第一篇：函数的简单举例
#include
template
void Swap(T& x,T& y){
T tmp=x;
x=y;
y=tmp;
}
int main()
{
int n=1,m=2;
Swap(n,m);
cout< cout< } 随机取值： 1、randbetween(最小整数，最大整数) 2、rand()0~1 编辑组合，如：30~40，可编辑为：rand()*30+103、pi()3.14159........筛选值： 1、min(数值.....)取最小值 2、median(数值.....)取中值 3、max(数值.....)取最大值 4、small(数组，k)第k个最小值 5、Large(数组，k)第k个最大值 6、mode(数值)返回在区域中出现频率最多的数 7、Mod(数值，除数)返回余数 求值： 1、求和 sum(数值1，........) sumif(区域，条件，求和区域) sumifs(求和区域，区域1，条件1，.......) 2、相乘 product(数值1，........) 3、平方和 sumsq(数值1，........) 4、平方根 sqrt(数值) 5、方差 var(数值1，........) 6、标准差 stdev(数值) 7、角度换算为弧度 randians(角度) 8、弧度换算为角度 degrees(弧度) 9、求平均值 average(数值) 10、求平均值 average(数值，区域1，条件1，........) 11、绝对值 abs(数值) 返回值： 1、trunc(数值，小数位数)将小数部分截去，返回整数 2、Round(数值，小数位数)按指定位数取整，遵循四舍五入 Roundup(数值，小数位数)向上按指定位数取整，不遵循四舍五入Rounddown(数值，小数位数)向下按指定位数取整，不遵循四舍五入 3、odd(数值)对指定数值沿绝对值增大方向取整后最接近的奇数 4、even(数值)对指定数值沿绝对值增大方向取整后最接近的偶数 排序： 1、rank(数值，引用，排位方式)“引用”使用“绝对引用” 函数单调性 一、教学目标 1、建立增（减）函数及单调性、单调区间的概念 2、掌握如何从函数图象上看出单调区间及单调性 3、掌握如何利用定义证明一段区间上的函数单调性 二、教学重难点 1、了解增（减）函数定义 2、用定义法证明一段区间上的函数单调性 三、教材、学情分析 单调性是处于教材《数学•必修一》B版第二章第一节，初中对单调性有着初步感性认识，到这节课我们给单调性严格的定义。单调性是对函数概念的延续和扩展，也是我们后续研究函数的基础，可以说，起到了承上启下的作用。 四、教学方法 数形结合法、讲解法 五、教具、参考书 三角尺、PPT、数学必修 一、教师教学用书 六、教学过程 （一）知识导入 引入广宁县一天气温变化折线图 询问学生今天的温度是如何变化的？ 学生答：气温先上升，到了14时开始不断下降。 由此导入函数图像的上升下降变化，给出f（x）=x和f（x）=x²的图像，询问学生，这两个函数图象是如何变化的？ 学生答：前一个不断上升，后一个在y轴左边下降，在y轴右边上升。再询问学生并提醒学生回答：从上面的观察分析，能得出什么结论？ 不同的函数，其图像的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同，函数图像的变化规律就是函数性质的反映。 教师：那么这就是我们要研究的单调性。 （二）给出定义。 教师：首先我们来看一下一元二次函数y=x²的图象的对应值表，当x从0到5上变化时，y是如何变化的。生：随着x的增大而增大 教师：那么我们在这段上升区间中任取两个x1，x2，x1 教师顺势引导出增函数的概念，再由增函数类比画图演示，引导出减函数的概念。强调增（减）函数概念，尤其是在区间内任取x1，x2这句话的理解。由增（减）函数可以引出单调区间的定义，不作很详细讲解。给出例题让学生思考作答，进一步巩固知识点。 （三）证明方法 让学生们思考例二（思想为用定义法证明一段区间的单调性）并尝试解答，一段时间后教师给学生讲解。 讲解完例题后，引导学生归纳用定义法正明一段区间的单调性的方法： 1、设元。 2、做差。 3、变形。 4、断号。 5、定论。 （四）巩固深化 思考：函数y=1/x 的定义域I是什么？在定义域I上的单调性是怎样的？ 通过这道问题的讲解说明，让学生们意识到单调性是离不开区间的且单调区间不能求并。 （五）课堂小结 再次对 1、增（减）函数定义。 2、增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间。 3、怎样用定义证明函数的单调性？三个问题进行阐述，牢固学生记忆和理解。 （六）布置作业。 Matlab在“函数的极限”教学中的应用举例 摘要：极限是微积分的基本工具和重要思想。该文利用Matlab画图工具，画出几个函数图形。借助于图形分析函数的极限，使学生印象深刻，更加清楚明了。 