第一篇：2018年中考数学《尺规作图》同步提分训练含答案解析
2018年中考数学提分训练: 尺规作图
一、选择题
1.下列画图的语句中，正确的为（）
A.画直线AB=10cm B.画射线OB=10cm C.延长射线BA到C，使BA=BC D.过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交
2.如图，用尺规作出了BF∥OA，作图痕迹中，弧MN是（）
A.以B为圆心，OD长为半径的弧 B.以C为圆心，CD长为半径的弧 C.以E为圆心，DC长为半径的弧 D.以E为圆心，OD长为半径的弧 3.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出 的依据是（）
A.（SAS）B.（SSS）C.（AAS）D.（A SA）
4.如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）
A.两人皆正确 B.两人皆错误 C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为（）
BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF
A.5 B.6 C.7 D.8 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）
A.4 B.5 C.6 D.7 7.画正三角形ABC（如图）水平放置的直观图△A′B′C′，正确的是（）
A.B.C.D.8.已知∠AOB，用尺规作一个角 等于已知角∠AOB的作图痕迹如图所示，则判断∠AOB= 所用到的三角形全等的判断方法是（）
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）
①AD是∠BAC的平分线②∠ADC=60°③△ABD是等腰三角④点D到直线AB的距离等于CD的长度．
A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）
A.以点F为圆心，OE长为半径画弧 B.以点F为圆心，EF长为半径画弧 C.以点E为圆心，OE长为半径画弧 D.以点E为圆心，EF长为半径画弧
11.如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（）
A.6 B.8 C.10 D.12 12.如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为（）
A.5 B.6 C.8 D.12
二、填空题
13.我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是________．
14.作图并写出结论：如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA , OB的垂线，分别交BO 的延长线于M、N ,线段________的长表示点P到直线BO的距离；线段________的长表示点M到直线AO的距离;线段ON的长表示点O到直线________的距离；点P到直线OA的距离为________.15.如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，连接AC，BC，BD，CD．其中AB=4，CD=5，则四边形ABCD的面积为________．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，AC=12．分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF交AB于点D，连结CD．则CD的长为________．
17.如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．
18.以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB=60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________.19.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．（Ⅰ）线段AB的长为________．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP= 证明）．________．，并简要说明你的作图方法（不要求
20.如图，在矩形 两弧相交于点 长为________． 和 中，按以下步骤作图：①分别以点 ；②作直线
交
于点
.若
和 为圆心，以大于，的长为半径作弧，的，则矩形的对角线
三、解答题
21.如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
22.已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点O；
（2）在（1）的条件下，若BC=3，AC=4，求点O到AB的距离。
23.如图，在 中，.（1）作 的平分线交 边于点，再以点 为圆心，的长为半径作 ；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中
24.如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，与 的位置关系，直接写出结果.（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
25.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．
（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，连接AD，求证：△ABC∽△EDA．
26.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。
答案解析
一、选择题 1.【答案】D
【解析】 ：A、错误．直线没有长度；
B、错误．射线没有长度； C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长； D、正确． 故答案为：D．
【分析】根据直线、射线、线段的性质即可一一判断； 2.【答案】C
【解析】 ：弧MN是以E为圆心，DC长为半径的弧。
故答案为 ：C。【分析】根据平行线的判定，这里要使BF∥OA，其依据是内错角相等，两直线平行，故根据尺规作图就是作一个角∠FBO=∠AOB,故弧MN，是以E为圆心，DC长为半径的弧。3.【答案】B
【解析】 ：根据画法可知OD=OC=OD=OC DC=DC
在△ODC和△ODC中
∴△ODC≌△ODC（SSS）∴∠A′O′B′=∠AOB.故答案为：B 【分析】根据画法可知△ODC和△ODC的三边相等，得出两三角形全等，再根据全等三角形的性质可得出结论。4.【答案】D
【解析】 ：甲：如图1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=180° ∴∠BPC+∠ACP=180°，∴甲错误； 乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正确，故答案为：D．
【分析】甲：根据等边对等角可得∠APC=∠ACP，再由平角的定义可得∠BPC+∠APC=180°,等量带环即可判断；
乙：根据四边形的内角和为5.【答案】B
【解析】 ：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．
∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6． 故选B．，可知乙的作法正确。
【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论． 6.【答案】D
【解析】 如图，①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形． 故答案为：C.【分析】根据等腰三角形的性质分情况画出图形，即可得出答案。7.【答案】D
【解析】 第一步：在已知正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y轴，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°，第二步：在x′轴上取O′A′=OA，O′B′=OB，在y’轴上取O′C′=OC，第三步：连接A′C′，B′C′，所得三角形A′B′C′就是正三角形ABC的直观图，根据画正三角形的直观图的方法可知此题选D，故答案为：D．
【分析】根据画正三角形的直观图的方法可得出答案。8.【答案】D 【解析】 如图，连接CD、，∵在△COD和△，∴△COD≌△ ∴∠AOB= 故答案为：D。中，(SSS)，【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，画出三角形.9.【答案】D
【解析】 根据基本作图，所以①正确，因为∠C=90°，∠B=30°，则∠BAC=60°，而AD平分∠BAC，则∠DAB=30°，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60°，所以②正确；
因为∠DAB=∠B=30°，所以△ABD是等腰三角形，所有③正确；
因为AD平分∠BAC，所以点D到AB与AC的距离相等，而DC⊥AC，则点D到直线AB的距离等于CD的长度，所以④正确.故答案为：D.【分析】（1）由已知角的平分线的作法知，AD是∠BAC的平分线；
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠DAB+∠B，由（1）可得∠DAB=30°，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60°；
（3）由（2）知，∠DAB=30°=∠B，根据等腰三角形的判定可得△ABD是等腰三角形；（4）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，点D到直线AB的距离等于CD的长度。10.【答案】D
【解析】 ：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧． 故选D．
【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论． 11.【答案】B
【解析】 ：连接EG，∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，∴∠1=∠2，∴AG⊥DE，OD= DE=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AD=DG． ∵AG⊥DE，∴OA= AG．
=
=4，在Rt△AOD中，OA= ∴AG=2AO=8． 故选B．
【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA= 用勾股定理求出OA的长即可． 12.【答案】B
【解析】 ：连结EF，AE与BF交于点O，AG，利
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB= ∵AB=5，BF=4，OA= AE．
在Rt△AOB中，AO= ∴AE=2AO=6． 故选B．
=3，【分析】由基本作图得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AE⊥BF，故可得出OB的长，再由勾股定理即可得出OA的长，进而得出结论．
二、填空题
13.【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】 如图所示：
根据题意得出：∠1=∠2；∠1和∠2是同位角； ∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：同位角相等，两直线平行．
【分析】直尺保证了三角板 所作的是平移，∠
1、∠2的大小相等，又是同位角，“同位角相等，两直线平行”.14.【答案】PN；PM；PN；0
【解析】 ：如图
∵PN⊥OB ∴线段PN的长是表示点P到直线BO的距离； ∵PM⊥OA ∴PM的长是表示点M到直线AO的距离;∵ON⊥PN ∴线段ON的长表示点O到直线PN的距离； ∵PM⊥OA ∴点P到直线OA的距离为0 故答案为：PN、PM、PN、0 【分析】先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义，即可求解。15.【答案】10
【解析】 ：由作图可知CD是线段AB的中垂线，∵AC=AD=BC=BD，∴四边形ACBD是菱形，∵AB=4，CD=5，∴S菱形ACBD= ×AB×CD= ×4×5=10，故答案为：10．
【分析】由作图可知CD是线段AB的中垂线，四边形ACBD是菱形，利用S菱形ACBD= 16.【答案】
×AB×CD求解即可．
【解析】 ：由作图可知，EF垂直平分AB，即DC是直角三角形ABC斜边上的中线，故DC= AB= ． =
×15=
．
故答案为：
【分析】由作图可知，EF垂直平分AB，即DC是直角三角形ABC斜边上的中线，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，即可求得DC的长。17.【答案】56
