【中考数学】圆：精选真题专项打破冲刺提分60题
（含答案解析）
一、解
答
题（共60小题）
1．（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．
2．（2014•永州）如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延伸线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．
3．（2014•无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
4．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．
5．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延伸线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的地位关系，并阐明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
6．（2014•天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
7．（2014•绥化）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
8．（2014•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．
9．（2014•厦门）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．
10．（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延伸线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．
（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；
（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？
②求∠ODC的度数．
11．（2014•黔东北州）如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延伸线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的暗影部分的面积．（结果保留π）
12．（2014•南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
13．（2014•临沂）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．
14．（2014•聊城）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延伸线交于点P．连接PC并延伸与AB的延伸线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．
15．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延伸线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
16．（2014•凉山州）已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．
（1）求证：∠PCA=∠PBC；
（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．
17．（2014•凉山州）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B（1）、（2）变换的路径总长．
18．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延伸AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列成绩：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．
19．（2014•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
（1）求证：EB=EC；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的外形，并阐明理由．
20．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
21．（2014•哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延伸FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
22．（2014•福州）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延伸线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
23．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
24．（2014•滨州）如图，点D在⊙O的直径AB的延伸线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中暗影部分的面积．
25．（2014•北京）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延伸线于点D，E是OB的中点，CE的延伸线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长．
26．（2013•营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所的路线长．
27．（2013•乌鲁木齐）如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．
28．（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延伸BC至点D，使DC=CB，延伸DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．
29．（2013•深圳）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
30．（2013•邵阳）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．
31．（2013•厦门）（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：
郊县
人数/万
人均耕地面积/公顷
A
0.15
B
0.20
C
0.18
求甲市郊县一切人口的人均耕地面积（到0.01公顷）；
（2）先化简下式，再求值：，其中，；
（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延伸DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
32．（2013•黔东北州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
33．（2013•梅州）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延伸线于点F，设DA=2．
（1）求线段EC的长；
（2）求图中暗影部分的面积．
34．（2013•凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的地位关系；
（2）若直线l点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的地位关系．
35．（2013•巴中）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的地位关系．
36．（2012•岳阳）如图所示，在⊙O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中暗影部分面积．
37．（2012•宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作不断线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延伸线交于点E．
（1）求证：；
（2）若PQ=2，试求∠E度数．
38．（2012•武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．
39．（2012•无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都中止运动．设点P运动的工夫为ts．
（1）当P异于A、C时，请阐明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
40．（2012•台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的外形，并证明你的结论．
41．（2012•日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．
（Ⅰ）探求新知
如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
（1）求证：内切圆的半径r1=1；
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）结论运用
（1）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；
（2）如图③，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值．
42．（2012•泉州）已知：A、B、C三点不在同不断线上．
（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长；
ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=；
（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探求在整个滑动过程中，P、A两点间的距离能否保持不变？请阐明理由．
43．（2012•南昌）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；
②如图2，当折叠后的圆心为O时，求的长度；
③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；
②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探求四边形OMPN的外形，并证明你的结论．
44．（2012•荆州）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（暗影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）
45．（2012•呼伦贝尔）如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6，AB=6．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中暗影部分的面积．
46．（2012•桂林）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1⊙O2的圆心，依次连接A、O1、B、O2．
（1）求证：四边形AO1BO2是菱形；
（2）过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延伸线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE=2O2D；
（3）在（2）的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．
47．（2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．
（1）D为AB延伸线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；
（2）求EF•EC的值；
（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．
48．（2012•崇左）已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．
（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB地位关系；
（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．
49．（2012•崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C．
（1）求点D沿三条弧运动到点G所的路线长；
（2）判断直线GB与DF的地位关系，并阐明理由．
50．（2011•资阳）如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．
（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；
（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必阐明理由）．
51．（2011•宜昌）如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．
（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；
（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）
52．（2011•盘锦）如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm．
（1）风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）．
（2）在风车转动一周的过程中，求点A绝对于桌面的高度不超过20cm所的路径长（结果保留π）．
53．（2011•南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相反点和不同点．例如：
它们的一个相反点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．
