5.2 向量的加法与减法

第一篇：5.2 向量的加法与减法

求合力

例1．如图，一物体受到两个大小均为60N的力的作用，两力的夹角为60且有一力方向水平，求合力的大小及方向．

C

分析：首先应根据题目已知条件作出向量图，从图中观察合力与分力的关系．

解：设,分别表示两力，以OA,OB为邻边作平行四边形OACB，则即为合力．

由已知可得△OAC为等腰三角形，且COA30．过A作ADOC于D，则在 

Rt

OADcos30603．

2

3，即合力的大小为N，方向与水平方向成30角．

小结：在这种向量的合成中注意和向量的模并不是两向量的模的简单相加，只有在两向量方向相同时才可以．

说明向量意义

例2．设a表示“向东走10km”，b表示“向西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km“．说明下列向量的意义．

(1)a+b(2)b+d(3)d+a+d

分析：根据实际意义来确定向量的方向，再根据三角形法则进行加法运算． 解：(1)a+b表示向东走5km．(2)b+d表示向西南走52km

(3)d+a+d表示向东南走2km．

小结：关于向量的加法实际就是向量的合成，而向量的合成在实际中有着广泛的应用，此题就是初步了解其应用．

向量加法的作图

例1．如图1所示，已知向量a,b,c，试求作和向量abc．

分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和．即先作ac，再作(ac)b．

b 图a+b+c O

图2

A

C B b

解：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量a，再作向量AB则得向量b，ab，然后作向量BCc，则向量abc即为所求．

向量加减的化简

小结：此题的目的主要在于用几何作图熟悉加法的三角形法则及对结合律的认识．

例1．化简下列各式

(1)ABCABC；(2)OEOFODDO．

分析：化简含有向量的关系式一般有两种方法①是利用几何方法通过作图实现化简；②是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．



解：(1)原式=()0

(2)原式=EOOF(ODDO)(EOOF)0EF．

小结：向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径很多，十分灵活，如平面任一向量都可以写成两个向量的和，同样任一向量都可以分成两个向量的差等．通过这种调整来简化运算．



向量加减法运算的选择题

例

1、若A、B、C、D是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（）

①② ③ABACDBDC④ABBCADDC

A．1B．2C．3D．

4分析：向量的加减法运算通常借助于其几何性质求解，因此在运算时可以画出图象帮助观察题目中的等量关系是否成立，有时等式需要适当的变形．

解：选择C

小结：向量的加、减法的基本法则分别为ABBCACABACCB，而本题的四个式子①②两式无法直接应用法则，故可变形后再算①式等价于

ACBCADBD．左边．故①式成立．②式等价于ACABDCBD，左BC，右 BDDCBC，所以②式正确．③式左边与右式不等，故③式不正确，④式中，左边．故④式正确，所以选C．

用向量证明平行四边形

例1．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．(需首先将命题改造为数学符号语言)

已知：如图3，ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB． 求证：四边形ABCD是平行四边形． D

证明：由已知得AOOC,BOOD，，B

C

且A，D，B，C不在同一直线上，故四边形ABCD是平行四边形． 小结：这种类型的题目由于要求用向量的方法来证明，故应把平面几何的语言准确无误的转换为平面向量的语言，如本题中AD∥BC且ADBCADBC，而不能写

AD∥BC且AD

BC．

证明向量模的不等式

例1．证明：对于任意两个向量a,b都有ababab．

分析：由于不等式本身有明显的几何意义，故应选用向量的几何意义进行证明．可根据向量a,b共线与不共线两种情况进行讨论．

证明：若a,b中有一个为零向量，则不等式显然成立．若a,b都不是0

时，记

OAa,ABb，则OBab．

(1)当a,b．即

ababab．

O

B

图甲

O A 图乙

B

B O 图丙

A

(2)当a,b共线时，若a,b同向，，即abab；

若a,babab． 综上可知ababab．

小结：两个向量之间无大小可言而两个向量的长度之间可以比大小．此不等式一般称为三角不等式，它的几何意义就是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值．在证明之后还可以让学生一起讨论不等式中两个等号成立的条件．

第二篇：加法减法板

蒙氏数学教具教案：加法板

一、.教具 加法板

在30㎝×42㎝的板上画横18格纵12格的方格，上端写1-18阿拉伯数字（1-10是红字，11-18是蓝字）。10的旁边画一条纵的红色分隔线。题目卡、定规、订正板。

