求偏导数的方法小结

第一篇：求偏导数的方法小结

求偏导数的方法小结

（应化2，闻庚辰，学号：130911225）

一，一般函数：

计算多元函数的偏导数时，由于变元多，往往计算量较大． 在求某一点的偏导数时，一般的计算方法是，先求出偏 导函数，再代人这一点的值而得到这一点的偏导数． 我们发 现，把部分变元的值先代人函数中，减少变元的数量，再计 算偏导数，可以减少运算量。

求函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是： 1)先求出偏导数的函数式，然后将（a,b）代入计算即可.2)先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b).3)若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.复合具体函数的导数求解:

∂z∂zx=∂u 基本法则：∂∂u∂z∂x+∂v∂u∂y∂v∂x

∂v∂y ∂z∂y∂zu=∂∂zv+∂

其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）；

法一：设u=x+y,v=xy,则z=uv函数的复合关系为：z是u,v的函数，u,v分别是x,y的函数.∂z∂zx=∂u 则：∂∂u∂z∂x+∂v∂v∂x

=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)=y(x+y)[xy

x(xy)+ln(x+y)] f(x,y)= y(x+y)[’xxy

x(xy)+ln(x+y)] 所以：f’x(1,1)=1+2ln2 由于f(x,y)的表达式中的 x,y依次轮换，即x换y成，同时将换y成x，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在f’x的表达式中将x,y调换即得到f’y。即：f’y（x,y）= y(x+y)[xyx(xy)+ln(x+y)] 所以f’y（1，0）=0 法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如： Lnz=xyln(x+y)上式两边求导得： z∂zx∂x=y[ln(x+y)+(xy)] ∂zxx=z y[ln(x+y)+(xy)] 从而：∂所以：f’x(1,1)=1+2ln2 有函数的对称轮换性得：f’y（1，0）=0 例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。

∂z∂zyx+∂ 设z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求∂在（1，1）处的值。dz=d(eusin(v))= eusin(v)du+eucos(v)dv du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后合并同类项得：

dz=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+ eucos(v))dy将点（1，1）代入得：

∂z∂zyx+∂ ∂=2e(sin2+cos2).二，隐函数的求偏导。求隐函数的偏导时，我们一般有两种方法选择：

1)公式法

2)对函数两边直接求导。（但必须明确谁是谁的函数）。然后按复合函数求导法则来求。

例一：方程组{xyzox2y2z2a2（注：x2为x的平方）

法一：题中有3个自变量，明确了x=x(z),y=x(z),既z是自变量。我们可以利用公式求但比较繁。我们可以采用下面的方法： 法二：对方程组两边对求z导得：

{ dxdy10dzdzdyzxdx2y2z0dzdz

求得此解得： dxdzyzdyzx=xy，dz=xy

第二篇：偏导数求二元函数最值

偏导数求二元函数最值

用偏导数可以求多元函数的极值及最值，不过要比一元函数复杂很多。

这个在高等数学教材里都有，极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。

求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢？你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值，我们做法是先求极值，再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了，因为一元函数的区间端点只有两个值，可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值，不可能全求出来了，因此边界上我们还需要再求最大最小值，这个叫做条件最值。

如果能代入的话，就是代入求（将条件最值转化为无条件最值）。如果有些函数很复杂不能代入，有另一个方法，叫做拉格朗日乘数法，就是解决条件最值的问题的。

第三篇：科学求导数的方法

导数是函数学习的最重要的部分，也是求概率论与数理统计的基本要求，那么如何科学求导数呢？下面看下我总结的部分：

求导数的方法

（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

② 求平均变化率

③ 取极限，得导数。

（2）几种常见函数的导数公式：

① C'=0(C为常数)；

②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q)；

③(sinx)'=cosx；

④(cosx)'=-sinx；

⑤(e^x)'=e^x；

⑥(a^x)'=a^xIna（ln为自然对数）

⑦(Inx)'=1/x（ln为自然对数）

（3）导数的四则运算法则：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

第四篇：高等数学偏导数第三节题库

【090301】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数zarctan【试题答案及评分标准】

xy的全微分。1xyzarctanxyarctanxarctany

1xyz1,x1x2dzz1 y1y2

（8分）

11dxdy

221x1y

（10分）

或dz1xy1xy

2(1xy)(dxdy)(xy)(ydxxdy)2(1xy)

（8分）（10分）

11dxdy

221x1y【090302】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数zln(xye)的全微分。【试题答案及评分标准】

