认识无理数

第一篇：认识无理数

第二章 实数 认识无理数

【知识与技能】

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的必要性.2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数.3.会判断一个数是有理数还是无理数.【过程与方法】

让学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和合作精神，通过辨别一个数是有理数还是无理数，训练大家的思维判断能力.【情感态度】

1.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.2.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.【教学重点】 1.无理数的探索过程.2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.【教学难点】

把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.一、创设情境，导入新课

同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？

在小学我们学过自然数、小数、分数.在初一我们还学过负数.对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.【教学说明】随着学习的深入，知识层次的提高，有理数的范围不能适应现代生活的需要，这就要对数进行扩充，为学生学习新知识作准备.二、思考探究，获取新知 无理数的概念 拼一拼：

请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

【教学说明】通过小组合作交流，动手操作得到一个大的正方形，学生非常高兴地投入到活动中，调动了学生的积极性.同学们展示，拼图的结果.下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

【教学说明】探索拼图的过程，对于学生理解大正方形的边长是a是不是有理数很有帮助.【归纳结论】因为12=1，22=4，32=9，……整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数，又(1/2)2=1/4，(1/3)2=1/9，(2/3)2=4/9，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.做一做：

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.【教学说明】结合图形，让学生进一步理解面积为2的正方形边长不是有理数，而是一种新数.同学们能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？ 请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下.还可以进行下去吗？a是有限小数吗？

【教学说明】教师引导学生探索，让学生对这种不是有理数的新数有了初步的认识，为下面引出无理数的概念打下了基础.【归纳结论】像这种无限不循环小数就叫做无理数.如：圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.，它们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理而3，45，0.38，0.17数.三、运用新知，深化理解 1.判断题

（1）有理数与无理数的差都是有理数.（2）无限小数都是无理数.（3）无理数都是无限小数.（4）两个无理数的和不一定是无理数.2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

0.351，-23，4.9·6·，3.14159，-5.2323332…，***…（由相继的正整数组成）.在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.【教学说明】学生自主完成，加深了对无理数的理解以及有理数与无理数的区别所在，让学生的疑难及时得到矫正与强化.【答案】1.（1）；（2）；（3）√；（4）√；

，3.14159；-5.2323332…，***…（由2.0.351，-2/3，4.96相继的正整数组成）.四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你是如何判断一个数是有理数还是无理数？还有哪些困难？

【教学说明】引导学生寻找知识点间的区别和联系，加深对易错点的理解，有助于学生正确解题.1.习题2.2第1、2、3题.2.完成本课时练习部分.这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有理数还是无理数.是数的范围的又一次扩充，是很重要的一节.培养了学生分类归纳的思想.但对概念的理解掌握一些同学还不是很好，只能在以后的教学过程中不断的完善.

第二篇：1 认识无理数教案

第二章 实数 认识无理数

【知识与技能】

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的必要性.2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数.3.会判断一个数是有理数还是无理数.【过程与方法】

让学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和合作精神，通过辨别一个数是有理数还是无理数，训练大家的思维判断能力.【情感态度】

1.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.2.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.【教学重点】 1.无理数的探索过程.2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.【教学难点】

把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.一、创设情境，导入新课

同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？

在小学我们学过自然数、小数、分数.在初一我们还学过负数.对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范梯田文化

教辅专家

围是否能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.【教学说明】随着学习的深入，知识层次的提高，有理数的范围不能适应现代生活的需要，这就要对数进行扩充，为学生学习新知识作准备.二、思考探究，获取新知 无理数的概念 拼一拼：

请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

【教学说明】通过小组合作交流，动手操作得到一个大的正方形，学生非常高兴地投入到活动中，调动了学生的积极性.同学们展示，拼图的结果.下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

【教学说明】探索拼图的过程，对于学生理解大正方形的边长是a是不是有理数很有帮助.【归纳结论】因为12=1，22=4，32=9，……整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数，又(1/2)2=1/4，(1/3)2=1/9，(2/3)2=4/9，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.做一做：