【解析】 ：∵四边形ABCD的矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF= ∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣34°=56°，∴∠α=56°． 故答案为：56．
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论． 18.【答案】2
【解析】 ：根据题中的语句作图可得下面的图，过点D作DE⊥AC于E，由尺规作图的方法可得AD为∠BAC的角平分线，因为∠ADB=60°，所以∠B=90°，由角平分线的性质可得BD=DE=2，tan∠ADB=2 在Rt△ABD中，AB=BD·故答案为2..【分析】由尺规作图-角平分线的作法可得AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质可得BD=2，又已知∠ADB即可求出AB的值.19.【答案】2 ；取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求
【解析】(Ⅰ)由勾股定理得AB=(Ⅱ)∵AB ∴
∴AP:BP=2:1.，AP=，；
取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求；
∵AM∥BN, ∴△AMP∽△BNP, ∴
∵AM=2,BN=1, ∴
∴P点符合题意.故答案为：取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求。【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AB的长。
(Ⅱ)先求出BP的长，就可得出AP:BP=2:1，取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求，根据相似三角形的判定定理，可证得△AMP∽△BNP，得出对应边成比例，可证得AP:BP=2:1。20.【答案】 , , 【解析】【解答】连接AE，根据题意可知MN垂直平分AC ∴AE=CE=3 222在Rt△ADE中，AD=AE-DE
AD2=9-4=5 222∵AC=AD+DC
AC2=5+25=30 ∴AC=
【分析】根据作图，可知MN垂直平分AC，根据垂直平分线的性质，可求出AE的长，再根据勾股定理可求出AD的长，然后再利用勾股定理求出AC即可。
三、解答题
21.【答案】解：如图所示，∵∠EAC=∠ACB，∴AD∥CB，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．
【解析】【分析】用尺规作图即可完成作图。理由如下：
根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CB，已知AD=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB∥CD． 22.【答案】（1）如图1，BO为所求作的角平分线
（2）如图2，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠ACB=90°，由（1）知BO平分∠ABC，∴OC=OD，BD=BC。∵AC=4，BC=3 ∴AB=5，BD=3，AD=2 设CO=x，则AO=4-x，OD=x 在Rt△AOD中，即点O到AB的距离为，得，【解析】【分析】(1)以点B为圆心，任意长度为半径画弧，交BA,BC于以点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两交点间的距离的长度为半径，画弧，两弧在角内交于一点，过B点及这点，作射线BO交AC于点哦，BO就是所求的∠ABC的平分线；（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出OC=OD，BD=BC=3。根据勾股定理得出AB的长，进而得出AD的长，设CO=x，则AO=4-x，OD=x，在Rt△AOD中，利用勾股定理得出方程，求解得出答案。23.【答案】（1）解：如图,作出角平分线CO;作出⊙O.（2）解：AC与⊙O相切．
【解析】【分析】（1）根据题意先作出∠ACB的角平分线，再以O为圆心，OB为半径画圆即可。（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等及切线的判定定理，即可得出AC与⊙O相切。24.【答案】（1）解：如图所示，直线EF即为所求；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∴∠C=∠A=30°，∵EF垂直平分线线段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°
【解析】【分析】（1）分别以A,B两点为圆心，大于AB长度一半的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交，过这两个交点作直线，交AB于点E，交AD于点F，直线EF即为所求；
DC∥AB，（2）根据菱形的性质得出∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，∠A=∠C．故∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∠C=∠A=30°，根据垂直平分线的性质得出AF=FB，根据等边对等角及角的和差即可得出答案。25.【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵∠BAC=90°，∠C=30°
又∵点D在AC的垂直平分线上，∴DA=DC，∴∠CAD=∠C=30°，∵∠DEA=∠BAC=90°，∴△ABC∽△EDA．
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E 即可。
（2）根据垂直平分线的性质证出DA=DC，可证得∠CAD=∠C，然后根据两组角对应相等的两三角形相似，即可证得结论。26.【答案】（1）
（2）①证明：在AD上取一点F使DF=DC，连接EF，∵DE平分∠ADC，∴∠FDE=∠CDE，在△FED和△CDE中，DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE ∴△FED≌△CDE（SAS），∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90° ∴∠DEF=∠DEC，∵AD=AB+CD，DF=DC，∴AF=AB，在Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）∴∠AEB=∠AEF，∴∠AED=∠AEF+∠DEF= ∴AE⊥DE ②解：过点D作DP⊥AB于点P，∠CEF+
∠BEF=
（∠CEF+∠BEF）=90°。
∵由①可知，B，F关于AE对称，BM=FM，∴BM+MN=FM+MN，当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值，∵DP⊥AB，AD=AB+CD=6，∴∠DPB=∠ABC=∠C=90°，∴四边形DPBC是矩形，∴BP=DC=2，AP=AB-BP=2，在Rt△APD中，DP= ∵FN⊥AB，由①可知AF=AB=4，∴FN∥DP，=，∴△AFN∽△ADP ∴ 即 解得FN=，，∴BM+MN的最小值为
【解析】【分析】（1）根据角平分的做法即可画出图.（2）①在AD上取一点F使DF=DC，连接EF；角平分线定义得∠FDE=∠CDE；根据全等三角形判定SAS得△FED≌△CDE，再由全等三角形性质和补角定义得∠DFE=∠DCE=∠AFE=90°，∠DEF=∠DEC；再由直角三角形全等的判定HL得Rt△AFE≌Rt△ABE，由全等三角形性质得∠AEB=∠AEF，再由补角定义可得AE⊥DE.②过点D作DP⊥AB于点P；由①可知，B，F关于AE对称，根据对称性质知BM=FM，当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN；在Rt△APD中，根据勾股定理得DP= = ；由相似三角形判定得△AFN∽△ADP，再由相似三角形性质得，从而求得FN，即BM+MN的最小值.
第二篇：初二数学习题尺规作图
初二数学习题尺规作图 班 姓名 号
1.尺规作图，保留作图痕迹，注明结果，不写作法
（1）作∠AOB的对称轴
(2)作线段AB关于直线L的对应线段A′B′
L A A
OBB
（3）已知△ABC 与△A′B′C′关于某条直线对称，请作出这条直线
AA′
BB′B
A
CC′
（3）（4）
（4）在直线L上求一点，使它到A、B距离相等
（5）在∠AOB的内部求一点P，使它到角的两边距离相等，到C、D两点距离也相等
A
C
D
OB
（6）已知△ABC，利用“SAS” 作出△A′B′C′，使这两个三角形全等
A
BC
L
A（7）如图，求作一点P，使PA=PB, PC=PD.C
DB
(8)如图A、B、C表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划建一所小学，要使小学到三个村庄距离相等，请在图中确定学校的位置（写出作法）
A
CB
（9）要在河边L修建一个水泵站，分别向张庄（A）、李庄（B）送水，水泵站修在河边什么地方，可使所用的水管最短（写出作法）
B
A
L
第三篇：八年级数学尺规作图
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§19.3 尺规作图(1)
一、教学目标
1.了解尺规作图.
2.掌握尺规的基本作图：画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角.3.尺规作图的步骤.
4.尺规作图的简单应用，解尺规作图题，会写已知、求作和作法.
二、教学重点画图，写出作图的主要画法.
三、教学难点写出作图的主要画法，应用尺规作图.
四、教学方法引导法，演示法.
五、教学过程
(一)引入直尺、量角器、圆规都是都是大家很熟悉的工具，大家都知道用直尺可以画线，用量角器可以画角，用圆规可以画圆.
请大家画一条长4cm的线段，画一个48°的角，画一个半径为3cm的圆. 如果只用无刻度的直尺和圆规，你还能画出符合条件的线段、角吗? 实际上，只用无刻度的直尺和圆规作图，在数学上叫做尺规作图.(二)新课
1.画一条线段等于已知线段.
请同学们探索用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知的线段. 已知线段a，用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知线段a.请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法. 例1 已知三边作三角形.
已知：线段a、b、c.(画出三条线段a、b、c) 求作：△ABC，使得三边为线段a、b、c. 作法：(1)画一条线段AB，使得AB=c.
(2)以点A为圆心，以线段b的长为半径画圆弧；再以点B为圆心，以线段a的长为半径画圆亿库教育网
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弧；两弧交于点C.
(3)连结AC，BC. △ABC即为所求. 2.画一个角等于已知角.请同学们探索用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角.已知角∠MPN，用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角∠MPN. 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法. 作法：(1)画射线OA.
(2)以角∠MPN的顶点P为圆心，以适当长为半径画弧，交∠MPN的两边于E、F.(3)以点O为圆心，以PE长为半径画弧，交OA于点C.(4)以点C为圆心，以EF长为半径画弧，交前一条弧于点D.(5)经过点D作射线OB.
∠AOB就是所画的角.(如图)注意：几何作图要保留作图痕迹.
探索如何过直线外一点做已知直线的平行线； 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法. 例2 根据下列条件作三角形.(1)已知两边及夹角作三角形；(2)已知两角及夹边作三角形；
请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法(顺序). 练习：教材第82页练习第1、2题.
(三)小结请同学们自己对本课内容进行小结.(四)作业习题1、2题.
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§19.3 尺规作图(2)
一、教学目标
1.进一步熟练尺规作图.
2.掌握尺规的基本作图：画角平分线.
3.进一步学习解尺规作图题，会写已知、求作和作法，以及掌握准确的作图语言.4.运用尺规基本作图解决有关的作图问题.
二、教学重点分析尺规基本作图问题的解决过程，写好作图的主要画法，并完成作图.
三、教学难点分析实际作图问题，运用尺规的基本作图，写出作图的主要画法.
四、教学方法引导法，演示法，分析法，讨论法.
五、教学过程
(一)引入我们已熟悉尺规的基本作图：画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角，那么利用尺规还能画角平分线吗?
