初中数学教材中分类思想的探讨

第一篇：初中数学教材中分类思想的探讨

初中数学教材中分类思想的探讨

亭湖区黄尖初级中学邮编：224049

内容提要: 中学数学的学习, 常常会运用到一些数学思想, 分类讨论的思想方法在初中数学学习中有着广泛应用.在数学概念教学中的分类思想的应用, 数学定理、公式、性质和运算法则进行分类,图形的位置的变化而进行的分类, 定理证明中的分类讨论, 我们要把掌握分类思想,作为一项教学目标纳入教学过程,提高学生的数学思考能力,在教学中要遵循循序渐进,适时渗透,逐步深化的原则,初始阶段,可从学习熟知的数学分类入手,逐步提高.关键词: 数学思想, 分类讨论思想, 概念的分类, 数学定理、公式、性质和运算法则的分类, 图形位置变化的分类, 定理证明中的分类讨论, 运用分类思想,解决数学问题，提高数学素养

在中学数学的学习过程中，我们常常会运用到一些数学思想，而数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。首先，数学思想比一般的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻；其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理-1-

论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。

在初中阶段对数学知识学习过程中，应将统领知识的数学思想和方法概括出来，增强学生对数学思想和方法的应用意识，从而令学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析问题、解决问题的能力。这是锻炼学生学会学习这种能力的重要途径。

素质教育的主要任务不仅是发展学生的智力，培养学生的能力，还要培养非智力因素和辩证唯物主义等思想，从根本上讲就是要全面提高学生的“数学素养”，培养学生创新意识。而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成“数学素养”，树立创新意识的关键，她能使学生在未来的生活和工作中终生受益。新的数学课程标准认为掌握好数学思想方法，是培养学生创新意识，使学生具有一定的数学素养的必要条件。掌握好数学思想方法可以使学生对数学更容易理解和记忆，如果把数学思想方法学好了，在数学思想方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识，就能培养学生的数学能力，使数学学习变得更加容易，并能将所学到的知识和方法运用于今后的工作和生活之中。

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有：化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等。在这些基本思想方法中，分类讨论的思想由于初中学生认知能力、思维习惯、知识水平和教学内容的限制，学生在运用的过程中感觉到特别困难，但分类思想在中学数学中又有着极其广泛的应用，有必要对其特别加以重视，下面我们就一同来看一看这种数学思想方法在初中

数学教材应用，以更好地利用数学教学来提高学生的素质，使学生在今后的学习、生活中运用这种数学思想方法，来解决实践中遇到的各种问题。

数学分类思想是在研究与解决数学问题时,根据数学对象的本质属性的异同点,将对象分为不同种类,然后逐类进行研究与解决,从而达到研究与解决问题的目的的一种思想方法。分类思想的掌握对研究和解决问题十分有益，因此是科学研究中最常用，最基本的思想方法之

一。它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题。

应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简捷。

分类思想有三个明显特点，一是对什么东西分类，即确定分类的对象；二是按什么标准分类，即选择分类的标准；三是分成哪几类，即确定分类的结果。通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。就分类讨论的思想方法在初中数学教材中的应用，大致可以分成下面四种类型。

一、数学概念中的分类思想的应用

1、实数的分类：实数按定义可以分为有理数与无理数；而按大小又可分为正实数、0、负实数。在实数的应用中时常需要就实数的取值进行分类讨论。

2、角的分类，小于180的角按大小可分成锐角、直角、钝角等

3、三角形的分类：在三角形中按角的大小进行分类可以分为锐

角三角形、直角三角形，钝三角形；而按边的相等数来分又可以分成：

（1）三条边都不相等，即一般三角形；（2）有两边相等，即等腰三角形；（3）有三条边相等，即等边三角形。在三角形中又以等腰三角形中的分类讨论的题型最多。

4、四边形的分类：在四边形中按边的平行关系可分为：①两组

对边都不平行，即一般四边形；②只有一组对边平行，即梯形③两组对边分别平行，即平行四边形，而平行四边形中又可分为一般平行四边形和特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形等。

5、方程的分类，方程按未知数的个数可分成一元方程、二元方程、多元方程；按未知项的次数可分为一次方程、二次方程、高次方程等。在方程中常常对未知数前面的字母系数的取值分类讨论。

6、函数的分类，初中数学中的函数可分成正比例函数、一次函

数、二次函数、反比例函数等。

二、根据数学定理、公式、性质和运算法则进行分类

a当a0时

1、绝对值的化简a0当a0时

a当a0时

2、二次根式的化简a当a0时a2a0当a0时 a当a0时

23、一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0),当△=b-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b-4ac=0时，2

2方程有两个相等的实数根；当△=b-4ac<0时,方程无实根。

4、函数的增减性，（1）在一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）中，如果k>0，那么y的值随x值的增大而增大；如果k<0，那么y的值随x值的增大而减小。