梯田文化

教辅专家

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.【教学说明】结合图形，让学生进一步理解面积为2的正方形边长不是有理数，而是一种新数.同学们能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？ 请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下.还可以进行下去吗？a是有限小数吗？

【教学说明】教师引导学生探索，让学生对这种不是有理数的新数有了初步的认识，为下面引出无理数的概念打下了基础.【归纳结论】像这种无限不循环小数就叫做无理数.如：圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.，它们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数.而3，45，0.38，0.17

三、运用新知，深化理解

梯田文化

教辅专家

1.判断题

（1）有理数与无理数的差都是有理数.（2）无限小数都是无理数.（3）无理数都是无限小数.（4）两个无理数的和不一定是无理数.2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

0.351，-23，4.9·6·，3.14159，-5.2323332…，***…（由相继的正整数组成）.在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.【教学说明】学生自主完成，加深了对无理数的理解以及有理数与无理数的区别所在，让学生的疑难及时得到矫正与强化.【答案】1.（1）；（2）；（3）√；（4）√；

，3.14159；-5.2323332…，***…（由2.0.351，-2/3，4.96相继的正整数组成）.四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你是如何判断一个数是有理数还是无理数？还有哪些困难？

【教学说明】引导学生寻找知识点间的区别和联系，加深对易错点的理解，有助于学生正确解题.1.习题2.2第1、2、3题.2.完成本课时练习部分.梯田文化

教辅专家

这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有理数还是无理数.是数的范围的又一次扩充，是很重要的一节.培养了学生分类归纳的思想.但对概念的理解掌握一些同学还不是很好，只能在以后的教学过程中不断的完善.梯田文化教辅专家

第三篇：《认识无理数》 教学设计

《认识无理数》 教学设计平山乡后山小学：陶旭

教学目标：(一)知识目标:

1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。

2、能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由。(二)能力训练目标:

1、让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神。

2、通过回顾有理数的有关知识，让学生能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力。(三)情感与价值观目标:

1、激励学生积极参与教学活动，提高学习数学的热情。

2、引导学生充分进行交流、讨论与探索等教学活动，培养他们合作与钻研精神。

3、了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神。

教学重点：

1、让学生经历无理数发现的过程。感知生活中确实存在着不同于有理数的数。

2、会判断一个数是否为有理数。教学难点：

1、把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。

2、判断一个数是否为有理数。教学过程：

（一）创设情境，导入新课： 讲故事：（播放课件）

早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，他认为在生活中还存在除有理数之外的另一种数。

[师]到底谁的观点正确呢？我们以前学的有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？ 这节课我们就共同来研究这个问题。（板书课题）学生认真听故事。做好学前准备。（本环节设计意图：以故事引入新课首先能激起学生的学习兴趣，同时让学生带着问题听讲新课会收到良好的效果。）

（二）操作观察，总结归纳：

1、分组活动：

[师]请学生拿出课前准备好的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

学生分小组讨论，组长带领组员动手剪、拼。各小组组长展示自己的操作成果（利用投影仪）教师演示拼图过程（播放课件）

2、探索新知 [师]a2=2中a是整数吗？是分数吗？

[甲生]因为12=1，22=4所以a应在1和2之间，故a不能是整数。[乙生]因为 两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数。

[师]同学们说的都不错，我们可以来回顾一下前面学过的有理数的范围。[生]有理数包括整数、分数。[师]经过我们刚才的分析可知，在a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数。看来我们学的有理数的范围又不够用了。

3、做一做：（播放课件）

(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)正方形的边长为b，则b应满足什么条件？b是有理数吗？ [师]我们先来回顾一下勾股定理的内容。

[生]在直角三角形中，若两条直角边长为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2。[师]在这题中，根据勾股定理得b2=12+22,即b2=5,则b是有理数吗？ [甲生]因为22=4,32=9,所以b不可能是整数。

[乙生]没有两个相同的分数相乘得5,所以b不可能是分数。

[丙生]因为没有一个整数或分数的平方为5，所以b不可能有理数。

[师]同学们说的很正确，生活中确实存在不同于有理数的数，它就是——无理数。下面我们继续看课前播放的故事。（播放课件）

希伯索斯当时的发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯早己将这个发现偷偷传播出去了。可是后来还是被毕氏围捕，投进了大海，从而献出了宝贵的生命。但真理是不可战胜的，后来古希腊人证实了希伯索斯的发现。

