巧用变式解决数学问题)

第一篇：巧用变式解决数学问题)

巧用变式解决数学问题

变式训练是我们经常用的一种教学方式，它从多个方面锻炼学生的思维。在教学过程中，有些知识比较抽象，学生难以理解，不容易接受，要想帮助学生突破难点，需要因势利导的利用变式教学，培养学生的观察、分析、归纳、概括的能力。利用变式训练，可以把一些看似孤立的问题从不同角度整合起来，并形成一个规律，帮助学生在解答问题的过程中去寻找解决类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。学生也不需要大量、重复地做同一样类型的题目，为学生节约很多时间，实现真正的减负与增效。

变式训练能通过一个问题解决一类问题，变式训练其实就是适当的改变问题题目或者结论改变学生的思维角度，培养学生的应变能力，通过例题的层层变式，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多想、多疑、多练等激发学生思维的积极性和深刻性。

变式训练是我们在平时的教学中采用得最多的一种策略，变式训练最常用的类型有：多变条件式，多解结论式。通过改变条件、问题、结论等的变式教学，让学生探索、发现问题之间的区别和联系，拓展学生的思维，培养学生的学习兴趣，增强创新意识和应变能力，提高学生的学习效率。设计通过改变条件、改变问题、改变情景，一题多变，让学生有更多的思考空间，有更多的机会发现应用问题之间的关系，可以更深入的发现应用问题之间的区别、内在联系，解法的共性，从而拓展学生的思维，在变式教学中，让学生学会解决问题的方法，并加以归纳、总结，形成技巧，学会用这些方法解决其它问题，培养学生知识、方法的潜移默化的能力。数学的学习不仅是学习知识，更重要的是提高自己的思维能力，变式训练是很有效的手段，也是启迪学生思维、拓展学生思维的重要方法，因此加强变式训练对于我们提高课堂实效大有帮助，设置适当的典型例题和习题，可以引导学生更好地掌握知识，更好地培养和拓展学生的思维。

第二篇：巧用分数解决年龄问题

巧用分数解决年龄问题

“今年李师傅和他徒弟的年龄和是56岁，若干年后，当徒弟的年龄是师傅现在的年龄时，师、徒的年龄比是5：4。师傅今年多少岁？”

这是一个年龄求解问题，其中运用了分数知识。“若干年后，当徒弟的年龄是师傅现在的年龄时”，这里的若干年不是未知数ｘ，不是用方程解决问题，只是一个假设的说法，我们应该关注的是其中不变的东西，即“若干年后师傅的年龄是5份，徒弟的年龄是4份，相差的年龄是1份，这个年龄差是不变的”。因为年龄差不变，那么今年师傅的年龄应该是（5-1=4）份，而徒弟则是（4-1=3）份，即今年师傅的年龄为：56*（4/（4+3））=56*（4/7）=32（岁）。

如果上述问题换一个问法：今年李师傅和他徒弟的年龄和是56岁，若干年前，当师傅的年龄只有现在的年龄时，徒弟的年龄恰好是师傅的2/3。徒弟今年多少岁？

和上面解法一致，抓住年龄差不变的原理即可知：今年的师、徒的年龄比是（3+1）：（2+1）=4：3，徒弟今年的年龄为：56*（3/（3+4））=56*（3/7）=24（岁）。

最后，请大家记住解决这类问题时，记住年龄差不变的原理，向前推算同时减1份，向后推算同时加1份，利用分数解决年龄问题将简便可行。

南通实验小学六（4）班

高名羽

2013年2月16日

第三篇：数学变式思想

在数学教学的过程当中，我们教师认真备课，用心辅导学生做练习，一直以“熟能生巧”来告诫学生，但事实给我们以极大的反差：许多我们认为让学生练熟的知识，在一次次考试中，只要对问题的背景或数量关系稍作演变，有的学生就无所适从。许多实例也表明，大量单一的、重复的机械性练习，达到的不是“生巧”，而是“生厌”，它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益，而且还会使学生逐步丧失学习数学的兴趣，这正是“题海战术”的最大弊端。许多教师曾意识到此类问题，因此在课堂教学中频频提醒学生解题学习要触类旁通，懂一题会解一片。

