【中考数学】三角形：精选真题专项打破冲刺提分60题
（含答案解析）
一、解
答
题（共60小题）
1．（2014•重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE=DN．
2．（2014•张家界）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；
（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．
3．（2014•湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延伸线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作不断线（在山的旁边），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，到1米）
4．（2014•西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
5．（2014•温州）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延伸线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
6．（2014•温州）勾股定理奥秘而美好，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，上面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成上面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2
证明：连结
∵S五边形ACBED=
又∵S五边形ACBED=
∴
∴a2+b2=c2．
7．（2014•）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．请残缺阐明为何△ABC与△DEC全等的理由．
8．（2014•遂宁）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1= ；sin2A2+sin2B2= ；sin2A3+sin2B3= ．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= ．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求si．
9．（2014•邵阳）如图，已知点A、F、E、C在同不断线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．
（1）从图中任找两组全等三角形；
（2）从（1）中任选一组进行证明．
10．（2014•南京）【成绩提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研讨．
【初步考虑】
我们不妨将成绩用符号言语表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探求．
【深入探求】
种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC≌△DEF．
11．（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：
（1）∠ADE= °；
（2）AE EC；（填“=”“＞”或“＜”）
（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长= ．
12．（2014•锦州）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF=AC．
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
13．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．
14．（2014•黄石）小明听说“武黄城际列车”曾经开通，便设计了如下成绩：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，如今可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．请你协助小明处理以下成绩：
（1）求A、C之间的距离；（参考数据=4.6）
（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短工夫到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车？请阐明理由．（不计候车工夫）
15．（2014•衡阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
求证：△BED≌△CFD．
16．（2014•菏泽）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．
17．（2014•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延伸交AB的延伸线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若=，求cos∠ABC的值．
18．（2014•德州）成绩背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探求图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同窗探求此成绩的方法是，延伸FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探求延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论能否仍然成立，并阐明理由；
实践运用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥的距离相等，接到举动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
19．（2013•淄博）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．
20．（2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是 ．
（2）添加条件后，请阐明△ABC≌△ADE的理由．
21．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
22．（2013•仙桃）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．
23．（2013•天水）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．
24．（2013•随州）如图，点F、B、E、C在同不断线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．
提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．
25．（2013•宁德）如图，点D、A、C在同不断线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：△ABC≌△CDE．
26．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并阐明理由．
27．（2013•杭州）（1）先求解下列两题：
①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；
②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象点B，D，求k的值．
（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．
28．（2013•贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探求△ABC的外形（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 三角形．
（2）猜想，当a2+b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的外形，并求出对应的c的取值范围．
29．（2013•佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需求经过推理的方法证明．
（1）叙说三角形全等的判定方法中的推论AAS；
（2）证明推论AAS．
要求：叙说推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明根据．
30．（2013•防城港）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：△ABC≌△AED．
31．（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼最少20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没成绩！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同不断线上）问：
（1）楼高多少米？
（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请阐明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）
32．（2013•郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探求EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有值？并求出S的值．
33．（2013•朝阳）某段河流的两岸是平行的，数学兴味小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一颗树A；
②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处中止行走；
④测得DE的长就是河宽AB．
请你证明他们做法的正确性．
34．（2013•包头）如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．
（1）求OB的长；
（2）当AA′=1米时，求BB′的长．
35．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延伸线上一点，与点P同时以相反的速度由B向CB延伸线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长能否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请阐明理由．
36．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的外形．（只写结果）
37．（2012•枣庄）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．
（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．
38．（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．
39．（2012•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的地位关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
40．（2012•梧州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延伸线上的一点，且CE=CD．
求证：∠B=∠E．
41．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．
运用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．
探求：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探求PA的长．
42．（2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，①若AB是⊙O的直径，则∠APB= °；