[师]我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神。

（本环节设计意图：让学生分组讨论、合作、交流，培养了学生新的学习方法，加强了学生团结、协作的能力。了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神。）

（三）巩固练习，深化认识：

1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？

[师]找两生板演，其余在练习本上完成。

[生]由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3。h不可能是整数，也不可能是分数。

2、为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？ [生]a的值大约是2.2，这个值不可能是分数。师总结，同时了解其余学生的做题情况。

（本环节设计意图：练习的目的既是检查又是巩固、深化，帮助学生对本节课所学的知识形成更为清晰和深刻的认识，同时可以让学生在探索与被肯定当中获得积极的情感体验。）

（四）课堂小结，课外延伸：

[师]通过今天这节课的学习你都有哪些收获？

[甲生]通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，我感受到生活中不仅有理数，还有无理数。[乙生]会判断一个数是否为有理数。

（只要学生回答的有道理，教师就要给予肯定。

[师]希望同学们课后能在生活中寻找这类不同于有理数的数。（本环节设计意图：这部分有两个作用：一是培养学生归纳梳理知识的良好学习习惯和能力；二是培养学生用数学的眼光观察生活，感受到数学和生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。）

（五）课后作业：

1、必做题：课本习题

2、选做题：课本“试一试”

（本环节设计意图：考虑学生的实际情况分层布置作业，必做题面向全体，让学生在巩固知识的同时，有一定的创新空间，选做题供学有余力的同学研究、提高。）

第四篇：认识无理数第一课时教案

2.1认识无理数

（第一课时）

一、教学目标叙写

１．学生通过预习教材21页,并思考情景引入中的问题1．

２．学生通过合作探究部分，初步感知数不够用了, 让学生充分感受“新数”（无理数）的存在.３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力． ４．学生通过完成“

五、当堂评价”，能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解．

二、教学重难点

１．重点：让学生经历无理数的发现过程.２．难点：会判断一个数是否为无理数．

三、教学过程

（一）、情景引入

［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.［生］在初一我们还学过负数.［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.1、思考：⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？

2、已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？

（二）、自主探究

1.问题的提出

［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.［生丙］由a2=2可判断a应是1点几.［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答.［生甲］我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，„整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.［生乙］因为111224111,,，„两个相同因数的乘积都为分数，所224339339以a不可能是分数.［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.活动内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】

将两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形.设这个大的正方形的边长为a,a满足什么条件？

【议一议】： 已知a2，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？ 【释一释】：释1．满足a2的a为什么不是整数？

释2．满足a2的a为什么不是分数？

【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础 【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段

222

（三）、合学应用 例：在数轴上表示满足x22x0的x.解：

（四）、整理反思

1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？ 2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？ 3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？

（五）、当堂评价

1、如图，回答下列问题：

（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设正方形的边长为b,b满足什么条件？（3）b是有理数吗？

2、如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h,h可能是整数吗？可能是分数吗？

（六）、变练拓展

1.请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形：（1）使它的三边中有一边边长不是有理数；（2）使它的三边中有两边边长不是有理数；（3）使它的三边边长都不是有理数.2.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.解：如图，AB=2，BE=1，AB、BE是有理数.AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2.AE2=AB2+BE2=22+12=5.AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.

第五篇：听课杂感-无理数

听课杂感─—无理数

毕达哥拉斯

从勾股定理说起

勾股定理在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，它是毕达哥拉斯在公元前500年发现的。其实在我国现存最早的数学著作《周髀算经》上，记载了公元前六七世纪荣方和陈子有关这条定理的一段对话，陈子说：“若求邪（斜）„„勾股各自乘，并而开方除之”。这段话用公式表示即为：c等于根号下a平方加上b平方或c的平方等于a的平方加上b的平方。因为陈子所处的年代早于毕达哥拉斯的年代，曾有人主张将 “毕达哥哥拉斯定理”改称“陈子定理”，1951年，我国的《中国数学》杂志将其定名为“勾股定理”。