（2）在反比例函数y=k／x（k为常数，且k≠0）中，当k>0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x 增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x 增大而增大。

5、不等式的性质

不等式的性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

根据不等式这个性质在不等式的两边都乘或除以一个数时需要考虑到这个数是正数还是负数。

三、根据图形的位置的变化而进行的分类

1、点与直线的位置关系①点在直线上②点在直线外

2、直线与直线的位置关系：在同一平面内两直线的位置关系有①相交②平行。直线与直线的位置关系中分类讨论的题型并不多见，但它本身就是一种分类。

3、点与圆的位置关系①点在圆外②点在圆上③点在圆内。

4、直线与圆的位置关系①相离②相切③相交。

5、圆与圆的位置关系①外离②外切③相交④内切⑤内含

四、定理证明中的分类讨论

圆周角定理证明中的分类，分三种情况进行讨论。①圆心在角的一边上；②圆心在角的内部；③圆心在角的外部。

通过上述问题的讨论,分类讨论的思想方法在初中数学教材中有着广泛的应用。在运用分类思想解题时主要步骤有：①分析题目中的已知条件，明确所要讨论的对象，确定所要讨论对象的全体；②确定分类标准，正确进行合理分类，做到不重不漏,并力求最简；③对所分类型进行逐级讨论、求解；④归纳小结，得出最后的结论。

当然课本中分类讨论题型很多，在具体的题目中也许多类型，例如在三角形相似中由于对应关系的不明确也可以进行分类讨论，在图形运动中的题目也会有分类讨论，在中考综合题中也会穿插着许多分类讨论的题目，因此有必要在今后的学习和教学的过程中，根据新课程标准的要求,我们要把掌握分类思想,作为一项教学目标纳入教学过程,提高学生的数学思考能力,在教学中要遵循循序渐进,适时渗透,逐步深化的原则,初始阶段,可从学习熟知的数学分类入手,逐步提高.当学生初步理解一些数学分类方法后,适时做好深化、归纳工作，可设计一些含有分类思想的习题，通过专项训练，帮助学生总结一些常见的分类方法，逐步强化分类意识，养成善于分类的思维习惯，便于学生在以后的学习过程中能正确地运用这种思想方法解决好数学问题，并能使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答，这样才能提高学生的数学素养。

第二篇：初中数学教材中的数学思想

初中数学教材中的数学思想

徐州市九里区九里中学朱黎生

摘要：天得一而清，地得一而宁，万物得一而生，数学的美美在其统一性与简单性。化归思想、数形结合思想、整体思想、函数思想、对应思想等不都是数学统一美的表现吗？方程、函数、不等式之间是统一的，加、减、乘、除之间是统一的，减就是加，除就是乘。数与式之间是统一的，数与形之间是统一的。在数学统一美的统领下，各种数学思想各善其能。本文简略探讨了初中数学中的一些数学思想，这是数学教学的目的所在，也是学生数学能力的体现。其实，每一种数学思想都可以写厚厚的一本书，又岂是本文浮光掠影式的一带而过。

在2006年常州市武进区湖塘中学举行的江苏省青年教师优质课评比活动中，郑君威先生讲了这样一句话：“一堂如果没有数学思想的渗透，那么它就是一堂没有品位的课。”是啊！一堂好课就像一杯清茶，要留有口齿生津的余香；就像马致远的“枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马”一样，要留给人无限的遐想。就像中国的水墨山水，寥寥数笔却留给人大量的言外之意、画外之音。庄子说：“大道无言、大音稀声”；听了一堂好课，在静思冥想中，细细体会知识背后所蕴含的思想，或许就会给我们带来小小的快乐，一堂好课除了教给我们一些知识之外，最重要的是让我们感受一些数学的思想。日本数学家和数学教育家米山国藏说：“学生在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学思想方法，却长期在他们的生活和工作中发挥着作用。”

那么初中数学教材中渗透了那些数学思想呢？

1、化归思想

匈牙利著名数学家路莎·彼得在她的名著《无穷的玩艺》一书中对“化归方法”作过描述：“如上所述的推理过程，对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为己经能够解决的问题。当然，从陈旧的实用观点来看，以下的一个比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数学家中却是广为流传的：‘现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前，当你要烧水时，你应当怎么去做呢?‘往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶上。’‘你对问题的回答是正确的。现把所说的问题稍作修改，即假设水壶里己经装满了水，而所说问题中的其他情况都不变，试问，此时你应该怎样去做?’此时被问者一定会大声而颇有把握地说：‘点燃煤气，再把水壶放上去。’他确信这样的回答是正确的，但是更完美的回答应该是这样的：‘只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。”从这段话可以看出，化归方法已经成为了数学家们最典型的思维模式了”。

