【新课教学过程(二)】3.1.2共面向量定理Z[5篇]

第一篇：【新课教学过程(二)】3.1.2共面向量定理Z

3．1．2共面向量定理（教学过程2）

一、教学目标：

知识与技能：了解共面向量的含义，理解共面向量定理；

利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．

过程与方法：运用类比的方法，自主探究向量共面的条件,并能灵活运用．

情感态度与价值观：体会类比，化归的思想方法；领悟数学研究方法的模式化特点，感受理

性思维的力量．

二、教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理．

三、教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．

四、教学过程

课前准备:

复习、关于空间向量线性运算的理解

（1）

C（2）



思考

1、如图（1），MN可以由哪些向量相加得到？图（2）中呢？

平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可

以用其它向量线性表示．

从平面到空间，类比是常用的推理方法．

思考

2、的向

量称为平行向量或共线向量呢？ 思考

3、怎样判定向量b与非零向量a是否为共线向量呢？．思考4：对于空间任意一点O，试问满足xy（其中x+y=1）的三点P，A，B,三点是否共线？

思考

5、这个结论能解决什么问题？．

新课导学：

师生共同活动



思考

1、如图：在长方体中，向量a、b、p与面ABCD有怎样的位置关系？

思考

2、观察下图你能给出共面向量的定义吗？

共面向量的定义：说明：

⑴共面向量与共线向量的定义对象不同，但形式相同．

⑵向量a与平面α平行是用a所在直线 l与α平行或在α内来定义的，因此// 与直线a//α既有联系也有区别．

思考

3、在平面向量中，向量与向量(≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得b=λa,那么空间任意一个向量与两个不共线向量,共面时,它们之间有什么样的关系?．

共线向量基本定理:． 证明：

先证必要性∵向量p与向量a、b共面，∴表示它们的有向线段可位在同一平面内，于是根据平面向量的基本定理，一定存在实数对(x,y)，使xy．再证充分性

xa、yb分别与 内。a、b共线，xa、yb都在a、b确定的平面

xy是以|x|、|y|为邻边的平行四边形的一条对角线表示的向量，并且此平行四边形在∴xy在即向量与向量确定的平面内，确定的平面内，共

面．

说明：当向量、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、所在直线共面的充要条件，但用于判断时，还需证明其中一直线上有一点在另两条直线确定的平面内．

五、数学应用

例

1、如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面相交于AD，点M，N分别在对角

线BD，AE上，且BM=

2BD，AN=AE．求证：MN∥平面CDE． 3

3A

F

B

C

试试：课本P76练习

1N

D

E



探究:对于空间任意一点O,试问满足向量关系OPxOAyOB（其中x+y=1）的三点P、A、B是否共线?

类比3:设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系

xyz（其中x+y+z=1）

试问：P、A、B、C四点是否共面？

分析：要判断P、A、B、C四点是否共面，可考察三个共起点的向量AP,AB,是否共面． 解：由x+y+z=1(不妨设x≠0),可得x=1-y-z,则



OPxOAyOBzOC(1yz)OAyOBzOC



OAy(OBOA)z(OCOA)

所以OPOAyABzAC，即yz

由 A,B,C三点不共线，可知AB与AC不共线，所以AP,AB,AC共面且具有公共起点A.从而P,A,B,C四点共面． 思考：①为什么要不妨设x≠0？

②反过来成立吗？

设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若P、A、B、C四点共面，且点P满足向量关系xyz，则x+y+z=1一定成立吗？



③如果将x+y+z=1整体代入，由(xyz)OPxOAyOBzOC出发，你能得

到什么结论？

试试：已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，

OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD,求证：

⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG∥平面AC．

证明：⑴∵四边形ABCD为平行四边形，∴,

A

H

B

G

kOCkOAkACk(ADAB)k(ODOAOBOA)

F

OHOEOFOEEFEH

∴四点E、F、G、H共面

⑵kkk,又由⑴证明知k，又∵k≠1，即点E不在平面AC上，即E不在直线AB、AC上，∴EF∥AB，EG∥AC，∴平面EG∥平面AC

课堂达标：

122

1、已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OPOAOBOC，55

5试判断：点P与A,B,C是否一定共面？



2．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，求证：A,B,C,D共面．



3．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y值．

4．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,DC11的中点，求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．