红色和蓝色板子各9支装在木箱中。每支木板各有规定的尺寸，故称为置之不理规。

蓝色定规„„当成加数使用。有1-9共9支，数字写在木板右端。红色定规„„当成加数使用。有1-9共9支，上面标明数字与刻度。

二、活动对象：大班（一对三）

三、活动目标：

1、让幼儿清楚地了解数的组合及其结果，帮助幼儿对数的记忆。

2、以计算板做练习促使计算更准确，并为进入心算做准备

四、活动过程、活动名称5的基本加法练习（5的构成）

1、在加法板上方的左侧按顺序排列1-9的蓝色定规。

2、右侧同样排列红色定规。

3、将蓝色定规1放在加法板上1的上面，也取红色定规4排在板上。老师说：“1加4是5。”

4、这时指着答案5和红线，（加法板上段所印的数字代表加算的答案。）

5、其次取2的蓝色定规和3的红色定规放在板子上，“2加3是„„5”跟着指答案5和红线。

6、同样进行4加1等于5

7、让小朋友注意到每个组合的结果都是5。

8、依小朋友的要求，让他继续反复这项组合成5的基本加法练习。延伸：

一、构成6-10的加法练习

蒙氏数学工作教案：减法板 减法板（5的丢丢）

一、.教具

减法板和加法板大小相同, 在30㎝×42㎝的板上画横18格纵12格的方格，上端写1-18阿拉伯数字（1-9是蓝字，10-18是红字）。9的旁边画一条纵的蓝色分隔线。定规

(1)红色和蓝色板子各9支装在木箱中。每支木板各有规定的尺寸，故称为置之不理规。

蓝色定规„„有1-9共9支，数字写在木板右端。红色定规„„有1-9共9支，上面标明数字与刻度。

(2)自然色的木制定规17支,盛放木盒中.宽2厘米,长34-2厘米,以每2厘米递减.题目卡、订正板

二、活动名称：5的丢丢

三、活动对象：大班（一对三）

四、活动目标：

1、让幼儿认识5的分解及其结果，以及对数的记忆。

2、以计算板做练习促使计算更准确，并为进入心算做准备

五、活动过程

1、引导小朋友，说明教具之后，将减法板、红、蓝定规及自然色定规（下个提示使用）都从教具架拿到桌上（桌面宽度须足够排列所有定规），如数棒的方式排列。

2、老师坐在小朋友两侧，老师先拿出题目卡5-1=？老师先示范，拿出自然色定规13盖住定规6到18的数字格的一头，把红色定规1放在右侧。

3、指着左侧的空格，读出5-1=？’之后，开始数空格。“5-1=？„„等于4。

4、最后将教具归回原位。

用订正板或老师订正。

第三篇：加法和减法美文

人的一生，从呱呱坠地那一刻起，到化作一股清烟而去时止，每个人，无论在生理上、在心理上、在生活习惯上、在思想方式上，都在时时刻刻地发生着变化。从10岁的童年，到20岁的青年，到30岁而立的壮年，到40而不惑、50知天命的中年，所发生的那种变化，是加法式的。从60岁的初老期，到70岁的中老期，到80岁的晚老期，到90岁至百岁成为人瑞的终老期，所发生的那种变化，是减法式的。一加一减，便是我们每个人的生命史。

细细想起来，当我们两手空荡荡地来到人世，会哭、会喊、会努力抓住什么，会张开嘴、会吃东西，无一不是从无到有、从少到多、从弱而强、从小而大。从启蒙读书到学有所成，从入世不深到把握全局，从白手起家到大展宏图、到开创一番事业，从1个人到2个人的出双入对，从2个人到3个人的幸福家庭，都属于加法范畴。这以后，行云流水，意气风发，跌打滚爬，挥洒人生也好，有过快乐、有过痛苦、有过笑声、有过眼泪也好，总是不停地加，一直加到无论精神，无论物质，都攀登到力所能及的高度。虽然，加法未必没有负面的因素，可不管怎么说，那是属于成长中的烦恼。

而过了生命的高峰期，也就是经霜色浓的香山红叶开始飘零，不知不觉间老之将至焉！从此，便不停地开始减法了，吃的不那么香甜了，玩的不那么爽心了，体力不那么健壮了，情感不那么张扬了。紧接着，爱好在淡薄，欲望在消失，情趣在减少，心境在枯竭。随后，腿脚不听使唤，活动半径缩小，头脑渐渐失灵，往事如烟淡去，哪怕是最温柔的减法，也是令人不胜伤感的。曾经拥有的美好、圆满、温馨、甜蜜；曾经推拭不开的无奈、惆怅、羁情、悲思，统统渐行渐远，一一离你而去。临了，你总归还是被减到两手空空以后，离开这个世界。