它们的一个不同点：正五边形不是对称图形，正六边形是对称图形．
请你再写出它们的两个相反点和不同点：
相反点：
① ；
② ．
不同点：
① ；
② ．
54．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC挪动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上能否存在使△DOM与△ABC类似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请阐明理由；
（3）当点P沿直线AC挪动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中能否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请阐明理由．
55．（2011•绵阳）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切．
（1）求证：OB⊥OC；
（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．
56．（2014•贵港）如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，PA与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．
（1）求证：CD是小半圆M的切线；
（2）若AB=8，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），设PD=x，CD2=y．
①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当y=3时，求P，M两点之间的距离．
57．（2011•杭州）在平面上，七个边长为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图）．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形
（1）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；
（2）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于？请阐明理由．
58．（2011•东莞）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1
（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的地位关系；
（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A、B．求劣弧与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）
59．（2011•大庆）如图，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，延伸C0交斜边AB于点G．
（1）求⊙0的半径长；
（2）求线段DG的长．
60．（2014•河南）（1）成绩发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同不断线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 ．
（2）拓展探求
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同不断线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并阐明理由．
（3）处理成绩
如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
中考数学提分冲刺真题精析：圆
参考答案与试题解析
一、解
答
题（共60小题）
1．（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．
考点：
切线的性质．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC；
（2）利用△DAE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可．
解答：
（1）证明：连接OD，∵D是BC的中点，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；
（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，∴∠ADE=∠DCE
在△ADE和△CDE中，∴△CDE∽△DAE，∴，设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，∴，整理得：x2﹣3x+1=0，解得：x=，∴tan∠ACB=或．
（可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况）
点评：
本题次要考查了切线的性质的综合运用，解答本题的关键在于如何利用三角形类似求出线段DE与CE的比值．
2．（2014•永州）如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延伸线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．
考点：
切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）连结OC，根据垂径定理由AC⊥OB得AM=CM，于是可判断OB为线段AC的垂直平分线，所以BA=BC，然后利用“SSS”证明△OAB≌△OCB，得到∠OAB=∠OCB，由于∠OAB=90°，则∠OCB=90°，于是可根据切线的判定定理得BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△OAB中，根据勾股定理计算出OB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠ABO=30°，∠AOB=60°，在Rt△PBO中，由∠BPO=30°得到PB=OB=2；在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=1，根据勾股定理计算出PD=，然后利用正弦的定义求sin∠BPD的值．
解答：
（1）证明：连结OC，如图，∵AC⊥OB，∴AM=CM，∴OB为线段AC的垂直平分线，∴BA=BC，在△OAB和△OCB中，∴△OAB≌△OCB（SSS），∴∠OAB=∠OCB，∵OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∴∠OCB=90°，∴OC⊥BC，故BC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=，∴OB==2，∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，∵PB⊥OB，∴∠PBO=90°，∠BPO=30°，在Rt△PBO中，OB=2，∴PB=OB=2，在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=2﹣1=1，PB=2，∴PD==，∴sin∠BPD===．
点评：
本题考查了切线的判定定理：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、勾股定理和全等三角形的判定与性质．
3．（2014•无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
考点：
圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
解答：
解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC中，BC===．
∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．
点评：
本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
4．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．
考点：
切线的判定；全等三角形的判定与性质．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；
（2）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．
解答：
证明：（1）如图1，连接OE．
∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；
（2）如图2，连结DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．
在△CDE与△HFE中，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．
点评：
本题次要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
5．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延伸线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的地位关系，并阐明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
考点：
切线的判定与性质．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
解答：
解：（1）直线CD和⊙O的地位关系是相切，理由是：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的地位关系是相切；
（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3，在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90°，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，则（4+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，即BE=6．
点评：
本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的运用，标题比较典型，综合性比较强，难度适中．
6．（2014•天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
考点：
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理异样得到BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．
解答：
解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．
∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．
点评：
本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
7．（2014•绥化）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
考点：
圆周角定理；平行线的判定与性质；垂径定理；解直角三角形．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
（1）根据圆周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．
解答：
（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，∴∠D=∠BCD，∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴=，∴∠BPD=∠CAB，∴sin∠CAB=sin∠BPD=，即=，∵BC=3，∴AB=5，即⊙O的直径是5．
点评：
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，平行线的判定的运用，次要考查先生的推理能力．
8．（2014•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．
考点：
圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；
（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．
解答：
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；
（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO中，OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AE===4，在Rt△AED中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE，∴tan∠DBC=．
点评：
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，留意掌握数形思想的运用．
9．（2014•厦门）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．
考点：
垂径定理；勾股定理；圆周角定理．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；
（2）连结DO，延伸交圆O于F，连结CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧AB，则CF=AB．根据勾股定理即可求解．
解答：
解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；
（2）连结DO，延伸交圆O于F，连结CF、BF．
∵DF是直径，∴∠DCF=∠DBF=90°，∴FB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∴CF=AB．
根据勾股定理，得
CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，∴DF=，∴OD=，即⊙O的半径为．
点评：
此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理．学会作辅助线是解题的关键．