F

D

1E

HB1

GC1

答案： 课堂达标

A1

D

B

C

11A

1．P、A、B、C四点共面；2．由ABACAD得A、B、C、D四点共面；

53．x13,y8；4．证明略

5．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；（2）用向量法证明：BD//平面EFGH．

六、课堂小结：

1、共面向量的概念及向量共面的充要条件

2、从中学到了什么？

七、作业布置

八、教学反思

E D

B

第二篇：3.1.2空间向量基本定理学案范文

3．1．2空间向量的基本定理

一．自学达标： 1．共线向量定理：

2．共面向量定理：

3．空间向量分解定理:

,b,

4．ac可作空间的基底的充要条件是：

5．已知平行六面ABCD-Aa,ADb,AA

1B1C1D1,AB1c，试用基底{a,b,c}表示如下向量AC1,BD1,CA1,DB

1二．例题精选：

例1．已知三棱柱ABC-A1B1C1，设

ABa,ACb,AA

1c，M,N分别为AC1 ,BC中点，证明：（1）MN，a,

c共面

（2〕证明：MN

A1B

例2：空间四边形中，OAa,OBb,OC

c，M,N分别

为OA,BC中点，G在MN上，NG2GM，用基底

{a,b,c}表示MN，OG

三．达标练习：

1．下列命题正确的是（）



A．若a与b共线，b与c共线，则a与ca共线



B．向量、b、c共面即它们所在的直线共面

Ｃ．零向量没有确定的方向b

Ｄ．若a，则存在唯一的实数，使ab

2.设空间四点O、A、B、P，满足OPmOAnOB，其中

mn1，则（）

A.P在直线AB上B.P不在直线AB上 C.点P不一定在直线AB上D.以上都不对

3.①任意给出三个不共面的向量都可以作为一个基底②已知

ab，则a，b

与任何向量都不能构成空间一个基底③A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN

不能构成空



间的一个基底，则A,B,M,N共面。④已知{a,b,c}是空



c间的一个基底，若ma，则{a,b,c,m}

也是空间的一个基底。其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4

{a,b,

4．若c}是一组基底，则xyz0是

xaybzc的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别在B和D11

1B1D上，且BE3B1B，DF3

D1D。

（1）证明A,E,C1,F四点共面；

（2）若EFxAByADz

AA1，求xyz

自助餐：对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，且有OPxOAyOBzOC

(x,y,zR)，xyz1，证明A,B,C,P四点共面

第三篇：平面向量基本定理(教学设计)

平面向量基本定理

教学设计

平面向量基本定理教学设计

一、教材分析

本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标

知识与技能: 理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习习近平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习习近平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。

教学重点：平面向量基本定理的应用； 教学难点：平面向量基本定理的理解.三、教学教法

1.学情分析: 学生已经学习了向量的基本知识，并且对向量的物理背景有了初步的了解.2.教学方法：采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，完成教学目标.3.教学手段：有效使用多媒体和视频辅助教学，直观形象.四、学法指导

1.导学：设置问题情境，激发学生学习的求知欲，引发思考.2.探究：引导学生合作探究，解决问题，注重知识的形成过程.3.应用：在解决问题中培养学生的应用意识与学以致用的能力.五、教学过程

针对以上情况，结合我校“学本课堂”模式，我设计了如下教学过程，分为六个环节。第一环节：问题导学 自主学习

首先是课前预习，预习学案分为问题导学、典例精析、巩固拓展三大部分。通过预习学案，可以帮助学生完成课前预习。设计意图：通过预习学案让学生预习新知识，发现问题，使学习更具针对性，培养学生的自学与探索能力.第二环节：创设情境 导入课题

进入新课，引入课题采用问题情境的办法。通过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解。为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频，直观形象。设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题。

第三环节：分组讨论 合作探究

提出问题，进入探究阶段。采用分组讨论，合作探究的方法，先让学生回顾知识-向量加法的平行四边形法则。进入小组讨论，共同讨论两个问题。

问题1：向量a与向量e1，e2共起点，向量a是同一平面内任一向量，e1与e2不共线，探究向量a与e1，e2之间的关系.问题2：向量e1与e2是同一平面内不共线的两个向量，向量a是同一平面内任一向量，探究向量a与e1，e2之间的关系.设计意图：各小组成员讨论交流，合作学习，共同探讨问题，寻求结果，展示结果.第四环节：成果展示 归纳总结