所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化和归结的意思。数学中把待解决的问题通过转化，归结到一类己经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。化归方法用框图可直观表示为：

其中，问题B常被称作化归目标或方向，转化的手段被称为化归途径或化归策

略。所以化归包括三个基本要素，即化归对象、化归目标和化归策略。化归的方

向是：由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易。

初中数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为己知，化多元为一元，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容

上，有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元

等等都是实现转化的具体手段。转化思想是一种思维策略的表现，即我们常说的换个角度想问题。它是解决数学问题的重要思想，它要求我们能把握住问题的本

质，能辨证地看待事物，能运用所学的知识把复杂的问题转化为较简单的问题解

决，把隐含的条件转化为明显的条件，把生疏的问题转化为较熟知的问题解决。

严格说，初中的几何证明只能是指出待证问题可以归入哪个问题的证明或由哪个

已证的定理或结论来证明，实质上是一种化归过程。老老实实从公理、公设、定

义出发去证明每一个命题，既费时，又没有必要，对初中学生来说有的甚至是不

可能达到的。等价转化本身是数学中的很重要的内容，可以把较为深奥的问题化

为较浅显的问题，较复杂的问题转化为较简单的问题。学习数学时头脑的灵活也

体现在这种等价转化上，能把原题改为一个新的题目且使两题的已知条件及结论

本质上相同，做到此很不简单。

例1：有鸡、兔若干只同笼，已知共有头12个，腿36条，问鸡、兔各多

少?此题解法较多，我们可以用化归方法，若鸡、兔同时抬起一半腿，则有腿18

条，比头数多6，问题很快解决。

例2：如图，正方形的边长为a，求图中阴影部分面积。

分析：图形不规则，换一个角度看，知阴影部分是由4个以正方形的边长为

直径的半圆叠加再减去一个正方形而形成。

有些问题如果直接解决难以入手，不妨换一个方向、角度或观点来考虑，或

许能使问题变得更清晰、更明朗，这就是转化思想。

2、符号化、方程与函数思想

符号化思想，方程思想和函数思想本来是三个不同的思想，它们各有侧重点，符号化偏重于形式化、结构化。方程思想相对于算术法，偏重于关注问题中的等

量关系、构造方程，由解方程而达到问题解决。函数思想则偏重于事物的运动变

化，寻求变量之间的对应关系。但是，一方面，由于初中数学知识量毕竟有限，这三种思想的形成还有待学生在后继学习中完成，另一方面，这三种思想存在着

有机的联系，符号化是方程思想实现的基础，而方程又可以看作是函数的特殊情

况，方程方法也是研究函数的有力工具。因此，这里把这三种思想方法放在一起。a、符号化思想

符号既可以表示数，又可以表示量；既可以表示未知数，又可以表示已知数；

既可表示常量，又可表示变量，还可以用符号表示运算、表示关系、表示语句、表示图形。如新教材第三章《 字母表示数》中的“ 摆火柴棒”的实验，就蕴

涵着用字母表示数的思想，如能先让学生在具体实验中计算一些具体的数值，启发学生归纳出字母表示数的思想，认识到字母表示数具有问题的一般性，就

便于问题的研究和解决，由此就可产生从算术到代数的认识飞跃。学生领会了用

字母表示数的思想就可顺利地进行以下内容的教学：（1）用字母表示问题（代

数式模仿、列代数式）；（2）用字母表示规律（运算定律、计算公式、认识

数式通性的思想）；（3）用字母表示数来解题（适应字母式问题的能力）。b、方程思想

方程思想就是把问题转化为利用方程或方程组求解。运用方程思想解题在数

学、物理、化学等学科中均有广泛的应用。方程、函数、不等式关系紧密，是初

中阶段数学的重要内容和考查热点，尤其是二次函数与二次方程。不等式反映的是不等量的关系，往往也用等量关系(函数、方程)去解决问题。在中考中，用方

程思想求解的题目随处可见。同时，方程思想也是解几何计算题的重要策略。

c、函数思想

世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中

重视函数的思想方法的教学。虽然函数知识安排在初三学习但函数思想已经渗透

到初一、二教材的各个内容之中。因此，教学上要有意识、有计划、有目的地培

养函思想方法。让学生逐渐形成以运动的观点去观察事物，并借助函数关系思考

解决问题。

3、数形结合思想

“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。例如初中代数中，正是借助于数形结合的载体------数轴，介绍数与点的对应关系，相反数，绝对值的定义，有理数大小比较的法则等，大大减少了学生学习这些知识的难度，因此数形结合的思想教学应贯穿于整个教学的始终。

“数”与“形”是同一个事物的两个方面，以形判数，以数论形的思想方法就是数形结合法。数量问题有时借助于图形可以很直观地解决，反之，图形问题有时转化为数量问题可以很方便的解答。有些同学重视定理、公式的计算，可是不重视数形的结合，因此，学不好数学。曲线、图象等是研究方程、函数的手段，给人以深刻的感性认识，有些难于计算或计算繁杂的题目只要画一下图形就一目了然，完全可以避免计算或减少计算量，尤其对于那些不要求运算过程的标准化题目更为适用。指导学生要想到数形结合的方法，更重要的是如何恰当地选用图形解决问题，不然就事倍功半。

例若x、y为正实数，且xy4,x21y24的最小值是多少?