(二)新课
前面我们学习了用尺规画线段，那么你能利用尺规作图将一个角两等分吗? 利用尺规作图画角平分线.
请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一个角的平分线. 已知∠AOB，用直尺和圆规准确地画出已知∠AOB的平分线. 请各小组同学讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法. 例1 已知∠α与∠β，求作一个角，使它等于(∠α+∠β)的一半.
分析：要完成这个作图，先作出等于(∠α+∠β)的角，再作平分线即可. 已知、求作、作法由学生自行完成.(略)
例2 已知三角形中的一个角，此角的平分线长，以及这个角的一边长，求作三角形. 分析：首先作出符合条件的图形草图，分析图形的特征，然后确定作图的顺序，写出已知、求作、作法，作图中遇到属于基本作图的，只叙述基本作图即可.亿库教育网
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已知：∠α，以及线段b、c(b＜c).
求作：△ABC，使得∠BAC=∠α，AB=c，∠BAC的平分线AD=b. 作法：(1)作∠MAN=∠α.(2)作∠MAN的平分线AE.
(3)在AM上截取AB=c，在AE上截取AD=b.(4)连结BD，并延长交AN于点C. △ABC就是所画的三角形.(如图)
例3 已知三角形的一边及这边上的中线和高(中线长大于高)，求作三角形.同学们先自主思考探索，然后各小组同学讨论、交流、归纳出具体的作图方 法.再请学生代表上黑板示范，并解释原由.
例4 已知直线和直线外两点(过这两点的直线与已知直线不垂直)，利用尺规作图在直线上求作一点，使其到直线外已知两点的距离和最小.
同学们先自主思考，然后各小组交流意见，完成作图. 练习教材练习第1、2题.(三)小结
1.尺规作图的五种常用基本作图. 2.掌握一些规范的几何作图语句.
3.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述即可.
4.解决尺规作图问题，先作出符合条件的图形草图，再确定具体的作图方法.
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(四)作业教材第5题.§19.3 尺规作图(3)
一、教学目标
1.进一步熟练尺规作图.
2.掌握尺规的基本作图：画线段的垂直平分线，画直线的垂线. 3.尺规作图的简单应用，解尺规作图题，会写已知、求作和作法.
二、教学重点 画图，写出作图的主要画法.
三、教学难点写出作图的主要画法，应用尺规作图.
四、教学方法引导法，演示法，分析法，探索法.
五、教学过程
(一)引入我们已熟悉尺规的两个基本作图：画线段，画角. 那么利用尺规还能解决什么作图问题呢?(二)新课
1.画线段的垂直平分线.
请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一条线段的垂直平分线.已知线段a，用直尺和圆规准确地画出已知线段a的垂直平分线. 解决这一问题，要利用好线段垂直平分线的性质. 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法. 例1 已知底边及底边上的高作等腰三角形.
分析：要完成这个作图，先作出底边，再作底边的垂直平分线，取高，最后完成三角形.已知：底边a、及底边上的高h.(画出两条线段a、h) 求作：△ABC，使得一底边为a、底边上的高为h. 作法：(略). 2.画直线的垂线.
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请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一条直线的垂线. 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.
实际上，画出一条直线的垂线，就是转化为画线段的垂直平分线. 例2 过直线外一点作直线的垂线.
已知：直线a、及直线a外一点A.(画出直线a、点A) 求作：直线a的垂线直线b，使得直线b经过点A.
作法：(1)以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交直线a于点C、D.(2)以点C为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧.
(3)以点D为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点B.(4)经过点A、B作直线AB.
直线AB就是所画的垂线b.(如图)
3.（优生）探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. 思考：如何解决这一实际问题?下面我们共同探寻解决这一问题的办法. 练习教材练习第1、2题.
探究1：过一个已知点A如何作圆?(如图，让学生动手去完成)
学生讨论并发现：过点A所作圆的圆心在哪儿?半径多大?可以作几个这样的圆?(圆心不定，半径不定，可以作无数个圆)
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探究1 探究2：过已知两点A、B如何作圆?(如图，学生动手去完成)
探究2 学生继续讨论并发现：它们的圆心到A、B两点的距离怎样?能用式子表示吗?圆心在哪里?过点A、B两点的圆有几个?(OA=OB，圆心在直线AB的垂直平分线上，有无数个圆)
探究3：过同一平面内三个点的情况会怎样呢? 分两种情况研究：
(1)求作一个圆，使它经过不在一直线上三点A、B、C.
已知：不在一直线上三点A、B、C，求作一个圆，使它同时经过点A、B、C.(学生口述作法，教师示范作图过程)
学生讨论并发现：这样一共可作几个圆?圆心在哪里?圆心到A、B、C三点的距离怎样?(可作一个圆，圆心是线段AB、AC、BC的垂直平分线的交点，圆心到A、B、C三点距离相等)
(2)过在一直线上的三点A、B、C可以作几个圆?(不能作出) 发现结论：不在同一直线上的三点确定一个圆：(三)小结请同学们自己对本课内容进行小结.(四)作业习题3、4题.
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第四篇：湖南省邵阳市2018年中考数学提分训练命题与证明含解析
2018年中考数学提分训练: 命题与证明
一、选择题
1.下列命题是真命题的是（）
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.有一组邻边相等的四边形是菱形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.有三条边相等的四边形是菱形
2.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是（）A.a B.a≤b C.a＝b D.a≥b 3.下列定理有逆定理的是()A.同角的余角相等 B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C.全等三角形的对应角相等 D.对顶角相等 4.小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（） A.只使用苹果 B.只使用芭乐 C.使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多 D.使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多 5.下列命题中，假命题有（）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行； ⑤若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.已知下列命题： ①若 ＞1，则a＞b； ②若a+b=0，则|a|=|b|； ③等边三角形的三个内角都相等； ④底角相等的两个等腰三角形全等． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.下列说法正确的是（） A.要了解某公司生产的100万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法B.4位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为100 C.甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为0.51和0.62 D.某次抽奖活动中，中奖的概率为 表示每抽奖50次就有一次中奖 8.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④ 9.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人” ；乙说：“两项都参加的人数小于5人”.对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（）A.若甲对，则乙对 B..若乙对，则甲对 C.若乙错，则甲错 D.若甲错，则乙对 10.下列命题中，假命题是（） A.凡是直角都相等 B.对顶角相等 C.不相等的角不是对顶角 D.同位角相等 11.一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形．在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个在大矩形的面积，则n的最小值是 （） A.3 B.4 C.5 D.6 12.如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O相交于点D，E，连接DE，现给出两个命题： ①若AC=AB，则DE=CE； ②若∠C=45°，记△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则S1=S2，那么（） A.①是真命题②是假命题 B.①是假命题②是真命题 C.①是假命题②是假命题 D.①是真命题②是真命题 二、填空题 13.把命题“对顶角相等”改写成“如果 那么 ”的形式：________． 14.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________命题.(填“真”或“假”)15.下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有________（填序号） 16.写出命题“若a=b，则a=b”的逆命题________ 17.写出命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的一个反例：________ 18.命题“如果两个角都是直角,那么这两个角相等”的逆命题________.19.下面三个命题： ①若 222是方程组 2的解，则a+b=1或a+b=0； ②函数y=﹣2x+4x+1通过配方可化为y=﹣2（x﹣1）+3； ③最小角等于50°的三角形是锐角三角形，其中正确命题的序号为________． 20.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________ 三、解答题 21.已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明． 22.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．（1）等角的余角相等； （2）平行线的同旁内角的平分线互相垂直；（3）和为180°的两个角叫做邻补角． 23.嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.已知:如图,在四边形ABCD中,BC=AD，AB=__①___.求证:四边形ABCD是___②___四边形.（1）在方框中填空,以补全已知和求证;①________；②________.（2）按嘉淇的想法写出证明.（3）用文字叙述所证命题的逆命题为________ 24.如图，已知在△ABC中，∠1=∠2． （1）请你添加一个与直线AC有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线；（2）请你添加一个与∠1有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线； （3）如果“已知在△ABC中，∠1=∠2不变”，请你把（1）中添加的条件与所得结论互换，所得的命题是否是真命题，理由是什么？ 答案解析 一、选择题 1.【答案】C 【解析】 A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A不符合题意； B、四条边都相等的四边形是菱形，故B不符合题意； C、有三个角是直角的四边形是矩形，故C符合题意； D、四条边都相等的四边形是菱形，故D不符合题意． 故答案为：C 【分析】利用举反例法可对A作出判断；依据菱形、矩形的判定方法可对B、C、D作出判断.2.【答案】B 【解析】 “a>b”的否定应为“a＝b或a B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题是到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上，是真命题，故B符合题意； C、全等三角形的对应角相等，其逆命题是如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，显然是假命题，故C不符合题意 ； D、对顶角相等，的逆命题是相等得角是对顶角，也是个假命题，从而得出D不符合题意。 故答案为：B。【分析】定理有逆定理，则定理的逆命题必须是正确的，对于同角的余角相等，其逆命题是，如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，显然是假命题，故A不符合题意；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题是到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上，是真命题，故B符合题意；全等三角形的对应角相等，其逆命题是如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，显然是假命题，故C不符合题意 ；对顶角相等，的逆命题是相等得角是对顶角，也是个假命题，从而得出D不符合题意。4.【答案】B 【解析】 ：∵苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，∴设苹果为9x颗，芭乐7x颗，铆钉6x颗（x是正整数），∵小柔榨果汁时没有使用柳丁，∴设小柔榨完果汁后，苹果a颗，芭乐b颗，∵小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，∴，∴a=9x，b= x，∴苹果的用量为9x﹣a=9x﹣9x=0，芭乐的用量为7x﹣b=7x﹣ x= x＞0，∴她榨果汁时，只用了芭乐，故答案为：B． 【分析】根据榨果汁前的三种水果的棵数比可将三种水果的棵数用含x的代数是表示，再根据榨果汁后的比值表示出各种水果的用量即可判断榨果汁时另外两种水果的使用情形。5.【答案】C 【解析】 ：①两点之间线段最短，说法正确，不是假命题； ②到角的两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确，不是假命题； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误，是假命题； ④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原来的说法错误，是假命题； ⑤如图，连接AC、BD． ∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴ =，∴PA•PB=PC•PD，故若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD的说法正确，不是假命题． 故选：C． 【分析】根据线段的性质公理判断①； 根据角平分线的性质判断②； 根据垂线的性质、平行公理的推论判断③④； 连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论．依此判断⑤． 6.【答案】A 【解析】 ：∵当b＜0时，如果 ＞1，那么a＜b，∴①错误； ∵若a+b=0，则|a|=|b|正确，但是若|a|=|b|，则a+b=0错误，∴②错误； ∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确； ∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误； 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个，故选A． 【分析】根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数逐个判断即可． 7.【答案】A 【解析】 A、∵要了解灯泡的使用寿命破坏性极大，∴只能采用抽样调查的方法，A符合题意； B、∵4位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为102.5，B不符合题意； C、甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差不能确定，C不符合题意； D、某次抽奖活动中，中奖的概率为 故答案为：A． 【分析】A、根据抽样调查的定义来分析；B、根据中位数的定义来分析；C、根据方差的计算公式来分析；D、根据概率公式来分析； 8.【答案】C 【解析】 根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立可知可以作为条件使用的有①②③。【分析】利用反证法的证题思想，即可得到结论。9.【答案】B 【解析】 如果甲正确，则乙就正确；如果乙正确，则甲错误． 故答案为：B.【分析】用假设法解该题，即假设甲说法正确，结合甲的说法判断乙的说法是否正确.10.【答案】D 【解析】 A.直角为90度，故凡是直角都相等；A不符合题意； B.对顶角的定义：有一个共同的顶点并且一边是另一边的反向延长线.故对顶角相等；B不符合题意； C.对顶角相等，故不相等的角不是对顶角；C不符合题意； D.只有两直线平行时，同位角才相等；故同位角相等是假命题；D符合题意； 故答案为：D.【分析】A根据直角定义来分析；B根据对顶角定义来分析；C根据对顶角定义来分析；D根据同位角定义来分析； 11.【答案】A 【解析 ：要算出这个在大矩形的面积，就需要知道大矩形的长和宽.如图： 表示每抽奖50次可能有一次中奖，D不符合题意． 假设已知小矩形①的周长为4x，小矩形③周长为2y，小矩形④周长为2z； 则可得出①的边长以及③和④的邻边和，分别为x、y、z； 设小矩形②的周长为4a，则②的边长为a，可得③、④都有一边长为a 则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，z﹣a，故大矩形的边长分别为：y﹣a+x+a=y+x，z﹣a+x+a=z+x，故大矩形的面积为：（y+x）（z+x），当x，y，z都为已知数时，即可算出大正方形的面积，故n的最小值是3． 故选：A． 【分析】根据题意结合正方形的性质及正方形及矩形周长与各边长的关系来进行求解，进而得出符合题意的答案． 12.【答案】D 【解析】 ：∵AC=AB，∴∠C=∠B，∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠B=∠CDE，∴∠C=∠CDE，∴DE=CE；①正确； 连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEC=90°，又∠C=45°，∴AC= CE，∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠B=∠CDE，∠CAB=∠CED，∴△CDE∽△CBA，∴ =（）2=，8 ∴S1=S2，②正确，故选：D． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B，根据圆内接四边形的性质得到∠B=∠CDE，根据等腰三角形的判定判断①； 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断②． 二、填空题 13.【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等 【解析】 ：题设为：对顶角，结论为：相等，故写成“如果 那么 ”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 【分析】根据命题的构成可知题设为：对顶角，结论为：相等，所以用“如果 „ 那么 „ ”的形式可表示为：如果两个角是对顶角，那么它们相等。14.【答案】假 【解析】 原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题.【分析】首先将原命题改写成如果那么的形式，然后根据原命题与逆用的关系，将原命题的题设和结论交换位置得到其逆命题：面积相等的两个三角形为全等三角形；再根据已有知识判断此命题显然是假命题。15.【答案】② 【解析】 ：①对顶角相等是真命题；②同旁内角互补是假命题；③全等三角形的对应角相等是真命题；④两直线平行，同位角相等是真命题；故假命题有②，故答案为：②． 【分析】要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 16.【答案】若a=b则a=b.【解析】 原命题的逆命题为：若a=b则a=b.故答案为：若a2=b2，则a=b.【分析】一个命题一般包括题设和结论两部分，用若领起的部分是题设，用则领起的部分是结论，求一个命题的逆命题，只需要将原命题的题设和结论交换位置即可。