10．（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延伸线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．
（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；
（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？
②求∠ODC的度数．
考点：
直线与圆的地位关系；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连接OC，由于CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．
（2）连接OE，①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；
②利用等腰三角形及平行线的性质，可求得∠ODC的度数．
解答：
解：（1）如图①，连接OC，∵OC=OA，CD=OA，∴OC=CD，∴∠ODC=∠COD，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ODC=45°；
（2）如图②，连接OE．
∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AE∥OC，∴∠2=∠3．
设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．
∴∠AOE=∠OCD=180°﹣2x．
①AE=OD．理由如下：
在△AOE与△OCD中，∴△AOE≌△OCD（SAS），∴AE=OD．
②∠6=∠1+∠2=2x．
∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．
∵AE∥OC，∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°．
∴∠ODC=36°．
点评：
本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，作出辅助线是解题的关键．
11．（2014•黔东北州）如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延伸线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的暗影部分的面积．（结果保留π）
考点：
切线的判定；扇形面积的计算．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；
（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分别求出△ACO的面积和扇形COD的面积，即可得出答案．
解答：
（1）证明：连接OC，交BD于E，∵∠B=30°，∠B=∠COD，∴∠COD=60°，∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°，∴DE=BD=，∵sin∠COD=，∴OD=2，在Rt△ACO中，tan∠COA=，∴AC=2，∴S暗影=×2×2﹣=2﹣．
点评：
本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，标题比较好，难度适中．
12．（2014•南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
考点：
垂径定理；勾股定理；圆周角定理．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；
（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，直角三角形可以求得结果；
解答：
解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．
点评：
本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；
13．（2014•临沂）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．
考点：
切线的判定；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；圆周角定理．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；
（2）首先根据三角函数的性质，求得BD，DE，AE的长，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面积，继而求得答案．
解答：
（1）证明：连接OD，CD，∵BC为⊙O直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵D点在⊙O上，∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，∴CD=BC=2，BD=BC•cos30°=2，∴AD=BD=2，AB=2BD=4，∴S△ABC=AB•CD=×4×2=4，∵DE⊥AC，∴DE=AD=×2=，AE=AD•cos30°=3，∴S△ODE=OD•DE=×2×=，S△ADE=AE•DE=××3=，∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=×4=，∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4﹣﹣﹣=．
点评：
此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识．此题难度适中，留意掌握辅助线的作法，留意掌握数形思想的运用．
14．（2014•聊城）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延伸线交于点P．连接PC并延伸与AB的延伸线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．
考点：
切线的判定与性质；解直角三角形．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；
（2）根据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后经过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可．
解答：
（1）证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∵PC是⊙O的切线，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF===10，∴BF=OF﹣OB=5．
点评：
本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的运用，证明圆的切线的成绩常用的思绪是根据切线的判定定理转化成证明垂直的成绩．
15．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延伸线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
考点：
切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；类似三角形的判定与性质；解直角三角形．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．
解答：
（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．
∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴
∴BF==
点评：
本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求先生掌握常见的解题方法，并能图形选择简单的方法解题．
16．（2014•凉山州）已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．
（1）求证：∠PCA=∠PBC；
（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．
考点：
切线的性质；类似三角形的判定与性质．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据三角形内角和定理可知∠ACO+∠+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；
（2）先根据类似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由类似三角形的对应边成比例即可得出结论．
解答：
（1）证明：连结OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠，∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠PBC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；
（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA•PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．
点评：
本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．
17．（2014•凉山州）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B（1）、（2）变换的路径总长．
考点：
弧长的计算；作图-平移变换；作图-旋转变换．版权一切
专题：
作图题；网格型．
分析：
（1）利用平移的性质画图，即对应点都挪动相反的距离；
（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相反的角度；
（3）利用弧长公式求点B（1）、（2）变换的路径总长．
解答：
解：（1）连接AA1，然后从C点作AA1的平行线且AA1=CC1．
同理找到点B．
（2）画图如下：
（3）B（1）、（2）变换的路径如图红色部分所示：，弧B1B2的长=，故点B所走的路径总长=．
点评：
本题次要考查了平移变换、旋转变换的相关知识，做这类题时，理解平移旋转的性质是关键．
18．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延伸AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列成绩：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．
考点：
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可．
解答：
（1）证明：连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠A，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中
∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵△EOC≌△DOC，∴CE=CD=4，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC=3，∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12．
点评：
本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的运用，解此题的关键是推出△EOC≌△DOC．
19．（2014•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
（1）求证：EB=EC；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的外形，并阐明理由．
考点：
切线的性质；正方形的性质；圆周角定理．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OD，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由BC是⊙O的切线得出∠BCA=90°，由DE是⊙O的切线，得出ED=EC，∠ODE=90°，故可得出∠EDB=∠EBD，由此可得出结论．
（2）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则△DEB是等腰直角三角形，据此即可判断．
解答：
（1）证明：连接OD，∵AC是直径，∠ACB=90°，∴BC是⊙O的切线，∠BCA=90°．
又∵DE是⊙O的切线，∴ED=EC，∠ODE=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，又∵∠OAD+∠DBE=90°，∴∠EDB=∠EBD，∴ED=EB，∴EB=EC．
（2）解：当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则∠DEB=90°，又∵ED=EB，∴△DEB是等腰直角三角形，则∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．
点评：
本题考查了切线的性质以及切线长定理、圆周角定理，解题的关键是连接OD得垂直，构造出等腰三角形，利用“等角的余角相等解答．
20．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
考点：
垂径定理；勾股定理．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
解答：
（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE===2，AE===8，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．
点评：
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21．（2014•哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延伸FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
考点：
三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
（1）首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，即可得出答案；
（2）由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