关键词：极限；微积分；Matlab；图形 中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）24-0097-02 An Example of the Application of Matlab in “Limit of Function” Teaching WANG Shan-shan，CHEN Xiao，SU Qian-qian （Zhengzhou Chenggong University of Finance and Economics，Zhengzhou 451200，China） Abstract： Limit is the basic tool and important thought of calculus.In this paper，by using the drawing tool in Matlab，we draw several function graphics.With the help of the graphics，we analysis the function’s limit，so that causes the students impressive and more clear.Key words： limit； calculus； matlab； graphic 微积分是三本院校偏文科类新生的一门重要的公共基础课，对于锻炼学生的逻辑思维能力、空间想象能力等起到关键作用，也是学生升学深造的一门考试课程。微积分课程本身比较抽象，理论性强，而且三本院校学习微积分的学生大部分都是文科生，他们数学基础薄弱，对学习数学不自信，普遍感到学习数学很吃力。 数列的极限和函数的极限是微积分里首先接触到的重要章节，后边很多重要的概念，例如：函数的连续性、可导、可积等都是借助于极限来定义的，因此极限是微积分的重要思想和基本工具，学好这一部分内容可以为后续内容打好基础，而且可以增加学生学习微积分的自信心。 如何改革教学方式，提高课堂效率成了微积分这门课程的改革热点。在授课方式上，可以将传统的黑板板书讲授和现代计算机软件相结合。Matlab 软件具有作图和数值计算的优势，可以生动表现函数图像，帮助学生想象、理解，同时有利于激发学生的学习兴趣。本文挑选几个稍微复杂点而且相互之间容易混淆的函数，教材中一般没有给出它们的图形，我们借助于Matlab的画图工具，将它们的图形展现出来，帮助学生理解记忆。几个函数的图像及其极限分析 1）[limx→∞x?sinx] 程序： >> x=-40：0.01：40； >> y=x.*sin（x）； >> plot（x，y） >> title（'y=x*sin（x）'）； >> xlabel（'x'）； >> ylabel（'y'）； 如图1，可以观察到极限[limx→∞x?sinx]不存在。 借助于图像我们这样分析：虽然[x]趋向于无穷大，但是[sinx]是在-1和1之间取值的周期函数，它会把函数值不时的拉回到0，因此，随着[x→∞]，整个函数在[x]轴上下振荡，其振幅逐渐增大，函数没有极限。另外，我们说当[x→∞]时，函数[fx=xsinx]是无界变量但不是无穷大量，因为[fx]可以要多大有多大，但并不是从某个时刻之后总成立。用Matlab画出函数[fx=xsinx]的图形，学生一目了然，加强了学生对无界变量和无穷大量之间的关系的认识。 2）[limx→0sin1x] 程序： >> subplot（1，2，1）； >> fplot（'sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）； >> title（'y=sin（1/x）'）； >> xlabel（'x'）； >> ylabel（'y'）； >> subplot（1，2，2） >> fplot（'x*sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）； >> title（'y=x*sin（1/x）'）； >> xlabel（'x'）； >> ylabel（'y'）； 对于极限[limx→0sin1x]（图2左），可以清楚地观察到在原点附近函数[y=sin1x]的值在-1 与 1 之间波动，没有极限。理论分析：当[x→0]时，[1x→∞]。对于周期函数[y=sint]，易知当[t→∞]时，[y=sint]没有极限，函数在-1和1之间周期振荡。回头来说，则[limx→0sin1x]不存在极限，[x=0]称为函数[y=sin1x]的振荡间断点。 3）[limx→0x?sin1x]和[limx→∞sinxx] 在学习无穷小量这一节的内容时，我们证明过一个定理：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量。利用这个结论，虽然[limx→0sin1x]不存在，但[x→0]为无穷小量，所以函数[sin1x]乘以一个无穷小量后[limx→0x?sin1x]为无穷小量，因而极限为0。观察函数[y=x?sin1x]的图形（图2右），当[x→0]时，函数值不断振荡，但离0越来越近，极限为0。 同时，我们可以快速给出极限[limx→∞sinxx=0]。第一种思路：[limx→∞sinxx=limx→∞1x?sinx]，当[x→∞]时，[1x]为无穷小量，[sinx]为有界变量，无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，因此该极限为1；第二种思路：借助于前边得到的结果[limx→0x?sin1x=0]来求该极限，即[limx→∞sinxx=t=1xlimt→0t?sin1t=0]。