17.【答案】两个锐角的度数分别为20°，30° 【解析】 ：若两个锐角的度数分别为20°，30° 则这两个角的和为50°，50°的角是锐角 故答案为：两个锐角的度数分别为20°，30°（答案不唯一）【分析】根据题意写出两个锐角的和是直角或锐角即可。18.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是直角。 22，22，9 【解析】 ：∵原命题是：如果两个角都是直角,那么这两个角相等 ∴它的逆命题是;如果两个角相等，那么这两个角是直角。【分析】将原命题的题设和结论互换，再写成如果19.【答案】②③ 【解析】 ：①把 代入，得，如果a=2，那么b=1，a+b=3；，那么的形式即可。 如果a=﹣2，那么b=﹣7，a+b=﹣9． 故命题①是假命题； ②y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故命题②是真命题； ③最小角等于50°的三角形，最大角不大于80°，一定是锐角三角形，故命题③是真命题． 所以正确命题的序号为②③． 故答案为②③． 【分析】①根据方程组的解的定义，把 代入，即可判断；②利用配方法把函数y=﹣2x2+4x+1化为顶点式，即可判断；③根据三角形内角和定理以及锐角三角形的定义即可判断． 20.【答案】③①② 【解析】 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。 三、解答题 21.【答案】解：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，理由：∵∠B=∠E，∴AB∥DE． 【解析】【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论。22.【答案】（1）解：等角的余角相等，正确，是真命题（2）解：平行线的同旁内角的平分线互相垂直，正确，是真命题 （3）解：和为180°的两个角叫做邻补角，错误，是假命题，如两个不同书本上的两个和为180°的角 【解析】【分析】（1）根据余角的定义，知如果两个角相等，那么它们的余角一定相等 ； （2）根据平行线的性质二直线平行，同旁内角互补及角平分线的定义，三角形的内角和即可作出判断；（3）和为180°的两个角叫做补角，邻补角应该还满足有公共顶点，及一条公共边，另一条边互为反向延长线。23.【答案】（1）CD；平行（2）证明:如图,连接BD.10 在△ABD和△CDB中, ∵AB=CD,AD=CB,BD=DB, ∴△ABD≌△CDB.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∴AB∥CD,AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形 （3）平行四边形的两组对边分别相等 【解析】【解答】（1）补全已知和求证在四边形ABCD中,BC=AD,AB=CD，求证:四边形ABCD是平行四边形。故答案为：CD；平行。【分析】（1）由平行四边形的判定定理容易得出结果。 （2）连接AC，由SSS证明△ABC≌CDA，得出对应角相等∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，证出AB∥DC，BC∥AD，根据平行四边形的判定定理即可得出结论。 （3）根据命题的逆命题的定义得出平行四边形的两组对边分别相等。24.【答案】（1）解：AC∥BE；（2）解：∠1=∠ABE或∠1=∠DBE（3）解：是真命题，理由如下： ∵BE是△ABC的外角平分线，∴∠ABE=∠DBE，又∵∠ABD是三角形ABC的外角，∴∠ABD=∠1+∠2，即∠ABE+∠DBE=∠1+∠2，又∵∠ABE=∠DBE，∠1=∠2，∴∠ABE=∠1，∴AC∥BE． 【解析】【分析】①②要使BE是△ABC的外角平分线，结合三角形的外角的性质∠ABD=∠1+∠2，∠ABE=∠DBE，∠1=∠2，即证明∠ABE=∠1=∠DBE=∠2，进一步可得BE∥AC;③根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可证明。 本题综合运用了角平分线定义、平行线的性质和三角形的外角的性质。 【中考数学】证明题：精选真题专项打破冲刺提分60题 （含答案解析） 一、解 答 题（共60小题） 1．（2015•遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延伸线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积． 2．（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF． （1）如图1，连接BD，AF，则BD AF（填“＞”、“＜”或“=”）； （2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF． 3．（2015•镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延伸OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点． （1）求证：△BAE≌△BCF； （2）若∠ABC=50°，则当∠EBA= °时，四边形BFDE是正方形． 4．（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG． （1）求证：四边形DEFG为菱形； （2）若CD=8，CF=4，求的值． 5．（2015•玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延伸线于点C，E为的中点，连接DE，EB． （1）求证：四边形BCDE是平行四边形； （2）已知图中暗影部分面积为6π，求⊙O的半径r． 6．（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E点，使DE=AB． （1）求证：∠ABC=∠EDC； （2）求证：△ABC≌△EDC． 7．（2015•营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若PD=，AC=8，求图中暗影部分的面积； （3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长． 8．（2015•徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：四边形BFCE是平行四边形； （2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE= 时，四边形BFCE是菱形． 9．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延伸与AD的延伸线相交于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积． 10．（2015•湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）求证：四边形BFDE为矩形． 11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 12．（2015•咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形． （2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长． 13．（2015•梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H． （1）求证：HF=AP； （2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长． 14．（2015•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E． （1）求证：BE=CE； （2）若BD=2，BE=3，求AC的长． 15．（2015•铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延伸交BC的延伸线于点E，EF=FD． 求证：AD=CE． 16．（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等． 17．（2015•铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上． （1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长． 18．（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证： （1）AC•PD=AP•BC； （2）PE=PD． 19．（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证： （1）DF=AE； （2）DF⊥AC． 20．（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO． （1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长． 21．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延伸线于点E． （1）求证：BD+2DE=BM． （2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG= ． 22．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延伸线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）． 23．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延伸线上，且OE=OB，连接DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE． 24．（2015•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2． 求证：四边形ABCD是矩形． 25．（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF． （1）当AB=2时，求△GEC的面积； （2）求证：AE=EF． 26．（2015•青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形． 27．（2015•钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接OC，如果OC恰好弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长． 28．（2015•黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点． （1）求证：PN与⊙O相切； （2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长． 29．（2015•潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延伸线交于点M，∠COB=∠APB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长． 30．（2015•盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延伸线交于点F，且∠F=∠ABC． （1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径； （2）求证：直线BF是⊙O的切线； （3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延伸线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论． 31．（2015•内江）如图，将▱ABCD的边AB延伸至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O． （1）求证：△ABD≌△BEC； （2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 32．（2015•南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD． （1）求证：△AED≌△CFB； （2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF． 33．（2015•南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延伸线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD． （1）求证：∠BAD=∠BDC； （2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（到0.01） 34．（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延伸线与AD的延伸线交于点E，且DC=DE． （1）求证：∠A=∠AEB； （2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形． 35．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 36．（2015•南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的地位，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的外形为 A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 （2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的地位，拼成四边形AFF′D． ①求证：四边形AFF′D是菱形． ②求四边形AFF′D的两条对角线的长． 37．（2015•梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图： ①以A为圆心，AB长为半径画弧； ②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D； ③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD． （1）求证：△ABC≌△ADC； （2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长． 38．（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC． （1）求证：AE=DC； （2）已知DC=，求BE的长． 39．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE． （1）求证：AB=AC； （2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH． 40．（2015•辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延伸线于点F． （1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若AC=10，cosA=，求CG的长． 41．（2015•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E． （1）求证；∠EDB=∠EBD； （2）判断AF与DB能否平行，并阐明理由． 42．（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F． （1）判断四边形ACGD的外形，并阐明理由． （2）求证：BE=CD，BE⊥CD． 43．（2015•酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延伸线与BC的延伸线交于点F，连结CE，DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形； ②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形． （直接写出答案，不需求阐明理由） 44．（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延伸线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH•EA； （3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长． 45．（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．经过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高． 类比扇形，我们探求扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其运用． （1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明； （2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积，面积是多少？ 46．（2015•黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′． （1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′； （2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ能否成立？请阐明理由． 47．（2015•黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延伸线于点P． （1）求证：∠BCP=∠BAN （2）求证：=． 48．（2015•湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE=CF； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 49．（2015•葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延伸线于点E，与⊙O相交于G、F两点． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？ 50．（2015•呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论． 51．（2015•呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延伸线交直线l于点C． （1）求证：AB=AC； （2）若PC=2，求⊙O的半径． 52．（2015•贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）． 53．（2015•贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8． （1）求证：AF=EF； （2）求证：BF平分∠ABD． 54．（2015•河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延伸BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO． （1）求证：△CDP≌△POB； （2）填空： ①若AB=4，则四边形AOPD的面积为 ； ②连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形． 55．（2015•桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点． （1）求证：四边形EBFD为平行四边形； （2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM． 56．（2015•贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延伸线相交于点M，连接AC，CM． （1）若AB=4，求的长；（结果保留π） （2）求证：四边形ABMC是菱形． 57．（2015•甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H． （1）求证：CF=CH； （2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论． 58．（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延伸EF交边BC于点G，连接AG． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求BG的长． 59．（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD． （1）证明：AB=CD； （2）证明：DP•BD=AD•BC； （2）证明：BD2=AB2+AD•BC． 60．