②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探求∠APB与∠MAN、∠A之间的数量关系．
43．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．
∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延伸线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= ．点P到AB边的距离PE= ．
44．（2012•黄冈）
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为 ．
45．（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．
46．（2012•河池）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：tanA=，AC=（结果保留根号）；
（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．
47．（2012•抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE．
（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并图①证明你的结论；
（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论能否成立？若成立，请图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；
（3）若AC=3，点D在直线BC上挪动的过程中，能否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请阐明理由．
48．（2012•鄂州）小明是一位善于考虑的先生，在数学课上，他将一副直角三角板如图地位摆放，A、B、D在同不断线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．
49．（2012•大庆）已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，次回到点A处中止运动，设AP=S，用t表示运动工夫．
（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示S；
（2）当t取何值时，S等于（求出一切的t值）；
（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP？
50．（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．
51．（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
52．（2011•枣庄）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段AD∥BC且使AD=BC，连接CD；
（2）线段AC的长为，CD的长为，AD的长为 ；
（3）△ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ；
（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 ．
53．（2011•随州）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．
54．（2011•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC=AB．
55．（2011•青海）认真阅读上面关于三角形内外角平分线所夹角的探求片段，完成所提出的成绩．
探求1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，经过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探求2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请阐明理由．
探求3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论： ．
56．（2011•宁波）阅读上面的情景对话，然后解答成绩：
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
57．（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
58．（2011•梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP= ；（直接写结果）
（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小能否会随点P的挪动面变化？请阐明理由；
（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小能否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
59．（2011•连云港）某课题研讨小组就图形面积成绩进行专题研讨，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对上面成绩进行探求，探求过程可直接运用上述结论．（S表示面积）
成绩1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探求知=S△ABC，请证明．
成绩2：若有另一块三角形纸板，可将其与成绩1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探求与S四边形ABCD之间的数量关系．
成绩3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．
成绩4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．
60．（2011•乐山）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
中考数学提分冲刺真题精析：三角形
参考答案与试题解析
一、解
答
题（共60小题）
1．（2014•重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE=DN．
考点：
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．版权一切
专题：
证明题；几何综合题．
分析：
（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
解答：
证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；
（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；
②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，又∵∠DAE=×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=CD=BC，在△ADE和△CDN中，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于一问根据角的度数得到相等的角．
2．（2014•张家界）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；
（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．
考点：
全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质．版权一切
专题：
几何综合题；开放型．
分析：
（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可证明△CBF≌△CDF．
（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC与△ADC是轴对称图形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，由于OC=OA，所以AC与BD互相垂直平分，即可证得四边形ABCD是菱形，然后根据勾股定理全等AB长，进而求得四边形的面积．
（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．
解答：
（1）证明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，在△CBF和△CDF中，∴△CBF≌△CDF（SAS），（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴△ABC和△ADC是轴对称图形，∴OB=OD，BD⊥AC，∵OA=OC，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AC=2，BD=2，∴OA=，OB=1，∴AB===2，∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．
（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，∵△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BAD．
点评：
此题次要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
3．（2014•湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延伸线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作不断线（在山的旁边），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，到1米）
考点：
勾股定理的运用．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可．
解答：
解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400≈566（米），答：直线L上距离D点566米的C处开挖．
点评：
此题次要考查了勾股定理的运用，在运用勾股定理处理实践成绩时勾股定理与方程的是处理实践成绩常用的方法，关键是从题中笼统出勾股定理这一数学模型，画出精确的表示图．领会数形的思想的运用．
4．（2014•西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
考点：
全等三角形的运用；勾股定理的运用．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
（1）根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，根据勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．
解答：
（1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：
∵一块墙砖的厚度为a，∴AD=4a，BE=3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，∴（4a）2+（3a）2=252，∵a＞0，解得a=5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
点评：
此题次要考查了全等三角形的运用，以及勾股定理的运用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
5．（2014•温州）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延伸线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
考点：
等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
解答：
解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．
点评：
本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
