考点分析：二次函数的实际应用考察销售利润方案问题是最常见的，并且根据二次函数的性质，在一定的范围内，求出符合要求的最大值得出最大利润，那么我们就要对销售利润问题的知识掌握熟练，以下知识点能很好的帮助我们解决这类题目。
总利润=单个的利润
×
总数量
单个的利润=
售价—进价
利润率=利润
÷成本
遇到二次函数的应用题我们需要考虑以下问题：
1.看清题目，理清楚条件，弄懂题目的意思，知道要求什么，便于我们找准合适的自变量X与相应的函数Y，这是开头也是非常重要的。
2.条件整理清楚后，抓住数量关系列出函数关系式，如果要研究面积那就根据求解面积来列式，如果要求利润那就列关于利润的表达式。
3.列完函数表达式之后要求最值，那么这里要首先写清楚自变量的取值范围，这一点很容易被忽略掉，自变量的取值决定着函数的最值在哪里可以取。
【例1】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－(x－60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝－(100－x)2＋(100－x)＋160(万元)．
(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；
(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；
(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？
【解析】(1)当x＝60时，P最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．
(2)前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x＝50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．
后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100－x)万元，所以y＝P＋Q＝＋＝－x2＋60x＋165＝－(x－30)2＋1
065，表明x＝30时，y最大且为1
065，那么三年获利最大为1
065×3＝3
195(万元)，故五年获利最大值为80＋3
195－50×2＝3
175(万元)．
(3)有极大的实施价值．
方法总结
运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：
1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．
同步练习
某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，不低于每件30元．经市场调查发现：日销售量y(件)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求该服装店销售这批秋衣日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(3)当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？
【例2】某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元．在销售过程中发现，月销售量y(件)与销售单价x(万元)之间存在着如图3－2－2所示的一次函数关系．
(1)求y关于x的函数关系式(直接写出结果)；
(2)试写出该公司销售该种产品的月获利z(万元)关于销售单价x(万元)的函数关系式，当销售单价x为何值时，月获利最大？并求这个最大值(月获利＝月销售额－月销售产品总进价－月总开支)；
图3－2－2
(3)若公司希望该产品一个月的销售获利不低于5万元，借助(2)中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少万元．
(2)根据题意得z＝(x－4)y－11
＝(x－4)－11
＝－x2＋10x－43
第5题答图
＝－(x－10)2＋7，∴当x＝10万元时，最大月获利为7万元．
(3)令z＝5，得5＝－x2＋10x－43，整理，得x2－20x＋96＝0，解得x1＝8，x2＝12，由图象(如答图)可知，要使月获利不低于5万元，销售单价应在8万元到12万元之间．
∵销售单价越低，销售量越大，∴要使销售量最大，又要使月获利不低于5万元，销售单价应定为8万元．
同步练习
某公司销售A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：信息①：销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品重量x(t)之间存在二次函数关系，如图3－2－1所示；信息②：销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品重量x(t)之间存在正比例函数关系：y＝0.3x.根据以上信息，解答下列问题：
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A，B两种产品共10
t，求销售A，B两种产品获得的利润之和最大是多少万元．
图3－2－1
(2)设购进A产品m
t，购进B产品(10－m)t，销售A，B两种产品获得的利润之和为W元，则W＝－0.1m2＋1.5m＋0.3(10－m)
＝－0.1m2＋1.2m＋3＝－0.1(m－6)2＋6.6，∵－0.1＜0，∴当m＝6时，W取得最大值，最大值为6.6万元．
答：当购进A产品6
t，购进B产品4
t时，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
练习：
1.某商人将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数)提高
()
A．8元或10元
B.12元
C．8元
D.10元
2．某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：
(1)月销量y(件)与售价x(元)的关系满足：y＝－2x＋400；
(2)工商部门限制销售价x满足：70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．给出下列结论：
①这种文化衫的月销量最小为100件；
②这种文化衫的月销量最大为260件；
③销售这种文化衫的月利润最小为2
600元；
④销售这种文化衫的月利润最大为9
000元．
其中正确的是__①②③__(把所有正确结论的序号都填上)．
【解析】
由题意知当70≤x≤150时，y＝－2x＋400，∵－2＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确；当x＝70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确；设销售这种文化衫的月利润为W，则W＝(x－60)(－2x＋400)＝－2(x－130)2＋9
800，∵70≤x≤150，∴当x＝70时，W取得最小值，最小值为－2×(70－130)2＋9
800＝2
600元，故③正确；当x＝130时，W取得最大值，最大值为9
800元，故④错误．故答案为①②③.3.某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n(n为整数，1≤n≤12)符合关系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k为常数)，且得到了表中的数据．
月份n(月)
成本y(万元/件)
需求量x(件/月)
120
(1)求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
(2)求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
(3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m＋1)个月的利润相差最大，求m.(2)将n＝1，x＝120代入x＝2n2－2kn＋9(k＋3)，得
120＝2－2k＋9k＋27，解得k＝13，∴x＝2n2－26n＋144，将n＝2，x＝100代入x＝2n2－26n＋144也，等式成立，∴k＝13.由题意，得18＝6＋，解得x＝50，∴50＝2n2－26n＋144，即n2－13n＋47＝0，∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0，∴方程无实数根，∴不存在某个月既不盈利也不亏损；
(3)设第m个月的利润为W，则
W＝x(18－y)＝18x－x＝12(x－50)
＝24(m2－13m＋47)，∴第(m＋1)个月的利润为W′＝24[(m＋1)2－13(m＋1)＋47]＝24(m2－11m＋35)，若W≥W′，则W－W′＝48(6－m)，m取最小1，W－W′取得最大值240；
若W＜W′，则W′－W＝48(m－6)，由m＋1≤12知m取最大11，W′－W取得最大值240.∴m＝1或11.4.某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场．
若只在甲城市销售，销售价格为y(元/件)，月销量为x(件)，y是x的一次函数，如表所示：
月销量x(件)
500
000
销售价格y(元/件)
185
180
成本为50元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费72
500元，设月利润为W甲(元)(利润＝销售额－成本－广告费)．
若只在乙城市销售，销售价格为200元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，40≤a≤70)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为W乙(元)(利润＝销售额－成本－附加费)．
(1)当x＝1
000时，y甲＝__190__元/件，W甲＝__67_500__元；