解答：
（1）证明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠ACB=60°；
（2）解：作BM⊥AC于点M，∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF=60°，∴∠EGF=30°，∵EG=2，∴EF=1，又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=，BM==，∴AM=AC﹣CM=，∴AB==7．
点评：
此题次要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，得出CM，BM的长是解题关键．
22．（2014•福州）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延伸线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
考点：
三角形的外接圆与外心；圆周角定理；解直角三角形．版权一切
分析：
（1）根据题意得出AE的长，进而得出BE=AE，再利用tan∠ACB=，求出EC的长即可；
（2）首先得出AC的长，再利用圆周角定理得出∠D=∠M=60°，进而求出AM的长，即可得出答案．
解答：
解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE中，∵si=，∴AE=ABsi=3sin45°=3×=3，∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，∴EC====，∴BC=BE+EC=3+；
（2）连接AO并延伸到⊙O上一点M，连接CM，由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=2，∵∠D=∠M=60°，∴sin60°===，解得：AM=4，∴⊙O的半径为2．
点评：
此题次要考查了解直角三角形以及锐角三角函数关系运用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．
23．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
考点：
垂径定理；勾股定理．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．
解答：
解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．
点评：
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．（2014•滨州）如图，点D在⊙O的直径AB的延伸线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中暗影部分的面积．
考点：
扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；角的三角函数值．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）暗影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
解答：
（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．
∴S扇形BOC=．
在Rt△OCD中，∵，∴．
∴．
∴图中暗影部分的面积为：．
点评：
此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．
25．（2014•北京）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延伸线于点D，E是OB的中点，CE的延伸线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长．
考点：
切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切
分析：
（1）连接OC，由C是的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；
（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．
解答：
（1）证明：连接OC，∵C是的中点，AB是⊙O的直径，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA=OB，∴AC=CD；
（2）解：∵E是OB的中点，∴OE=BE，在△COE和△FBE中，∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF=CO，∵OB=2，∴BF=2，∴AF==2，∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴=，∴AB•BF=AF•BH，∴BH===．
点评：
本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．
26．（2013•营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所的路线长．
考点：
弧长的计算；作图-平移变换；作图-旋转变换．版权一切
专题：
网格型．
分析：
（1）根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，依次连接即可；
（2）根据旋转的性质找出旋转后各个对应点的坐标，依次连接即可．点A旋转到A2所的路线是半径为OA，圆心角是90度的扇形的弧长．
解答：
解：（1）画出△A1B1C1；
（2）画出△A2B2C2
连接OA，OA2，点A旋转到A2所的路线长为．
点评：
本题考查的是平移变换与旋转变换作图．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的普通步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用组对应点和平移的性质确定图中一切关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
作旋转后的图形的根据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式依次连接对应点．要留意旋转，旋转方向和角度．
27．（2013•乌鲁木齐）如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．
考点：
圆周角定理；垂径定理；类似三角形的判定与性质．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OB，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BOC，根据垂径定理可得∠COF=∠BOC，再根据垂直的定义可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根据两角对应相等，两三角形类似证明即可；
（2）根据类似三角形对应边成比例可得=，再根据圆周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE类似，根据类似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，再根据垂径定理BC=2FC，代入整理即可得证．
解答：
证明：（1）如图，连接OB，则∠BAE=∠BOC，∵OF⊥BC，∴∠COF=∠BOC，∴∠BAE=∠COF，又∵AC⊥BD，OF⊥BC，∴∠OFC=∠AEB=90°，∴△AEB∽△OFC；
（2）∵△AEB∽△OFC，∴=，由圆周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∴=，∴=，∵OF⊥BC，∴BC=2FC，∴AD=•FO=2FO，即AD=2FO．
点评：
本题考查了圆周角定理，垂径定理，类似三角形的判定与性质，熟记两个定理并精确识图找出相等的角从而得到三角形类似是解题的关键．
28．（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延伸BC至点D，使DC=CB，延伸DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．
考点：
圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切
分析：
（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先设BC=x，则AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
解答：
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；
（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．
点评：
此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，留意掌握方程思想与数形思想的运用．
29．（2013•深圳）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
考点：
垂径定理的运用；勾股定理；类似三角形的运用．版权一切
分析：
根据已知得出旗杆高度，进而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半径即可．
解答：
解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12﹣3﹣1=8（m），∴GM=MH=4m．
如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．
设小桥所在圆的半径为r，∵MN=2m，∴OM=（r﹣2）m．
在Rt△OGM中，由勾股定理得：
∴OG2=OM2+42，∴r2=（r﹣2）2+16，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m．
点评：
此题次要考查了垂径定理以及勾股定理的运用，根据已知得出关于r的等式是解题关键．
30．（2013•邵阳）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．
考点：
垂径定理的运用；勾股定理．版权一切
分析：
根据垂径定理可得AF=AB，再表示出AO、OF，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解答：
解：∵弓形的跨度AB=3m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB，∴AF=AB=m，∵所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1m，∴AO=r，OF=r﹣1，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=（）2+（r﹣1）2，解得r=（m）．
答：所在圆O的半径为m．
点评：
本题考查了垂径定理的运用，勾股定理的运用，此类标题通常采用把半弦，弦心距，半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答．
31．（2013•厦门）（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：
郊县
人数/万
人均耕地面积/公顷
A
0.15
B
0.20
C
0.18
求甲市郊县一切人口的人均耕地面积（到0.01公顷）；
（2）先化简下式，再求值：，其中，；
（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延伸DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
考点：
圆周角定理；分式的化简求值；等腰三角形的判定；加权平均数．版权一切
分析：
（1）求出总面积和总人口，再相除即可；
（2）先算加法，再化成最简分式，再代入求出即可；
（3）求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE．
解答：
解：（1）甲市郊县一切人口的人均耕地面积是≈0.17（公顷）；
（2）原式=
=
=x﹣y，当x=+1，y=2﹣2时，原式=+1﹣（2﹣2）
=3﹣；
（3）证明：∵A、D、C、B四点共圆，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠E，∴∠A=∠E，∴AD=DE，即△ADE是等腰三角形．
点评：
本题考查了分式求值，四点共圆，等腰三角形的性质和判定，求平均数等知识点的运用，次要考查先生的推理和计算能力．
32．（2013•黔东北州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
考点：
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；
（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=，所以可以求得圆的直径．
解答：
（1）证明：∵∠C=∠P
又∵∠1=∠C
∴∠1=∠P
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．
点评：
本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．
33．（2013•梅州）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延伸线于点F，设DA=2．
（1）求线段EC的长；
（2）求图中暗影部分的面积．
考点：
扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质．版权一切
分析：
（1）根据扇形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出∠DEA=30°，进而求出图中暗影部分的面积为：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可．
解答：
解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE==2，∴EC=CD﹣DE=4﹣2；
（2）∵sin∠DEA==，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴图中暗影部分的面积为：
S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB
=﹣×2×2﹣
=﹣2．
点评：
此题次要考查了扇形的面积计算以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出DE的长是解题关键．
