数学解题方法谈:复数与平行四边形家族

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第一篇:数学解题方法谈:复数与平行四边形家族

复数与平行四边形家族

菱形、矩形等特殊的平面四边图形与某些复数式之间存在某种联系,复数的几何意义架起了“形”与“数”相互转化的桥梁.下面略举几例,以供参考. 友情提示:若复数za

bi,则z

一、复数式与矩形

例1 复数z1,z2满足z1z20z1z2z1z2,证明:证明:设复数z1,z2在复平面上对应的点为Z1,Z2,由z1z2z1z

2z1z2

称为z的模,它在复数中有广泛的应用.

z

122

z2

0.



知,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形为矩形,OZ1⊥OZ2,可设

z1z

2ki(kR,k0),所以

kik0.

222

例2 已知复数z1,z2满足z11z21,且z1z24,求

z1z2

与z1z2的值.

解:设复数z1,z2在复平面上对应的点为Z1,Z2,由

于z1

1)71)4故,z2

z12,2



故以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是矩形,z

从而OZ1⊥

OZ2,则1

z2

143i;z1z2z1z24.



例3 已知复数z1,z2满足z1z2

1,且z1z2

z1z2

证明:设复数z1,z2在复平面上对应的点为Z1,Z2,由条件知z1z21



以OZ1,2,OZ2

为邻边的平行四边形为正方形,而z1z2在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线,所

z1z2

点评:复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义.复数加法几何意义的运用是本题考查的重点.

二、复数式与菱形

例4

已知z1,z2Cz1z21z1z2

z1z2.



解:设复数z1,z2,z1z2在复平面上对应的点分别为Z1,Z2,Z,由z1z21知,以OZ1,OZ2为

邻边的平行四边形是菱形,在△OZ1Z中,由余弦定理,得

z1

cosOZ1Z

z

2z1z

2z1z2



12,OZ1Z120,Z1OZ260,因此,△OZ1Z2是正三角形.

z1z2



Z1Z21.

点评:本题通过复数模的几何意义的应用来判断四边形的形状,并且应用到了余弦定理,使得问题解决的很巧妙,其中例1~例4均可用z1z2例5 求使

zaza

222

z1z2

2(z1

z2)处理.

(a0)为纯虚数的充要条件.

解:∵

zaza

是纯虚数,∴可设

zaza

222

i(R,0),将其改写为

z1z2z1z2

i(R,0).



设复数z,a在复平面上对应的点为Z1,Z2,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是菱形,∴za,za,考虑到za时,zaza

222

0;

zaiza

222

za

无意义,故使

zaza

222

且za,za(a0)为纯虚数的充要条件是za,i,即z是模为a的虚数(非纯虚数).

点评:复数的加减法符合平行四边形法则,是复数与平行四边形家族联姻的前提.深入抓住复数加减法的几何意义的本质,可使我们求解复数问题的思路更加广阔,方法也更加灵活.

第二篇:数学经典解题方法

1、配方法

所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。

5、待定系数法

在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法

在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。

第三篇:一般数学解题方法

初中数学解题方法之我见

1、配方法

所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程根的判别,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以讨论二次方程根的符号,解对称方程组,都有非常广泛的应用。

5、待定系数法

在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

第四篇:数学证明题解题方法

数学证明题解题方法

第一步:结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理,包括条件及结论。知道基本原理是证明的基础,知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在,求值是很容易的,但是如果没有证明第一步,即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的,如果第一步未得到结论,那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单,只用了极限存在的两个准则之一:单调有界数列必有极限。只要知道这个准则,该问题就能轻松解决,因为对于该题中的数列来说,“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多,更多的是要用到第二步。

第二步:借助几何意义寻求证明思路。一个证明题,大多时候是能用其几何意义来正确解释的,当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题,可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图,再联系结论能够发现:两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点,那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题:两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题,只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点,这就是所证结论,重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反,也就是差函数在两个端点的值是异号的,零点存在定理保证了区间内有零点,这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话,转第三步。

第三步:逆推。从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题,该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题:即从结论出发构造函数,利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系,正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性,非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况),这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性,再用一阶导的符号判定原来函数的单调性,从而得所要证的结果。该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要证的不等式。

第五篇:初中数学解题方法

初中数学选择题解题方法与技巧

胡桥一中许锁林

初中数学选择题解题方法

胡桥一中许锁林

对于选择题,关键是速度与正确率,所占的时间不能太长,否则会影响后面的解题。提高速度与正确率,方法至关重要。方法用得恰当,事半功倍,希望大家灵活运用。做选择题的主要方法有:直接法、特值法、代入法(或者叫验证法)、排除法、数形结合法、极限法、估值法等。

(一)直接法:

有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的.这类题型可直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支的方法叫直接法.这种解法最常用,解答中也要注意结合选项特点灵活做题,注意题目的隐含条件,争取少算.这样既节约了时间,又提高了命中率。9001500例:方程的解为()x300x

ABCD

解:直接计算,同时除以300,再算的x=750。

(二)特值法:

用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。特值法一般和排除法结合运用,达到少计算的目的,从而提高速度。

例:如图,在直角坐标系中,直线l对应的函数表达式是()

A.yx1B.yx1C.yx1 D.yx

1解:看图得,斜率k>0,排除CD,再在AB中选,取特值

x=0,则y=-1,结果选A。

(三)代人法:

通过对试题的观察、分析、确定,将各选择支逐个代入题干中,进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段,以判断选择支正误的方法.

例3.(2007年安徽)若对任意x∈R,不等式围是()

(A)<-1(B)||≤1(C)||<1(D)≥1 解:

化为化为,显然恒成立,由此排除答案A、D,也显然恒成立,故排除C,所以选B;

恒成立,则实数的取值范

此解法也可以称之为特值法。

(四)排除法:

从题设条件出发,运用定理、性质、公式推演,根据“四选一”的指令,逐步剔除干扰项,从而得出正确的判断。它与特例法(特值法)、图解法等结合使用是解选择题的常用方法。

例:直线ykxb经过A(0,2)和B(3,0)两点,那么这个一次函数关系式是()

2A.y2x3B.yx2C.y3x2D.yx1

3解:当x=0时,y=2,可以排除AD,当x=3时,y=0,直接选A。

(五)数形结合法:

据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借助几何图形的直观性作出正确的判断.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义,作出函数的图象或几何图形,借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质,综合图象的特征,得出结论.

(2007年江西)若0<x<,则下列命题中正确的是()

A.sin x< B.sin x> C.sin x< D.sin x>

与解:sin x

等三角函数会在九下学。在同一直角坐标系中分别作出的图象,便可观察选D

(六)极限法:

从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变.应用极限思想解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低解题难度,优化解题过程。它是在选择题中避免“小题大做”的有效途径.它根据题干及选择支的特征,考虑极端情形,有助于缩小选择面,计算简便,迅速找到答案. 例:对于任意的锐角

(A)

(C),下列不等关系式中正确的是()(B)(D),时

排除 解:(九年级下学期学)当当,时

排除选D.(七)估值法:

由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量,当然自然加强了思维的层次.例:如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为()

(A)(B)5(C)6(D)

解:由已知条件可知,EF∥平面ABCD,则F到平面ABCD的距离为2,∴VF-ABCD

=*底面积*高

=·32·2=6,而该多面体的体积必大于6,故选(D).

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