问题变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式。其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用—理解—形成技能—培养能力”的认知过程。因此，数学变式设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的“度”。一般地，设计数学变式，应注意以下几个问题：

1、差异性。设计数学问题变式，要强调一个“变”字，避免简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异。对每道题，要使学生既感到熟悉，又感到新鲜。从心理学角度看，新鲜的题目给学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力集中，积极性大，思维敏捷，使训练达到较好的效果。因此，设计数学变式，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。

2、层次性。所谓的问题变式要有一定的难度，才能调动学生积极思考。但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门坎”，既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力。

3、开阔性。一幅好画，境界开阔，就会令人回味无穷。同样，设计数学问题变式，一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间，让学生感到内容充实。因此，所选范例必须具有典型性：一要注意知识的横向联系；二要具有延伸性，可进行一题多变；三要注意思维的创造性、深刻性。

4、灵活性。根据教学内容和学生的实际情况，数学问题变式训练的方式要灵活多样，力求使学生独立练习和教师启发引导下的半独立练习相结合。同时，根据数学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式。这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果。

据学习目标和学生交流中所反馈的信息，教师精心选编题目，并通过变式得到变式训练题组，让学生在解答、变式、探索及题目编制过程中，深化对定理、公式的理解和运用，促进认知结构的内化过程。在变式训练环节中，教师活动体现在：(1)设计针对性强又能进行变式探索的题目。题目设计要注意定理、公式的正用、逆用和变式应用。(2)引导学生解答题目并进行题目变式。(3)引导学生应用定理、公式及其变式进行“编题”训练。(4)适时进行定理、公式的应用要点和技巧的点拨和鼓励性评价。学生活动体现在：(1)灵活应用定理、公式及其变式解决问题，注重探求多解。(2)主动探索题目变式，得到变式题组，扩大解题成果。(3)主动参与编题，进行创新活动，探索问题的源头。(4)在解决问题的过程中，注意总结定理、公式的应用要点和技巧。

第四篇：问题-亲历-变式-梳理数学课堂教学模式

平衡赫尔巴特与杜威

——“问题—亲历—变式—梳理”数学课堂教学模式实践

Johann Friedrich Herbart and John Dewey equilibrium ——Problems expericnced variable practice carding mathematics Classroom

teaching

mode

陈六一：江苏省苏州市阳山实验小学校，苏州市高新区阳山花苑一区95号，邮编：215151，电邮：2403802455@qq.com，电话：***。

【摘要】

通过“问题—亲历—变式—梳理”模式的课堂实践，探索“有趣、有疑、有创”的小学数学教学。有趣，即教师教得趣味盎然，学生学得妙趣横生；有疑，即教师问得巧，学生问得妙；有创，也就是教师情理之中的设计，孕育学生思维意料之外的精彩。当然以一定理论支撑下的教学模式，可以兑现前述的“三有”好课观；更为重要的是，丰富的课堂教学实践，又反过来映衬了教学模式的可行性：在模式的实践中平衡直接经验与间接经验，平衡过程与结果。课堂环节的递进围绕着“三线”开展：以思维为主线，以有趣为导线，以思想为隐线。【关键词】

问题

变式

亲身经历

数学现实

实现数学

【引言】

如同一千个读者就有一千个哈姆雷特，何谓一节好的数学课？想必一千个数学老师也有一千种解读。例如李炳亭老师认为好课要看状态、看参与、看流程、看效果、看师德；而叶澜教授心中则有这样的好课标准：有意义、有效率、生成性、常态性、有待完善。因为课堂教学毕竟至少是科学的，所以研究过往的数学课堂教学经验，总能找寻到一些规律，得到一些启示。于是在《一堂好的数学课是个什么样子》①一文中，笔者以为好的小学数学课堂教学，可以从“三有”着力——有趣、有疑、有创。所谓有趣，即教师教得趣味盎然，学生学得妙趣横生；所谓有疑，即教师问得巧，学生问得妙；所谓有创，也就是教师情理之中的设计，孕育学生思维意料之外的精彩。这是我十七年一线小学数学教学实践的思悟，有着个体经验的特殊性，但依然可追溯其理论源头。

