浅谈初中数学中分类讨论的划分标准[最终定稿]

第一篇：浅谈初中数学中分类讨论的划分标准

浅谈初中数学中分类讨论的划分标准

华育中学黄喆

在数学研究中，当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们不能对他们一概而论的时候，迫使我们必须按所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想方法，我们叫做分类讨论思想。

分类的根据是现代数学中集合分类的概念与逻辑学中概念划分的方法。所谓概念的划分，就是根据它的属性来区分它的对象。即根据它的内涵来对它的外延实行分类。使同一类的对象具有相同的属性，不同类的对象具有不同的属性。这些分类构成若干个新概念的外延，这些新概念就被称为从属于原来那个概念的种概念。

用来划分概念的那些属性，称为划分的标准。然而根据分类的含义，无论是单层次还是多层次的分类，每一次的划分必须按同一标准进行，划分标准不同，划分的结果也不同。对于初中数学而言，我大致总结了以下几种可以作为分类讨论的划分标准，供大家讨论。

1、数学概念和定义

例

1、若|a|=3，|b|=5，则|a+b|=

分析：与绝对值相关的问题，一般要去掉绝对值号，这就要根据绝对值的概念进行分类。解：当a、b同号时，|a+b|=8；当a、b异号时，|a+b|=2。

例

2、矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是03上海中考第14题）分析：“两圆相切”的问题在近两年（03、04）上海中考连续出现，考察的就是“两圆相切”包含内切和外切两种情况，然而得分率均低于50％，说明学生对于“两圆相切”这一概念掌握不深。

解：两圆外切时r的取值范围是：1

例

3、已知abc≠0，且abbccap，那么直线y=px＋p一定通过第象限； cab

分析：等比性质的适用范围是a＋b＋c≠0，题目中并没有交代a＋b＋c的具体性质，须按照适用否等比性质进行讨论。

解：当a＋b＋c≠0，p＝2，y＝2x＋2，经过第一、二、三象限；

当a＋b＋c＝0，p＝－1，y＝-x-1，经过第二、三、四象限；

∴直线y=px＋p一定通过第二、三象限

3、问题中待定参数的变化

例

4、关于x的方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0，当m为何值时，方程有实根？

分析：方程有实根，即方程有两个实根或一个实根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次系数须分类讨论。

解：Ⅰ）当m-4＝0，即m＝4时，原方程化为-7x+4=0，此时方程有且只有一个实数根；

Ⅱ）当m-4≠0，即m≠4时，原方程为一元二次方程，其中[(2m1)]24(m4)m0，即m≥综上所述，方程有实数根的条件是m≥

且m≠4时，方程有两个实根。1124、几何量之间的位置关系

例

5、平面上A、B两点到直线k距离分别是23与23，则线段中点C到直线k的距离是；

分析：点A、点B与直线k的位置关系有两种情形：A、B点在直线k的同侧或异侧。解：Ⅰ）如图，当点A、B两点在直线k的同侧时，设AM⊥k于M，BN⊥k于N，且AM＝23，BM＝23，C是AB的中点，CP

AMBN

2 ⊥k于P，则CP是梯形AMNB的中位线，∴CP

Ⅱ）如图，当A、B两点在直线k的异侧时，过B作BR⊥AM线交于R，延长PC交BR于Q，则AM∥CQ∥BN。∵AC＝BC，∴RQ＝BQ，∴PQ＝BN＝23，CQ=

1AR(AMBN)2，∴CP=PQ-CQ=3 2

2∴线段中点C到直线k的距离是2或

35、特殊三角形和四边形的特殊边角

例

6、已知抛物线ymx(3m)x4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。如

3果△ABC是等腰三角形，求m的值

分析：题目告知了△ABC是等腰三角形，但并没有说明哪两条边对应相等时，就应该考虑到AB=AC、AB=BC、AC=BC三种情况，并分别给予讨论。类似的情况还有告知是直角三角形但没有说明哪个是直角；告知是平行四边形但没有说明哪一组是对边等等 解：令mx(3m