6．（2014•温州）勾股定理奥秘而美好，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，上面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成上面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2
证明：连结 BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴ ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．
考点：
勾股定理的证明．版权一切
专题：
推理填
空
题．
分析：
首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED，进而得出答案．
解答：
证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．
点评：
此题次要考查了勾股定理得证明，表示出五边形面积是解题关键．
7．（2014•）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．请残缺阐明为何△ABC与△DEC全等的理由．
考点：
全等三角形的判定．版权一切
专题：
证明题．
分析：
根据∠BCE=∠ACD=90°，可得∠3=∠5，又根据∠BAE=∠1+∠2=90°，∠2+∠D=90°，可得∠1=∠D，继而根据AAS可判定△ABC≌△DEC．
解答：
解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）．
点评：
本题考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（2014•遂宁）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1= 1 ；sin2A2+sin2B2= 1 ；sin2A3+sin2B3= 1 ．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= 1 ．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求si．
考点：
勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形．版权一切
专题：
几何综合题；规律型．
分析：
（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，si=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
（3）利用关系式sin2A+sin2B=1，已知条件sinA=，进行求解．
解答：
解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；
sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；
sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．
观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=，si=，∴sin2A+sin2B=，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2，∴sin2A+sin2B=1．
（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，∴si==．
点评：
本题考查了在直角三角形中互余两角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．
9．（2014•邵阳）如图，已知点A、F、E、C在同不断线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．
（1）从图中任找两组全等三角形；
（2）从（1）中任选一组进行证明．
考点：
全等三角形的判定．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）根据标题所给条件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；
（2）根据AB∥CD可得∠1=∠2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明△ABE≌△CDF即可．
解答：
解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；
（2）∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）．
点评：
此题次要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．（2014•南京）【成绩提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研讨．
【初步考虑】
我们不妨将成绩用符号言语表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探求．
【深入探求】
种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
考点：
全等三角形的判定与性质；作图—运用与设计作图．版权一切
专题：
压轴题；探求型．
分析：
（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延伸线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延伸线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
解答：
（1）解：HL；
（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延伸线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延伸线于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；
（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，运用与设计作图，纯熟掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真细心．
11．（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：
（1）∠ADE= 90 °；
（2）AE = EC；（填“=”“＞”或“＜”）
（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长= 7 ．
考点：
线段垂直平分线的性质；勾股定理的运用．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
（1）由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．
解答：
解：（1）∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°．
故答案为：90°；
（2）∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=EC．
故答案为：=；
（3）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵AE=CE，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
故答案为：7．
点评：
本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的运用，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
12．（2014•锦州）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF=AC．
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
考点：
直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AC；
（2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解．
解答：
（1）证明：∵CD=CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵点F为AC的中点，∴EF=AC；
（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM=CM，∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，∴BC=AM+DM．
点评：
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）判断出EF垂直平分AC．
13．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．
考点：
全等三角形的判定．版权一切
专题：
证明题．
分析：
根据∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．
解答：
证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△AEC中，∴△ABD≌△AEC（SAS）．
点评：
本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判断两个直角三角形全等的方法HL．
14．（2014•黄石）小明听说“武黄城际列车”曾经开通，便设计了如下成绩：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，如今可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．请你协助小明处理以下成绩：
（1）求A、C之间的距离；（参考数据=4.6）
（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短工夫到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车？请阐明理由．（不计候车工夫）
考点：
勾股定理的运用．版权一切
专题：
几何图形成绩．
分析：
（1）过点C作AB的垂线，交AB的延伸线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）分别求得乘车工夫，然后比较即可得到答案．
解答：
解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延伸线于E点，∵∠ABC=120°，BC=20，∴BE=10，在△ACE中，∵AC2=8100+300，∴；
（2）乘客车需工夫（小时）；
乘列车需工夫（小时）；
∴选择城际列车．
点评：
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是正确的构造直角三角形．
15．（2014•衡阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
求证：△BED≌△CFD．
考点：
全等三角形的判定．版权一切
专题：
证明题．
分析：
首先根据AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．
解答：
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS）．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．（2014•菏泽）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．
考点：
等腰三角形的判定与性质；分式的化简求值；平行线的性质；直角三角形斜边上的中线．版权一切
分析：
（1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
（2）化简当前，用全体思想代入即可得到答案．
解答：
解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE==2.5．
（2）原式=
=
∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，原式=
点评：
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的运用，关键是求出DE=BE=AE．学会用全体思想解答有关成绩是我们学习的关键．