22xyz2xyexy,xx2y2exydzz2yxexy yx2y2exy

（8分）

1(2xyexy)dx(2yxexy)dy 22xyxye（10分）

【090303】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数ux【试题答案及评分标准】

yz的全微分。

lnuyzlnx

zu1uyzyzxy1

xx

（2分）（5分）zuzyz1xylnx y uzyzyxlnxlny

z

z

z（8分）

duyzxy z1dxzyz1xylnxdyyzxylnxlnydz

（10分）

【090304】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarccosx，求du。

x2y2【试题答案及评分标准】

ux2y21x2yxyx2y2(x2y2)3/2x2y2ux2y2yxyxsgnyy(x2y2)3/2x2y2

dusgnyx2y2(ydxxdy)

【090305】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarcsinxu。

x2y2，求d【试题答案及评分标准】

2ux2yy1x2yxx2y2(x2y2)3/2x2y2 ux2y2yxyxsgnyy(x2y2)3/2x2y2

dusgnyx2y2(ydxxdy)

【090306】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数uxyyzzx的全微分。【试题答案及评分标准】

uxyxy1yzzxxyyzzxlnzxyyzzx(yxlnz)

uxyyzzxlnxxyzyzyz1zxxyyzzx(ylnx)

4分）8分）10分）4分）8分）10分）3分）6分）（（

（

（（

（

（（uxxyyzzxlnyxyyzxzx1xyyzzx(lny)

zz（9分）

yzx duxyyzzx(lnz)dx(lnx)dy(lny)dz（10分）

yzx【090307】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarccos【试题答案及评分标准】

yz，求du。xux1yz1x1yz1x22yzyz 222x2xxyzxzz

222xxxyz

（3分）

uy

（6分）

xyu

222zxxyz

（9分）

duyzxzxydydz

dx222xxxyzx1（10分）

【090308】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f(x,y)【试题答案及评分标准】

x2y2，则df= ———。

（10分）

xdxydyxy22【090309】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zxyxe，则dz= ———。

【试题答案及评分标准】(3xy2x)dx(2xye)dy

10分 【090310】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z(1x)，则dz= ———。【试题答案及评分标准】y(1x)y1y223y322ydx(1x)yln(1x)dy 10分

【090311】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

x【试题内容】设u(x,y,z)，则du(1,2,3)= ———。

yz【试题答案及评分标准】

331dxdyln2dz（10分）8168【090312】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f(x,y,z)ln(xyz)，则df(1,2,0)= ———。【试题答案及评分标准】dx11dydz（10分）22x2y2)，则du= ———。【090313】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u(x,y)ln(x【试题答案及评分标准】

1xy22(dxyxxy22dy)10分

【090314】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zxyexy，则dz= ———。

xy【试题答案及评分标准】ey(1x)dxx(1y)dy

（10分）

【090315】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u(x,y)xy，则du= ———。xy2(ydxxdy)（10分）

(xy)2【试题答案及评分标准】【090316】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设ucosh(xy)cos(xy)，则du= ———。【试题答案及评分标准】sinh(xy)sin(xy)(ydxxdy)【090317】【填空题】【较易0.3】全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uln(xy)tanh(xy)，则du= ———。

（10分）

【试题答案及评分标准】1111dxdy（10分）22xcosh(xy)ycosh(xy)【090318】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zexycosexy，则dz= ———。

xyxy【试题答案及评分标准】e(1sine)(ydxxdy)

（10分）

【090319】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

x2y【试题内容】研究函数z(x,y)x4y20是否存在？

【试题答案及评分标准】

x4y20x4y20在点（0，0）处的全微分

zx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)0

x

（3分）zy(0,0)limy0f(0,y)f(0,0)0

yzzxzdx(0,0)y(x)2y(0,0)dy42(x)(y)(x)2(y)2

（5分）

(x)2ylimx0(x)4(y)2y0取xy，上式=limx0(x)(x)34(x)22x10 2

故函数z(x,y)在点（0，0）处不可微。

函数在（0，0）点全微分不存在。

（10分）【090320】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】讨论：函数f(x,y)x2y2在点（0，0）处是否可微？

xf(x,0)f(0,0)lim【试题答案及评分标准】lim不存在

x0x0xx（5分）

fx(0,0)不存在，故函数f(x,y)x2y2在点（0，0）处不可微。

（10分）

【090321】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

【试题内容】设f(x,y)xsinxy，试研究（0，0）处的全微分是否存在？

【试题答案及评分标准】因lim

x0

xx

不存在，即fx(0,0)不存在

10分

8分

故f(x,y)在（0，0）全微分不存在。

【090322】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122xysin,22【试题内容】讨论函数f(x,y)xy0处的连续性，可导性和可微性。