444)x40，则(mx-)(x-3)=0，x1=x2=

3333m

可知A(3,0)、B（442

42,0)、C(0,4)，得AC＝

5、AB＝3、BC＝4()3m3m3m

9Ⅰ）当AC＝BC，A、B两点关于y轴对称，即二次函数关于y轴对称，∴m＝Ⅱ）当AC＝AB，则3

4＝5，m＝或

633m

8424，m＝)＝3

73m3m

Ⅲ）当BC＝AB，则4(综上所述：m等于

4128

.or..or..or.。

69376、全等三角形和相似三角形的对应边

例

7、如图，直线y

x2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一2

点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9（02上海中考）（1）求点P的坐标；

（2）设点R与点P在同一个反比例函数的图像上，且点R在直线PB的右侧。作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标。解：（1）点P的坐标为（2,3）

分析：求△BRT与△AOC相似，就要首先观察这两个三角形的性质，都是直角三角形，但哪两条边为对应边并没有说明，所以就应按对应边的不同进行讨论。解：（2）可知点R的坐标为（b,RT

AORT

② 当△RTB∽△COA时，CO

① 当△RTB∽△AOC时，6）bBT，解方程，得b＝3或b＝－1（舍去）COBT，解方程，得b＝1或b＝1（舍去）AO

综上所述，点R坐标为（3,2）或(1,1)2

学习数学，很重要的一个方面，就是掌握一系列的数学方法，而分类讨论的思想就是其中一枝，也是近几年中考的一个热点。学生应该在学中思考，在思考中总结，这样才能真正地做到融会贯通。

参考书目：《生活 数学 社会—初中数学应用问题集》

2004-7-10

第二篇：加油站ABC分类划分标准

加油站安全监管分类标准

（一）加油站分类

根据加油站安全条件及安全风险程度，将全市加油站分为A、B、C三类，分别表示为“优秀”、“良好”、“一般”。

（二）加油站分类标准

根据《汽车加油加气站设计与施工规范》（GB50156，2006版，以下简称GB50156）、《危险化学品从业单位安全标准化通用规范》（AQ3013-2008）和全市加油站现场安全情况，划分以下分类标准。

1、A类加油站(同时具备下列条件)：

（1）取得危险化学品安全生产标准化三级证书，持续运行2年（含）以上，申请安全生产标准化三级达标企业评审得分在90分（含）以上的加油站。

（2）加油站重要设施（油罐、加油机和通气管管口）与站外建、构筑物的防火安全距离符合GB50156要求的，或已安装HAN阻隔防爆装置的加油站。

（3）安全生产管理基础扎实，安全管理体系健全（包括：安全生产责任制、安全管理机构和专职安全管理人员、安全管理制度、安全操作规程、事故应急救援预案、人员培训及持证上岗、安全检查及隐患排查、设置摩托车加油点、安全警示标志等），现场安全设施设备完好，安全事故风险控制能力较强的加油站。

（4）经营2年（含）以上，未发生生产安全事故，未被检查发现有安全生产不良行为，未受安全生产行政处罚的加油站。本次A类加油站分类以第（2）、（3）、（4）三项内容为划分依据，第（1）项内容待企业申请晋级和下一轮划分时实行。

2、B类加油站(同时具备下列条件)：

（1）取得危险化学品安全生产标准化三级证书。（2）加油站重要设施（油罐、加油机和通气管管口）与站外建、构筑物的防火安全距离符合GB50156要求的。（3）加油站所处区域人员流动较多但未达到人员密集场所条件的。

（4）经营1年（含）以上，现场安全管理规范，未发生生产安全事故、未被检查发现有安全生产不良行为、未受安全生产行政处罚的加油站。

3、C类加油站(具备下列条件之一)：

（1）加油站重要设施（油罐、加油机和通气管管口）与站外建、构筑物的防火安全距离不符合GB50156要求。

（2）人员密集区加油站未安装HAN阻隔防爆材料。（3）油罐未埋地或埋地不规范。

（4）未通过安全生产标准化三级达标。

（5）加油站已建成使用达10年以上，现场安全设施设备存在一定的缺陷。

第三篇：分类讨论思想在初中数学中的几点应用

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分类讨论思想在初中数学中的几点应用 作者：杨欣

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第06期

分类讨论是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.数学中有许多问题由于已知条件笼统，所以需要对可能的情形进行分类讨论，因此，我们在思考问题的解法时，需要认真审题，全面考虑，分类要做到不重不漏，从而获得完整的答案.以下是分类讨论思想在初中数学中的几点应用，一、在实数中的应用