17．（2014•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延伸交AB的延伸线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若=，求cos∠ABC的值．
考点：
勾股定理；切线的判定与性质．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）如图，连接OC．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE；
（2）由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE==2k．则tan∠E==．所以在Rt△OCE中，tan∠E==．
在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD==k，故cos∠ABC=cos∠AOD==．
解答：
（1）证明：如图，连接OC．
∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，∴AD⊥AB，∴∠DAB=90°．
∵OD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OC=OB，∴∠2=∠4．
∴∠1=∠3．
在△COD和△AOD中，∴△COD≌△AOD（SAS）
∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于点C．
∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，∴AD=DC=k．
∴在Rt△DAE中，AE==2k．
∴tan∠E==．
∵在Rt△OCE中，tan∠E==．
∴=，∴OC=OA=．
∴在Rt△AOD中，OD==k，∴cos∠ABC=cos∠AOD==．
点评：
本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
18．（2014•德州）成绩背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探求图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同窗探求此成绩的方法是，延伸FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；
探求延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论能否仍然成立，并阐明理由；
实践运用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥的距离相等，接到举动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
考点：
全等三角形的判定与性质．版权一切
专题：
压轴题；探求型．
分析：
成绩背景：根据全等三角形对应边相等解答；
探求延伸：延伸FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；
实践运用：连接EF，延伸AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF=∠AOB，判断出符合探求延伸的条件，再根据探求延伸的结论解答即可．
解答：
解：成绩背景：EF=BE+DF；
探求延伸：EF=BE+DF仍然成立．
证明如下：如图，延伸FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；
实践运用：如图，连接EF，延伸AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探求延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂成绩背景的求解思绪，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．
19．（2013•淄博）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．
考点：
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．版权一切
专题：
证明题．
分析：
根据AD∥BC，可求证∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代换可求证∠ABD=∠ADB，然后即可得出结论．
解答：
证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．
点评：
此题次要考查先生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，此题很简单，属于基础题．
20．（2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是 ∠C=∠E ．
（2）添加条件后，请阐明△ABC≌△ADE的理由．
考点：
全等三角形的判定．版权一切
专题：
开放型．
分析：
（1）可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件；
（2）根据全等三角形的判定方法证明即可．
解答：
解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）；
故答案为：∠C=∠E；
（2）选∠C=∠E为条件．
理由如下：在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）．
点评：
本题次要考查了全等三角形的判定，开放型标题，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相反．
21．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
考点：
角平分线的性质；勾股定理．版权一切
分析：
（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．
解答：
解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．
点评：
本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，留意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
22．（2013•仙桃）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．
考点：
全等三角形的判定．版权一切
分析：
找到两三角形全等的条件，三角形全等就写出来，选择一组证明即可．
解答：
解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．
选择△AEM≌△ACN，理由如下：
∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，∴∠EAM=∠CAN，∵在△AEM和△ACN中，∴△AEM≌△ACN（ASA）．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
23．（2013•天水）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．
考点：
勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版权一切
分析：
利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．
解答：
解：过点D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH，∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．
点评：
此题次要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．
24．（2013•随州）如图，点F、B、E、C在同不断线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．
提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．
考点：
全等三角形的判定．版权一切
分析：
由BF=CE可得EF=CB，再有条件∠ABC=∠DEF不能证明△ABC≌△DEF；可以加上条件①AB=DE，利用SAS定理可以判定△ABC≌△DEF．
解答：
解：不能；
选择条件：①AB=DE；
∵BF=CE，∴BF+BE=CE+BE，即EF=CB，在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS）．
点评：
此题次要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
25．（2013•宁德）如图，点D、A、C在同不断线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：△ABC≌△CDE．
考点：
全等三角形的判定．版权一切
专题：
证明题．
分析：
首先根据AB∥CE可得∠BAC=∠DCE，再加上条件AB=CD，∠B=∠D可利用ASA定理证明三角形全等．
解答：
证明：∵AB∥CE，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（ASA）．
点评：
此题次要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
26．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并阐明理由．
考点：
全等三角形的判定；等腰直角三角形．版权一切
分析：
分析
根据等角的余角相等可得出∠ACD=∠BCE，CA=CB，CD=CE，可证明△ACD≌△BCE．
解答：
解：△ACD≌△BCE．
证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE．
∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CA=CB，CD=CE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
27．（2013•杭州）（1）先求解下列两题：
①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；
②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象点B，D，求k的值．
（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．
考点：
等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；
②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相反，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．
（2）从数学思想上考虑解答．
解答：
解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；
②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，∴点B（3，），∵BC=2，∴点C（3，+2），∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴D（1，+2），∵点D也在反比例函数图象上，∴+2=k，解得，k=3；
（2）用已知的量经过关系去表达未知的量，运用转换的思想和方法．（开放题）
点评：
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题．
28．（2013•贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探求△ABC的外形（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 锐角 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 钝角 三角形．
（2）猜想，当a2+b2 ＞ c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 ＜ c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的外形，并求出对应的c的取值范围．