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别─—毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。由毕达哥拉斯定理自身产生的矛盾─—无理数的发现

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉 斯学派数学信仰的“掘墓人”。

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯索斯发现了一个惊人的事实：若正方形边长是1，则对角线的长c不是一个有理数。就是说─—他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

事实上，若正方形边长是1，正方形对角线长为c，根据毕达哥拉斯的定理，c2＝12+12＝2，即正方形对角线长是平方为2的数，不是“有理数”。即正方形的对角线与边长的比，都不能用整数或分数来表示；这些无法用整数关系来描述的比，是人们还没有认识的一类新数。

可以想象，毕达哥拉斯学派受到了多么沉重的打击。这一发现实际上是推翻了毕达哥拉斯学派原来的论断，触犯了这个学派的信条。他们不许希伯索斯泄露存在2的平方根（即无理数）的秘密，但是天真的希伯索斯在无意中向别人谈到了他的发现。后来毕达哥拉斯教派为了维护教派的信条，以破坏教规为理由将希伯索斯装进大口袋扔进了大海。希伯索斯因为揭示了一个科学的真理而付出了生命的代价。

对于这种新的数，因为它与有理数相对立，十五世纪意大利著名画家达·芬奇称之为“无理的数”，实际上，有理数和无理数的英文名称是“rational number”和“irrational number”，译成“比数”和“非比数”更为合适。

一直到十八世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，使人类对数的认识从有理数拓展到实数。

希伯索斯悖论与第一次数学危机

希伯索斯悖论的提出与毕达哥拉斯定理（勾股定理）的发现密切相关。毕达哥拉斯学派是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。

在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希伯索斯（Hippausus）考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希伯索斯的发现在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常 识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的**，史称“第一次数学危机”。

在教学中对于平方为2的数，不是“有理数”可以这样说明： 若正方形边长是1，正方形对角线长为c

1、c不可能是整数，这是因为1＜c＜2；

2、c不可能是分数

mm，很明显若2＝2（其中m、n是正整数，且没有nn公约数，其中n≠1）是不可能的，这是因为如果它是整数，则n＝1

二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。

毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”（现在我们可以知道，有理数具有“稠密性”，实数具有“连续性”，数轴上的点与实数是一一对应的）。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。希伯索斯的发现

希伯索斯发现：直线上存在不对应于任何有理数的点。特别是，他们证明了：在这条直线上的点P不对应于任何一个有理数，这里距离OP等于边长为单位长1的正方形的对角线，如图1所示。

希伯索斯的发现

为了证明以单位长为边的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，根据勾股定理，只要证明平方为2的正数是不是有理数就够了。据亚里士多德说，历史上最早证明它是无理数的数学家正是毕达哥拉斯本人。他找到了一个方法来证明 这个数不能表示成m。这里，m、n是没有公约数的正整数。n以下是反证法的证明：

假设2是有理数，首先它不是整数，因为1＜2＜2； 其次假定2是既约分数，m＝2（其中m、n是正整数，且没有公约数）

nm2则：2=2

∴m2=2n2是2的倍数①，n所以m2一定是偶数，故m亦是偶数（奇数的平方不会是偶数）所以必有一整数k，使得m＝2k ②

将①代入②得：m2=2n2＝(2k)2 ∴2n2＝4k2 化简得n2＝2k2，所以n是偶数，所以m和n都是偶数，这与最简分数的假设矛盾

所以2即不是有理数

这个证明可推广至证明任何自然数的平方根是否是无理数。我们已经知道，开方开不尽时所得到的数都是无限不循环小数即无理数．但是，也确有一些无限不循环小数不是由于开方开不尽而产生的，在中学数学里遇到的有两个数；圆周率π就是如此。π的实际意义是圆的周长与该圆的直径之比，称为圆周率．我国伟大的数学家祖冲之对π值的推算结果为：3.1415926<π<3.1415927。综上所说，无理数可分为两类：一类是由于开方开不尽而产生的，称根数；另一类是像π这样的数，它们不是由于开方开不尽而产生的，称超越数。