分类思想

第一篇：分类思想

数学分类思想

1.定义

分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果

2.运用范围

①涉及的数学概念是分类定义的；

②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的； ③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；

④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。

分类的过程，注意培养学生思考的周密性，条理性以及学生研究问题和探索规律的能力。

3.分类思想的思维过程

第一，要明确是否需要分类讨论；

引起分类讨论的原因：

① 概念本身是分类定义的，如绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；

② 某些公式、定理、性质、法则的条件和范围有限制；

③ 含有字母系数的问题，需要对该字母不同取值范围进行讨论；

④ 题设的数量大小或关系确定，而图形的位置或形状不确定；

⑤ 题目条件和结论不唯一

第二，确定分类的对象；

第三，确定分类的标准，进行合理分类；（厘清分类的界限，选择分类标准，并做到不重复不遗漏。

第四，逐类逐级分类讨论； 第五，综合、归纳结论.4.小学数学中分类讨论思想的应用

5.教学中对于学生分类思想的培养

①逐步，逐年级渗透分类思想，养成分类的意识

利用学生在生活中所具有的分类意识，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。一方面是一般物体的分类，如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、数的认识和运算等。同时注意渗透集合的思想，就是说当把某些属性相同的物体放在一起，作为一个整体，就可以看作一个集合。在三大领导知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、概率的计算、抽屉原理等问题经常运用分类讨论思想解决。在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。

②渗透学习分类方法，增强思维的缜密性

应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。

例如，用 1、2、3 三个数字卡片可以排成几个三位数，让学生做一做，排一排。有的学生很快排出来了，但有些学生却排不完整。这时教师要指导学生分类讨论，首先确定百位上的数字是1时，有哪几个三位数?(123、132)，百位上的数字是2时，有哪几个三位数?（213、231)，百位上的数字是3时，有哪几个三位数?（312、321)。

③引导学生分类讨论，提高合理解题的能力

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题；其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题

④注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。也就是说有些数学规律在一般情况下成立，在特殊情况下不成立；

6.总结：所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法，具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。需要根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认知水平，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵，从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。

补充如何渗透分类思想：

1.结合图形教学渗透分类思想

如根据图形的特征或相互间的关系进行分类，如三角形按角分类，则有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。如果按边的长短关系分类，三角形可分为：不等边三角形和等边三角形，等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。教学时，我们就要追问学生：你为什么要这么分？分类的标准是什么？你比较了物体图形的哪些特征？从而使学生明确分类的标准，掌 握概念的本质。

2.结合概念教学渗透分类思想

如，在教学“方程的意义” 一课时，学生对方程意义的理解，就要通过式子的二次分类建构，对“相等关系”、“含有未知数”的理解，从而把握方程的本质属性。教学时，先出示：180＋□＝300，180＋x＝300，180＋x＞300，180＋x＜300，50×2=100，5×m=85，（）-150=300，500-150＞300，50+3a等，接着，老师引导学生把以上式子进行分类，通过分类让学生在比较中归纳出方程是含有未知数的等式。学生可按照式子中有无等号可分为：有等号的式子和不含有等号的式子；按照式子中是否含有未知数又可分为：含有未知数和不含有未知数的等式。并将含有未知数的式子按照式子中是否有等号，又可以分成两类：有含有未知数的等式和有含有未知数的式子。此时，满足方程的二要素便很清楚了：含有 未知数、等式。从而认识方程的本质属性。3.结合“解决问题”教学渗透分类思想。

在解决问题教学中，引导学生通过合理的分类，有利于帮助学生分析数量关系，归纳解题方法，从而培养学生解决问题的能力。如，在教学“行程问题”的整理与复习课时，师用多媒

体演示，分别演示了四种典型行程问题：即两地相向而行、两地相背而行、同地点相背而行、同地点同方向前进（追及问题)，通过学生的语言叙述，体验题目中关键字的重要作用，要求他们独立进行解答，然后引导学生通过对比、观察、分析把它们分类，结果学生出现了不同的分类标准：根据出发地点是否相同，根据出发方向是否一致，根据是否相遇，根据解题方法等，再通过交流互动，学生了解行程问题分类与各类解题方法。这时，师追问：以后再遇到类似繁杂的行程问题时怎么办？学生想到了可以通过分类，把题目按自己的标准“对号入座”，从而寻求正确的解题方法。

