3矩阵的证明

第一篇：3矩阵的证明

矩阵的证明

常见的有矩阵秩的证明，向量组的线性相关性证明等，这些大部分都可以利用矩阵式来解决。掌握好关键的几点。

第一：矩阵式的表示

第二：矩阵秩和相关性的关系（秩小于向量的个数，线性相关，秩等于向量的个数，线性无关）

第三：掌握秩的有关结论，主要有八个结论，用得比较多的有

7.8.AmnBnl0R(A)R(B)nABCR(C)R(A),R(B)

第二篇：矩阵心得体会

《矩阵论》学习心得体会

2011-2012第一学期，我在李胜坤老师的引领下，逐步学习了科学出版社出版、徐仲和张凯院等编著的《矩阵论简明教程》第二版。该书是大学本科期间所学习的《线性代数》的矩阵部分内容的深化，从数域扩展到矩阵，要想充分理解“矩阵论”的精髓，就得先好好的将《线性代数》复习——掌握其基本概念及重要定理、结论。

该书有8个章节，第一章是矩阵的相似变换，第二章讲的是范数理论，第三章介绍的是矩阵分析，第四章详细介绍的是矩阵分解，第五章罗列的是特征值的估计与表示，第六章介绍的是广义逆矩阵，第七章介绍的是矩阵的直积，最后一章介绍的是线性空间与线性变换。下面分章节谈论。

第一章中的特征值与特征向量、矩阵的相似对角化、向量内积是本科期间《线性代数》中的内容，我想作者的目的是借助以前大家都熟悉的知识，将我们引领到另一个崭新的知识领域，起到承上启下的作用，让我们对《矩阵论》感到不陌生。该章中的Jordan标准形、Hamilton-Cayley定理、酉相似的标准形是本科期间不曾深入学习的知识，这些知识为后续学习《矩阵论》吹响了号角。总之，第一章就是高等数学中的知识与“矩阵论”的衔接章节，同时也是后续章节学习的非常重要基础章节。我们要学好《矩阵论》就得学好该章，理解记忆其中的概念、结论。

第二章介绍向量范数与矩阵范数及其应用。介绍了向量范数的三公理、酉不变性、1范、2范、无穷范、p范、加权范数（也叫椭圆范数）以及很重要的一个不等式——Cauchy-Schwarz不等式、向量的收敛、发散性；矩阵范数的定义、m1范、m无穷范、F范及其酉不变性，矩阵范数与向量范数的相容性等。范数与矩阵的谱半径紧紧相连，有了范数作为研究矩阵的数学工具，我们将会更易更深入的理解、研究矩阵，并用矩阵指导实际生产实践。

第三章矩阵分析和第四章矩阵分解各是矩阵论的最重要章节之一。通过对矩阵的收敛性、矩阵级数、矩阵函数、矩阵微分、矩阵积分、矩阵四种分解等系统性学习研究，让我明白了矩阵理论在实际生活中的巨大作用——矩阵论将大大减少工程运算量及提高计算速度、精度。有了矩阵理论作指导，现实生活中很多不能解决或者很难解决的数学问题等都能够得到很好的解决。比如，提高计算机的计算速度、优化数字信号处理算法等。

第五章介绍了矩阵的非常重要的参数——特征值的估计及其表示，介绍了特征值界定估计、特征值包含区域等，让我们对特征值有了更进一步的了解，用书中的方法可以很高效的确定特征值的范围、估计特征值的个数。是研究矩阵的有效方法，为计算特征值指明了方向，解决了以前计算特征值的困扰。

第六章介绍的是广义逆矩阵，是逆矩阵的推广。广义逆矩阵是将可逆的方阵推广到不可逆矩阵、长方矩阵。介绍了广义逆矩阵的概念、逆矩阵的应用、Moor-Penrose逆A+的计算、性质以及在解线性方程组中的应用。我想该章更大的应用应该在解线性方程组中，解决生活中的计算问题，提供了又一高效办法。

第七章矩阵的直积是很易懂的知识，是以前向量直积在矩阵中的推广。对矩阵直积的研究对信号处理与系统理论中的随机静态分析与随机向量过程分析等有重要的指导作用，同时也是重要的数学工具，是研究信号处理人员必备的数学工具。

第八章线性空间与线性变换，其中线性空间是几何空间与n维向量空间概念的推广与抽象，线性变换则反映了线性空间元素之间的一种最基本的联系。该章的学习需要我们充分发挥我们的空间想象能力，同时该章也将会大大的启迪我们思维的灵活性、唤醒沉睡已久的新思维。