BE

解析：若能考虑到x21是以x、l为直角边的直角三角形斜边的长，y24是以y、2为直角边的直角三角形斜边的长，那么上述问题就变成了求两条线段和的最值问题。

如图，线段AB=4。P为AB上一动点。设PA=x，PB=y。CAAB,DBAB

A B为垂足，且CA= 1，BD=2，则PC+PD=x21+y24。易知当点P，C，D在同一条直线上时，PC+PD最小。作CE垂直DB的延长线于E。，易知EC =4ED =2十1 =3，故PC十PD =DC =3242 =5故最小值为5。评析：此题难在对形如a2b2的式子的理解，a2b2表示以正数a，b

为直角边的直角三角形的斜边，看到这个式子应立刻在头脑中产生这个直角三角形，这当然需要经验的积累。有了这个直角三角形，解决问题便有了思路。

4、分类讨论思想

严格说，“分类讨论思想”不是数学所特有的，是自然科学乃至社会科学研究中都用到的基本逻辑方法，由于它在数学中的重要性，这里把它作为数学思想方法提出来。初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，都体现了这一思想。启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。从具体的教法上看，如对初一有理数的加法教学中，引导学生观察、思考、探究，将有理数的加法分为三类进行研究，正确归纳出有理数加法法则，这样学生不仅掌握了具体的“法则”，而且对“分类”有了深刻的认识，那么在较为复杂的情况下，利用掌握好的分类的思想方法，正确地确定标准，不重不漏地进行分类，从而使看问题更加全面。当数量大小不确定，或图形的位置、形状不确定时，常常可以运用分类讨论的思想来分析解决。

在进行分类讨论时，我们必须遵循以下原则：

1、分类原则——不重复、不遗漏。由于学生在思考问题时有时带有片面性或缺乏条理性，所以在解决问题过程中，往往违背这个原则。实际上，在教材中定理证明、例题、习题中都采用了分类思想，只要同学们认真钻研教材，多思考，并注意解题后的回顾与总结，在分类时就会做到不重、不漏。

2、对复杂问题采用多级分类的方法讨论，对一个复杂的问题有时进行一级分类，很难将问题讨论清楚，这时需要对其中一类或几类再进行分类，即多级分类。多级分类是一个难点，应注意：(1)每一级分类一定要把握好分类标准。(2)每一级里,要始终如一地按一个标准讨论，同时每一级都要以“不重不漏”为原则。

例：解关于x的方程：a-bx=4-3x

分析：应根据除数不能为零进行分类讨论，同时，涉及a、b两个字母，需进行两级分类讨论。

解：a-bx=4-3x可整理为(b-3)x=a-

4a4(1)当b≠3时，方程有唯一解x= b

3(2)当b=3时，有两种情况：

①a=4时，原方程的解是一切实数,②a≠4时,原方程无解。

5、整体思想

所谓整体思想，就是把所考察的对象，作为一个整体来对待，而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体。从整体上去认识问题，思考问题，是一种重要的思想方法，当然，这并不排斥把事物分解的重要性。在初中数学中，这种整体思想的例子不少，是一种相当重要的解题思想与策略。

例 ： 在一条平直公路的甲乙两端，分别有A，B两辆车同时匀速相向开出，在离甲端80km处两车相遇，相遇后各自继续驶向前方，到终端后又立即返回，结果在离乙端60km处两车又迎面相遇，求甲乙两点间公路的长。

