向量在高中阶段解题的巧用

第一篇：向量在高中阶段解题的巧用

向量在高中阶段解题的应用

(一)向量对圆锥曲线的应用.圆锥曲线是高考重点考查的内容。考查的内容包括圆锥曲线的概

念和性质。但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时也要结合向量的知识来简便解题。

例1：证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距

离的等比中项。

证明：设P（x₀，y₀）是等轴双曲线x²-y²=a²右支上任一点

∴x₀²-y₀²=a²

则||²=x₀²+y₀²=x₀²+x₀²-a²=2x₀²-a² | PF1|²=x₀+a,| PF2|=2x₀-a

∴|PF1|·|PF2|=(2x₀+a)(2x₀-a)=2x₀²-a² ∴|PO|²=|PF1|·|PF2|

同理,当P(x₀,y₀)是左支点上也成立.(二)向量对立体几何题的应用.由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，认为这很

抽象，但只要掌握好向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换

成向量,那解题便简便得多了.例1：如图,在正方体ABCD--A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、分别是AB，B B₁，BC的中点。

证明：B D₁⊥平面EFG。

分析：应通过建立空间坐标系，通过

空间向量的坐标运算来证明。

证明：设正方体的棱长为2a并以D为原点，DA为X轴，DC为Y轴，DD₁为Z轴，建立空间直角坐标系，则

D₁（0，0，2a），B（2a，2a，0），F（2a，2a，a），E（2a，a，0），G（a，2a，0）

∴BD1=（-2a，-2a，2a），=（0，a，a），=（-a，-a，0），=-2a·∴BD1·0-2a· a+2a·a=0 BD1⊥

BD1·（-a）+（-2a）·（-a）+2a·0=0 BD1⊥ =-2a·

∴B D₁⊥平面EFG

点评：此题运用了空间向量的坐标运算来证明。

（三）向量在平面解析几何图形的应用

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以用向量方法解决平面几何中的一些问题，现在由我们共同探讨向量方法在平面几何中的应用。

例1：在边长为1的正方形ABCD中，设=, =, =,求|-+|

解：如图，作DC的延长线，截MC=CD=1，连结BM.又∵=, =, =

∴|a-b+c|=|AB-AD+AC|=|DB+AC|

又∵=BM

∴|-+|=||=

2点评：本题利用了向量加减法的几何意义计算线段的长度，把复习的平面几何图形简单化，可见其简便之处。

（四）向量在证明不等式中的应用

例1：设а≠b，а>0，b>0，求证：

（a+b）（a+ b）>（a+ b）

证明：构造向量 =(a, b), =(a,b),则：

332222cos2θ EF)=| AB|·（a+ b）=(AB·|EF|·224422332

≤||·||=(a+ b)·（a+ b）

∵a>0,b>0,a≠b

∴θ≠0

∴cosθ≠

1∴(a+ b)·（a+ b）>（a+ b）

点评:在解不等式或证明时,除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法,而本题就是运用向量解题的简便方法.（五）向量在证明平行题的应用

例1:已知AC、BD是梯形ABCD的对角线。E、F分别为BD、AC4422332222442

2的中点。

求证：EF∥BC

证明：设=, = ∵AD∥BC ∴=k=k 则=-=b-a

∵E为BD的中点 ∴=½=½(-)

∵F为AC的中点 ∴=+=+½=+½(-)=½(+)=½(-)=½(k-)∴EF=BF-BE=½(kb-a)-½(b-a)=(½k-½)b=[(½k-½)·1/k] BC ∴∥,即EF∥BC

点评：这类题应掌握好向量的三角形定则，认识向量平行的充要条件。

（六）向量在三角函数的应用。

例1:在直角坐标系X0Y中,已知P(2 cosа+1,2 cosа+2)和点Q(cosа,－1),其中а[0,

解:由于OP⊥OQ = cosа（2cosа+1）-（2cosа+2）=0——① ∴·].且OP⊥OQ,求X的值。

又∵cos 2а=2cosа-1————————②

由①和②，得2cosа-cosа=0 cosа=0或0.5 2

∵а[0,]

∴а=/2或/

3点评：本题利用向量的知识解答，使过程简便许多。

（七）向量在解物理题的应用。

例1：平面上有两个向量e1=（1，0），e2=（0，1），今有动点P从P₀(-1,2)开始沿着向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|；另一动点Q从Q₀(-2,-1)出发，沿与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动，速度的大小为|3e1+2e2|，设P、Q在时刻t=0秒时，分别在P₀、Q₀处，则当PQ⊥P₀Q₀时，时

间t为多少秒？

解：依题意P₀(-1,2),Q₀(-2,-1)则POQO=(-2,-1)-(-1,2)=(-1,-3)

e1+e2=(-1,0)+(0,1)=(1,1)|e1+e2|=2 3e1+2e2=3×(1,0)+2×(0,1)=(3,2)|3e1+2e2|=

∴当t时刻P点位置为（-1，2）+t（1，1）=（-1+t，2+t），点Q位置为（-2，1）+t（3，2）=（-2+3t，-1+2t）∴=(-2+3t,-1+2t)－(-1+t,2+t)=(-1+2t,-3+t)又⊥POQO

∴(-1+2t)·(-1)+(-3+t)·(-3)=0解得t=2 ∴当⊥POQO时，时间t为2秒。

第二篇：妙用向量解题

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妙用向量解题

作者：姜利丽

来源：《数理化学习·高一二版》2013年第08期

向量作为一种新型的解题工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用.除了在空间立体几何的广泛应用外，笔者也发现在解析几何，不等式，代数中，也能找到它的影子.一、用向量证明三点共线

例1 在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，N是BD上一点，BN=13BD.求证：M、N、C三点共线.