通过《矩阵论简明教程》的学习，开阔了我的数学视野，给我思考问题、解决实际问题提供了新的思维方法。我将努力借助《矩阵论》，使自己在信号处理领域走的更远。

第三篇：矩阵分析

第一章：

了解线性空间（不考证明），维数，基

9页：线性变换，定理1.3

13页：定理1.10，线性空间的内积，正交

要求：线性子空间（3条）非零，加法，数乘

35页，2491011

本章出两道题

第二章：

约旦标准型

相似变换矩阵例2.8（51页）出3阶的例2.6（46页）出3阶的三角分解例2.9（55页）（待定系数法）（方阵）

行满秩/列满秩（最大秩分解）

奇异值分解

本章出两道题

第三章：

例3.1（75页）定理3.2要会证明例3.3必须知道（证明不需要知道）定义3.3 例3.4证明要知道定理3.5掌握定理3.7要掌握

习题24

本章出（一道计算，一道证明）或者（一道大题（一半计算，一半证明））

第四章：

矩阵级数的收敛性判定要会，一般会让你证明它的收敛

比较法，数字级数

对数量微分不考，考对向量微分（向量函数对向量求导）

本章最多两道，最少 一道，也能是出两道题选一道

第六章：

用广义逆矩阵法求例6.4（154页）

能求最小范数（158页）如果无解就是LNLS解

定理6.1了解定理6.2 求广义逆的方法（不证明）

定理6.3（会证明）定理6.4（会证明）（去年考了）定理6.9（会证明）推论要记

住定理6.10（会证明）

出一道证明一道计算

第四篇：证明行列式和矩阵等于零的几种经典方法

前言：

一、线代的特点：

1、内容抽象

2、概念多

3、符号多

4、计算原理简单但计算量大

5、证明简洁但技巧性强

6、应用广泛

二、学习中要注意的问题

1、不要急于求成，不要急于做难题。要分层次，扎扎实实的学习

2、熟练掌握基本内容。

基本概念（定义、符号）

基本结论（定理、公式）

基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等）

基本证明和推理方法

3、自己动手推证书中的每个结果

尽量体会结论、证明的思想方法

用自己喜欢的方式写出简要总结

4、贯穿前后，注意发现线代课内容的重要规律。

提出问题的规律（存在、个数、结构、求法）

变换和标准形式（如行列式和上三角行列式）

问题相互转化

5、要多与同学讨论，虚心向别人请教问题。要经常提出问题，思考问题，乐于同别人交 流

该方法引至李永乐老师的讲义，由KJ1234CN整理

一、行列式等于零的证明方法

例题1：A^2=A,A≠E,证明|A|=0(复习全书理工类P364例1.35)

由于书上已经有详尽的解题方法（四种），KJ不再复述，KJ在此只强调证法二 在这里有一种常见的错误解法

由A^2＝A，有A（A－E）＝0，∵A≠E∴（A－E）≠0，∴A=0 ∴|A|=0

其错误在于没有搞清楚矩阵的运算规则，AB＝0，若B≠0不能推出A＝0。

例如

[1 1][ 1 1]

[1 1][-1-1]=0,但是A、B都不等于0

（KJ废话：该种方法由错误的方法解出了正确的答案，很多人在做题过程中经常只对答 案而不管过程，考试的时候也使用他用过的错误的方法，结果出来的分数与他估计的相 去甚远，其原因我想也就在与此！他们没有细细体味书上的解题过程，也没有反省自己 的解题方法与书上的不同之处。KJ奉劝大家，在看书时，对于例题一定要先做后看，并 对和书上的不同的解题方法细细体会，辨别对错）

二、矩阵等于零的证明方法

例题2：A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵，R(B)=n。证明当AB＝0时，A＝0 证法一：<方法>矩阵的秩等于0，则矩阵等于0

∵AB＝0，∴B的每一列都是AX＝0的解

又∵齐次方程组的基础解系的向量个数＝未知数的个数－系数矩阵的秩；R(B)=n ∴AX＝0的解中至少有n个线性无关，n-R(A)≥n

∴0≤R(A)≤0 ∴R(A)=0

证法二：

∵R(B)=n∴设β1，β2......βn是B中线性无关的列向量

设B1＝(β1，β2......βn),则B1可逆

∴AB1=0

∴AB1B1^-1=0B1^-1=0

∴A =0

证法三：<方法>矩阵的每一个元素都为0

将A按矩阵的通用表示方法表示，B按行分列

[a11...a1n]