分析：若用方程思想，所设的物理量较多，方程不好解。若将A，B两车的运动过程视为一个整体如图1所示，第一次相遇时，A，B两车行驶的路程之和为一个全程，其中A车行驶了80km。到第二次相遇时，A，B两车行驶的路程之和为三个全程，因两车都匀速行驶，不难推出，此时A车应行驶了3 × 80 = 240km。又由图看出，A车实际行驶了一个全程加60km，故有

s+60=240km，s=180km。

面对纷繁复杂的过程，有时不必考虑细节，而是将若干个过程视为整体，通盘考虑，定能化繁为简。

6、此外还有空间思想、对应思想、概率思想等，不胜枚举。

空间思想：如初一教材第一章《 丰富的图形世界》 就需要学生通过不断的观察，在展开与折叠、切截等数学活动过程中，认识常见的基本几何体及点、线、面等简单的平面图形，形成一定的空间思想，提高学生空间思维能力。在实际教学中，我充分调动学生的主观能动性，给予足够的空间和时间，通过每个学生自己的动手操作去体会新教材所安排的内容，发现新的问题。如在“面动成体”这一知识点上，我让学生去观察、思考“面动成体”的实例，并在课堂上充分发言进行讨论，有的学生提到了“某些高档宾馆的旋转大门，面动起来就成为圆柱体”。空间思想不同于数形结合思想，数形结合强调的是代数与几何之间的打通，而空间思想强调的是对空间点、线、面关系的直觉。初中几何教材主要注重学生两方面能力的培养：一是逻辑推理能力，二是空间想象能力。

对应思想：对应本质上反映了两个集合的元素与元素之间某种关系，当两个集合建立了某种对应时，这两个集合的元素和元素之间就发生了某种关系，运用两个集合元素和元素之间的对应关系来处理数学问题的思想就是对应思想。对应思想在初一教材中最典型的例子就是实数集与数轴上的点集的对应。函数和一元一次不等式（组）等章节中都存在着对应思想，如研究一元一次不等式解法可通过与一元一次方程解法对比进行教学，学生容易掌握，当研究一个集合的事物不方便时，可通过对应转化为研究另一集合的事物，以达到研究原集合事物的目的，因此，对应思想架设了变难为易的桥梁。对应思想与函数思想有相同之处，它更加注重事物与事物之间的类比。

概率思想：初一新教材出现了《可能性》的新增内容，从学生喜闻乐见的摸球游戏开始，通过实验，使学生体验有些事件发生的不确定性，并通过实例丰富对不确定事件的认识。所以我们在教学过程中，要适当渗透概率思想，使学生体会到事件发生的随机性在日常生活中会经常遇到，并对事件发生的可能性有较为深刻的认识，为今后进一步学习概率统计打下坚定的基础。

第三篇：分类讨论思想与初中数学教学

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分类讨论思想与初中数学教学

分类讨论思想与初中数学教学

摘 要：数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

关键词：数学 ；分类讨论

新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。

一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，分类讨论一般应遵循以下的原则：

1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。

2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。

4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。

一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。

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专业论文 有意识地分阶段渗透分类讨论思想

启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质

这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。

例3 初中课本第四册证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论。这是课本第一次正式的采用分类的方法证明几何定理的。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如上图）去证，要在学生画图、测量、分析、讨论后形成思路。决不能在这些活动之前给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，无法体会分类证明的目的和优点。创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想

在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：

分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：

化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；

2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）

3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根 为增根。

在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：

等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

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第四篇：从一堂课谈初中数学概念教学中的分类思想

从一堂课谈初中数学概念教学中的“分类思想”

《直线与圆的位置关系》课例

教师在教学中对学生的数学思想方法的渗透存在的一些问题。

近日，我有幸聆听了王老师一堂课《直线与圆的位置关系》。听了这节课后，我想从“如何在数学概念教学课中向学生渗透分类思想”谈一些自己的想法。

在《直线与圆的位置关系》的教学中，王老师是这样引入的：（1）师：请每一位同学任意画一个圆和一条直线。

生：动手画圆和直线。

（2）师：收集并展示学生的作品。（用实物投影）

（3）师：拿出两张学生作品（如右图）。

问：这两张图有什么共同的特征？ 生（个答）：它们都有两个交点。

（4）

师：拿出两张学生作品（如左图）。问：这两张图有什么共同的特征？ 生（个答）：它们都没有交点。

（5）拿出两张学生作品（如右图）。问：这两张图有什么共同的特征？ 生（个答）：它们都只有一个交点。（6）师归纳直线与圆的三种位置关系。

（7）师：你能举一些生活中直线与圆的位置关系的具体例子吗？

生1：太阳从地平线升起的过程。生2：筷子摆放在碗上。生3：球放在桌面上。…

王老师想通过这个概念教学向学生渗透分类思想，但是在实际操作过程中却没有达到预想的效果。反思整个引入的过程，我认为最关键的是忽视了学生的“经历”。其主要表现如下：

一、忽视学生从现实生活中的具体事物抽象出数学图形的过程。“数学来自于生活”，提倡生活数学是新课标的一项重要内容。学生学习数学，其中就包括学习抽象和概括的能力。数学应该是来源于生活的。在向学生渗透分类思想的过程中，笔者认为最关键的是“为什么分类”，“你怎么想到要用分类思想的”。由此，笔者不禁想：是否将王老师的教学过程稍加调整。具体操作如下：