【例6】 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形的面积是24，求常数k的值.分析：与坐标轴的围法分两种情形：所围三角形在第一象限或在第二象限.解：如图2，图像与纵坐标交于点（0，6）.设与横坐标交于（a，0）.（1）若与坐标轴围成的三角形在第一象限，则有12a×6=24，得a=8.将（8，0）代入一次函数y=kx+6，此时k的值为-34.（2）若与坐标轴围成的三角形在第二象限，同理可得k的值为34.综上，k的值为-34或34.（责任编辑 金 铃）

第四篇：浅谈初中几何中分类讨论的教学策略

浅谈初中几何中分类讨论的教学策略

摘 要：在中学数学教学中，分类讨论的重要性十分突出。要提高学生对分类讨论的重视，弄清楚引起分类的原因、明确分类讨论的标准、遵循分类讨论的步骤、掌握分类讨论的方法。分类讨论是解决数学问题的一种策略，也是训练学生思维方法、培养思维能力的重要手段。

关键词：分类讨论；重合面积；例题

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）29-0041-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.29.022

数学学科十分重视不同解题思路和方法的探究和运用，根据不同题目的类型，采取最为合适的解题方法，同时探究其他解题思路，这有助于学生发散性思维的培养。分类讨论思想在初中数学教学中的应用就验证了这一种教学思路的渗透。

翻阅苏州各市区近几年一模卷和苏州市中考卷，发现那些开放性、探索性较强的试题往往会作为压轴题，而学生往往失分严重，究其原因，是由于考生逻辑推理能力不强，分类讨论思想缺失，或者解题不严密所致，因此训练这方面能力是非常必要的。

一、确立分?讨论思想的重要性

分类讨论是指在解决数学问题的过程中，根据问题中所出现的多种情况和可能性，分别进行研究的一种常用的数学思想方法。

分类讨论思想一旦以压轴题的形式出现，就会让学生无从入手。因此中考复习要到位，分类讨论这方面问题，必须在平时课上就加以铺垫，化整为零，让学生经常可以感受到分类思想，不要到临考前才临阵磨枪。

二、如何进行分类讨论的教学

分类情况可分为：数学概念的内涵需要分类讨论；问题中的条件需要分类讨论； 问题中的变量需要分类讨论；形状、位置的变化需要分类讨论。

教师必须能全面、熟练地掌握初中数学教材中的所有概念、性质、定理。只有这样，在教学的过程中教师才能更好地运用自己所掌握的东西，使学生对分类讨论思想有系统、全面的理解，让学生能掌握直至熟练运用分类讨论思想。

代数型分类讨论，如绝对值化简，方程根的个数，函数图像性质，二次函数最值等；几何型分类讨论，如求等腰三角形第三边，直角三角形的第三边，相似三角形的分类讨论等；以上问题通过例题、课后作业，可以有效解决，让学生轻松上手。但是综合起来以后，学生有时就很难理解，下面具体来谈一下，如何有效地让学生学会计算“几何重合面积”的方法。

对于几何类型的分类讨论，在课堂教学中，要训练学生，让他们画出几何图形，特别是训练读题画图，在做作业乃至考试的时候，涉及几何的题目，如果原题没有配图，一定要培养他们画图的习惯，对图形有很好的感觉，会对分类讨论有着最直接的帮助。课堂上，教师也应该经常在学生面前画图，并介绍如何利用直尺、圆规等工具，把几何图形画得尽量准确，不要为了省事，总放些课件，把很好的训练机会白白浪费掉。训练寻找题中的特殊角度、坐标、特殊的边的比值等。有时解题的关键就是这些容易疏忽的条件。运动的图形，必须从起点开始画，要学会画出分类情况的临界状况，这是求自变量取值范围的关键，这种过度图形都是很特殊的位置，对于计算是很有帮助的。

例1：已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，-12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线y=-2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒.问S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

分析：

（1）利用对称轴，可求出B坐标，用A、B、C坐标求抛物线解析式。

（2）关键要判断一组平行的对边是什么，因此先求出直线PB的解析式，可知与直线y=-2x的k相等，所以直线PB//OD，所以只需OP=BD，用勾股定理列出OP和BD，解方程，最后检验是不是只有一组对边平行，当x=2时，OD=PB，此时四边形OPBD为平行四边形，舍去。