“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。”②

“兴趣既是学习的原因，也是学习的结果。也就是说，兴趣导致学习，而学习产生更大的兴趣。”③

从教学行为上看，教师要完成如下任务：（1）激发学生的数学学习兴趣和动机；

（2）通过问题情境等多种形式向学生提出学习任务；

（3）引导学生针对学习任务开展数学活动（包括尝试探究、变式训练等）；（4）对学生的学习活动进行反馈和调节；

（5）对学生的学习结果做出诊断和评估，必要时给予补救教学。④

【正文】

以理论武装的经验貌似具有了形而上的底气，进而，笔者提出“问题—亲历—变式—梳理”的小学数学课堂教学模式，以行动兑现理念。

一、问题——发端教与学

《九章算术》中的246个问题，是我们教师创设数学问题很好的摹本，可惜我们没有继承发扬，以至于提出好的问题成了我们一线数学教师的奢侈品。那何为问题？指的就是需要学生研究并加以解决的数学矛盾，或者疑难的数学题目。以问题为出发点是小学数学课堂教学首要的一个策略。主要基于两个理由：第一，任何数学知识都有其产生的背景，它往往建立在解决问题需要的基础上，而且是自然诞生的，是水到渠成的结晶；第二，由难度适当的问题或者在学生数学现实的区域内，亦或真切的生活情境需要新知，而引起的认知冲突，可以激发学生的 求知欲和思维的积极性，提高小学生学习数学的兴趣。例1-1：苏教版六年级上册《方程》例题1教材呈现如下：

我觉得直接引用教材问题，学生“看个究竟的动机”不高，其

一、西安距离我的教学地苏州太远，学生不熟悉；其

二、问题不好玩，学生会觉得问题解决不过是做题而已。于是，我进行了改编——

师：想知道老师的身高嘛？ 生：当然想。

师：我不想直接告诉你，咋办？

生：老师，你和佳佳同学差不多高，大概165厘米吧？

师：拉关系，好办法。告诉大家，虽然老师很矮，但还是愿意和姚明拉上关系。

生：哈哈大笑。

师：大家都知道姚明有多高？ 生：227厘米。

师板书：姚明身高227厘米，是数学陈老师身高的3倍„„ 生：不可能，老师矮得没那么夸张。

师接着板书：姚明身高227厘米，是数学陈老师身高的3倍少271厘米，老师身高多少厘米？

课堂效果正如我所料，一个个兴致高昂。课堂中问题固然可以由老师设计提出，但更要研究学生提出的问题，一如《学记》要求教师“善问”和“善待问”：“善问者如攻坚木，先其易者，后节其目，及其久也相说以解。不善问者反此。善待问者如撞钟，叩之以小者则小鸣，叩之以大者则大鸣，待其从容，然后尽其声。不善答问者反此。”但当前实际的小学教学频频出现曹才翰、章建跃教授的担 3 忧：课堂中老师“缺乏问题意识，解答结构良好的问题多，引导学生主动提出问题少，对学生提出问题的能力培养不力。”⑤

例1-2：一个学生向我提出：“老师，其实三角形、长方形、正方形、平行四边形都可以看做梯形。”和学生分享交流后，我觉得这个问题很有意思，待到课堂我请这位同学在班级里提出，学生们也颇感好奇。于是一段新奇的探索开始了——

S三角形=（a+b）h÷2=（0+a）h÷2=ah÷2

S长方形=（a+b）h÷2=（a+ a）b÷2=a b

S正方形=（a+b）h÷2=（a+ a）a÷2=a2 S平行四边形=（a+b）h÷2=（a+ a）h÷2=a h

二、亲历——经验过程中厚积薄发

课堂中学生须得亲身经历思维活动的认知操作过程，包括观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比、猜想等等；课堂中学生还应该亲身经历或成功或失败或懊恼或兴奋的精神体验。