34．（2013•凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的地位关系；
（2）若直线l点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的地位关系．
考点：
直线与圆的地位关系；点与圆的地位关系；作图—复杂作图．版权一切
专题：
压轴题；探求型．
分析：
（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的地位关系即可；
（2）连接PE，用待定系数法求出直线PD与PE的地位关系即可．
解答：
解：（1）如图所示：
△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；
（2）方法一：连接PD，设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2），∴，解得，∴此直线的解析式为y=2x+2；
设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），∴，解得，∴此直线的解析式为y=﹣x﹣3，∵2×（﹣）=﹣1，∴PD⊥DE，∵点D在⊙P上，∴直线l与⊙P相切．
方法二：连接PE，PD，∵直线
l过点
D（﹣2，﹣2），E
（0，﹣3），∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5，．．
∴PE2=PD2+DE2．
∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°．
∴PD⊥DE．
∵点D在⊙P上，∴直线l与⊙P相切．
点评：
本题考查的是直线与圆的地位关系，根据题意画出图形，利用数形求解是解答此题的关键．
35．（2013•巴中）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的地位关系．
考点：
圆与圆的地位关系；解二元方程组．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
首先由r1、r2是方程组的解，解此方程组即可求得答案；又由⊙O1和⊙O2的圆心距为4，根据两圆地位关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆地位关系．
解答：
解：∵，①×3﹣②得：11r2=11，解得：r2=1，把r2=1代入①得：r1=4；
∴，∵⊙O1和⊙O2的圆心距为4，∴两圆的地位关系为相交．
点评：
此题考查了圆与圆的地位关系与方程组的解法．留意掌握两圆地位关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
36．（2012•岳阳）如图所示，在⊙O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中暗影部分面积．
考点：
扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；类似三角形的判定与性质．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）由=，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形类似可得出△ACF与△ABC类似，根据类似得比例可得证；
（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出暗影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出暗影部分的面积．
解答：
（1）证明：∵=，∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC，∴=，即AC2=AB•AF；
（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，如图所示：
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，在Rt△AOE中，OA=2cm，∴OE=OAcos60°=1cm，∴AE==cm，∴AC=2AE=2cm，则S暗影=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣×2×1=（﹣）cm2．
点评：
此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：类似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，纯熟掌握性质及定理是解本题的关键．
37．（2012•宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作不断线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延伸线交于点E．
（1）求证：；
（2）若PQ=2，试求∠E度数．
考点：
相交两圆的性质；三角形内角和定理；圆周角定理；类似三角形的判定与性质；解直角三角形．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，推出=，代入求出即可；
（2）求出cos∠CPQ=，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°，推出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可．
解答：
（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=，∴PC=4，PD=2，∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°，∴PC、PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，∴△PAB∽△PCD，∴===，即=．
（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2（已知），∴cos∠CPQ=，∴∠CPQ=60°，∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，∴sin∠PDQ=，∴∠PDQ=45°，∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，又∵CD⊥PQ，∴∠PQD=90°，∴PD是⊙O2的直径，∴∠PBD=90°，∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°
在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，答：∠E的度数是75°．
点评：
本题考查了类似三角形的性质和判定，相切两圆的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，圆周角定理等知识点的运用，次要培养先生运用性质进行推理的能力，标题综合性比较强，是一道比较好的标题．
38．（2012•武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．
考点：
三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．版权一切
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（1）作DB垂直于BC，连DC，求出∠DBC=90°，∠A=∠D，根据sinA的值求出即可；
（2）连接IC、BI，且延伸BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF=CF，根据sinA求出BF/AB，求出AC，根据三角形的面积公式得出5×R+5×R+6×R=6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．
解答：
（1）解：作DB垂直于BC，连DC，∵∠DBC=90°，∴DC为直径．
∵∠A=∠D，BC=5，sinA=，∴sinD==，∴CD=，答：三角形ABC外接圆的直径是．
（2）解：连接IC、BI，且延伸BI交AC于F，过点I作IG⊥BC于点G，过I作IE⊥AB于E，∵AB=BC=5，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF=CF，∵sinA==，∴BF=4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=3，∵BA=BC，I是内心，即BF是∠ABC的角平分线，∴AC=2AF=6，∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE=IF=IG，设IE=IF=IG=R，∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，即5×R+5×R+6×R=6×4，∴R=，在△AIF中，AF=3，IF=，由勾股定理得：AI=．
答：AI的长是．
点评：
本题考查了三角形的面积公式，三角形的内切圆和内心，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，次要考查先生运用性质进行推理和计算的能力，标题综合性比较强，有一定的难度．
39．（2012•无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都中止运动．设点P运动的工夫为ts．
（1）当P异于A、C时，请阐明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
考点：
直线与圆的地位关系；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；切线的性质；类似三角形的判定与性质．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“类似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论；
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用角的三角函数值求得PM=PC=，然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程，经过解方程即可求得t的值；
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，经过解方程求得t的值．
解答：
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，又∵∠DAB=60°（已知），∴∠BAC=∠BCA=30°；
如图1，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC，∴OB=AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），∴OA=（cm），AC=2OA=2（cm），运动ts后，∴
又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB，∴∠APQ=∠ACB（类似三角形的对应角相等），∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=PC=
由PM=PQ=AQ=t，即=t
解得t=4﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点；
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
∴时，⊙P与边BC有2个公共点．
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2t=t，∴t=3﹣．
∴当1＜t≤3﹣时，⊙P与边BC有一个公共点，当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，∴当t=4﹣6或1＜t≤3﹣或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；
当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
点评：
本题综合考查了菱形的性质、直线与圆的地位关系以及类似三角形的判定等性质．解答（2）题时，根据⊙P的运动过程来确定t的值，以防漏解．
40．（2012•台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的外形，并证明你的结论．
考点：
三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．版权一切
专题：
几何综合题；探求型．
分析：
（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根据SAS定理可知△ABD≌△CBE；
（2）由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根据点D是△ABC外接圆圆心可知DA=DB=DC，再由BD=BE可判断出BD=BE=CE=CD，故可得出四边形BDCE是菱形．
解答：
（1）证明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD与△CBE中，∵，∴△ABD≌△CBE（SAS）
（2）解：四边形BDCE是菱形．证明如下：
同（1）可证△ABD≌△CBE，∴CE=AD，∵点D是△ABC外接圆圆心，∴DA=DB=DC，又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD，∴四边形BDCE是菱形．
点评：
本题考查的是三角形的外接圆与外心、全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理，先根据题意判断出△ABD≌△CBE是解答此题的关键．
41．（2012•日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．
（Ⅰ）探求新知
如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
（1）求证：内切圆的半径r1=1；
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）结论运用
（1）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；
（2）如图③，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值．
考点：
相切两圆的性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（Ⅰ）（1）根据切线的性质以及正方形的判定得出四边形CEOF是正方形，进而得出CE=CF=r1，再利用切线长定理求出即可；
