高数一讲义第四章

第一篇：高数一讲义第四章

4．1微分中值定理

一、罗尔定理

1、罗尔定理

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理

小结：

4．2洛必达法则

一、基本类型的未定式0/0 ∞∞

二、其它类型的未定式

小结：

注意：

4．3函数的单调性

一、从几何图形上看函数的单调性

二、函数单调性的差别法

三、利用函数的单调性可证明不等式

小结：

4．4曲线的凹凸性与拐点

一、引例

小结：

4．5函数的极值与最值

一、函数的极值

二、函数的最大值与最小值

小结：

4．6渐近线

1． 曲线的水平渐近线：

2、曲线的竖直渐近线

第二篇：高数总复习题一

1总习题一

1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:

(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件.数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件.(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的________条件.xx0

xx0limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件.xx0(3)f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf(x)的________条件.xx0limf(x)是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件.

xx0(4)f(x)当xx0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是limf(x)存

在的________条件.解(1)必要, 充分.(2)必要, 充分.(3)必要, 充分.

(4)充分必要.2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:

设f(x)2x3x2.则当x0时, 有().(A)f(x)与x是等价无穷小;(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小;

(C)f(x)是比x高阶的无穷小;(D)f(x)是比x低阶的无穷小.xxxxf(x)232213limlimlim1解 因为limx0x0x0x0xxxx

tln3limuln2ln3ln2lim(令2x1t, 3x1u) t0ln(1t)u0ln(1u)

所以f(x)与x同阶但非等价无穷小.故应选B.3.设f(x)的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域:

(1)f(ex);

(2)f(ln x);

(3)f(arctan x);

(4)f(cos x).解(1)由0ex1得x0, 即函数f(ex)的定义域为(, 0].(2)由0 ln x1得1xe , 即函数f(ln x)的定义域为[1, e].(3)由0 arctan x 1得0xtan 1, 即函数f(arctan x)的定义域为[0, tan 1].(4)由0 cos x1得2nx2n(n0, 1, 2, ),22

即函数f(cos x)的定义域为[2n,n],(n0, 1, 2, ).22

4.设

x00x 00

f(x), g(x)2,xx 0xx0

求f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)].0x0解 因为f(x)0, 所以f[f(x)]f(x)xx0;



因为g(x)0, 所以g[g(x)]0;因为g(x)0, 所以f[g(x)]0;

x00

因为f(x)0, 所以g[f(x)]f 2(x)2.xx0

5.利用ysin x的图形作出下列函数的图形: 

(1)y|sin x|;(2)ysin|x|;(3)y2sinx.6.把半径为R的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥.试将这圆锥的体积表为的函数.

解 设围成的圆锥的底半径为r, 高为h, 依题意有

R(2)

R(2)2r , r

22R2(2)2RhRrR.242

圆锥的体积为

R2(2)2142 RV

3242

3R(2)2a2(02).224

2x7.根据函数极限的定义证明limx65.x3x3

2x证明对于任意给定的0, 要使|x65|, 只需|x3|, 取, 当x3

0|x3|时, 就有|x3|, 即|xx65|, 所以limxx65.x3x3x3

8.求下列极限: 

1;(1)limxx

x1(x1)2

(2)limx(x21x);

x

(3)lim(2x3x1;

x2x1

sinx;(4)limtanx3x0xxxx1abc(5)lim)(a0, b0, c0);x03

(6)lim(sinx)tanx.x

2(x1)2x1.0, 所以limx解(1)因为lim2

2x1xx1x1(x1)

x(x21xx21x)

(2)limx(x1x)lim 2xx(x1x)

lim

x

x11.lim

x21xx112

x2

2x11

2x322x1x1

(3)lim)lim(1lim(1)22

x2x1xx2x12x1

2x12x111

lim(12(12)lim(12)lim(12)e.xxx2x12x12x12x1

sinx(11)sinx(1cosx)sinxlimlim(4)limtanx

x0x0x0x3x3x3cosx

sinx2sin2x2x(x2

lim1(提示: 用等价无穷小换).lim33x0x0xcosxx2

xxx1xxx

abcabc3axbxcx3lim(1(5)lim(x0x033xxx

abc3axbxcx3e,lim(1x03

axbxcx3

3x, 因为

xxxxxx

limabc31lim(a1b1c1

x03x3x0xxx

1[lnalim1lnblim1lnclim1]

t0ln(1t)u0ln(1u)v0ln13(v)

1(lnalnblnc)ln,3

xxx13

所以limabc)eln.x03

提示: 求极限过程中作了变换ax1t, bx1u, cx1v.(6)lim(sinx)

x2

tanx

lim[1(sinx1x21sixn1

1(sinx1)tanx

sinx1, 因为

lim[1(sinx1x

e,lim(sinx1)tanxlim

x

sinx(sixn1)

coxsx

sinx(sin2x1)xcoxs0,limlimsin)x1xcosx(sinx1xsin所以lim(sixn)taxne01.x2

xsin1x0

9.设f(x), 要使f(x)在(, )内连续, 应怎样选择数a ? x

axx0

解 要使函数连续, 必须使函数在x0处连续.