(2)分别求出W甲，W乙与x间的函数关系式(不必写出x的取值范围)；
(3)当x为何值时，在甲城市销售的月利润最大(销售价格不得低于成本)？若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，求a的值；
(4)如果某月要将5
000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大？
(2)W甲＝－x2＋150x－72
500，W乙＝－x2＋(200－a)x；
(3)∵y甲＝－x＋200＞50，∴0＜x＜15
000，∴当x＝－＝7
500时，W甲最大．
由题意，得
＝，解得a1＝60，a2＝340(不合题意，舍去)，∴a＝60；
《中考压轴题全揭秘》
专题06
反比例函数问题
一、单选题
1．已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）
A．y=﹣
B．y=﹣
C．y=﹣
D．y=
3．如图，点C在反比例函数y=（x>0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）
A．2
B．
C．
D．
5．已知关于的方程有唯一实数解，且反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）
A．
B．
C．
D．
6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（）
7．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B＇DE处，点B＇恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是（）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）
A．﹣3＜x＜2
B．x＜﹣3或x＞2
C．﹣3＜x＜0或x＞2
D．0＜x＜2
9．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）
A．
B．3
C．
D．5
10．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）
A．
B．
C．
D．
11．如图，直线y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y=的图象于另一点C，则的值为（）
A．1：3
B．1：2
C．2：7
D．3：10
12．如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（）
A．
B．6
C．3
D．12
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（）
A．△ONC≌△OAM[来源:Z*X*X*K]
B．四边形DAMN与△OMN面积相等
C．ON=MN
D．若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，+1）
14．如图，∠AOB=90°，且OA、OB分别与反比例函数y=（x＞0）、y=﹣（x＜0）的图象交于A、B两点，则tan∠OAB的值是（）
A．
B．
C．1
D．
15．如图，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是（）
①；②；③若，则平分；④若，则
A．①③
B．②③
C．②④
D．③④
16．如图，P为反比例函数y=（k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k的值是（）
A．2
B．4
C．6
D．8
二、填空题
17．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在轴、轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应），若AB=1，反比例函数的图象恰好经过点A′，B，则的值为_________．
18．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是______．
19．已知直线
y=ax（a≠0）与反比例函数
y=（k≠0）的图象一个交点
坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是_____．
20．在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8,6），M为BC中点，反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点M，交AC于点N，则MN的长度是________.21．如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____．
22．如图，直线AB与双曲线y=（k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限．连接PO并延长交双曲线于点C．过点P作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（m，1），设△POD的面积为S1，△COE的面积为S2，当S1＞S2时，点P的横坐标x的取值范围为__．
23．如图，矩形OABC的边AB与x轴交于点D，与反比例函数(k>0)在第一象限的图像交于点E，∠AOD=30°，点E的纵坐标为1，ΔODE的面积是，则k的值是________
24．以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为___．
25．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k＞0）的图象与半径为5的⊙O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是_____．
26．设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.27．如图，已知等边△，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，则点的坐标为__．
28．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y=（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF=7，k1+3k2=0，则k1等于_____．
三、解答题
29．已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
30．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为(n,-2)．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
31．如图，已知点A在反比例函数(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y=kx+b的表达式．
32．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
[来源:ZXXK]
33．如图，菱形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，边BC在x轴上，且BC=5，sin∠ABC=，反比例函数（x>0）的图象分别与AD，CD交于点M、点N，点N的坐标是（3，n），连接OM，MC.（1）求反比例函数的解析式；
（2）求证：△OMC是等腰三角形.34．如图，一次函数的图像与反比例函数(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.35．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB═，反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线EB的解析式；
（3）求S△OEB．
[来源:Z。X。X。K]
36．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y
（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；[来源:]
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．
（1）求∠OCD的度数；
（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；
（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．
38．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．
（1）当m=3时，求点A的坐标；
（2）DE=，设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；
（3）连接BD，过点A作BD的平行线，与（2）中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？
39．如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
40．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；[来源:]
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k=；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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