函数在形式上容易混淆，要分清楚极限过程，发现两个极限的实质是一样的。观察图形（图3），随着[x]的无限增大，函数[sinxx]的图形沿[x]轴上下振荡，振幅逐渐减小，趋向于0。 4）[limx→0sinxx]与[limx→∞x?sin1x] 程序： >> x=-6*pi：0.001：6*pi； >> y=sin（x）./x； >> plot（x，y） >> text（0，1，'o'） >> title（'y=sin（x）/x'）； >> xlabel（'x'）； >> ylabel（'y'）； 一般，在微积分教材中，都会把[limx→0sinxx]当做一个重要的极限来讲解，利用极限存在的“夹逼准则”证明出[limx→0sinxx=1]。现在本文给出函数[sinxx]的图形（图3），一目了然，当[x→0]时，函数[sinxx]的极限为1。 同时，我们可以快速给出极限[limx→∞x?sin1x=1]。思路为：[limx→∞x?sin1x=limx→∞sin1x1x][=t=1xlimt→0sintt=1]。另外，函数[x?sin1x]的图形（图2右）也已经给出，非常清楚直观。 结束语 本文一共介绍了6个函数的极限：[limx→∞x?sinx]不存在，[limx→0sin1x]不存在，[limx→0x?sin1x=limx→∞sinxx=0]，[limx→0sinxx=limx→∞x?sin1x=1]。我们从理论方法上分析了这6个函数的极限，并给出了它们的图形，使得学生们一方面学习计算极限的方法，另一方面通过观察图像加深对函数的了解和对极限的记忆。由此可见，恰当的应用 matlab 的画图功能，有助于巩固学生对重要概念的掌握和理解。 参考文献： [1] 周坚.三本文科类新生适应高等数学教学的几点建议[J].西昌学院学报，2012（26）.[2] 麦红.Matlab在大学文科数学教学中的应用[J].电脑知识与技术，2008（4）.[3] 赵树??.经济应用数学基础 （一）：微积分（第3版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.[4] 李娜，仁庆道尔吉.Matlab在高等数学教学中的应用研究[J].大学教育，2012（11）.[5] 冯娟.文科高等数学教学内容改革初探[J].考试周刊，2010（22）：14.[6] 菅小艳.MATLAB在高等数学中的应用[J].计算机时代，2011（5）. 江苏省清江中学教学案 [课题]2.1.3函数的简单性质----奇偶性 [教学目的] 1、知识与技能： 能结合具体函数，了解奇偶性的含义，初步学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 2、过程与方法： 通过对函数基本性质的学习，从对图像的观察，能感知并体会数与形的对应，发现并能探究到函数的基本性质。 3、情感态度与价值观： 养成用数学方法分析数学问题的习惯，培养解数学问题的能力。[教学重、难点] 函数奇偶性的概念、图像特征及函数奇偶性的判定。[多媒体辅助链接] [教学过程] 一、问题情景 师：在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，建筑物和它在水中的倒影 “对称”是大自然的一种美，无处不在，是生活的一种美，这种“对称美”在数学中也 有很多的反映。二 学生活动 师：（投影胶片，翻折片）同学们先来观察下列函数图像，从对称的角度你发现了什么？ （1）y=x 生：观察得到：（1）、（3）的图像关于y轴对称;（2）、（4）的图像关于原点对称.师：问题1.你能说出“图像关于y轴对称”的意思吗？ “图像关于原点对称”的意思呢？ 2(2)y=2x(3)y=x-1(4)y=-x 江苏省清江中学教学案 问题2.点（x0,f(x0)）与哪一个点关于y轴对称？ 点（x0,f(x0)）与哪一个点关于原点对称？ （同学们可以先回忆初中所学的对称概念，再相互讨论一下，然后在回答问题。）生：函数y=f(x)的图像关于y轴对称，把此图像沿y轴对折，那么图像上的点（x0,f(x0)）与图像上点（-x0,f(-x0)重合；因此有f(-x0)=f(x0)成立。 函数y=f(x)的图像关于原点对称，把此图像绕原点旋转180，那么图像上的点（x0,f(x0)）与图像上的点（-x0,f(-x0)）重合。因此有f(-x0)=-f(x0)成立。 师：很好，同学们的观察很仔细，也很准确。函数的这种性质称为函数的奇偶性。三 建构数学 师：同学们能否用数学语言来表述函数的奇偶性呢？若能，问题3 如何用数学语言来准确的表述函数的奇偶性？ 生：1）设函数y=f(x)的定义域为A，对任意的xA，都有f(-x)=f(x)成立，那么称函数y=f(x)是定义域A内的偶函数。 2）设函数y=f(x)的定义域为A，对任意的xA，都有f(-x)=-f(x)成立，那么称函数y=f(x)是定义域A内的奇函数.(学生的表述不太完整，不太准确时，教师作适当的提示和补充，使之完善。)