（3）做这小题时，有一条运动的直线，经过自己动手探索，发现△PMN翻折后，有两种情况，如图3、4，即重合部分是三角形或者是四边形。

有的学生画不出图，寸步难行，有的学生只会画出图，至于如何计算，无从下手。教师要先鼓励学生根据原图画出翻折图像，这样的全等图形，相信只要去尝试，可以临摹出一模一样的翻折图形，如果成功的话，接着可以让全班同学一起参与画出不一样的图像，并且一起分析这些“不同的图像”的相同之处，从运动的起点到终点，整个运动过程可总结出有两种重合部分的图像。下面要讨论出这两种情况的分界点，也就是重合部分是三角形的最后时刻，通过刚才画图的过程，可知点P翻折后正好落在x轴上。

分析完后，进入计算阶段，这条运动的直线，是以M为主体，画出的与x轴平行的直线，由速度可得PM=t，下面又是学生碰到的难题，其实，题中包含着很多的特殊三角形（特殊三角形包括等腰直角三角形、含30°的直角三角形，或者边的比值是定值的也算是特殊三角形），这是要告诫学生，必须根据条件，去探索题中是否有特殊三角形，经过（1）（2）题的计算，图3、4中可以得出△POD，△POG是等腰直角三角形，△PDB中BD：PD=1：2的直角三角形。因为相似，可知△PMH是等腰直角三角形，△PHN的直角边也是1：2，用t可以表示MN、PH，面积也就迎刃而解了。

这道题的分类思想根据画图得出，因此，让学生从图像变化的起点出发，寻找临界状态，进而画出动起来后的不同形式，再经过分析完善分类，最后进行计算。计算过程一定要利用已知条件，寻找特殊图像。几乎所有类似的题目，都有可以利用的图形。

三、学生如何掌握分类讨论的思想

正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏。分类讨论的原则：分类中的每一部分是相互独立的；一次分类按一个分类标准；分类讨论应该逐级进行。

分类的基本步骤为：明确分类主体；按条件合理展开分类；根据类型逐项进行讨论；归纳分类结果得出答案。通过平时课内和课后对画图的训练、压轴题中给出的点坐标、特殊三角形的寻找，通过从动点起止状态的分析的训练，学生可以逐渐掌握几何重合面积的解决方法。

四、教师要把主动权还给学生

学生之所以对分类讨论问题惧怕，无非是因为不知道什么题目要进行分类讨论，或分类不完全、漏解，只要突破这两个难点，学生以后碰到此类问题，就会迎刃而解了。在课堂教学中，教师要把主动权还给学生，要产生真切的师生互动，使讨论具有实效。这样，在课堂上学生始终处于不断发现问题、解决问题的过程中。学生一旦尝到努力探索的成就感，久而久之，就会更加喜欢学习，愿意学习。

参考文献：

[1] 顾仁岳.例谈初中几何教学中分类讨论[J].中学数学研究（华南师范大学版），2015（18）：38-39.[2] 董佩珊.在初中数学教学中渗透分类讨论思想的教学策略[J].中学数学研究（华南师范大学版），2015（24）：22-24.[3] 陆银.初中数学课堂教学中分类讨论法的应用[J].数理化解题研究（初中版），2015（4）：19.[4] 肖毓强.浅析分类讨论思想在初中数学教学中的运用[J].新课程（中），2016（32）：45.[ 责任编辑 林 娜 ]

第五篇：分类讨论思想与初中数学教学

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分类讨论思想与初中数学教学

分类讨论思想与初中数学教学

摘 要：数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

关键词：数学 ；分类讨论

新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。

一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，分类讨论一般应遵循以下的原则：

1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。

2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。

4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。

一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。

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专业论文 有意识地分阶段渗透分类讨论思想

启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质

这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。

例3 初中课本第四册证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论。这是课本第一次正式的采用分类的方法证明几何定理的。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如上图）去证，要在学生画图、测量、分析、讨论后形成思路。决不能在这些活动之前给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，无法体会分类证明的目的和优点。创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想

在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：

分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：

化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；

2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）

3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根 为增根。

在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：

等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

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