（1）展示现实生活中一些直线与圆的位置关系的具体事例，如太阳从海平面上升，动车在轨道上行驶等等。

（2）通过具体例子，提示学生以数学的眼光去看问题，从中抽象概括出它们都是涉及到直线与圆的位置关系的。

这样的设计可以让学生感受到：由于实际生活的需要，我们经常要对事物进行分类。这样就解决了教师向学生渗透分类思想时“为什么要分”的问题。

二、忽视学生对分类标准探讨、确定的过程。

王老师的（2）（3）（4）（5）四步是解决“如何分”的问题。笔者认为：王老师有意识地让学生动手（每一位同学任意画一个圆和一条直线），但是这种动手却是一种机械的动手，没有深度可言。教师在向学生渗透分类思想中重要的一项内容就是要让学生学会如何寻找分类的标准，即“怎么分”。区分的标准不应该是老师直接给出的，而是由学生自己发现并进行归纳的。

直线与圆的位置关系分类的标准是交点的个数。王老师的做法是：自己将这些图形进行分类，然后让学生去说明每一类的特征。因此，（3）（4）（5）三步的做法就失去了探索的意义。是否可以对这三步也进行调整。直接向学生抛出问题：“这么多图形，你能不能给它们进行分类？并说说你分类的标准。”然后让学生自己讨论，得出分类标准，然后上台展示。通过这样的活动，可以让学生经历“标准”产生的过程。而且学生通过探索逐渐学会如何寻找分类标准，这样也可以为结论的记忆带来帮助。反思：

出现这种问题的原因。

分类思想的渗透分为三步：“为什么分”----“怎么分”----“分的结果如何”。我们老师在课堂上，往往只重视“分的结果”，过多地要求学生记忆结果，而忽略了过程。对于“怎么分”“为什么分”简单带过，甚至出现根本不提“为什么分”。不仅仅是王老师，在我们平时听的很多公开课和随堂课中，上课教师也经常出现上述的问题。我认为出现这些问题的原因有以下几点：

1、教师没有很好地理解新课程理念。

新课程理念的核心是“素质教育”，要培养学生的能力。这就要求学生在教学中要处于主体地位，而教师处于主导地位。但是还有一部分教师对这句话的理解只停留在表面。以为让学生动动手，有个合作学习就是以学生为主体了。其实不然，真正以学生为主体不是看学生是否“动手了”是否“讨论了”，而是要看学生的思维是否被调动起来，积极主动地提出问题，解决问题。

2、教师对数学本质理解不到位，自身数学素养有待提高。

“我有一桶水，才能给你一杯水”。教师自身的数学基本功和数学素养，直接影响到他对学生的指导。看看我们周围，还有不少教师对数学的本质还没有很明确的认识。“抽象概括”，“化繁为简”，“分类讨论”，“数形结合”… 是不是每一位老师都能在教材中很清楚地找到它们的位置，在合适的时候向学生渗透呢？ 各个知识点之间的联系，高等数学对初中数学的指导…每一位教师是否都清楚呢？如果教师自己都不清楚，怎么来指导我们的孩子呢？

3、应试教育的后遗症，社会环境的影响，让我们的老师只重结果，不重过程。

由于受以前应试教育的影响，很多教师到现在还是会不自觉地“只重视结果，不重视过程”。长此以往，我们的孩子也是如此。很多孩子在预习或者学习的时候往往只看到书上的结果，很少有孩子去考虑这个结果是怎么来的。当然，这和我们周围的环境也有关系。现在的社会是一个功利的社会，很多情况下大家都只注重“结果”，没有去看“过程”。但是作为一位教师，作为祖国将来的栋梁的我们的孩子，绝对不能受这个环境的影响，做学问一定要扎扎实实静下心来。建议： 太大太空洞。找一些细小的，可以完成的措施。

针对上述种种原因，我也想谈谈自己的一些不成熟的建议，以供大家参考：

1、认真地去解读新课程标准，感受新课程理念。

每次听评课都会有老师把新课程标准、新课程理念拿出来当作参考。但是真正认真研究过新课标、新课程理念的教师却不多。很多教师对它们都只是一知半解，只见一斑。是否组织教师集中学习新课标，让每位教师都能更好地理解新课标和新课程理念。

2、提高自身素养，提高理论知识。

要提高教师自身的数学素养和理论知识可以通过以下一些途径。（1）多读书，读好书。不仅要读专业方面的书，还要看教育学、人物传记、古典文学、小说等等各个方面的书籍，提高自身素养。（2）有机会多听专家报告和讲座。每一位专家都有自己独到的见解和想法，听专家的报告和讲座，可以让我们“站在巨人的肩上”，看得更远。（3）多和别人交流，博取众家之长。“三人行，必有我师”。哲学告诉我们：看待事物要从不同的角度去观察。而我们每个人看待问题都不可能面面俱到，与同伴交流，可以让我们从不同的角度看事物，从而增加我们对某一事物或问题的理解。