（2）在Rt△AOG中，根据r1=1，AG=3﹣r1=2，求出tan∠OAG的值即可；
（Ⅱ）（1）由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，同理可得：tan∠O2BE==，进而得出AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2，即可求出r2=；
（2）根据（1）中所求可以得出AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，得到2rn+2rn+…+3rn=5，求出即可．
解答：
（Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF，OA．
∵⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
∴OF⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，∴四边形CEOF是矩形，又∵EO=OF，∴四边形CEOF是正方形，CE=CF=r1．
又∵AG=AE=3﹣r1，BG=BF=4﹣r1，AG+BG=5，∴（3﹣r1）+（4﹣r1）=5．
即r1=1．
（2）解：连接OG，在Rt△AOG中，∵r1=1，AG=3﹣r1=2，tan∠OAG==；
（Ⅱ）（1）解：连接O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E，AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC．
由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，同理可得：tan∠O2BE==，∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2．
∵AD+DE+BE=5，r2=；
（2）解：如图③，连接O1A、O，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnM⊥AB交于点M．
则AO1、BOn分别平分∠CAB、∠ABC．
tan∠O1AD=，tan∠OM=，AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，又∵AD+DE+…+MB=5，2rn+2rn+…+3rn=5，（2n+3）rn=5，rn=．
点评：
此题次要考查了切线长定理以及锐角三角函数关系以及相切两圆的性质，根据已知得出tan∠O1AD=，tan∠O2BE==是解题关键．
42．（2012•泉州）已知：A、B、C三点不在同不断线上．
（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长；
ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=；
（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探求在整个滑动过程中，P、A两点间的距离能否保持不变？请阐明理由．
考点：
三角形的外接圆与外心；圆周角定理；解直角三角形．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；
ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sinA=sinE=，得出即可；
（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°=，得出AP==（定值）．
解答：
解：（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°，∵OB=OC=1，∴BC=，注：也可延伸BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．
ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，∴∠EBC=90°
∴sinA=sinE=，证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，则∠A=∠BOC=∠BOH，BH=BC
∴sinA=sin∠BOH===，（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK，同理得：BK=AK=PK，∴CK=BK=AK=PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°=
∴AP==（定值），故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．
点评：
此题次要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C都在⊙K上以及sin60°=是解题关键．
43．（2012•南昌）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；
②如图2，当折叠后的圆心为O时，求的长度；
③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；
②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探求四边形OMPN的外形，并证明你的结论．
考点：
相切两圆的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；垂径定理；弧长的计算；翻折变换（折叠成绩）；解直角三角形．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度；
②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可；
③如图3，连接O′A、O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
（2）①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于于点E，交于点F，根据折叠的性质，可求点O到AB、CD的距离之和；
②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证．
解答：
解：（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，∴O′A=OA=2；
②当圆O时，折叠后的所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A、OA、O′B，OB，OO′
∵△OO′A△OO′B为等边三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°
∴==；
③如图3所示，连接OA，OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB为等边三角形，过点O作OE⊥AB于点E，∴OE=OA•sin60°=．
（2）①如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上，∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD，根据折叠的性质，可知PH=PE，PG=PF，又∵EF=4，∴点O到AB、CD的距离之和d为：
d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2，②如图5，当AB与CD不平行时，四边形PNOM是平行四边形．证明如下：
设折叠后的所在圆的圆心为O′，折叠后的所在圆的圆心为O″，∵点O′与点O关于AB对称，点O″与点O关于CD对称，∴O′M=OM，ON=O″N，∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点
∵折叠后的与所在圆外切，∴连心线O′O″必过切点P，∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆，∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，同理：PN=OM，∴四边形OMPN是平行四边形．
点评：
综合考查了相切两圆的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，翻折变换（折叠成绩），解直角三角形，综合性较强，难度较大．
44．（2012•荆州）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（暗影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）
考点：
垂径定理的运用；勾股定理；等腰梯形的性质；解直角三角形的运用．版权一切
分析：
连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB，先根据垂径定理求出AF的值，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB的度数，由勾股定理求出OF的长，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由S阴=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）即可得出结论．
解答：
解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB．
∵OA=OB=5m，AB=8m，OM是半径，OM⊥AB，∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，在Rt△AOF中，sin∠AOF==0.8=sin53°，∴∠AOF=53°，则∠AOB=106°，∵OF==3（m），由题意得：MN=1m，∴FN=OM﹣OF+MN=3（m），∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．
在Rt△ADE中，tan56°==，∴DE=2m，DC=12m．
∴S阴=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）=（8+12）×3﹣（π×52﹣×8×3）≈20（m2）．
答：U型槽的横截面积约为20m2．
点评：
本题考查的是垂径定理的运用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键．
45．（2012•呼伦贝尔）如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6，AB=6．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中暗影部分的面积．
考点：
扇形面积的计算；勾股定理；切线的性质．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）线段AB与⊙O相切于点C，则可以连接OC，得到OC⊥AB，则OC是等腰三角形OAB底边上的高线，根据三线合一定理，得到AC=3，在直角△OAC中根据勾股定理得到半径OC的长；
（2）图中暗影部分的面积等于△OAB的面积与扇形OCD的面积的差的一半．
解答：
解：（1）连接OC，则OC⊥AB．（1分）
∵OA=OB，∴AC=BC=AB=×6=3．（2分）
在Rt△AOC中，OC==3，∴⊙O的半径为3；（4分）
（2）∵OC=，∴∠B=30°，∠COD=60°（5分）
∴扇形OCD的面积为S扇形OCD==π，（7分）
∴暗影部分的面积为S暗影=SRt△OBC﹣S扇形OCD=OC•CB﹣π=﹣π．（8分）
点评：
本题次要考查了圆的切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且留意，不规则图形的面积可以转化为一些规则图形的面积的和或差．
46．（2012•桂林）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1⊙O2的圆心，依次连接A、O1、B、O2．
（1）求证：四边形AO1BO2是菱形；
（2）过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延伸线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE=2O2D；
（3）在（2）的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．
考点：
相交两圆的性质；菱形的判定；类似三角形的判定与性质．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据⊙O1与⊙O2是等圆，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论；
（2）根据已知得出△ACE∽△AO2D，进而得出，即可得出答案；
（3）首先证明△ACD∽△BO2D，得出，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面积关系得出答案即可．
解答：
证明：（1）∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴AO1=O1B=BO2=O2A，∴四边形AO1BO2是菱形；
（2）∵四边形AO1BO2是菱形，∴∠O1AB=∠O2AB，∵CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径，∴∠ACE=∠AO2C=90°，∴△ACE∽△AO2D，即CE=2DO2；
（3）∵四边形AO1BO2是菱形，∴AC∥BO2
∴△ACD∽△BO2D，∴，∴AD=2BD，∵，∴，点评：
此题次要考查了类似三角形的判定与性质以及三角形面积关系和菱形判定等知识，纯熟利用类似三角形的判定得出△ACE∽△AO2D是解题关键．
47．（2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．
（1）D为AB延伸线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；
（2）求EF•EC的值；
（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．
考点：
圆的综合题；勾股定理的运用；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；类似三角形的运用．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连接OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是的中点，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶相等得∠HFE=∠CFD，则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与⊙O相切；