第三篇：巧用配方法解题 2

春季专题六：巧用配方法解题

配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式．

配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．

一、用配方法解方程

例1解方程：2x2－3x+1=0．

二、用配方法分解因式

例2把x2+4x—1分解因式．

三、用配方法求代数式的值

例3已知实数a，b满足条件：a2+4b2—a+4b+

四、用配方法求代数式的最大（小）值

例4代数式2x—3x—1有最大值或最小值吗？求出此值．

．

-254=0，求—ab的平方根．

五、用配方比较两个代数式的大小

例5对于任意史实数x，试比较两个代数式3x3—2x2—4x+1与3x3+4x+10的值的大小．

六、用配方法证明等式和不等式

例6已知方程中(a+b)x—2b(a+c)x+b+c=0中字母a，b，c都是实数． 求证：

cb=ba=x.代数几何综合题

1．国家电力总工司为了改善农村用电电费过高的现状，目前，正在全国各地农村进行电网改造，莲花村六组有四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．（以下数据可供参考：

2＝1．414，3＝1．732，5＝2．236）

图1图2图3图

42．如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。

(0º＜α＜90º)得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F.(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明

(△ABC与△A1B1C1全等除外)；

(2)当△BB1D是等腰三角形时，求α；(3)当α＝60º时，求BD的长．

3、已知Rt△ABC中，ACB90，CACB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．

（1）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

AM

BN；

AM

BN

是否仍然成立？

A M

N 图①

B

M

N F 图②

B4、如图（1），（2），（3）中，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点，一边延长线和另一边反向延线上的点，且BECD,DB延

长线交AE于F。S

AM

F

C C BE

D

（1）

（2）

（3）

（4）

C D

（1）求图（1）中，AFB的度数；

（2）图（2）中，AFB的度数为；图（3）中AFB的度数为。（3）根据前面探索，请你将本题推广到一般的正n边形情况。

5、如图（1），OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

O

N

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题。

C

M

P

F

D

F

D B

C

（1）如图（2），在ABC中，ACB是直角，B60，AD，CE分别是BAC,BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图（3），在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变。

请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？请证明；若不成立，请说明理由。

第四篇：巧用配方法解题

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巧用配方法解题

配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式．

配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．

一、用配方法解方程

例1 解方程：2x－3x+1=0．

分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1． 将二次项的系数化为1；

2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边； 3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4．将方程化为(x+m)2=n的形式；

5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）． 解：方程两边都除以2，得x—22

231x+=0.2231移项，得x—x=—.223321322配方，得x—x+()=—+()，242431(x—)2=，4163131即x—=或x—=—.44441所以x1=1，x2=.2二、用配方法分解因式 例2 把x2+4x—1分解因式．

分析：在原式中加上4的同时又减去4． 解：原式=x2+4x+4—4—1=x2+4x+4—5 =(x+2)2—(5)2=(x+2+5)(x+2—5).三、用配方法求代数式的值

5例3 已知实数a，b满足条件：a+4b—a+4b+=0，求—ab的平方根．

422-1

www.xiexiebang.com 求证：cb==x.ba分析：一个方程含有四个未知数，看似无法求出a，b，c，x．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a，b，c，x之间的关系．

证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：(a2x2—2abx+b2)+(b2x2—2bcx+c2)=0，∴(ax—b)2+(bx—c)2=0． ∵a，b，c，x都是实数，∴(ax—b)2≥0,(bx—c)2

≥0．∴ax—b=0,bx—c=0． ∴cbb=a=x.-

第五篇：高中数列解题方法

数

1.公式法：

等差数列求和公式:Sn

n(a1an)n(n-1)na1d 2

2Snna1(q1)

等比数列求和公式：a1(1-qn)(a1-anq)Sn(q1)1q1q

等差数列通项公式：ana1(n1)d

等比数列通项公式：ana1qn

12.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.Sna1b1a2b2a3b3...anbn

例题：

已知ana1(n1)d,bna1qn1,cnanbn,求{cn}的前n项和Sn

3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an)

例题：已知等差数列{an}，求该数列前n项和Sn

4.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.5.裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即然后累加时抵消中间的许多项。

常用公式：

111n(n1)nn1

1111(2)()(2n1)(2n1)22n12n1 11(3)(a)aba(1)

例题：求数列an1的前n项和S

n n(n1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例题：求证： 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)= n(n1)(n2)(n3)(n4)5

7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。

8.（备用）a3b3(ab)(a2abb2)

ab(ab)(aabb)3322