3、不急功近利，沉下心来做学问。

作为人民教师，我们不仅仅是教学生，让他们掌握基本知识和基本技能，更重要的是培养学生的能力。所以，我们不能只看眼前，只盯着学生的成绩，要关注学生的发展，将来能力的培养。不要想着自己如何“一夜成名”，要扎扎实实地打好基本功，静下心来想想培养学生能力的一些好方法。

第五篇：全面剖析初中数学分类讨论思想教学

全面剖析初中数学分类讨论思想教学

[摘 要] 数学思想是中小学数学教学的重要模块，贯穿整个数学知识体系始终.数学思想能够反映人分析和解决数学问题时的意识和思维逻辑，其是从大量复杂的数学信息中总结出的系统化的知识结构和解决问题的策略、关键.中小学数学教育重点要求学生掌握的数学思想包括数形结合思想、化归思想、函数思想以及分类讨论思想等.本文针对分类讨论思想进行论述.[关键词] 分类讨论；价值；误区；应用

分类讨论思想始于《九章算术》中对“盈亏问题”的探讨，该思想常常被运用于解决开放型数学问题，即解决思路不唯一的问题时，学生需根据问题所给的具体条件对问题中可能出现的所有情况逐一分析，再根据所学知识和逻辑思维判断，将问题条件划分为多个更加单一的细化条件，将大问题转化为多个小问题后逐一解决，最后进行综合分析，得出一个或多个答案.但在实际教学中，很多教师对数学思想教学的重视程度不够，原因在于其不了解数学思想对学生思维及分析能力发展的重要性，导致数学课堂出现诸多数学思想教学误区.下面，笔者将以数学思想中的分类讨论思想为例，从其教学价值、教学误区以及教学应用三方面来谈一谈初中数学思想的高效教学策略.分类讨论思想的教学价值

1.形成分类思考意识，掌握信息分类方法

随着信息时代的快速发展，人们每天主动或被动接受的信息量与日俱增，想要不被杂乱的信息所困扰，就需自身具备对信息进行分类处理的能力.分类讨论虽为数学思想，但在运用该思想解决数学问题时，也能有效锻炼学生分类处理信息的能力，养成对各种信息进行分类的良好习惯，这样便能轻松应对日常学习和生活中对繁杂信息的处理问题，提高学习和工作效率.教师在引导学生运用分类讨论思想解决问题时，应当首先为学生介绍高效的分类技巧，即根据实际情况或已知条件自主制定分类标准，并针对各类信息做对应的分析和总结.2.培养思维发散意识，锻炼一题多解能力

思维定式是传统的数学教学模式对学生数学思维的不利影响.传统的以教师讲解为主的数学课堂，严重制约了学生对数学问题的自主思考方向，导致学生对同类题型产生定向思维，以单一的角度看问题，从而在面对新题型或变式问题时不知变通，无从下手.教师应当摒弃传统数学课堂教师主讲而学生被动学习的课堂模式，设计更多开放型问题供学生自主思考、合作学习，促使学生解决问题的角度更加具体、全面，这样有助于培养学生的发散思维意识和一题多解意识，从而更加全面、严谨地考虑问题.3.科学建构知识体系，形成良好认知结构

初中是学生数学知识学习从打牢基础到能力提升过渡的关键阶段.系统化的数学知识教学目标要求学生具备对不同知识进行分类、概括、总结的能力，从而实现对知识的自主消化，提升自主学习能力和思考能力.分类讨论思想的渗透有助于学生养成对不同信息进行分类的良好习惯，在个人数学知识体系的建构中，能够?⒏丛印⒎倍嗟闹?识点归类理解，从而大大提高学习新知和理解记忆的效率.教师应当注重引导学生理解各模块知识之间的联系，从而促使学生从知识之间的区别与联系这一方面来进行知识的分类汇总，形成一张更加趋于完整和实用的知识网络，便于学生搜索知识点及综合运用.分类讨论思想的教学误区

1.理念陈旧，缺少创新

新课程标准指出，教学应当符合学生的个性发展要求.随着中小学教育的不断发展，学生的个性发展要求也在不断地提升，传统模式的“教与学”课堂已经不符合对学生创新能力的培养.但在实际教学中，部分教师仍然秉持陈旧的教学理念，忽略学生的学习主体性，往往为了解题而解题，无法看到数学问题背后对学生数学思维和数学方法的引导，这样的陈旧观念无法促使学生对数学问题进行更加深入的思考.教师应当创新教学模式，如可以将分类讨论思想作为教学关键点，设计更多开放式的数学问题，引导学生自主思考，体现学生的学习主体性，有效培养学生的分类讨论思维.2.被动学习，效率低下