话说回来，这种点点滴滴地减掉、舍不得、又不甘心的“落花流水春去也”局面，只要你还活着，就无法排遣掉这些难堪，必然就要产生许多别扭。想得开的老人，只是努力不去想而已，但不等于别扭就不存在了。而想不开的老人，这种垂老的别扭，这种渐渐不为人所理解的别扭，这种越想越烦越是得不到解脱的别扭，可不是夏季最后的玫瑰，能带来浪漫、带来情调。如果不能化解、不能适应，会成为一杯难咽下的苦酒，腐蚀着躯体，毒害着灵魂，使你活得很不开心。因此，有质量的老，有品位的老，让每一天活得有滋有味的老，还真是一门学问。

所以，年届华龄，桑榆晚晴，第一要懂得人生的加减法，谁也无法回避，谁也不能例外。第二要懂得老是一种必然，新陈代谢，为万物生长的自然法则。

所以，一个人，总不老；或者，总不想老；或者，总不承认自己老；或者，总是在那里装嫩、装少壮、装朝气蓬勃，那是一种反常现象。老，就得承认老，就得服气老。成为历史的那些，就不再属于今天。作为过来人，负暄南墙，看着后辈打拼，创造更新更美的世界，不也是一种怡然自乐的境界吗？

第四篇：《向量的加法》说课稿

一、教材分析：

《向量的加法》是《必修》4第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。

二、学情分析：

学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。

三、教学目的：

1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。

2、在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。

3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。

四、教学重、难点

重点：向量的加法法则。探究向量的加法法则并正确应用是本课的重点。两个加法法则各有特点，联系紧密，你中有我，我中有你，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容，平行四边形法则在本课中所占份量略少于三角形法则。

难点：对三角形法则的理解；方向相反的两个向量的加法。主要是让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。

五、教学方法

本节采用以下教学方法：

1、类比：由数的加法运算类比向量的加法运算。

2、探究：由力的合成引入平行四边形法则，在法则的运用中观察图形得出三角形法则，探求共线向量的加法，发现三角形法则适用于任意向量相加；通过图形，观察得出向量加法满足交换律、结合律等，这些都体现探究式教学法的运用。

3、讲解与练习：对两个法则特点的分析，例题都采取了引导与讲解的方法，学生课堂完成教材中的练习。

4、多媒体技术的运用，能直观地表现向量的平移，相等向量的意义，更能说清两个法则的几何意义及运算律。

六、数学思想的体现：

分类的思想：总的来说本课中向量的加法分为不共线向量及共线向量两种形式，共线向量又分为方向相同与方向相反两种情形，然后专门对零向量与任意向量相加作了规定，这样对任意向量的加法都做了讨论，线索清楚。

第五篇：小数加法和减法 教案

小数加法和减法（第三课时

教学设计）

杨钱骏

教学目标：

1、使学生在解决现实问题的过程中，认识到整数加法的运算定律对于小数加法同样适用，能正确运用加法运算定律进行一些小数加法的简便运算

2、使学生在探索与交流的活动中，体会解决问题策略的多样性，增强优化意识；逐步形成积极的自我评价和自我反思的意识，体验学习数学的成就感。教学重点：

1、能正确运用加法运算定律进行一些小数加法的简便运算。

2、使学生在探索与交流的活动中，体会解决问题策略的多样性，增强优化意识。教学难点：

1、使学生在探索与交流的活动中，体会解决问题策略的多样性，增强优化意识。教学过程：

1、口算

用卡片出示练习九的第1题，指名口答。

2、出示例3中的四种文具。

如果让你任意购买其中的两种文具，你想买哪两种？你会计算出所需要的钱数吗？

1）出示例3：

这四种文具，小华各买了一件，他一共用了多少元？解答这个问题可以怎样列式？

根据学生的回答，教师板书：

2）引导学生探索算法

你会计算这道题吗？先算一算再把你的计算方法在小组内交流。

学生独立计算，注意选择学生采用的不同的方法，并指名板演。

3）比较：刚才同学们用不同的方法算出了小华一共用的钱数，请同学们比较这些算法，你认为哪种算法更简便些？

进一步追问用简便算法的学生：你这样算的依据是什么？

4）小结：整数加法的运算定律，对于小数加法也同样适用。应用加法运算定律可以使一些小数加法的运算简便。这就是我们今天研究的内容。

我们以前学习过哪些加法的运算定律？

根据学生的回答板书：

加法交换律：

加法结合律：

这里的字母 a、b、c可以表示怎样的数?

指出:因为整数加法运算定律对于小数加法同样适用，所以这些字母公式里字母所表示的数的范围既包括整数，也包括小数。

3、完成““练一练””的第1、2两题

先让学生独立完成，再让学生说说怎样算简便

4、完成练习九的第2题

学生练习

比较每组算式的计算过程和结果，你有什么发现？

指出：整数减法的一些规律小数减法里同样适用，也能使一些计算简便。

5、完成练习九的3～5题

6、先让学生独立完成，再交流第4、5题的思考过程，说出每一步计算结果的实际意义 布置作业：

1、完成小测试卷。