例2-1：在《三角形的内角和》的课堂，学生通过计算一副三角尺两个不同的直角三角形内角和是180度，提出猜想：“任意三角形的内角和都是180度。”接着学生们各自根据自己的认知、经验实际操作验证。

生1：画出各种形状的三角形若干个，分别测量各个角的度数，然后计算。

生2：画出各种形状的三角形若干个，依次剪下每个三角形的三个角，看是否平成一个平角。

生3：

（1）

（2）

（3）

„„

需要提醒的是，任何有效的学习，都是一个主动建构的过程，但是这种主动是在主体拥有学习动机的前提下进行的；可是学习并不完全是为了适应学生目前的环境，不乏学生意识不到学习对于自己成长的作用，因此不愿意为学习付出应有的努力。还有很多数学知识与生活实际之间具有间接性，加之抽象严密的逻辑 4 让很多学生心生恐惧，因此数学的学习相对于其他学科的学习更加被动。然而，有效学习数学是建立在学生心理活动的基础之上，所以当学生的非智力因素（动机、兴趣、情感、意志、性格等等）真切参与到认知活动中来，智力才会发生作用。

三、变式——超越直接经验

变式：中国数学教学的传统，也是中国“双基教学”的精华。通过变更学生认识数学知识的视角，显现数学知识的隐蔽要素，显现数学知识的本质特征。儿童的成长不完全建立在“直接经验”之上，就像不能让儿童亲自吸毒的办法来认识“罂粟”的危害一样。那么由教师设计练习，学生接受变式训练达到熟能生巧，也是一种意义学习，发现学习，而并不是传统的就是机械的，糟糕的。

顾冷沅先生在总结上海青浦经验时，使用了“概念变式”和“过程变式”的两种分类。⑥

1、当概念被认为是静止对象时，概念性变式是卓有成效的方法。

例3-1：《乘法分配律》练习中出示“23×62+23×38，23×23+23×77，23×101—23，23×102，23×23+23×78—23，（34×67+34×58）×8，8100÷90+8100÷10，（400+40+4）×25”。

这些变式是抽象的数字与符号，但相对于乘法分配律的意义来说则是具体的。

2、如果知识是通过一系列过程的发展而形成的，那么帮助学生体验知识的“生长经历”就成了引入新知的必由之路。

例3-2：《乘法分配律》的学习中，我设计了如下过程式变式，帮助学生逐步建立乘法分配律的概念。（1）情境感知

出示算式23×（62+38），请同学们用买衣服的情境编题，学生：一件上衣62元，一条裤子38元，阿姨买了这样的衣服23套，一共用去多少元？接着出示算式23×62+23×38，还请同学们用买衣服的情境编题，学生：一件上衣62元，阿姨买了23件，一条裤子38元，阿姨也买了23件。那么阿姨一共用去多少元？

学生观察，得出两个题目表达的内容完全一样，可以只用一个情境，并且两个算式的而结果也肯定一样。老师请同学们自己选择不同的数据，继续编题，并写出算式：18×39+18×38=18×（39+38），20×60+20×40=20×（60+40）„„

5（2）抽象感知

师：这样的等式写得完吗？不需要情境你能再写出几个类似的等式吗？ 生：18×139+18×138=18×（139+138），25×18+25×82=25×（18+82）„„ 师：很棒！这些等式百分之百的正确，请教你是用什么方法写出这些等式的？ 生：这里有规律的，两个乘法算式相加，如果有相同的因数，可以这个因数乘其他两个因数的和。（3）用符号概括