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）limf(x,y)limx2y2sinx0y0x0y010f(0,0)

x2y2

（3分）f(x,y)在点（0，0）连续

x0limxf(0x,0)f(0,0)1 limsin2x0xxx()

（7分）极限不存在，f(x,y)在（0，0）处不可导

从而在（0，0）处不可微。

（10分）

【090323】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

xy,2【试题内容】函数f(x,y)xy20否存在？在点（0，0）是否可微？为什么？

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）的两个偏导数是fx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)00lim0 x0xx（5分）fy(0,0)0，故f在（0，0）的两个偏导数存在。

因limf(x,y)yxx01f(0,0)，故f在（0，0）点不连续，从而不可2微。

（10分）【090324】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】 【试题内容】已知(x)可微，求A(x)使d{sin[x(x)]}A(x)dx。【试题答案及评分标准】记ux(x),tsinusin(x(x))

（3分）（5分）（8分）d[sin(x(x))](t)dt (t)cosudu

(t)cos[x(x)][(x)x(x)]dx

所以 A(x)(t)[(x)x(x)]cos[x(x)]

（10分）

【090325】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

xy【试题内容】试证：f(x,y)x2y20在，但是不可微。

【试题答案及评分标准】lim同理，fy(0,0)0

x0(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)在点（0，0）处偏导数存

f(x,0)f(0,0)0fx(0,0)

x

（4分）

记zfx(0,0)xfy(0,0)yz 则

limzxylimlim不存在（8分）x0x0(x)2(y)2220(x)(y)y0y0f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090326】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122(xy)sin【试题内容】试证：函数f(x,y)x2y20处可微。

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）fx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)1limxsin0（2分）2x0x(x)fy(0,0)limy0f(0,y)f(0,0)1limysin0（4分）y0y(y)2ffx(0,0)xfy(0,0)y(x)(y)22(x)2(y)2sin1(x)2(y)2(x)2(y)2(x)2(y)20

x0y0

（8分）

f(x,y)在点（0，0）处可微。

（10分）

【090327】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

x3y3【试题内容】试证：f(x,y)x2y20在，但不可微。

【试题答案及评分标准】

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)在原点（0，0）处偏导数存f(x,0)f(0,0)(x)3limlim1fx(0,0)3x0x0x(x)同理，fy(0,0)1

分）

（4f(x,y)在（0，0）偏导数存在。

limx0y0ffx(0,0)xfy(0,0)y2(x)(y)21/2limxy(xy)x0y0(x)2(y)23/2（6分）

(x)3k(1k)k(1k)lim，故二重极限不存在 23/2x0(x)3(1k2)3/2(1k)ykx（8分）

f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090328】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122xysin【试题内容】试证：f(x,y)x2y20x2y20x2y20的偏导数fx(x,y)及fy(x,y)在点（0，0）的邻域内存在，但它们在（0，0）处均不连续。【试题答案及评分标准】

x0limf(x,0)f(0,0)1lim(x)sin0fx(0,0)2x0x(x)当(x,y)(0,0)时，（3分）

fx(x,y)2xsin12x1cos 222222xyxyxy（5分）

又

121lim2xsincos不存在(x,y)(0,0)x2xx2y0故fx(x,y)在（0，0）处不连续

（8分）（10分）同理可证：fy(x,y)在（0，0）处不连续

【090329】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】 【试题内容】证明：zxy在（0，0）处连续，偏导数存在，但不可微。

【试题答案及评分标准】由0xyx2y2，得 2limf(x,y)limxy0f(0,0),f(x,y)在（0，0）处连续。

x0x0y0y0

x0

（3分）

limf(x,0)f(0,0)0fx(0,0)

x（5分）同理，fy(0,0)0,f(x,y)在（0，0）处偏导数存在

limx0y0zfx(0,0)xfy(0,0)y(x)(y)

22lim

xy(x)(y)