考点：
勾股定理的逆定理；勾股定理．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；
（2）根据（1）中的计算作出判断即可；
（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．
解答：
解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角；钝角；
（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；
当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：＞；＜；
（3）∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；
②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．
点评：
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂标题信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．
29．（2013•佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需求经过推理的方法证明．
（1）叙说三角形全等的判定方法中的推论AAS；
（2）证明推论AAS．
要求：叙说推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明根据．
考点：
全等三角形的判定；命题与定理．版权一切
分析：
（1）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（2）根据三角形内角和定理和全等三角形的判断定理ASA来证明．
解答：
解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
（2）已知：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．
求证：△ABC≌△DEF．
证明：如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），∴∠B=∠E．
∵在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
30．（2013•防城港）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：△ABC≌△AED．
考点：
全等三角形的判定．版权一切
专题：
证明题．
分析：
首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AB=AE，∠C=∠D可证明△ABC≌△AED．
解答：
证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（AAS）．
点评：
此题次要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
31．（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼最少20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没成绩！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同不断线上）问：
（1）楼高多少米？
（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请阐明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）
考点：
勾股定理的运用．版权一切
专题：
运用题．
分析：
（1）设楼高为x，则CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD=150，求出x的值即可；
（2）根据（1）求出的楼高x，然后求出20层楼的高度，比较x和20层楼高的大小即可判断谁的观点正确．
解答：
解：（1）设楼高为x米，则CF=DE=x米，∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，∴AC=x米，BD=x米，∴x+x=150﹣10，解得x==70（﹣1）（米），∴楼高70（﹣1）米．
（2）x=70（﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，∴我支持小华的观点，这楼不到20层．
点评：
本题考查了勾股定理的运用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解，难度普通．
32．（2013•郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探求EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有值？并求出S的值．
考点：
等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；
（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值成绩解答．
解答：
（1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形；
（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k，∴EM=CM•tanC=•k=，同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣，由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；
（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，所以，S△PCE=x•2x=x2，S△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，=64﹣x2﹣（8﹣x）2，=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，所以，当x=4时，S有值32．
点评：
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值成绩，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．
33．（2013•朝阳）某段河流的两岸是平行的，数学兴味小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一颗树A；
②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处中止行走；
④测得DE的长就是河宽AB．
请你证明他们做法的正确性．
考点：
全等三角形的运用．版权一切
分析：
将标题中的实践成绩转化为数学成绩，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可阐明其做法的正确性．
解答：
证明：如图，由做法知：
在Rt△ABC和Rt△EDC中，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）
∴AB=ED
即他们的做法是正确的．
点评：
本题考查了全等三角形的运用，解题的关键是将实践成绩转化为数学成绩．
34．（2013•包头）如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．
（1）求OB的长；
（2）当AA′=1米时，求BB′的长．
考点：
勾股定理的运用；解直角三角形的运用．版权一切
分析：
（1）由已知数据解直角三角形AOB即可；
（2）首先求出OA的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长即可．
解答：
解：（1）根据题意可知：AB=6，∠ABO=60°，∠AOB=90°，在Rt△AOB中，∵cos∠ABO=，∴OB=ABcos∠ABO=6cos60°=3米，∴OB的长为3米；
（2）根据题意可知A′B′=AB=6米，在Rt△AOB中，∵sin∠ABO=，∴OA=ABsin∠ABO=6sin60°=9米，∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米，∴OA′=8米，在Rt△A′OB′中，OB′=2米，∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣3）米．
点评：
本题考查了勾股定理的运用和角的锐角三角函数，是中考常见题型．
35．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延伸线上一点，与点P同时以相反的速度由B向CB延伸线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长能否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请阐明理由．
考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．版权一切
专题：
压轴题；动点型．
分析：
（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直线AB的延伸线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相反，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
解答：
解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；
（2）当点P、Q同时运动且速度相反时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延伸线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相反，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相反时，线段DE的长度不会改变．
点评：
本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
36．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的外形．（只写结果）
考点：
等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．版权一切
专题：
作图题．
分析：
（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．
（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．
解答：
解：（1）如图所示：
（2）△ADF的外形是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．
点评：
本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的运用，次要培养先生的动手操作能力和推理能力，标题比较典型，难度也适中．
37．（2012•枣庄）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．
（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．
考点：
勾股定理；全等三角形的判定与性质．版权一切
专题：
证明题．
分析：
（1）根据勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，进而得出AB=BC；
（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE=BF，进而证明结论．
解答：
证明：（1）连接AC．
∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2．
∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2．
∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴BC2=AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB=BC．