传统数学课堂教学模式除了教学理念陈旧，影响学生的个性发展而外，被动学习也使得学生探索数学知识的兴趣和热情消磨殆尽.学生处于被动学习的状态时，无法主动探索和发现数学问题，数学思维得不到有效运用，这样即使学生了解分类讨论等数学思想，也同样无法将其准确运用于数学问题的解决中，无法自主建立起知识之间的相互联系，从而无法实现数学思维和解决问题能力的有效提升.3.应试教育，能力不足

应试教育是当下中小学数学教育普遍存在的一个教学误区，面对升学压力和紧凑的课堂时间，教师往往会选择“题海战术”，要求学生通过练习大量的数学题型来形成思维习惯.表面上看，其同样是以锻炼学生的数学思维为目的，但实际上却是一味地通过练题来强迫学生在数学思维上达到熟能生巧的一种十分刻板的教学模式，并且频繁使用分数来衡量学生的数学思维和数学能力，这一做法不利于学生真正掌握和学会运用这些数学思想，甚至还会对学生的学习积极性造成反作用，降低学生的学习效率.分类讨论思想的教学应用

分类讨论思想可运用于解决不同知识模块的数学问题，笔者选择了以下四个方面的分类讨论思想教学应用实例加以阐述.1.绝对值运算

解决含有绝对值的问题时，有时需要应用分类讨论思想.做题的过程中，我们要善于分析问题，要考虑到绝对值具有非负性.例如，笔者在讲解含绝对值符号的加减运算时，给出了这样一道简单的例题：要使x+1-x=1，变量x应当满足什么条件？

这道例题出现了两个绝对值符号，因此笔者引导学生将两个含绝对值符号的式子分开讨论，于是有x+10四种情况，这四种情况经过一定的整合，最终将数轴分为了三段，即x0这三种情况，最后得出只有当x>0或x=0时，等式才成立，于是得出“当x≥0时，等式成立”的结论.2.与方程有关的问题

在解一元二次方程时，往往会出现题中某项系数未知的情况，而根据一元二次方程的定义和实根的判别方法，应当运用根的判别式来判断未知参数在什么范围下才能满足方程是否有实数根的条件.例如，教学“一元二次方程”时，笔者给出了这样一道例题：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有实数根，求a的取值范围.在这道例题中，a是二次项和一次项系数中的未知参数，根据一元二次方程根的判别式，要想使方程有实数根，则Δ≥0，即[2（a-1）]2-4a2≥0，解得a≤.本题还应当重点注意的是，题中未指明该方程是一元二次方程，因此当a=0时，该方程就变成一个一元一次方程，经检验，这样的情况显然是合理的，因此应当放入分类讨论中（即分a=0和a≠0两种情况进行讨论），实现该题的完整解答.3.函数问题

分类讨论问题在函数中的应用甚为频繁，函数的种类也十分繁多，尤其是当具体问题中并未指出函数类别时，更应当对函数的不同类别进行分类讨论.例如，讲解函数图像的有关知识时，笔者给出了这样一道例题：求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标.与上一道例题相似，题中并未给出函数的具体类型，因此教师应当引导学生运用发散思维，对可能的函数类型进行分类?论.例如，k=1和k≠1是一次函数和二次函数的区别；当k≠1时，k2-4（k-1）≥0或k2-4（k-1）<0是函数与x轴是否有交点的区别.针对讨论情况较多的问题，教师应当引导学生理清思路，防止思维混乱，促使问题解决得更加有条理.4.几何问题

几何图形具有多变的特点，其使得分类讨论思想在几何问题中的运用非常频繁，需要学生根据图形的形状、位置以及关系等方面的条件来对问题进行合理地分类讨论.例如，笔者在讲授有关三角形各边长度的问题时，曾给出这样一道例题：在△ABC中，AB=6，AC=2，BC边上的高AD=3，求BC的长.这道题并未给出具体的三角形图形，因此学生可运用空间想象能力将三角形分为点D在BC边上和在BC边的延长线上两种情况，然后分别求出这两种情况下BC边的长，再进行判断.总之，每一种数学思想对学生的思维能力都有不同角度的提升作用，分类讨论思想则注重对学生思维逻辑严密性进行锻炼.教师首先应当对数学思想教学引起足够的重视，在引导学生解决各类数学问题时，教师应当有意识地渗透分类讨论思想在数学问题中的应用，结合学生对知识的掌握程度和认知水平，设计更多符合学生思维能力提升要求的开放题型，通过阶梯型难度的设置，引导学生循序渐进地提升分类讨论思想的运用能力，养成良好的发散思维习惯，有效提升学生的数学素养.