10 2

f(x)lim(ax)a因为f(0)a, lim, limf(x)limxsinx0x0x0x0x

所以当a0时, f(x)在x0处连续.因此选取a0时, f(x)在(, )内连续.x1

x0, 求f(x)的间断点, 并说明间断点所属类形.10.设f(x)e

1x)1x0ln（解 因为函数f(x)在x1处无定义, 所以x1是函数的一个间断点.1),0(提示lim

x1x1x1x1

1), x1

f(x)limelim(提示limx1x1x1x1

所以x1是函数的第二类间断点.f(x)lime因为lim

x1

f(x)limln(x1)0, limf(x)lime又因为lim

x0

x0

x1

x0x0

1, e

所以x0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.1    11.11.证明lim1222n12n

n11    1n证明 因为2, 且 n21222n21nlim11, limnlim11,lim2

nnnn21n112

nn

1    11.所以lim1222n1n2n

12.证明方程sin xx10在开区间(, 内至少有一个根.22

证明 设f(x)sin xx1, 则函数f(x)在[ ,上连续.22

因为f( 11, f(112, f( )f 0,22222222

所以由零点定理, 在区间( ,)内至少存在一点, 使f()0.这说明方程sin

xx10在开区间( ,内至少有一个根.22

13.如果存在直线L: ykxb, 使得当x(或x, x)时, 曲线yf(x)上的动点M(x, y)到直线L的距离d(M, L)0, 则称L为曲线yf(x)的渐近线.当直线L的斜率k0时, 称L为斜渐近线.(1)证明: 直线L: ykxb为曲线yf(x)的渐近线的充分必要条件是k

x

(x,x)

lim

f(x), blim[f(x)kx].xx(x,x)

x

(2)求曲线y(2x1)e的斜渐近线.证明(1)仅就x的情况进行证明

按渐近线的定义 ykxb是曲线yf(x)的渐近线的充要条件是lim[f(x)(kxb)]0

x

必要性 设ykxb是曲线yf(x)的渐近线 则lim[f(x)(kxb)]0

x

于是有limxx

f(x)f(x)f(x)

kb]0limk0klim

xxxxxx

[f(x)kxb]0blim[f(x)kx]同时有lim

x

x

充分性 如果klim

x

x

f(x)

 blim[f(x)kx], 则

xx

x

x

lim[f(x)(kxb)]lim[f(x)kxb]lim[f(x)kx]bbb0

因此ykxb是曲线yf(x)的渐近线

y2x1(2)因为klimlimex2xxxx

blim[y2x]lim[(2x1)e2x]2limx(e1)12lim

x

x

x

x1x

t11t0ln1(t)

所以曲线y(2x1)e的斜渐近线为y2x1

x

第三篇：成人高考教材高数(一)

理工类专业需要考高数一

高数一内容如下：

第一章：函数定义，定义域的求法，函数性质。第一章：反函数、基本初等函数、初等函数。

第一章：极限（数列极限、函数极限）及其性质、运算。第一章：极限存在的准则，两个重要极限。第一章：无穷小量与无穷大量，阶的比较。

第一章：函数的连续性，函数的间断点及其分类。

第一章：闭区间上连续函数的性质。第二章：导数的概念、几何意义，可导与连续的关系。

第二章：导数的运算，高阶导数（二阶导数的计算）第二章：微分

第二章：微分中值定理。第二章：洛比达法则1 第二章：曲线的切线与法线方程，函数的增减性与单调区间、极值。第二章：最值及其应用。

第二章：函数曲线的凹凸性，拐点与作用。第三章：不定积分的概念、性质、基本公式，直接积分法。第三章：换元积分法

第三章：分部积分法，简单有理函数的积分。第三章：定积分的概念、性质、估值定理应用。第三章：牛一莱公式

第三章：定积分的换元积分法与分部积分法。第三章：无穷限广义积分。

第三章：应用（几何应用、物理应用）第四章：向量代数 第四章：平面与直线的方程

第四章：平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，简单二次曲面。第五章：多元函数概念、二元函数的定义域、极限、连续、偏导数求法。第五章：全微分、二阶偏导数求法 第五章：多元复合函数微分法。第五章：隐函数微分法。