（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，∴四边形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴在△BAE与△CBF中
∴，∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD．
点评：
此题次要考查了勾股定理的运用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是处理成绩的关键．
38．（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．
考点：
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定．版权一切
专题：
证明题；压轴题．
分析：
根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证．
解答：
证明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2，∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC．
点评：
本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
39．（2012•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的地位关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
考点：
等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质．版权一切
专题：
探求型．
分析：
（1）由平移的性质可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论；
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．
解答：
解：（1）AC⊥BD．
∵△DCE由△ABC平移而成，∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，∴DE=BE，∴BD⊥DE，又∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE，∴BD⊥AC，∵△ABC是等边三角形，∴BF是边AC的中线，∴BD⊥AC，BD与AC互相垂直平分；
（2）∵由（1）知，AC∥DE，BD⊥AC，∴△BED是直角三角形，∵BE=6，DE=3，∴BD===3．
点评：
本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
40．（2012•梧州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延伸线上的一点，且CE=CD．
求证：∠B=∠E．
考点：
等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权一切
专题：
证明题；压轴题．
分析：
先根据等腰梯形的性质得出∠B+∠ADC=180°，再根据两角互补的性质得出∠B=∠CDE，再根据CE=CD即可得出∠CDE=∠E，进而得出结论．
解答：
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠B=∠CDE，∵CE=CD，∴△CDE是等腰三角形，∴∠CDE=∠E，∴∠B=∠E．
点评：
本题考查的是等腰三角形的判定与性质及等腰梯形的性质，熟知等腰梯形的两底角相等是解答此题的关键．
41．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．
运用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．
探求：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探求PA的长．
考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理．版权一切
专题：
新定义．
分析：
运用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只要情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；
探求：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．
解答：
运用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；
探求：解：∵BC=5，AB=3，∴AC===4，①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4﹣x）2，∴x=，即PA=，②若PA=PC，则PA=2，③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或．
点评：
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要留意分三种情况进行讨论．
42．（2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，①若AB是⊙O的直径，则∠APB= 90 °；
②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探求∠APB与∠MAN、∠A之间的数量关系．
考点：
勾股定理；垂径定理；圆周角定理；点与圆的地位关系；圆与圆的地位关系．版权一切
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；
②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；
（2）根据点P在⊙O1上的地位分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠A之间的数量关系．
解答：
解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．
②如图，连接AB、OA、OB．
在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2．
∴∠AOB=90°．
当点P在优弧上时，∠APB=∠AOB=45°；
当点P在劣弧上时，∠AP′B=（360°﹣∠AOB）=135°
（2）根据点P在⊙O1上的地位分为以下四种情况．
种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①
∵∠MAN=∠APB+∠A，∴∠APB=∠MAN﹣∠A；
第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠A），∴∠APB=∠MAN+∠A﹣180°；
第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．
∵∠APB+∠A+∠MAN=180°，∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠A，第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠A．
点评：
综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的地位关系，本题难度较大，留意分类思想的运用．
43．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．
∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延伸线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= 7 ．点P到AB边的距离PE= 4或10 ．
考点：
等腰三角形的性质；三角形的面积．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；
（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延伸线上的点时，运用结论PE=PF+CH．
解答：
解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．
∵S△ABC=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；
②P为BC延伸线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．
故答案为：7；4或10．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使成绩简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
44．（2012•黄冈）
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为 36° ．
考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．版权一切
分析：
由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．
解答：
解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C==72°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=72°﹣36°=36°．
故答案为：36°．
点评：
此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，留意数形思想的运用．
45．（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．
考点：
含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版权一切
分析：
首先在直角三角形BDC中，利用BD的长和∠BDC=45°求得线段BC的长，然后在直角三角形ABC中求得∠A的度数即可；
解答：
解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC=45°，BD=10，∴BC=BD•sin∠BDC=10×=10
∵∠C=90°AB=20
∴sin∠A===，∴∠A=30°．
点评：
本题考查了等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的知识，属于基础题，比较简单．
46．（2012•河池）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：tanA=，AC= 2（结果保留根号）；
（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．
考点：
勾股定理；全等三角形的判定；锐角三角函数的定义．版权一切
专题：
网格型．
分析：
（1）延伸AB，过C作延伸线的垂线CG，在直角三角形ACG中，由CG及AG的长，利用锐角三角函数定义求出tanA的值，利用勾股定理求出AC的值即可；
（2）图中找出一点D，连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如图所示，理由为：在直角三角形FDM中，由FM与MD的长，利用勾股定理求出FD的长，同理求出BC的长，可得出FD=BC，同理可得出ED=AC，EF=AB，利用SSS可得出△ABC≌△EFD．
解答：
解：（1）延伸AB，过C作CG⊥AB，交延伸线于点G，在Rt△ACG中，CG=2，AG=4，根据勾股定理得：AC==2，tanA==；
（2）图中找出一点D，连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如右图所示，证明：在Rt△EMD中，EM=4，MD=2，根据勾股定理得：ED==2，在Rt△FDM中，FM=2，MD=2，根据勾股定理得：FD==2，同理在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC=2，在△ABC和△EFD中，∵，∴△ABC≌△EFD（SSS）．
故答案为：（1）；2
点评：
此题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，以及全等三角形的判定，纯熟掌握勾股定理是解本题的关键．