（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延伸线交于点D，DE⊥PO交PO延伸线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB． （1）求证：PB是的切线． （2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径． 2015年全国中考数学证明题60例 参考答案与试题解析 一、解 答 题（共60小题） 1．（2015•遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延伸线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积． 考点： 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据AAS证△AFE≌△DBE； （2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论； （3）由直角三角形ABC与菱形有相反的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论． 解答： （1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵DB=DC，∴AF=CD． ∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形； （3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10． 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的运用，菱形的面积计算，次要考查先生的推理能力． 2．（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF． （1）如图1，连接BD，AF，则BD = AF（填“＞”、“＜”或“=”）； （2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案； （2）根据类似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案． 解答： （1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB． 由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB． 在△ABF和△DFB中，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF； （2）证明：如图： MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF． 在△BMH和△FNG中，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，类似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 3．（2015•镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延伸OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点． （1）求证：△BAE≌△BCF； （2）若∠ABC=50°，则当∠EBA= 20 °时，四边形BFDE是正方形． 考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又由于BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF； （2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只需∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°． 解答： （1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE与△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）； （2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，∴只需∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°． 故答案为：20． 点评： 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF． 4．（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG． （1）求证：四边形DEFG为菱形； （2）若CD=8，CF=4，求的值． 考点： 翻折变换（折叠成绩）；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形； （2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值． 解答： （1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形； （2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=． 点评： 本题次要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键． 5．（2015•玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延伸线于点C，E为的中点，连接DE，EB． （1）求证：四边形BCDE是平行四边形； （2）已知图中暗影部分面积为6π，求⊙O的半径r． 考点： 切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由∠BOD=60°E为的中点，得到，于是得到DE∥BC，根据CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形； （2）连接OE，由（1）知，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论． 解答： 解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E为的中点，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形； （2）连接OE，由（1）知，∴∠BOE=120°，∵暗影部分面积为6π，∴=6π，∴r=6． 点评： 本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明是解题的关键． 6．（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E点，使DE=AB． （1）求证：∠ABC=∠EDC； （2）求证：△ABC≌△EDC． 考点： 全等三角形的判定与性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE； （2）根据“边角边”证明即可． 解答： （1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS）． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点． 7．（2015•营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若PD=，AC=8，求图中暗影部分的面积； （3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长． 考点： 切线的判定；扇形面积的计算．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论； （2）证明△ADP∽△PDA，得到成比例线段求出BC的长，根据S阴=S⊙O﹣S△ABC求出答案； （3）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案． 解答： （1）证明：如图1，连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切线； （2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD•DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD为△的中位线，∴BC=6，OD=6，AB=10． ∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24； （3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵点E是的中点，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB•cos45°=5，∴EM==4，则CE=CM+EM=7． 点评： 本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和类似三角形的判定和性质，灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键． 8．（2015•徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：四边形BFCE是平行四边形； （2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE= 4 时，四边形BFCE是菱形． 考点： 平行四边形的判定；菱形的判定．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形； （2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果． 解答： （1）证明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF ∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形； （2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴当BE=4 时，四边形BFCE是菱形，故答案为：4． 点评： 此题考查了类似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，留意数形思想的运用，留意掌握辅助线的作法． 9．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延伸与AD的延伸线相交于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积． 考点： 平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾． 解答： （1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC与△FED中，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是边CD的中点，∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形； （2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，所以，四边形BDFC的面积=3×2=6； ②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四边形BDFC的面积=3×=3； ③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立； 综上所述，四边形BDFC的面积是6或3． 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论． 10．（2015•湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）求证：四边形BFDE为矩形． 考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值； （2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值． 解答： 证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS）； （2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形． 点评： 此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，纯熟掌握矩形的判定方法是解本题的关键． 11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 考点： 根的判别式；解一元二次方程-公式法．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 解答： （1）证明：△=（m+2）2﹣8m =m2﹣4m+4 =（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根； （2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1． 点评： 本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的运用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键． 12．（2015•咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形． （2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长． 考点： 切线的性质；菱形的判定与性质；类似三角形的判定与性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形； （2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC•AF，进而求出AD． 解答： （1）证明：如图1，连接OD、OE、ED． ∵BC与⊙O相切于一点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE=AO=0D，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AODE是菱形． （2）解：设⊙O的半径为r． ∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC． ∴，即10r=6（10﹣r）． 解得r=，∴⊙O的半径为． 如图2，连接OD、DF． ∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC•AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3． 点评： 本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及类似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．纯熟掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键． 13．（2015•梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H． （1）求证：HF=AP； （2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长． 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论； （2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论． 解答： （1）证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°． ∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM． 在Rt△APB与Rt△HFE中，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP； （2）解：由勾股定理得，BP===4． ∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2×=． 由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=． 点评： 本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键． 14．（2015•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E． （1）求证：BE=CE； （2）若BD=2，BE=3，求AC的长． 考点： 类似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE； （2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用类似比可计算出AB的长，从而得到AC的长． 解答： （1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE； （2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9． 点评： 本题考查了类似三角形的判定与性质：在判定两个三角形类似时，应留意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻觅类似三角形的普通方法是经过作平行线构造类似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理． 15．（2015•铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延伸交BC的延伸线于点E，EF=FD． 求证：AD=CE． 考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： 作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论． 解答： 证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示： 则∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等边三角形，∴AD=GD，∴AD=CE． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；纯熟掌握等边三角形的判定与性质，并能进行推理论证是处理成绩的关键． 16．（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等． 考点： 全等三角形的判定．版权一切 专题： 证明题． 分析： 根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论． 解答： 解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）． 点评： 本题次要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 17．（2015•铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上． （1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长． 考点： 矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）首先根据矩形的性质可得AB平行且等于CD，然后根据DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形； （2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长． 解答： 解；（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形； （2）∵四边形AFCE是菱形，∴AE=CE，设DE=x，则AE=，CE=8﹣x，则=8﹣x，解得：x=，则菱形的边长为：8﹣=，周长为：4×=25，故菱形AFCE的周长为25． 点评： 本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质． 18．（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证： （1）AC•PD=AP•BC； （2）PE=PD． 考点： 切线的性质；类似三角形的判定与性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判断出=，即可判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可． （2）首先根据△AEP∽△ABC，判断出；然后根据PE=PD，可得，据此判断出AC•PD=AP•BC即可． 