（2）由=，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可判断△EBF∽△ECB，利用类似比得到EF•EC=BE2=（r）2=r2；
（3）如图2，连接OA，由=得AE=BE=r，设OH=x，则HE=r﹣x，根据勾股定理，在Rt△OAH中有AH2+x2=r2；在Rt△EAH中由AH2+（r﹣x）2=（r）2，利用等式的性质得x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，则HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，根据勾股定理计算出AH=，由OE⊥AB得AH=BH，而F是AB的四等分点，所以HF=AH=，于是在Rt△EFH中可计算出EF=r，然后利用（2）中的结论可计算出EC．
解答：
（1）证明：连接OC、OE，OE交AB于H，如图1，∵E是的中点，∴OE⊥AB，∴∠EHF=90°，∴∠HEF+∠HFE=90°，而∠HFE=∠CFD，∴∠HEF+∠CFD=90°，∵DC=DF，∴∠CFD=∠DCF，而OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，∴OC⊥CD，∴直线DC与⊙O相切；
（2）解：连接BC，∵E是的中点，∴=，∴∠ABE=∠BCE，而∠FEB=∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴EF：BE=BE：EC，∴EF•EC=BE2=（r）2=r2；
（3）解：如图2，连接OA，∵=，∴AE=BE=r，设OH=x，则HE=r﹣x，在Rt△OAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，在Rt△EAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（r﹣x）2=（r）2，∴x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，∴HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，AH===，∵OE⊥AB，∴AH=BH，而F是AB的四等分点，∴HF=AH=，在Rt△EFH中，EF===r，∵EF•EC=r2，∴r•EC=r2，∴EC=r．
点评：
本题考查了圆的综合题：纯熟掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和圆周角定理；会利用勾股定理进行几何计算，利用类似三角形的知识处理有关线段等积的成绩．
48．（2012•崇左）已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．
（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB地位关系；
（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．
考点：
直线与圆的地位关系．版权一切
分析：
（1）过点P作PC⊥OB，垂足为C根据含30度角的直角三角形性质求出PC，得出PC=r，则得出⊙P与OB地位关系是相切；
（2）根据相切时半径=12，再根据当r＜d时相离，即可求出答案．
解答：
解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．
∵∠AOB=30°，OP=24cm，∴PC=OP=12cm．
（1）当r=12cm时，r=PC，∴⊙P与OB相切，即⊙P与OB地位关系是相切．
（2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，∴r需满足的条件是：0cm＜r＜12cm．
点评：
本题考查了直线与圆的地位关系和含30度角的直角三角形性质，留意：已知圆的半径r，圆心到直线l的距离为d，①当d＞r时，直线l与圆相离，②当d=r时，直线l与圆相切，③当d＜r时，直线l与圆相交．
49．（2012•崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C．
（1）求点D沿三条弧运动到点G所的路线长；
（2）判断直线GB与DF的地位关系，并阐明理由．
考点：
弧长的计算；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权一切
分析：
（1）根据弧长的计算公式，代入运算即可．
（2）先证明△FCD≌△GCB，得出∠G=∠F，从而利用等量代换可得出∠GHD=90°，即GB⊥DF．
解答：
解：（1）根据弧长公式得所求路线长为：++=3π．
（2）GB⊥DF．
理由如下：
在△FCD和△GCB中，∵，∴△FCD≌△GCB（SAS），∴∠G=∠F，∵∠F+∠FDC=90°，∴∠G+∠FDC=90°，∴∠GHD=90°，∴GB⊥DF．
点评：
本题考查了弧长的计算、全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解答本题的关键是纯熟各个知识点，将所学知识融会贯通，难度普通．
50．（2011•资阳）如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．
（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；
（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必阐明理由）．
考点：
圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．版权一切
专题：
动点型．
分析：
（1）连接OB、OF，得到等边△AOB、△AOF，据此并演的性质，即可推理出AB=AF=AO=OD，从而得到AB+AF=AD；
（2）由于AD是⊙O的直径，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，故点B与点F，点C与点E均关于AD对称，故分点P在不同的地位﹣﹣﹣在上、在上、在上三种情况讨论．
解答：
解：（1）连接OB、OF．
∵A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，∴AD是⊙O的直径，且∠AOB=∠AOF=60°，∴△AOB、△AOF是等边三角形．
∴AB=AF=AO=OD，∴AB+AF=AD．
（2）当P在上时，PB+PF=PD；
当P在上时，PB+PD=PF；
当P在上时，PD+PF=PB．
点评：
本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，要留意标题中的隐含条件﹣﹣﹣半径相等及分类讨论思想的运用．
51．（2011•宜昌）如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．
（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；
（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）
考点：
正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平面镶嵌（密铺）；几何概率．版权一切
专题：
计算题．
分析：
（1）过A作AD⊥BC于D，根据等边△ABC，得到BD=BC，由勾股定理求出AD=，根据△ABC的面积是BC•AD代入即可求出答案；
（2）由图形得到由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，分别求出三个图形的面积，即可求出点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率．
解答：
解：（1）过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，BC=2，∴BD=CD=BC=1，在△BDA中由勾股定理得：AD===，∴△ABC的面积是BC•AD=×2×=，答：这个镶嵌图案中一个正三角形的面积是．
（2）由图形可知：由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，正方形的面积是2×2=4，连接OA、OB，∵图形是正六边形，∴△OAB是等边三角形，且边长是2，即等边三角形的面积是，∴正六边形的面积是6×=6，∴点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率是≈0.54，答：点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率约为0.54．
点评：
本题次要考查对正多边形与圆，等边三角形的性质和判定，几何概率，勾股定理，平面镶嵌等知识点的理解和掌握，能根据性质进行计算是解此题的关键．
52．（2011•盘锦）如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm．
（1）风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）．
（2）在风车转动一周的过程中，求点A绝对于桌面的高度不超过20cm所的路径长（结果保留π）．
考点：
弧长的计算；勾股定理；锐角三角函数的定义；角的三角函数值．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，在Rt△A1OG中，利用三角函数可求得OG，从而得出点A到桌面的距离A1F；
（2）作A2H⊥MN于H，则A2H=20．作A2D⊥OE于点D，则DE=A2H．在Rt△A2OD中，由角的三角函数得∠A2OD=60°，由圆的轴对称性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．从而得出点A所的路径长．
解答：
解：（1）如图（1），点A运动到点A1的地位时∠AOE=45°．
作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，∴A1F=GE．
在Rt△A1OG中，∵∠A1OG=45°，OA1=10，∴OG=OA1•cos45°=10×=5．
∵OE=25，∴GE=OE﹣OG=25﹣5．
∴A1F=GE=25﹣5．
答：点A到桌面的距离是（25﹣5）厘米．
（2）如图（2），点A在旋转过程中运动到点A2、A3的地位时，点A到桌面的距离等于20厘米．
作A2H⊥MN于H，则A2H=20．作A2D⊥OE于点D，∴DE=A2H．
∵OE=25，∴OD=OE﹣DE=25﹣20=5．
在Rt△A2OD中，∵OA2=10，∴cos∠A2OD===．
∴∠A2OD=60°．
由圆的轴对称性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．
∴点A所的路径长为=．
答：点A所的路径长为厘米．
点评：
本题考查了弧长的计算、勾股定理、角的三角函数值以及锐角三角函数的定义，综合性较强难度偏大．
53．（2011•南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相反点和不同点．例如：
它们的一个相反点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．
它们的一个不同点：正五边形不是对称图形，正六边形是对称图形．
请你再写出它们的两个相反点和不同点：
相反点：
① 都是轴对称图形 ；
② 都有外接圆和内切圆 ．
不同点：
① 内角和不同 ；
② 对角线的条数不同 ．
考点：
正多边形和圆．版权一切
专题：
计算题．
分析：
此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，一切的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是对称图形．根据正多边形的性质进行分析它们的相反和不同之处．
解答：
解：相反点不同点
①都有相等的边．①边数不同；
②都有相等的内角．②内角的度数不同；
③都有外接圆和内切圆．③内角和不同；
④都是轴对称图形．④对角线条数不同；
⑤对称轴都交于一点．⑤对称轴条数不同．
点评：
本题考查了正多边形和圆的知识，一个是奇数边的正多边形，一个是偶数边的正多边形．此题的答案不，只需抓住正多边形的性质进行回答均可．
54．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC挪动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上能否存在使△DOM与△ABC类似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请阐明理由；
（3）当点P沿直线AC挪动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中能否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请阐明理由．
考点：
圆的综合题；待定系数法求函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；类似三角形的判定与性质．版权一切
专题：
综合题；压轴题；存在型；分类讨论．
分析：
（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．
（2）由于△DOM与△ABC类似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形类似求出OM的长，即可求出点M的坐标．
（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形类似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．
解答：
解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．
∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．
∴==．
∵点P是AC中点，∴CP=CA．
∴HP=OA，CH=CO．
∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．
∴HP=，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，∴∠CHP=∠COA=90°．
∴点P的坐标为（，2）．
设直线DP的解析式为y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，∴
∴
∴直线DP的解析式为y=x﹣5．
（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．
∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0，﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴=．