47．（2012•抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE．
（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并图①证明你的结论；
（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论能否成立？若成立，请图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；
（3）若AC=3，点D在直线BC上挪动的过程中，能否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请阐明理由．
考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；梯形．版权一切
分析：
（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半处理成绩；
（3）从A、C、D、E为顶点的梯形的性质入手，逐渐找出处理成绩的．
解答：
解：（1）DE=BE．
理由如下：
∵△ADE为等边三角形，∴AD=DE=AE，∠AED=60°．
∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB，∴∠EAB=60°﹣30°=30°，∴∠ABC=∠EAB，∴EB=AE，∴EB=DE；
（2）如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，在△ABC中，∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，∴∠DAE=∠CAB，∴∠DAE﹣∠CAE=∠BAC﹣∠CAE，则∠CAD=∠EAF．
又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE，∴△ADC≌△AEF，∴AC=AF．
在△ABC中，∠ABC=30°，∴AC=AB，∴AF=BF，∴EA=EB，∴DE=EB；
（3）如图，∵四边形ACDE是梯形，∠ACD=90°，∴∠CAE=90°．
∵∠CAE=∠CAD+∠EAD，又∵在正三角形ADE中，∠EAD=60°，∴∠CAD=30°．
在直角三角形ACD中，AC=3，∠CAD=30°，由勾股定理可得CD=．
同理可得：若点D与点B重合，AC平行DE，此时CD=3，综上所述：若AE∥CD，CD=；若点D与点B重合，此时CD=3．
点评：
此题综合考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，梯形的性质等知识点．
48．（2012•鄂州）小明是一位善于考虑的先生，在数学课上，他将一副直角三角板如图地位摆放，A、B、D在同不断线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．
考点：
勾股定理；平行线的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版权一切
分析：
过点F作FM⊥AD于M，利用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半和平行线的性质以及等腰直角三角形的性质即可求出BD的长．
解答：
解：过点F作FM⊥AD于M，∵∠EDF=90°，∠E=60°，∴∠EFD=30°，∵DE=8，∴EF=16，∴DF==8，∵EF∥AD，∴∠FDM=30°，∴FM=DF=4，∴MD==12，∵∠C=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴FM=BM=4，∴BD=DM﹣BM=12﹣4．
点评：
本题考查了勾股定理的运用、平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是作垂直构造直角三角形，利用勾股定理求出DM的长．
49．（2012•大庆）已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，次回到点A处中止运动，设AP=S，用t表示运动工夫．
（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示S；
（2）当t取何值时，S等于（求出一切的t值）；
（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP？
考点：
等边三角形的性质；一元二次方程的运用；勾股定理．版权一切
专题：
代数几何综合题；动点型．
分析：
（1）用t表示出PB的长，利用余弦定理即可表示出AP的长；
（2）令S等与，建立关于t的方程，解答即可；
（3）利用（2）中所求，即可得出AP时t的取值．
解答：
解：（1）∵AB=3，BP=t﹣3；
∴AP2=32+（t﹣3）2﹣2×3•（t﹣3）•cos60°
=9+9﹣6t+t2﹣6（t﹣3）×
=18﹣6t+t2+9﹣3t
=t2﹣9t+27，∴S=．
（2）当t在BC上时，∵S=，∴t2﹣9t+27=7，解得t1=4，t2=5；
当p在AB上时，t=；
当p在CA上时，t=9﹣．
当点P在BC上时，由（2）∵S=开口向上，与S=交点横坐标为t1=4，t2=5；
综上所述：t=4或t=5或或9﹣；
（3）根据（2）可知：0≤t＜；4＜t＜5；9﹣＜t≤9；
这三个工夫段内S＜．
点评：
本题考查了等边三角形的性质、余弦定理、一元二次方程与二次函数之间的关系，难度较大，会解一元二次方程是解题的关键．
50．（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．
考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．版权一切
专题：
证明题；压轴题．
分析：
方法一：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．
方法二：首先证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF．
解答：
证明：连接CE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，OA=OC，∵AE∥BC，∴∠ACB=∠DAC，在△AOE与△COF中，∵，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AFCE是菱形，∴AE=AF．
另法：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵，∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，∴OE=OF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF．
点评：
本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．
51．（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．版权一切
专题：
计算题；几何图形成绩．
分析：
（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得；
（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5；
解答：
解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；
（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．
答：（1）∠ECD的度数是36°；
（2）BC长是5．
点评：
本题考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质，应熟记其性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
52．（2011•枣庄）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段AD∥BC且使AD=BC，连接CD；
（2）线段AC的长为 2，CD的长为，AD的长为 5 ；
（3）△ACD为 直角 三角形，四边形ABCD的面积为 10 ；
（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 ．
考点：
勾股定理；勾股定理的逆定理；作图—基本作图；锐角三角函数的定义．版权一切
专题：
作图题．
分析：
（1）根据题意，画出AD∥BC且使AD=BC，连接CD；
（2）在网格中利用直角三角形，先求AC2，CD2，AD2的值，再求出AC的长，CD的长，AD的长；
（3）利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，再求出四边形ABCD的面积；
（4）把成绩转化到Rt△ACF中，利用三角函数的定义解题．
解答：
解：（1）如图；
（2）由图象可知AC2=22+42=20，CD2=12+22=5，AD2=32+42=25，∴AC=2，CD=，AD=5；
故答案为：2，5；
（3）∵AD2=CD2+AC2，∴△ACD是直角三角形．
四边形ABCD的面积为2×（2×÷2）=10；
故答案为：直角，10；
（4）由图象可知CF=2，AF=4，∴tan∠CAE==．
故答案为：．
点评：
本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，锐角三角函数的定义，关键是运用网格表示线段的长度．
53．（2011•随州）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．
考点：
勾股定理；全等三角形的判定与性质．版权一切
专题：
几何综合题．
分析：
首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，从而得出BE=FC=3，那么AB=7，则BC=7，BF=4，再根据勾股定理求出EF的长．
解答：
解：连接BD，∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE丄DF，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，∴∠FDC=∠EDB，在△EDB与△FDC中，∵，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴BE=FC=3，∴AB=7，则BC=7，∴BF=4，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，∴EF=5．
答：EF的长为5．
点评：
此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长．
54．（2011•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC=AB．
考点：
等腰三角形的性质．版权一切
专题：
计算题．
分析：
（1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°；
（2）根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．
解答：
（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；
（2）证明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，∴DC=AB．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．
55．（2011•青海）认真阅读上面关于三角形内外角平分线所夹角的探求片段，完成所提出的成绩．
探求1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，经过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探求2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请阐明理由．
探求3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论： ∠BOC=90°﹣∠A ．
考点：
三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
解答：
解：（1）探求2结论：∠BOC=∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；
（2）探求3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC=90°﹣∠A．
点评：