解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴=…①，又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴===…②，由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD． （2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴，∵PE=PD，∴，∴AC•PD=AP•BC． 点评： （1）此题次要考查了切线的性质和运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于切点的半径．②圆心且垂直于切线的直线必切点．③切点且垂直于切线的直线必圆心． （2）此题还考查了类似三角形的判定和性质的运用，要纯熟掌握． 19．（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证： （1）DF=AE； （2）DF⊥AC． 考点： 全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）延伸DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论； （2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC． 解答： 证明：（1）延伸DE交AB于点G，连接AD． ∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC． ∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB． ∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD． ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°． 又BF=BC，∴BF=DE． ∴在△AED与△DFB中，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE； （2）设AC与FD交于点O． ∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG． ∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DOE+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC． 点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 20．（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO． （1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长． 考点： 切线的判定与性质；弧长的计算；作图—基本作图．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，根据角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线； （2）首先证明△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可． 解答： 解：（1）作图如右图，连接OA，过O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切线； （2）∵PA、PC是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°= ∴OA= ∴==． 点评： 本题考查了尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及弧长的计算，求出圆心角和半径长是处理成绩的关键． 21．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延伸线于点E． （1）求证：BD+2DE=BM． （2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG= ． 考点： 类似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）过点M作MP⊥BC交BD的延伸线于点P，首先证明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到结论； （2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的长． 解答： （1）证明：过点M作MP⊥BC交BD的延伸线于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形 ∴BP=BM ∴BD+2DE=BM． （2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴ 设正方形边长为a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2 ∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=． 故答案为：． 点评： 本题次要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、类似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形类似求出正方形的边长是处理第2小题的关键． 22．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延伸线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）． 考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据题意得出BD=CD=BC，由SSS证明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可； （2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根据弧长公式求出、的长度，即可得出结果． 解答： （1）证明：根据题意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）． ∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC； （2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC为等边三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的长度=的长度==； ∴、的长度之和为+=． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算；纯熟掌握全等三角形和等边三角形的判定与性质，并能进行推理计算是处理成绩的关键． 23．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延伸线上，且OE=OB，连接DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE． 考点： 类似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论； （2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论． 解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE； （2）∵OE⊥CD ∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE． 点评： 本题考查了类似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键． 24．（2015•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2． 求证：四边形ABCD是矩形． 考点： 矩形的判定；函数图象上点的坐标特征．版权一切 专题： 证明题． 分析： 首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形． 解答： 证明：作EF⊥AB于点F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相反，∴AB∥CD∥x轴，∴m﹣2=4，m=6，将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4，△AEB的面积是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形． 点评： 本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大． 25．（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF． （1）当AB=2时，求△GEC的面积； （2）求证：AE=EF． 考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）首先根据△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，从而求得GC=即可求得S△GEC； （2）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF； 解答： 解：（1）∵AB=BC=2，点E为BC的中点，∴BE=EC=1，∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB：EC=BE：GC，即：2：1=1：GC，解得：GC=，∴S△GEC=•EC•CG=×1×=； （2）证明：取AB的中点H，连接EH； ∵ABCD是正方形，AE⊥EF； ∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90° ∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF； 点评： 此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解（2）题的关键是取AB的中点H，得出AH=EC，再根据全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF． 26．（2015•青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形． 考点： 菱形的判定．版权一切 专题： 证明题． 分析： 首先根据平行四边形的判定方法，判断出四边形ADCE是平行四边形；然后判断出AE=CE，即可判断出四边形ADCE是菱形，据此解答即可． 解答： 证明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形． 点评： 此题次要考查了菱形的判定和性质的运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 27．（2015•钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接OC，如果OC恰好弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长． 考点： 切线的判定．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由AB为⊙O的直径，可得∠D=90°，继而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，则可证得BC是⊙O的切线； （2）根据点O是AB的中点，点E时BD的中点可知OE是△ABD的中位线，故AD∥OE，则∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出结论． 解答： （1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线； （2）∵点O是AB的中点，点E时BD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．、∵由（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC=，∴tan∠ABD===，解得BD=6，∴AB===3． 点评： 本题考查的是切线的判定，熟知半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键． 28．（2015•黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点． （1）求证：PN与⊙O相切； （2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长． 考点： 切线的判定与性质；弧长的计算．版权一切 专题： 计算题；证明题． 分析： （1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，利用AAS得到三角形PEO与三角形PFO全等，利用全等三角形对应边相等得到=OE，即可确定出PN与圆O相切； （2）在直角三角形POE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，∠EOB度数，利用弧长公式即可求出劣弧的长． 解答： （1）证明：连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，∵PM与圆O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，则PN与圆O相切； （2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，则的长l==． 点评： 此题考查了切线的判定与性质，弧长公式，纯熟掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 29．（2015•潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延伸线交于点M，∠COB=∠APB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长． 考点： 切线的判定与性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据切线的性质，可得∠MAP=90°，根据直角三角形的性质，可得∠P+M=90°，根据余角的性质，可得∠M+∠MOB=90°，根据直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根据切线的判定，可得答案； （2）根据类似三角形的判定与性质，可得==，根据解方程组，可得答案． 解答： （1）证明：∵PA切⊙O于点A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°． ∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB直径的外端点，∴PB是⊙O的切线； （2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴==，= ①，= ② 联立①②得，解得，当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2． 点评： 本题考查了切线的判定与性质，（1）利用了切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质；（2）利用了类似三角形的判定与性质，解方程组． 30．（2015•盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延伸线交于点F，且∠F=∠ABC． （1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径； （2）求证：直线BF是⊙O的切线； （3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延伸线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论． 考点： 圆的综合题．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据垂径定理求得PC，连接OC，根据勾股定理求得即可； （2）求得△PBC∽△BFA，根据类似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可证得结论； （3）经过证得AE=BF，AE∥BF，从而证得四边形AEBF是平行四边形． 解答： （1）解：CD⊥AB，∴PC=PD=CD=，连接OC，设⊙O的半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r，在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=． （2）证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直线BF是⊙O的切线； （3）四边形AEBF是平行四边形； 理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P，∴当点P与点O重合时，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O的切线，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位线，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC． ∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位线，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四边形AEBF是平行四边形． 点评： 本题考查了切线的判定，勾股定理的运用，三角形类似的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定等，纯熟掌握性质定理是解题的关键． 31．（2015•内江）如图，将▱ABCD的边AB延伸至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O． （1）求证：△ABD≌△BEC； （2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可； （2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC=ED． 解答： 证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD． 又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD=EC． ∴在△ABD与△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SSS）； （2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB． ∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD． 又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形． 点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大． 32．（2015•南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD． （1）求证：△AED≌△CFB； （2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF． 考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证； （2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证． 解答： 证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB（ASA）； （2）作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四边形EBFD为平行四边形，∴FD=EB，∴DA=DF． 点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，纯熟掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 33．