第五章：二元函数的无条件极值。第五章：二重积分的概念、性质。第五章：直角坐标下的计算。1 第五章：在极坐标下计算二重积分、应用。第六章：无穷级数、性质。第六章：正项级数的收敛法。第六章：任意项级数。

第六章：幂级数、初等函数展开成幂级数。第七章：一阶微分方程。第七章：可降阶的微分方程。第七章：线性常系数微分方程

第四篇：四年级奥数讲义之：归一问题

四年级数学讲义 奥数：归一问题

一、教学衔接

二、教学内容

（一）知识揭示

1、归一法的来历

我国珠算除法中有一种方法，称为归除法.除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！

2、归一法的分类

归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？ 另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？

3、正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。

（二）例题讲解

例1.一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？

分析： 为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果。

解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）

② 1小时爬几米？1小时=60分。

2×60=120（分米）=12（米）答：小蜗牛1小时爬行12米。

还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60分是6分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解。解：1小时=60分钟 12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）答：小蜗牛1小时爬行12米。

例2.一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？ 分析： 通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求。解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）答：磨完剩下的面粉还要7小时。

例3.学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？

分析： 要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个），总价差355-281＝74（元）.74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5）=37元 ②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）答：买5个足球，4个篮球共花308元。

例4.一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空？

分析： 要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度.当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差.解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所需时间。解：①进水速度：480÷8=60（吨/小时）

②排水速度：480÷6=80（吨/小时）③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）列综合算式： 480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）答：两管齐开需24小时把满池水排空。

例5.7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？ 分析： 要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。①一辆卡车一次能运多少吨沙土？ 336÷6÷7=56÷7=8（吨）

②560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？ 560÷5＝112（吨）

③需要增加同样的卡车多少辆？ 112÷8-7＝7（辆）

答：需增加同样的卡车7辆。

三、教学练习

1、一批产品,28人25天可以生产完,生产5天后,此项任务要提前10天完成,应增加_____人.2、某食堂存有16人可吃15天的米,16人吃了5天后,走了6人,余下的可吃_____天.1、小明3小时走6千米路，照这样计算他7小时走了多少千米？

4、5辆载重量相同的卡车6趟运走粮食300吨，照这样计算，7辆这样的卡车8趟运粮食多少吨？如果仓库有粮食1200吨，要求5次运完，则须增加多少辆车？

5、妈妈买水果，如果她买了3斤苹果和5斤荔枝，那么需要41元，如果买了6斤苹果和5斤荔枝那么需要47元。妈妈现在买5斤苹果和3斤荔枝共需要多少钱？

6、甲乙两个修路队4天修路770米，现在两个修路队同时修路，在相同的天数里，甲队修路840米，乙队修路700米，求甲乙两队每天各修路多少米。

四、教学小结

今天我们学习了什么？你都会了吗？

五、教学拓展

1、某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？

2、甲、乙两个打字员4小时共打字3600个.现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个.求甲、乙二人每小时各打字多少个？

六、课后练习

1、加工一批39600件的大衣,30个人10天完成了13200件,其余的要求在15天内完成,要增加_____人.2、54人12天修水渠1944米,如果人数增加18人,天数缩到原来的一半,可修水渠_____米.3、4辆大卡车5次运煤80吨,3辆小卡车8次运煤36吨.现在有煤77吨,用一辆大卡车和小卡车同时运_____次运完.4、个人10天修路840米,照这样算,20人修4200米,要_____天.5、一列火车5小时行375千米，照这样计算，8小时行多少千米？

6、一个车间要加工48个零件，4小时加工了24个，照这样计算，加工完剩下的零件还要多少小时？

7、一个修路队6人12天修路1440米，照这样计算，20人修4800米要多少天？

8、一个水池可以容水360吨，水池装有一根进水管和一根出水管，单开进水管，6小时可把空池注满，单开排水管，9小时可把满池水排空，如果两管一齐开，需多少小时把空池注满？