师：这样的算式永远写不完，那可以用一个什么办法把这些算式都包含进去？

生：▲×□+▲×◇=▲×（□+◇）

生：a×b+a×c=a×（b+c）（4）灵活运用

师：名名同学计算12×（13+4）=12×13+4，错在哪里？与正确答案相差多少？

变式，也切合建构主义者提出的“随机通达教学”：对同一内容的学习要在不同时间多次进行，每次的情境都是改组的，分别针对知识的不同侧面。这样，在每一次的教学中，学生都能获得知识的新理解，从而使学生对概念形成多角度的理解，并与具体情境联系起来，形成背景行经验。

四、梳理——以“数学现实”发展到“实现数学”

例4-1：《平行四边形的面积》变式教学之后，老师提出：今天有哪些收获？老师不满足于学生“学习了平行四边形的面积公式S=ah。”接着启发学生总结出“要想求出平行四边形的面积，需想办法找到对应的底和高的长度；同理，求底，则需要面积与高的数据，求高，则需要面积与底的数据。”还启发学生得到“推倒平行四边形的面积公式是把平行四边形转化为长方形，那么我们没有学的三角形面积公式、梯形面积公式，也可以转化为学过的图形面积公式。”甚至有学生说出“通过今天的学习，我明白了不懂的知识可以经过转化，变成自己掌握的知识。”

梳理环节的设计，受益于波利亚“怎样解题表”的启迪，在“怎样解题表”中，波利亚的第四阶段是“回顾，检查已经得到的答案”。这是一个非常有远见的做法，不但帮助接替者验证了答案的准确度，更使得解题思路清晰可现，解题方法与学习者“数学现实”予以同化或者顺应。那课堂教学中，通过回顾梳理所学 6 的知识、技能、方法、经验、思想，可帮助学行内化认知，正迁移思想方法，使得学生脑海里的知识趋向结构化，由“学会” 达到“会学”。

例4-2：刘德武老师在《一卷卫生纸有多长》一课上，让学生通过估计、实验、计算的方法，算出了卫生纸的长度，最后为了验证结果，学生用直接测量的方法，测出了卫生纸的长度。随后，刘老师提出了一个问题：“我们花了大半节课的时间去计算一卷卫生纸的长度，但用测量的方法只花了两分钟的时间，而且测量结果比计算结果更准确，我们折腾那么长时间干嘛呀？”

学生的回答可是精彩。

生1：如果是很大的一卷纸，要直接测量是很费事的。生2：如果不打开卷，测量是不可能的。

生3：在数学课上我们学到了方法，在生活中多有用啊！

生4：这种学习，可以锻炼自己的思维，比直接测量有用，可以使我们更加聪明。

生5：这种研究不是简单地练习，不是做题后再做题，而是在研究中得到发展，我喜欢这样的数学课。

梳理亲历探索这卷卫生纸的长度的过程、方法，对卫生纸到底有多长的结果并不重要，重要的是学生在回顾中，体悟了探究的意义，体验了数学的应用价值，思维含量，以“数学现实”发展到了“实现数学”。

【结语】

教学中，可依次按照“问题—亲历—变式—梳理”的顺序推进教学过程，但是这四个环节也并非一定是必然的前后起承关系。例如学生在“亲历”、“变式”、环节教学中，学生自然可以相机提出问题，学生的良好问题改变了教师的预设，教师机智的处理生成，进一步促进教学相长。例如学生亲历思维活动之后，老师可以帮助“后进生”回顾操作方法、推理思路等，顺利过渡到变式练习„„

其实，追溯当代教学理论的哲学源头，基本上都是从赫尔巴特和杜威的教学思想演变发展而来。⑦赫尔巴特知识观的核心是重视间接经验的学习，他认为主体与客观二元分立，客体独立于认知主体，知识的客观性对主体具有制约作用。因此赫尔巴特主张教学可靠性知识的理解与接受，学生要学习具有系统性的课本知识，教师的任务是揭示确定性知识的内在联系。赫尔巴特的教学思想非常适宜 我们中华“自上而下”的文化土壤。杜威强调直接经验的学习，“儿童中心论”是其教育思想的要义，他建构起主体与客体、经验与自然、物质与精神相互依赖、双向维系的整体性“生命存在论”，主张学生在“做”与“思维”的过程中学习。