（2015•南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延伸线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD． （1）求证：∠BAD=∠BDC； （2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（到0.01） 考点： 切线的性质；解直角三角形．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可； （2）根据三角函数进行计算即可． 解答： 证明：（1）连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC； （2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半径为． 点评： 此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行分析． 34．（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延伸线与AD的延伸线交于点E，且DC=DE． （1）求证：∠A=∠AEB； （2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形． 考点： 圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB； （2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形． 解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB； （2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形． 点评： 此题次要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补． 35．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论． 解答： 证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B 在△AEF与△CEB中，∴△AEF≌△CEB（AAS）； （2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD． 点评： 本题次要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． 36．（2015•南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的地位，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的外形为 C A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 （2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的地位，拼成四边形AFF′D． ①求证：四边形AFF′D是菱形． ②求四边形AFF′D的两条对角线的长． 考点： 图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定；平移的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据矩形的判定，可得答案； （2）①根据菱形的判定，可得答案； ②根据勾股定理，可得答案． 解答： 解：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的地位，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的外形为矩形，故选：C； （2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴AE=3． 如图2：，∵△AEF，将它平移至△DE′F′，∴AF∥DF′，AF=DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形． 在Rt△AEF中，由勾股定理，得 AF===5，∴AF=AD=5，∴四边形AFF′D是菱形； ②连接AF′，DF，如图3： 在Rt△DE′F中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF===，在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′===3． 点评： 本题考查了图形的剪拼，利用了矩形的判定，菱形的判定，勾股定理． 37．（2015•梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图： ①以A为圆心，AB长为半径画弧； ②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D； ③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD． （1）求证：△ABC≌△ADC； （2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长． 考点： 全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）利用SSS定理证得结论； （2）设BE=x，利用角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长． 解答： （1）证明：在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）； （2）解：设BE=x，∵∠BAC=30°，∴∠ABE=60°，∴AE=tan60°•x=x，∵△ABC≌△ADC，∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，∵∠BCA=45°，∴∠BCA=∠DCA=45°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CE=BE=x，∴x+x=4，∴x=2﹣2，∴BE=2﹣2． 点评： 本题次要考查了全等三角形的判定及性质，角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键． 38．（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC． （1）求证：AE=DC； （2）已知DC=，求BE的长． 考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF≌△DCE，可证得AE=DC； （2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长． 解答： （1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=DC； （2）解：由（1）得AE=DC，∴AE=DC=，在矩形ABCD中，AB=CD=，在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，∴BE=2． 点评： 本题次要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，在（1）中证得三角形全等是解题的关键，在（2）中留意勾股定理的运用． 39．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE． （1）求证：AB=AC； （2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH． 考点： 切线的性质；平行四边形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据弦切角定理和圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案； （2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案． 解答： 证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC； （2）作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH． 点评： 本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，留意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用． 40．（2015•辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延伸线于点F． （1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若AC=10，cosA=，求CG的长． 考点： 切线的判定；类似三角形的判定与性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）首先判断出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根据DG⊥AC，可得∠DGC=90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判断出直线FG是⊙O的切线． （2）首先根据类似三角形判定的方法，判断出△ODF∽△AGF，再根据cosA=，可得cos∠DOF=；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少． 解答： （1）证明：如图1，连接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴∠ODG=∠DGC，∵DG⊥AC，∴∠DGC=90°，∴∠ODG=90°，∴OD⊥FG，∵OD是⊙O的半径，∴直线FG是⊙O的切线． （2）解：如图2，∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径，∴OA=OD=10÷2=5，由（1），可得 OD⊥FG，OD∥AC，∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，在△ODF和△AGF中，∴△ODF∽△AGF，∴，∵cosA=，∴cos∠DOF=，∴=，∴AF=AO+OF=5，∴，解得AG=7，∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，即CG的长是3． 点评： （1）此题次要考查了切线的判定和性质的运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确切线的判定定理：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）此题还考查了三角形类似的判定和性质的运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形类似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形类似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形类似． 41．（2015•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E． （1）求证；∠EDB=∠EBD； （2）判断AF与DB能否平行，并阐明理由． 考点： 翻折变换（折叠成绩）；平行四边形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由折叠和平行线的性质易证∠EDB=∠EBD； （2）AF∥DB；首先证明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根据三角形内角和与等式性质可证明∠BDE=∠AFE，所以AF∥BD． 解答： 解：（1）由折叠可知：∠CDB=∠EDB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDB=∠EBD，∴∠EDB=∠EBD； （2）AF∥DB； ∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，由折叠可知：DC=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，∴DF=AB，∴AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，∴2∠EDB+∠DEB=180°，同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°，∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA，∴AF∥DB． 点评： 本题次要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合运用，运用三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是处理成绩的关键． 42．（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F． （1）判断四边形ACGD的外形，并阐明理由． （2）求证：BE=CD，BE⊥CD． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，由于G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形； （2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论． 解答： （1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45° ∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形； （2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD； ∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD． 点评： 本题次要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键． 43．（2015•酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延伸线与BC的延伸线交于点F，连结CE，DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）①当AE= 3.5 cm时，四边形CEDF是矩形； ②当AE= 2 cm时，四边形CEDF是菱形． （直接写出答案，不需求阐明理由） 考点： 平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．版权一切 专题： 证明题；动点型． 分析： （1）证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可； （2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定推出即可； ②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE，根据菱形的判定推出即可． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG=∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG=DG，在△FCG和△EDG中，∴△FCG≌△EDG（ASA） ∴FG=EG，∵CG=DG，∴四边形CEDF是平行四边形； （2）①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC中，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5； ②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD=5，AE=2，∴DE=3，∵CD=3，∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：2． 点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的运用，留意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 44．（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延伸线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH•EA； （3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长． 考点： 圆的综合题．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线； （2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论； （3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可． 解答： （1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线； （2）证明：连接AC，如图1所示： ∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA； （3）解：连接BE，如图2所示： ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===． 点评： 本题是圆的综合标题，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、类似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需求经过作辅助线证明三角形类似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果． 45．（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．经过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高． 类比扇形，我们探求扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其运用． （1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明； （2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积，面积是多少？ 考点： 圆的综合题．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据扇形公式之间的关系，已知条件推出结果即可； （2）求出l1+l2=40﹣2h，代入（1）的结果，化成顶点式，即可得出答案． 解答： （1）S扇环=（l1﹣l2）h，证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=，得R=，r= 所以图中扇环的面积S=×l1×R﹣×l2×r =l1•﹣l2• =（l12﹣l22） =（l1+l2）（l1﹣l2） =••（R﹣r）（l1﹣l2） =（l1﹣l2）（R﹣r） =（l1+l2）h，故猜想正确． （2）解：根据题意得：l1+l2=40﹣2h，则S扇环=（l1+l2）h =（40﹣2h）h =﹣h2+20h =﹣（h﹣10）2+100 ∵﹣1＜0，∴开口向下，有值，当h=10时，值是100，即线段AD的长h为10m时，花园的面积，面积是100m2． 点评： 本题次要考查了扇形面积公式，弧长公式，二次函数的顶点式的运用，能猜想出正确结论是解此题的关键，有一定的难度． 46．（2015•黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′． （1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′； （2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ能否成立？请阐明理由． 考点： 类似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可； ②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论； （2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ． 解答： （1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′； ②延伸AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示： ∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′； （2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示： ∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ． 