(2+，2-)．

2.如图1，已知的三顶点坐标分别为，，二次函数y

=

ax2

+

bx+c恰好经过A、B、C三点．

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1，若点P是边AB上的一个动点，过点P作PQ∥，交于点Q，连接CP，当的面积最大时，求点P的坐标；

(3)如图2，点是直线上的一个动点，点N是二次函数图像上的一动点，若

构成以为斜边的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点N的横坐标．

解答：

(1)．

3分

(2)设点()，则AP=t+1，BP=3−t，三角形的面积为6．

∵，∴．

∴，∴

5分

又∵．

∴．

8分

∴t=1时，最大，此时点．

9分

(3)

所有满足条件的点N的横坐标为．

12分