小组讨论完毕，由几个小组展示研究成果。结合小组展示成果，借助多媒体展示，由师生共同探究向量的分解。展示过程中，要重点强调平移共起点，借助平行四边形法则解说分解过程，加深学生的直观映像，完成向量的分解。通过向量的分解，由学生小组讨论，共同归纳本节的核心知识—平面向量基本定理。在定理中重点补充强调以下几点说明：（1）基底e1,e2不共线，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，实数1，2唯一；（3）1e1e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式.第五环节：问题解决 巩固训练

引入定理后，应用定理解决学案例题与练习。例题1重在考查基底的概念，引导学生思考向量作为基底的条件，将问题转化为两个向量的共线问题。讲解完例题1之后，通过一个练习，巩固所学。通过两个问题，让学生认识理解基底的概念，把握基底的本质，突出重点——平面向量基本定理的应用。在例题2中继续强化对基底概念的理解，采用分组讨论，合作探究的教学方法，共同探讨解法，并由小组板演解题过程，最后强调解题步骤；此后，给出例2的一个变式题，让学生进一步深刻理解基底，体会基底的重要作用。解决本节难点——平面向量基本定理的理解，通过例题3对平面向量基本定理综合应用，解决三点共线问题。采用先启发引导后学生探究的方法，解决学生的困惑。例题讲解完毕后，对本题结论适当拓展，得到“当t11，点P是AB的中点，OP=（OAOB）”的重要结论。通过探究22本题，可以使学生深化对平面向量基本定理的理解，培养学生综合运用知识的能力.为了加强对定理的应用，在学案中设计了几个巩固练习，在课堂上当场完成，并及时纠错，巩固本节所学。

第六环节：拓展演练 反馈检测

为了攻克难点，检测效果，最后设计了几道课后习题进行拓展延伸，培养学生的综合能力。通过这些设计，可以增强教学的针对性，提高教学效果。在本节尾声，让学生回顾本节主要内容，完成小结，并在小结中强调转化的数学思想及方法。最后是布置课后作业及时间分配与板书设计。

六、评价感悟

本节教学设计在“学本课堂”的教学模式下，采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，引导学生自主学习，发现问题，小组讨论，合作探究，解决问题。在教学过程中，学生处于主体地位，教师充分发挥学生的积极性，力求打造高效课堂。

以平面向量基本定理为主题，从预习知识到探究定理，学生始终参与学习，参与探究，主观性与积极性得到了充分发挥，学习与探求知识的能力得到了极大的提升；应用定理解决问题，培养了学生的应用意识；通过学习定理，让学生体会了转化思想，提高了学习的综合能力。

第四篇：专题二向量的坐标表示和空间向量基本定理

第7课时专题二向量的坐标表示和空间向量基本定理 任务1点共面问题

例1.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？

（1）；（2）

例2.若点M在平面ABC内，点O为空间中的任意一点，

OMxOA1

1OBOC,则x的值为3

3多少 笔记：

任务2空间向量基本定 理

例3已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分

成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。

任务3 利用空间向量证明平行、垂直问题

例4.如图，在四棱锥

P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB

⊥平面EFD；

笔记：

【堂中精练】

1．设





O,P,A,B为空间任意四个点，若OPmOAnOB,且mn1,则（）

A.P在直线AB上B.P,A,B三点不共线C.P有可能在直线AB上D.以上都不对

2．若点M在平面ABC内，点O为空间中的任意一点，1OMxOAOB1

OC,则x3

3的值为（）

A.1B.0C.3D.13



3．设A,B,C,D为空间不共面的四点，且满足ABAC0,ABAD0,ACAD0,则BCD是

（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

4．若a,b均为单位向量，且a,b60,则|a3b

|（）

B

CD.4点睛：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只

要

能

证

明，或

对空间任一点O，有

或

即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上

也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。

点睛：结合图形，从向量

出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都

用、、表示出来，即

可求出x、y、z的值

点睛：证明线面平行的方

法：

①证 明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明能够在平面内找到一个向量与已 知直

线的方向向量共线

【反馈测评】

1.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M,N,P,Q,R,S分别为AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点，则MNPQ化简的结果为（）A.0B.RSC.SRD.NQ