[.........]=A

[an1...ann]

[α1]

[α2]

[...]=B

[αn]

则

[a11α1+...+a1nαn]

[..........]=AB=0

[an1α1+...+annαn]

∴有方程组

[a11α1+...+a1nαn=0

[..........=0

[an1α1+...+annαn=0

∵R(B)=n∴α1...αn现性无关

∴

a11...a1n＝0

.........an1...ann=0

∴A=0

通过方法三，我们要注意到矩阵乘法的一些简便运算，即:初等矩阵P左(右)乘A，所得P A(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换。

例如：

[ 1 0 0]

[ 0 1 0]

[-1 0 1]相当于第一行乘以－1加到第三行

再如：

[ 1 0 1][ 1 2 3]

[ 0 1 0][ 2 3 4]=

[ 1 2 0][ 3 4 5]

[α1+α3]

[α2]

[α1+2α2]=

[4 6 8]

[2 3 4]

[5 8 11]

第五篇：企业文化评估矩阵

企业文化评估矩阵

企业文化评估矩阵概述

企业文化评估矩阵又称为企业文化诊断与评估系统（Corporate-Culture Measurement and Assessment System，CMAS），我国大部分企业文化研究者和企业文化咨询师在企业文化的诊断与评估上一般只是直接应用国外现有的企业文化测量工具，由于大部分企业文化从业人员来自文科背景，往往缺乏用数据模型解释企业文化现象和本质的能力。

实际上，在国外经过多年研究开发出来的企业文化诊断工具，在直接应用于中国文化背景下的企业时，往往会发生解释上的困难。

北京仁达方略管理咨询公司较早地认识到了这个问题，从1995年起，在10多年的企业文化研究与咨询实践中，积累了大量的企业文化案例，跨度达电力、石油、煤炭、金属和矿产、房地产、金融、航空航天、制造、旅游、IT等多个行业领域，并于2001年投入大量资金组建了面向中国企业的企业文化诊断评估工具研发团队，并开发出了中国第一套企业文化综合诊断评估系统(Corporate-CultureMeasurementandAssessmentSystem，CMAS)。

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企业文化评估矩阵分析

企业文化评估矩阵包含12个维度(Dimensionality)，33个要素(Factor)。利用CMAS系统所测定的企业文化的12个维度，包括工作环境、组织制度、管理方式、内部沟通、员工激励、领导和决策、培训与员工发展、员工工作动机、员工满意度、员工忠诚度、文化建设以及理念与价值观，这12个维度涵盖了企业文化的理念层、制度层和行为层三个层次的内容，同时与现代企业管理的主要职能和要素有着很好的对接，该评估结果将比较全面和准确的反映我国企业文化的综合竞争力状况。

通过数据的计算，中国企业文化现状的综合评分为3.50分（采用5点计分法）。该得分总体上比较高，这与我国近几年来企业文化建设的大环境有着重要的关系。

从各维度的具体数据中我们就可以看得出来，理念与价值观（3.69）、文化建设（3.66）、员工工作动机（3.69）以及组织制度（3.62）这四个维度评分最高，领导和决策（3.51）略高于平均分。而其他七个维度得分则略为偏低，其中管理方式（3.22）、内部沟通（3.22）和员工忠诚度（3.25）分数最低，其次是员工满意度（3.45）、工作环境（3.47）、员工激励（3.46）、培训与员工发展（3.40）。

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企业文化评估矩阵的应用

企业文化评估矩阵可以广泛运用于各种企业、团队、以及个人。通过对在国内多家机构的应用来看，该矩阵的调查问卷具有良好的信度和效度，问卷的信度系数（Alpha）在0.72至0.93之间，能够全面反映被测试机构的文化现状，从而为企业文化的提升和完善提供量化的依据。一般的企业运用该模型可以达到以下目的。

1.了解并熟悉企业当前的组织氛围、员工态度与企业文化现状，对目前企业文化优势 和不足做出基本评价。

2.与行业平均企业文化水平或者其他经营业绩好的企业文化进行比较分析，根据企业所期望的业绩确定文化变革的目标。

3.明确企业文化变革的短期、中期和长期目标和任务。

4.提高领导者个人对企业文化的认识，进一步引导他们积极发挥企业文化的作用。

5.提供个人和企业双方都可以使用的企业文化诊断评估报告，形成共同认可的企业文化建设思路，建设科学的、合理的企业文化体系。