点评： 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、类似三角形的判定与性质；纯熟掌握旋转的性质，并能进行推理论证是处理成绩的关键． 47．（2015•黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延伸线于点P． （1）求证：∠BCP=∠BAN （2）求证：=． 考点： 切线的性质；类似三角形的判定与性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论． （2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论． 解答： （1）证明：∵AC为⊙O直径，∴∠ANC=90°，∴∠NAC+∠ACN=90°，∵AB=AC，∴∠BAN=∠CAN，∵PC是⊙O的切线，∴∠ACP=90°，∴∠ACN+∠PCB=90°，∴∠BCP=∠CAN，∴∠BCP=∠BAN； （2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，∴∠PBC=∠AMN，由（1）知∠BCP=∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴． 点评： 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，类似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是纯熟掌握定理． 48．（2015•湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE=CF； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 考点： 旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．版权一切 专题： 计算题；证明题． 分析： （1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD； （2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解． 解答： （1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF； （2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1． 点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质． 49．（2015•葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延伸线于点E，与⊙O相交于G、F两点． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？ 考点： 切线的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD即可； （2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，则四边形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解． 解答： 解：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M． ∵⊙O与AC相切于点D． ∴OD⊥AC，∴∠ADO=∠AMO=90°． ∵△ABC是等边三角形，∴∠DAO=∠NAO，∴OM=OD． ∴AB与⊙O相切； （2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF． ∵O是BC的中点，∴OB=2． 在直角△OBM中，∠MBO=60du6，∴OM=OB•sin60°=，BM=OB•cos60°=1． ∵BE⊥AB，∴四边形OMBN是矩形． ∴ON=BM=1，BN=OM=． ∵OF=OM=，由勾股定理得NF=． ∴BF=BN+NF=+． 点评： 本题考查了切线的性质与判定，以及等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是处理本题的关键． 50．（2015•呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论． 考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF； （2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴AE=AB，CF=CD，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下： 解：由（1）可得BE=DF，又∵AB∥CD，∴BE∥DF，BE=DF，∴四边形BEDF是平行四边形，连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF∥AE，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∴EF∥AD，∵∠ADB是直角，∴AD⊥BD，∴EF⊥BD，又∵四边形BFDE是平行四边形，∴四边形BFDE是菱形． 点评： 本题次要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中点是解题的关键． 51．（2015•呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延伸线交直线l于点C． （1）求证：AB=AC； （2）若PC=2，求⊙O的半径． 考点： 切线的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）延伸AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，根据AB=AC推出52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出=，代入求出即可． 解答： 证明：（1）如图1，连接OB． ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC； （2）如图2，延伸AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=． ∴⊙O的半径为3，线段PB的长为． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和判定，类似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的地位关系等知识点的运用，次要培养先生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度． 52．（2015•贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）． 考点： 切线的判定；类似三角形的判定与性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）连接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠，推出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线判定推出即可； （2）首先求得线段AO的长，然后证△AOE∽△ACD，得出比例式，代入求出即可． 解答： （1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∴∠ADC=∠OCF，∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，∴∠OCF=90°，∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线． （2）∵OE⊥AC，∴AE=AC=cm，在Rt△AOE中，AO===4cm，由（1）得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，∴△AOE∽△ACD，∴，即，∴DC=cm． 点评： 本题考查了类似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，平行线性质和判定，等腰三角形性质，切线的判定的运用，次要考查先生的推理能力． 53．（2015•贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8． （1）求证：AF=EF； （2）求证：BF平分∠ABD． 考点： 翻折变换（折叠成绩）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）先根据翻折变换的性质得出ED=CD，∠E=∠C，故ED=AB，∠E=∠A．由AAS定理得出△ABF≌△EDF，故可得出结论； （2）在Rt△BCD中根据sin∠CBD==可得出∠CBD=30°，∠EBD=∠CBD=30°，由直角三角形的性质可知∠ABF=90°﹣30°×2=30°，所以∠ABF=∠DBF，BF平分∠ABD． 解答： （1）证明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，∵△BED是△BCD翻折而成，∴ED=CD，∠E=∠C，∴ED=AB，∠E=∠A． 在△ABF与△EDF中，∵，∴△ABF≌△EDF（AAS），∴AF=EF； （2）在Rt△BCD中，∵DC=DE=4，DB=8，∴sin∠CBD==，∴∠CBD=30°，∴∠EBD=∠CBD=30°，∴∠ABF=90°﹣30°×2=30°，∴∠ABF=∠DBF，∴BF平分∠ABD． 点评： 本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 54．（2015•河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延伸BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO． （1）求证：△CDP≌△POB； （2）填空： ①若AB=4，则四边形AOPD的面积为 4 ； ②连接OD，当∠PBA的度数为 60° 时，四边形BPDO是菱形． 考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可证△CDP≌△POB； （2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有面积，依此即可求解； ②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解． 解答： （1）证明：∵PC=PB，D是AC的中点，∴DP∥AB，∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，∵BO=AB，∴DP=BO，在△CDP与△POB中，∴△CDP≌△POB（SAS）； （2）解：①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有面积，（4÷2）×（4÷2） =2×2 =4； ②如图： ∵DP∥AB，DP=BO，∴四边形BPDO是平行四边形，∵四边形BPDO是菱形，∴PB=BO，∵PO=BO，∴PB=BO=PO，∴△PBO是等边三角形，∴∠PBA的度数为60°． 故答案为：4；60°． 点评： 考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，解题的关键是SAS证明△CDP≌△POB． 55．（2015•桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点． （1）求证：四边形EBFD为平行四边形； （2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM． 考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案； （2）根据平行四边的性质：平行四边形的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判定，可得答案． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD． ∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形； （2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD． ∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN与△CDM中，∴△ABN≌△CDM （ASA）． 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，根据条件选择适当的判定方法是解题关键． 56．（2015•贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延伸线相交于点M，连接AC，CM． （1）若AB=4，求的长；（结果保留π） （2）求证：四边形ABMC是菱形． 考点： 切线的性质；菱形的判定；弧长的计算．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）连接OB，由E为OD中点，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，进而求出∠AOE与∠AOB的度数，设OA=x，利用勾股定理求出x的值，确定出圆的半径，利用弧长公式即可求出的长； （2）由问得到∠BAM=∠BMA，利用等角对等边得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM与三角形OBM全等，利用全等三角形对应边相等得到CM=BM，等量代换得到CM=AB，再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角相等，进而确定出CM与AB平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABMC为平行四边形，由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证． 解答： （1）解：∵OA=OB，E为AB的中点，∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，∵OE⊥AB，E为OD中点，∴OE=OD=OA，∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，设OA=x，则OE=x，AE=x，∵AB=4，∴AB=2AE=x=4，解得：x=4，则的长l==； （2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，∴∠BAM=∠BMA=30°，∴AB=BM，∵BM为圆O的切线，∴OB⊥BM，在△COM和△BOM中，∴△COM≌△BOM（SAS），∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，∴CM∥AB，∴四边形ABMC为菱形． 点评： 此题考查了切线的性质，菱形的判断，全等三角形的判定与性质，以及弧长公式，纯熟掌握切线的性质是解本题的关键． 57．（2015•甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H． （1）求证：CF=CH； （2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论． 考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）要证明CF=CH，可先证明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH； （2）根据△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形． 解答： （1）证明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°． 在△BCF和△ECH中，∴△BCF≌△ECH（ASA），∴CF=CH（全等三角形的对应边相等）； （2）解：四边形ACDM是菱形． 证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°． ∵∠E=45°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，又∵∠A=∠D=45°，∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形． 点评： 菱形的判别方法是阐明一个四边形为菱形的理论根据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需求根据已知条件来确定． 58．（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延伸EF交边BC于点G，连接AG． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求BG的长． 考点： 翻折变换（折叠成绩）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可； （2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可； 解答： 解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴△ABG≌△AFG（HL）； （2）∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，设BG=FG=x，则GC=6﹣x，∵E为CD的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，∴BG=2． 点评： 此题次要考查了勾股定理的综合运用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键． 59．（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD． （1）证明：AB=CD； （2）证明：DP•BD=AD•BC； （2）证明：BD2=AB2+AD•BC． 考点： 类似三角形的判定与性质；圆周角定理．版权一切 专题： 证明题． 分析： （1）利用平行线的性质圆周角定理得出=，进而得出答案； （2）首先得出△ADP∽△DBC，进而利用类似三角形的性质得出答案； （3）利用类似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，进而求出AB2=DB•PB，再利用（2）中所求得出答案． 解答： 证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴=，∴AB=BC； （2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°，∴∠BCD=∠APD，又∵∠ADB=∠CBD，∴△ADP∽△DBC，∴=，∴DP•BD=AD•BC； （3）∵∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA，∴△ABP∽△DBA，∴=，∴AB2=DB•PB，∴AB2+AD•BC=DB•PB+AD•BC ∵由（2）得：DP•BD=AD•BC，∴AB2+AD•BC=DB•PB+DP•BD=DB（PB+DP）=DB2，即BD2=AB2+AD•BC． 点评： 此题次要考查了类似三角形的判定与性质以及圆周角定理，纯熟运用类似三角形的判定与性质是解题关键． 60．（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延伸线交于点D，DE⊥PO交PO延伸线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB． （1）求证：PB是的切线． （2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径． 考点： 切线的判定与性质．版权一切 专题： 计算题；证明题． 分析： （1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB类似，利用类似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证； （2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． 解答： （1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线； （2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD==10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3． 点评： 此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，纯熟掌握切线的判定与性质是解本题的关键．第五篇：「中考数学」证明题：真题专项突破冲刺提分60题（含答案解析）
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