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂标题提供的信息，然后利用提供信息的思绪也很重要．
56．（2011•宁波）阅读上面的情景对话，然后解答成绩：
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
考点：
勾股定理；等边三角形的性质；圆周角定理．版权一切
专题：
压轴题；新定义．
分析：
（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；
（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：：与AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得结果．
解答：
解：（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，∴符合奇异三角形”的定义．
∴是真命题；
（2）∵∠C=90°，则a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=a，c=a，∴a：b：c=1：：；
（3）∵①AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵点D是半圆的中点，∴=，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇异三角形；
②由①可得△ACE是奇异三角形，∴AC2+CE2=2AE2，当△ACE是直角三角形时，由（2）得：AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1，当AC：AE：CE=1：：时，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°；
当AC：AE：CE=：：1时，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°．
∴∠AOC的度数为60°或120°．
点评：
此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形思想的运用．
57．（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
考点：
勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质．版权一切
分析：
根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．
解答：
解：∵AC=4，BC=2，AB=，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况：
如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），∵△ABD为等腰直角三角形（已知），∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），在△ACB与△BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2；
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA（已知）
∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义）
∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD为等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）
∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）
∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ACB与△DEA中，∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证）
AB=DA（已证）
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等）
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2；
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，则ED=AF，由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4，设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF﹣DF=4﹣x，则2+x=4﹣x，解得：x=1，故EC=DE=3，则CD=3．
点评：
此题综合考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理．
58．（2011•梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP= a ；（直接写结果）
（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小能否会随点P的挪动面变化？请阐明理由；
（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小能否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
考点：
等边三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
（1）设AP的长是x，然后利用x表示出两个三角形的面积的和，利用二次函数的性质即可求得x的值；
（2）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；
（3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因此角度不会变化．
解答：
解：（1）设AP的长是x，则BP=2a﹣x，∴S△APC+S△PBD=x•x+（2a﹣x）•（2a﹣x）
=x2﹣ax+a2，当x=﹣=﹣=a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，故答案为：a；
（2）α的大小不会随点P的挪动而变化，理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°；
（3）此时α的大小不会发生改变，一直等于60°．
理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°．
点评：
本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是解题的关键．
59．（2011•连云港）某课题研讨小组就图形面积成绩进行专题研讨，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对上面成绩进行探求，探求过程可直接运用上述结论．（S表示面积）
成绩1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探求知=S△ABC，请证明．
成绩2：若有另一块三角形纸板，可将其与成绩1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探求与S四边形ABCD之间的数量关系．
成绩3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．
成绩4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．
考点：
三角形的面积．版权一切
专题：
压轴题．
分析：
成绩1，图1中，连接P1R2，R2B，由三角形中线的性质得S△AP1R1=S△P1R1R2，S△P1R2P2=S△P2R2B，再由R1，R2为AC的三等分点，得S△BCR2=S△ABR2，根据图形的面积关系，得S△ABC与S四边形P1P2R2R1的数量关系，证明结论；
成绩2，图2中，连接AQ1，Q1P2，P2C，由三角形的中线性质，得S△AQ1P1=S△P1Q1P2，S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，得出S△ADQ1+S△BCP2与S四边形AQ1CP2的关系，再根据图形的面积关系，得S四边形ABCD与S四边形P1Q1Q2P2的等量关系；
成绩3，图3中，依次设四边形的面积为S1，S2，S3，S4，S5，由成绩2的结论可推出2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加，得S2+S4=S1+S5，利用换元法求S1+S2+S3+S4+S5与S3的数量关系，已知S四边形ABCD=1，可求S四边形P2Q2Q3P3；
成绩4，图4中，由成绩2的结论可知，2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，两式相加得S1，S2，S3，S4的等量关系．
解答：
解：成绩1，证明：
如图1，连接P1R2，R2B，在△AP1R2中，∵P1R1为中线，∴S△AP1R1=S△P1R1R2，同理S△P1R2P2=S△P2R2B，∴S△P1R1R2+S△P1R2P2=S△ABR2=S四边形P1P2R2R1，由R1，R2为AC的三等分点可知，S△BCR2=S△ABR2，∴S△ABC=S△BCR2+S△ABR2=S四边形P1P2R2R1+2S四边形P1P2R2R1=3S四边形P1P2R2R1，∴S四边形P1P2R2R1=S△ABC；
成绩2，S四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2．
理由：如图2，连接AQ1，Q1P2，P2C，在△AQ1P2中，∵Q1P1为中线，∴S△AQ1P1=S△P1Q1P2，同理S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2=S四边形AQ1CP2=S四边形P1Q1Q2P2，由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，∴S△ADQ1+S△BCP2=（S△AQ1C+S△AP2C）=S四边形AQ1CP2，∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=S四边形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP2=3S四边形P1Q1Q2P2，即S四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2；
成绩3，解：
如图3，由成绩2的结论可知，3S2=S1+S2+S3，即2S2=S1+S3，同理得2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加得，S2+S4=S1+S5，∴S1+S2+S3+S4+S5=2（S2+S4）+S3=2×2S3+S3=5S3，即S四边形P2Q2Q3P3=S四边形ABCD=；
成绩4，如图4，关系式为：S2+S3=S1+S4．
点评：
本题考查了三角形面积成绩．关键是利用三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形的性质进行推理．
60．（2011•乐山）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
考点：
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质．版权一切
专题：
计算题．
分析：
根据DE垂直平分AB，求证∠DAE=∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．
解答：
解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，∴∠DAE=∠CAB=（90°﹣∠B），∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B，∴∠DAE=∠CAB=（90°﹣∠B）=∠B，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．
答：若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°．
点评：
此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，比较简单，合适先生的训练．
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