9、学校买来一些足球和排球，如果3个足球和4个排球，共需花费196元，如果买3个足球和7个排球，共需花费271元，现在要买4个足球和5个排球，共需多少钱。

10、小明和小华4分钟共打字720个，现在2人同时打字，在相同时间内，小明打字490个，小华打字410个，问小明和小华每分钟各打字多少个？

第五篇：高数论文

高数求极限方法小结

高等数学是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科。在从初等数学这种静态的数量关系的分析到高等数学这种对动态数量关系的研究这一发展过程中,研究对象发生了很大的变化。也正是在这一背景下,极限作为一种研究事物动态数量关系的方法应运而生。极限，在学习高数中具有至关重要的作用。众所周知,高等数学的基础是微积分,而极限又是微积分的基础,我们不难从此看出极限与高等数学之间的相关性。同时根限又将高等数学各重要内容进行了统一,在高等数学中起到了十分重要的作用。极限的概念是高等数学中最重要也是最基本的概念之一。作为研究分析方法的重要理论基础,它是研究函数的导数和定积分的工具,极限的思想和方法也是微积分中的关键内容。在理解的基础上,熟练掌握求极限的方法,能够提高高等数学的学习能力。下面，我总结了一些求极限的方法：

一、几种常见的求极限方法

1、带根式的分式或简单根式加减法求极限：

1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置。）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式。

2、分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：

分子分母同时除以该无穷大量以凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3、等差数列与等比数列求极限：用求和公式。

4、分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和。

5、分子分母都是未知数的不同次幂求极限:看未知数的次幂，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6、利用等价无穷小代换： 这种方法的理论基础主要包括：（1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小。

（有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（3）非零无穷小与无穷大互为倒数。（等价无穷小代换（当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷代替。）（5）只能在乘除时使用，但并不是在加减时一定不能用，但是前提必须证明拆开时极限依然存在。）还有就是，一些常用的等价无穷小换

7、洛必达法则：（大题目有时会有提示要你使用这个法则）

首先它的使用有严格的前提！！！！

1、必须是X趋近而不是N趋近！！！（所以当求数列极限时应先转化为相应函数的极限，当然，n趋近是x趋近的一种情况而已。还有一点，数列的n趋近只可能是趋近于正无穷，不可能是负无穷）

2、必须是函数导数存在！！！（假如告诉你g（x），但没告诉你其导数存在，直接用势必会得出错误的结果。）

3、必须是0/0型或无穷比无穷型！！！当然，还要注意分母不能为零。洛必达法则分为三种情况： 1、0/0型或无穷比无穷时候直接用 2、0乘以无穷

无穷减无穷（应为无穷大与无穷小成倒数关系）所以，无穷大都写成无穷小的倒数形式了。通项之后就能变成1中的形式了。3、0的0次方

1的无穷次方

对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还是对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来，就是写成0与无穷的形式了。

（这就是为什么只有三种形式的原因）

8.泰勒公式

（含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候，特别要注意！！！）

E的x展开 sina展开 cosa展开 ln（1+x）展开 对题目简化有很大帮助

泰勒中值定理：如果函数f（x）在含有n的某个区间（a，b）内具有直到n+1阶导数，则对任意x属于（a，b），有：

F（x）=f（x0）+

+

+

…………

+

+Rn(X)

其中Rn(X)=。。。。。这里的 ke see 是介于x与x0之间的某个值。

9、夹逼定理

这个主要介绍的是如何用之求数列极限，主要看见极限中的通项是方式和的形式，对之缩小或扩大。

10、无穷小与有界函数的处理方法

面对复杂函数的时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定注意用这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道他的范围结果就出来了！！！

11、等比等差数列公式的应用（主要对付数列极限）

（q绝对值要小于1）

12、根号套根号型：约分，注意！！别约错了

13、各项拆分相加：（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数。

14、利用两个重要极限

这两个极限很重要。。对第一个而言是当X趋近于0的时候sinx比上x的值，第二个x趋近于无穷大或无穷小都有对应的形式

15、利用极限的四则运算法则来求极限

16、求数列极限的时候可以将其转化为定积分来求。

17、利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限

（1）、单调有界数列必有极限

（2）、单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限。

18、直接使用1求导的定义求极限

当题目中告诉你F（0）=0，且F（x）的导数为0时，就暗示你一定要用导数的定义：、（1）、设函数y=f（x）在x0的某领域内有定义，当自变量在x在x0处取得增量的他x 时，相应的函数取得增量 的他y=f（的他x+x0）-f（x0）。如果 的他y与 的他x之比的极限存在，则称函数y=f（x）在x0处可导并称这个极限为这个函数的导数。

（2）、在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等。

19、数列极限转化为函数极限求解

数列极限中是n趋近，面对数列极限时，先要转化为x趋近的情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种形式而已，是必要条件。（还有数列的n当然是趋近于正无穷的）