10已知A(1,1,2),B(5,6,2),C(1,3,1),则ABC中AC边上的高BD是

2．在以下命题中，不正确的命题个数是（）①对于空间中任意

的四点A,B,C,D恒有AB

BCCD0D；A②

|a|

b||a|b|共线；③若ab

a与b共线，则a与b所在直线平行；④对空间中任意的一点O和不共线的三点



A,B,C,若OPxOAyOBzOC（x,y,zR)，则P,A,B,C四点共面。A.1B.2C.3D.43．若点G为ABC的重心，点O是空间中任意一点，则下列结论中（）是正确的。





A.GAGBGC0

B.OG1OA1OB1OCOAOBO



22

2C.OG

C D.OG3OA3OB3O C4．下列命题正确的是（）A.若

11OPOAOB,则

P,A,B

三点共线2

3B.若{a,b,c}为一个基底，则{ab,bc,ca}也为一个基底

C.|(ab)c||a||b||c|



D.ABC为直角三角形的充要条件是ABAC0

5.已知向量a(1,2,3),b(1,1,1),则向量a在向量b方向上的射影向量的模为

6.已知两点A(1,2,3),B(2,1,1),则直线AB与平面xOz的交点坐标为

7.如图，在矩形ABCD中，AB1,BCa,PA平面AC，且PA1,若在BC边上存在两个

点Q,使得PQQD,则正实数a的取值范围是8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a,BB13a,D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE 9.设A,B,C,D为空间不共面的四点，且满足

ABAC0,ABAD0,ACAD0,则BCD是何三角形

11.若a,b均为单位向量，且a,b60,则|a3b| 多少

12.如图所示，边长为a的正方形ABC是D和正方形ABEF相交于AB,E

BD,AE上的动点，且ANDM,试用向量解决：（1）证明：

求|MN|的最小值。

答案

例1.(1)P

与A、B、C共面。(2)P与A、B、C三点不共面

例2.1/3 例3

例4.连接AC，AC交BD于G，连接EG。

依题意得。∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则

【堂中精练】5.A6.D7.C8.C 【反馈测评】1.C.2.A3.A4.B.5.6.C(,0,).7.a(2,).8.AEa或2a。

9.锐角三角形

12.(1)

由

C|a3b|(a3b)13913.题意，设

BBD



MEA

E

x(x0

N

则1),BMxBDx(BABC),ENxEAx(BABE),MNBNBMBEENBM



.B(ExB)A(BEx)B(A1xB)BCExBC

MN//面EBC，MN面EBC，MN//面EBC。

(2)|MN|maxasin



2.

第五篇：平面向量基本定理(教学设计)

平面向量基本定理

教学设计

教材分析：

分析基本定理在教材中的作用，让学生有目标性地学习． 教学目标：

1．通过作图法理解并掌握平面向量基本定理的内容及含义．

2．深刻理解向量的基底表示的意义及作用，会将平面内的任意一个向量用一组基底表示． 2．理解平面上两个向量的夹角的概念及范围，掌握平面内两个向量的位置关系． 3．会用平面向量基本定理解决向量相互表示的问题． 教学重难点：

重点：平面向量基本定理的内容，向量基底的意义及应用； 难点：平面向量基本定理的应用．

教学方法：CAI课件、图形模拟法、形成性归纳与总结． 课时安排：1课时． 教学过程： Ⅰ 新课导入

【回顾】：向量数乘运算．（重点回顾几何意义及作图方法）【图片】：

幻灯片1

（展示生活中许多结构与矢量的联系）

【引入】：物理中力的合成与分解．

幻灯片2

（展示物理学中力的合成与分解）

【问题】：力是物理学中的矢量，矢量也就是数学中的向量，那么平面内的任一向量a能否都可以表示成1e12e2的形式呢？

Ⅱ 新课讲授

一、知识点精讲 1．作图分析

幻灯片3 幻灯片4 2．形成结论

幻灯片5 幻灯片6 3．练习

幻灯片7 Ⅲ 课时小结

本节课学习了平面向量的基本定理，注意基本定理的应用与向量的互相表示，这是重点，也是难点，同时还是以后学习向量坐标运算以及空间向量的基础． Ⅳ 课后作业

（两个例题，巩固练习）

（归纳整理向量夹角的定义）

（动态展示向量的合成与分解）

（学生训练）

（归纳整理平面向量基本定理的内容）

T3． 课本P102-Ⅴ 教学反思