∴OM=．
∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，∵△DOM∽△CBA，∴=．
∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．
∴OM=．
∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA类似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．
（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．
∴PE=PF=AC=．
∵DE、DF都与⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S△PED=S△PFD．
∴S四边形DEPF=2S△PED
=2×PE•DE
=PE•DE
=DE．
∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．
=DP2﹣．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当DP⊥AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．
∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．
∴=．
∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴=．
∴DP=．
∴DE2=DP2﹣
=（）2﹣
=．
∴DE=，∴S四边形DEPF=DE
=．
∴四边形DEPF面积的最小值为．
点评：
本题考查了类似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是处理第3小题的关键．另外，要留意“△DOM与△ABC类似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．
55．（2011•绵阳）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切．
（1）求证：OB⊥OC；
（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．
考点：
相切两圆的性质；直角梯形．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）证明两个锐角的和等于90°即可；
（2）求得⊙O1的半径后代入圆的面积公式求得其面积即可．
解答：
（1）证明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切，∴AB，BC，CD均与半圆O相切，∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．
又∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．
∴2∠CBO+2∠BCO=180°，于是∠CBO+∠BCO=90°，∴∠BOC=180°﹣（∠CBO+∠BCO）=180°﹣90°=90°，即OB⊥OC．
（2）解：设CD切⊙O1于点M，连接O1M，则O1M⊥CD．
设⊙O1的半径为r．
∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O1CM，∴∠O1CM=30°．
在Rt△O1CM中，CO1=2r，O1M=r．
在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12．
∵⊙O1与半圆O外切，∴OO1=6+r，于是，由OO1+O1C=OC，即6+r+2r=12，解得r=2，因此⊙O1的面积为4π．
点评：
本题考查了相切两圆的性质及直角梯形的性质，解题的关键是根据相切两圆半径只间的关系确定两圆心之间的距离．
56．（2014•贵港）如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，PA与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．
（1）求证：CD是小半圆M的切线；
（2）若AB=8，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），设PD=x，CD2=y．
①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当y=3时，求P，M两点之间的距离．
考点：
圆的综合题；平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；类似三角形的判定与性质；角的三角函数值．版权一切
专题：
代数几何综合题．
分析：
（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM是△AOP的中位线即可．
（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．
②当y=3时，得到﹣x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．
解答：
解：（1）连接CO、CM，如图1所示．
∵AO是小半圆M的直径，∴∠ACO=90°即CO⊥AP．
∵OA=OP，∴AC=PC．
∵AM=OM，∴CM∥PO．
∴∠MCD=∠PDC．
∵CD⊥OP，∴∠PDC=90°．
∴∠MCD=90°即CD⊥CM．
∵CD半径CM的外端C，且CD⊥CM，∴直线CD是小半圆M的切线．
（2）①∵CO⊥AP，CD⊥OP，∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．
∴∠OCD=90°﹣∠DCP=∠P．
∴△ODC∽△CDP．
∴．
∴CD2=DP•OD．
∵PD=x，CD2=y，OP=AB=4，∴y=x（4﹣x）=﹣x2+4x．
当点P与点A重合时，x=0；当点P与点B重合时，x=4；
∵点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），∴0＜x＜4．
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x2+4x，自变量x的取值范围是0＜x＜4．
②当y=3时，﹣x2+4x=3．
解得：x1=1，x2=3．
Ⅰ．当x=1时，如图2所示．
在Rt△CDP中，∵PD=1，CD=．
∴tan∠CPD==，∴∠CPD=60°．
∵OA=OP，∴△OAP是等边三角形．
∵AM=OM，∴PM⊥AO．
∴PM=
=
=2．
Ⅱ．当x=3时，如图3所示．
同理可得：∠CPD=30°．
∵OA=OP，∴∠OAP=∠APO=30°．
∴∠POB=60°
过点P作PH⊥AB，垂足为H，连接PM，如图3所示．
∵sin∠POH===，∴PH=2．
同理：OH=2．
在Rt△MHP中，∵MH=4，PH=2，∴PM=
=
=2．
综上所述：当y=3时，P，M两点之间的距离为2或2．
点评：
本题考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、类似三角形的判定与性质、角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．
57．（2011•杭州）在平面上，七个边长为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图）．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形
（1）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；
（2）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于？请阐明理由．
考点：
正多边形和圆；等边三角形的性质；平移的性质．版权一切
专题：
计算题．
分析：
（1）取出⑦，观察图象，根据图象进行平移即可；
（2）可以做到．先求出每个等边三角形的面积，得到正六边形的面积为，根据﹣覆盖住正六边形即可．
解答：
解：（1）取出⑦，向上平移1个单位；
答：取出的是三角形⑦，平移的方向向上平移，平移的距离是1个单位．
（2）可以做到．
理由是：∵每个等边三角形的面积是，∴正六边形的面积为，而0＜S6﹣＜，∴0＜﹣＜S1，∴只需用⑦的面积覆盖住正六边形就能做到．
点评：
本题次要考查对正多边形与圆，等边三角形的性质，平移的性质等知识点的理解和掌握，能根据题意进行计算是解此题的关键．
58．（2011•东莞）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1
（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的地位关系；
（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A、B．求劣弧与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）
考点：
圆与圆的地位关系；坐标与图形性质；扇形面积的计算．版权一切
分析：
（1）根据题意作图即可求得答案，留意圆的半径为2；
（2）首先根据题意求得扇形BP1A与△BP1A的面积，再作差即可求得劣弧与弦AB围成的图形的面积．
解答：
解：（1）如图：
∴⊙P与⊙P1的地位关系是外切；
（2）如图：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，∴S扇形BP1A=，=π，S△AP1B=×2×2=2，∴劣弧与弦AB围成的图形的面积为：π﹣2．
点评：
此题考查了圆与圆的地位关系以及扇形面积的求解方法．标题难度不大，解题的关键是留意数形思想的运用．
59．（2011•大庆）如图，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，延伸C0交斜边AB于点G．
（1）求⊙0的半径长；
（2）求线段DG的长．
考点：
三角形的内切圆与内心；勾股定理；类似三角形的判定与性质．版权一切
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（1）由勾股定理求AB，设⊙O的半径为r，则r=（AC+BC﹣AB）求解；
（2）过G作GP⊥AC，垂足为P，根据CG平分直角∠ACB可知△PCG为等腰直角三角形，设PG=PC=x，则CG=x，由（1）可知CO=r=，由Rt△AGP∽Rt△ABC，利用类似比求x，由OG=CG﹣CO求OG，在Rt△ODG中，由勾股定理求DG．
解答：
解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB==5，∴⊙O的半径r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；
（2）过G作GP⊥AC，垂足为P，设GP=x，由∠ACB=90°，CG平分∠ACB，得∠GCP=45°，∴GP=PC=x，∵Rt△AGP∽Rt△ABC，∴=，解得x=，即GP=，CG=，∴OG=CG﹣CO=﹣=，在Rt△ODG中，DG==．
点评：
本题考查了三角形的内切圆与内心，类似三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据直角三角形的内心的性质作辅助线，运用三角形类似及勾股定理解题．
60．（2014•河南）（1）成绩发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同不断线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 60° ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 AD=BE ．
（2）拓展探求
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同不断线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并阐明理由．
（3）处理成绩
如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
考点：
圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；圆周角定理．版权一切
专题：
综合题；压轴题；探求型．
分析：
（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同不断线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．
（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接上去需对两个地位分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可处理成绩．
解答：
解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同不断线上，∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．
故答案为：AD=BE．
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同不断线上，∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
（3）∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的圆上．
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示地位时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．
∴BD=2．
∵DP=1，∴BP=．
∵A、P、D、B四点共圆，∴∠APB=∠ADB=45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．
∴=2AH+1．
∴AH=．
②当点P在如图3②所示地位时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延伸线于点E，如图3②．
同理可得：BP=2AH﹣PD．
∴=2AH﹣1．
∴AH=．
综上所述：点A到BP的距离为或．
点评：
本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和处理成绩的能力，是表现新课程理念的一道好题．而经过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论处理成绩是处理第（3）的关键．
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