师：如果函数y=f(x)是奇函数或是偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性。 得到了奇函数、偶函数的定义，我们一起再来把定义分析一下。 问题4.“对任意的xA，都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立”这句话包含了几层含义？ 生：包含了两层含义 （1）说明f(-x)与f(x)都有意义，即xA时必有-xA，这说明奇、偶函数的定义域必须关于原点对称。否则的话，就既不是奇函数，也不是偶函数。 （2）对于偶函数，当自变量任取定义域内互为相反数的两个值时，对应的函数值恰好相等； 而对于奇函数，当自变量任取定义域内互为相反数的两个值时，对应的函数值恰好互为相反数。 0 江苏省清江中学教学案 (学生的表述不太完整，不太准确时，教师作适当的提示和补充，使之完善。)师：强调（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个先决条件； （2）易知偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。 四 数学应用 师：下面我们一起来看例题（投影胶片） 例1 判断下列函数是否为奇函数或偶函数？ 223（1）f(x)=x-1(2)f(x)=(x-1)(3)f(x)=x+5x x2x(4)f(x)=x(x[-1,2]) (5)f(x)= (6)f(x)=0 x1(x[-6,-2][2,6]) 21x2(7)f(x)=x11x(8)y= x2222生1：（1）是偶函数.因为它的定义域是R,且对任意xR，都有f(-x)=（-x）-1=x-1=f(x)。 （2）既不是奇函数，也不是偶函数。因为虽然它的定义域是R，但对任意xR，f(-x)=(-x-1)=(x+1)，所以f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)。22（3）是奇函数..因为它的定义域是R, 对任意xR，f(-x)=（-x）+5（-x），=-x-5x=-f(x)。 生2：（4）既不是奇函数，也不是偶函数。因为它的定义域不关于原点对称，如f(2)存在，但f(-2)无意义。 （5）既不是奇函数，也不是偶函数。因为它的定义域xx1,xR点对称。 生3：（6）既是奇函数，也是偶函数。因为它的定义域关于原点对称，且对任意x[-6,-2][2,6]，都 有f(-x)=0，故f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)同时成立。 33不关于原 1,1，关于原点对称，化简（7）既是奇函数，也是偶函数。因为它的定义域是得f(x)=0，所以都有f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)成立。 1x11x0生4：（8）是奇函数.由得x0所以该函数的定义域是[-1，x22x42 江苏省清江中学教学案 0](0,1]，此时化简得 1x21x2f（x）=，对任意x[-1，0](0,1]，都有f（-x）==-f（x）xx成立。 （先由学生回答，教师随时补充、完善，然后投影出完整的书写过程。）师：问题5。根据例题，（1）你能归纳一下根据定义判定函数奇、偶性的步骤吗？ 生：大致分为三步 江苏省清江中学教学案 （先由学生自己思考，然后教师投影出证明过程，强调证明过程书写要完整、规范）证明：函数f(x)=x2x2的定义域为R, 对任意xR，都有 f(-x)= x2x2=x2x2=f(x)所以函数f(x)=x2x2是偶函数。 （证明一个函数是奇函数或是偶函数必须用定义进行，步骤同判定） 师：例1和例2都是从数的方面来研究函数的奇、偶性，下面我们再从形（图像）的方面来看看。 例3（1）已知偶函数f(x)(x[1,4]）上的图像，作出f(x)(x[-4,-1]上的图像； （2）已知奇函数g(x)(x[1,4]）上的图像，作出g(x)(x[-4,-1]上的图像； 注：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，（函数的单调性是定义域上的局部性质）。 练习课本P40 1,2,3,4.五 回顾小结 本节课主要学习了函数的奇偶性的概念以及判断函数在定义域上的奇偶性的方法。1 函数具有奇偶性必须满足（1）定义域在数轴上关于原点对称 （2）f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)在定义域内恒成立 若函数定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数。2 奇函数、偶函数的图像特征 奇函数的图像关于原点成中心对称图形 偶函数的图像关于y轴成轴对称图形 江苏省清江中学教学案数形结合的数学思想在本节课中的应用 六 课外作业 课本P40 5,6 P43 5,6,8,9 [教后反思]第二篇：简单函数归纳总结
第三篇：函数单调性教案(简单)
第四篇：Matlab在“函数的极限”教学中的应用举例
第五篇：2.1.3函数的简单性质----奇偶性
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