进行“问题—亲历—变式—梳理”模式的课堂实践，如以上案例教学，尝试平衡“赫尔巴特对直接经验的偏见性与杜威教育就是经验的改组、知识是不确定的” 这两种教育理念。因为这不是非此即彼之争，反而应该在吸取对方长处，优势互补中求发展；因为这种发展可以平衡直接经验与间接经验，可以平衡过程与结果。

【参考文献】

①：陈六一，《考试》综合版【J】2013年第5期，北京，41。

②：教育部，《义务教育数学课程标准》（2011年版）【M】，2012，北京，2。③：斯滕伯格、威廉姆斯，2012，北京，《斯滕伯格教育心理学》【M】，304。④：曹才翰、章建跃，2007，北京，《数学教育心理学》【M】，18-19。⑤：曹才翰、章建跃，2007，北京，《数学教育心理学》【M】，282。⑥：张奠宙：2009，上海，《中国数学双基教学》【M】，72。

⑦：孔企平、张维忠、黄荣金，2003，北京，《数学新课程与数学学习》【M】，228。

【作者简介】

陈六一：男，小学数学高级教师，全国素质教育先进工作者，中国教育学会数学研究中心会员，奥林匹克数学国家二级教练员，安徽怀宁县第一届数学教学能手，第二届教坛新星，上海市浦东新区数学学科带头人，曾在《基础教育参考》、《中小学数学》、《教师月刊》、《现代教学》、《教育科学论坛》等杂志上发表数十篇论文，教育叙事《我为何如此幸福》一书2009年由香港天马出版公司出版发行。

第五篇：数学变式教学(讲座)

数学变式训练对学生的长远影响

教师：李芳芳

时间过得真快，转眼一学期又要结束了。这学期我们九年级数学重点是通过变式练习的教学提高课堂教学质量。通过听三位教师的公开课及自已上公开课，从理论到实践再到理论，经过这样的过程，感触很大也很受用。最值得学习的是培养了学生的各种基本知识和基本技能。下面我从学生的收获谈一谈自己的看法。

一、变式训练课激活了学生的思维。

变式训练激活学生的思维，尤其是发散思维的能力、化归、迁移思维能力和思维的灵活性。运用变式训练可以提高数学题目的利用率，抽高数学的有效性，培养学生的综合思维能力。比如邹琪教师的这节课重点是讲解绝对值的性质运用，通过变式抓住绝对值班的本质规律，通过训练，主要通过呈现性质的外延和一些易错难辨的分类考虑情况，让学生加深理解很好的掌握绝对值。姚老师的这节几何课把各种全等变形通过具体的变换演示让学生思维一下活跃，学生能很快建立空间形象概念，通过变式帮助学生多方位灵活理解，再复杂的图形都是是由几种基本全等变换得到的，可以从复杂的图中抽象出本质的思维方法。另外，姚老师在处理质疑导学中的例题时，化整为零各个击破，用一个二次函数综合问题激活学生思维的深度和广度，一个问题比一个问题难并且综合了轴对称及两点之间线段更短等知识，尤其是面积的问题，一题多解培养了学生变通和举一反三的能力，收到了少而胜多的效果。

二、激活了学生的兴趣，这三节课的变式变得好，不是机械的重复的训练是让学生感兴趣的变式，学生身心都投入，课堂成了学生是主人，教师只起到了主导作用，通过有效的分组和变式，学生有持续的热情参与，并且学生的参与面大，学生真正学得轻松有趣。

三、提高学习效率

通过式训练丰富了课堂气氛，使学生思路宽广更节约教学时间抽高了课堂效率。这三节大容量有一定难度的变式练习课，学生掌握的好，学生主观能和积极性最大开放，提高课堂效率，轻松了老师，老师和学生思维相吻合和谐地展示了高效课堂。

总之，我在今后的教学中一定要多尝试运用变式训练，尤其在下学期上九年级的中考复习上用，努力提高课堂效率，努力提高中考复习效率。

2018年6月 20日