22x0y0，不存在

（8分）

f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090330】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

yxsin(4arctan)【试题内容】证明：f(x,y)x0但不可微。

x0x0在点（0，0）处偏导数存在，f(x,0)f(0,0)0fx(0,0)x0x【试题答案及评分标准】

f(0,y)f(0,0)lim0fy(0,0)y0ylimf(x,y)在（0，0）处偏导数存在。

（4分）

（6分）ffx(0,0)xfy(0,0)yxsin(4arctany)

xxsin(4arctanx0y0limy)xlimxsin(4arctank)

x02(x)2(y)2x1kykx，故二重极限不存在

（8分）sin(4arctank)1k2f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090331】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【多元函数的连续性】 【试题内容】证明：若zf(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分，则它在该点处必连续。【试题答案及评分标准】由zf(x,y)在点P0(x0,y0)可微，则有

zzzxyo()xy

（5分）

其中 (x)2(y)2

x0y0当x0,y0时，0，从而limz0

（8分）

即zf(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

（10分）

【090332】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【隐函数的求导公式】 【试题内容】设函数zz(x,y)由方程xyz3xyz1所确定，则全微分dz= ———。

【试题答案及评分标准】

3331(yzx2)dx(xzy2)dy

10分 2zxy【090333】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【隐函数的求导公式】 【试题内容】由方程xyz处的全微分dz= ———。

【试题答案及评分标准】dx2dy

10分

x2y2z22所确定的函数zz(x,y)在点（1，0，－1）

第五篇：求极限的方法小结

求极限的方法小结 要了解极限首先看看的定义哦 A.某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，但在该点周围(数列除外）的必 某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，某点处的极限与该点处有无定义和连续无关 但在该点周围(数列除外）须连续 B.了解左右极限的定义 了解左右极限的定义 C.极限的四则和乘方运算 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 E.注意自变量在趋近值的微小范围内 注意自变量在趋近值的微小范围内，E.注意自变量在趋近值的微小范围内，可以利用它同 B 一起去绝对值

1、代入法——在极限点处利用函数的连续性求极限 ——在极限点处利用函数的连续性求极限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.约分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)约分法—— ——分解因式 这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）（这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）3.利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。——反比例函数 Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1-∞)、limarctanx=π/2(x->∞)、4 2 4 3 Lim(4x +x +1)/(x +x +1)=(4+1/x 2 +1/x 4)/(1+1/x+1/x4)=4(x->∞)

4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因为（因为（a n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求

5、极限与导数 —— 利用导数的定义 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用导数的定义、极限与导数——（）6.有界函数与无穷小的积仍为无穷小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等价无穷小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用无穷小时注意它不是充分必要的即应用无穷小转化后若极限不存 不能得到原极限不存在）在，不能得到原极限不存在）8.利用重要极限 利用重要极限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要极限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解释 sin2x/x2)=e(中间的配凑略 中间的配凑略)解释 中间的配凑略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是无穷小 都是无穷小)都是无穷小 ∞(1 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的 取对数法是幂指 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的.取对数法是幂指 函数的通法，时上述方法就显得更简单了恩）函数的通法，当看见 1∞时上述方法就显得更简单了恩）9.利用洛比达法则 可转化

为 0/0, ∞/∞型)利用洛比达法则(可转化为 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比达法则 型 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。（对于未定式都可用 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。同时它同 7 一样都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在极限中很少用，但可以解决一些特殊的高数上有哈）在极限中很少用，在极限中很少用 但可以解决一些特殊的高数上有哈）11.极限与积分 ___就是利用积分的定义 极限与积分 就是利用积分的定义 _______

解:

=

12.利用柯西准则来求！12.利用柯西准则来求！利用柯西准则来求 柯西准则： 要使{xn} {xn}有极限的充要条件使任给 ε>0,存在自然数 柯西准则 ： 要使 {xn} 有极限的充要条件使任给 ε>0, 存在自然数 N，使 得当 n>N 时，对于 |xn任意的自然数 m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用单调有界必有极限来求 14.利用单调有界必有极限来求 证明： x1＝。。。）存在极限 存在极限，证明：数列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在极限，并求出极限值 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由归纳法 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有极限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 两边取极限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夹逼准则求极限 15.利用夹逼准则求极限 16.求数列极限时 可以先算出其极限值，然后再证明。求数列极限时，16.求数列极限时，可以先算出其极限值，然后再证明。17.利用级数收敛的必要条件求极限 17.利用级数收敛的必要条件求极限 18.利用幂级数的和函数求极限 18.利用幂级数的和函数求极限