4.结合“统计与概率”教学渗透分类思想。

学生在日常生活中都会积累一定的分类知识。如对书籍的分类，水果分类等，我们可以利用学生的生活经验，把生活中的分类迁移到数学学习中来，在“统计与概率”教学中往往要渗透数学分类思想，而且分类思想还是概率与统计知识的重要基础。如，在教学“购买水果” 一课时，师： “六 ·一”儿童节就要到了，举办班级联欢会与庆“六 ·一” 活动，班级要买一些水果，现在市场上苹果、梨、香蕉、桃子这四种水果最多，我们就在这四种水果中选择，应该怎样购买呢？同学们自己独立思考，然后在小组内交流。生：先要调查我们班的每一位同学喜欢吃哪一种水果，再按自己最爱吃的水果进行分类，在此基础上才能统计各种水果数量。

5.结合“数学广角”教学渗透分类思想

在“数学广角” 教材内容，蕴含许多数学思想与方法，教学时应做到有机渗透。如，一位教师在教学“数学广角—— — 植树问题” 一节课时，当学生掌握了“在20米长的公路一边植树，每隔5米栽一棵，两端要栽，一共要栽几棵树？ ”再引导学生探究“只栽一端” 和“两端都不栽”的情况。让学生通过独立思考，并把表格填完整。这样通过表格，帮助学生建立分类思想的意识。然后引导学生认真思考，你发现了什么？最后指名汇报，使学生感悟到棵数与间隔数的关系：

两端都栽: 栽树棵数=间隔数+1 只栽一端: 栽树棵数=间隔数 两端都不栽:栽树棵数=间隔数-1 这样，让学生通过自己的观察、猜测、验证、分类这一系列的活动经历，感悟数学规律。得出各类的解题模式，归纳出解决此类问题的一套有效方法。6.结合“整理与复习”教学渗透分类思想。

如，教学“长方形、正方形周长与面积的整理复习”时，课前布置学生将这一单元内容自己进行整理，并提出具体的整理要求，然后放手让学生进行整理，构建比较合理的知识结构网络。

设计一堂课

7.分类思想的教学策略

1.用分类思想引入新知识和新概念（1）用分类活动引入新知识

如在 “认识三角形和四边形” 时，可以出示点子图，根据图形是否为封闭图形分为封闭和不封闭图形。在封闭图形中，根据图形有几条线段围成，分为三角形、四边形、五边形三类。在学生完成点子图上的三角形和四边形后，又根据三角形是否有一个直角再分为两类。

（2）用分类思想引入新概念

如在引入平行线的概念时，不少教师是通过日常生活中的具体事例介绍，再经抽象概括形成 “平行线”的概念。可是，实际生活上见到的都不可能是严格定义上的平行直线，可能是射线，或者是平行线上的两条线段。因此，我们也可以通过让学生将同一平面内两条线段的关系进行分类，得到有交点和没有交点两种情况，然后再将没有交点的进行分类，得到适当延长后就会有交点的，和无论怎么延长后都没有交点。然后让学生想象每幅图中的两条线段向两方无限延长，成为两条直线的情况，从而认识同一平面内的两条直线只有有交点和没有交点两种位置关系。（3）引导学生关注分类的依据

在引入概念时，教师应适时地引导学生思考为什么要这样分类，怎样分类更合理。例如 “三角形分类” 的教学，应该将重点集中于“为什么要这样的分类” “怎样分类较为

合理”，而不应在 “角的度量” 等实践活动上花费过多的时间和精力。教师可首先对角的分类情况作出回顾，特别要提醒：在各种角中直角是较为特殊的，而后引导学生思考三角形分类和角的分类有什么不同？ 能否参照角的分类去进行？ 并引导学生对这样一种分类方法的合理性作出具体分析： 第一，是否存在交叉重复的情况，即如一个三角形既是直角三角形，同时又是锐角三角形？ 第二，分类是否有遗漏，是否可能存在这样一个三角形，它既不是直角，也不是锐角或钝角三角形？ 2.用分类思想归纳整理知识

在小学阶段，学生需要掌握的内容，根据数学分类的方法常有以下几种:1）根据数量特征和数量关系进行分类。如整数、小数、分数的分类，运算法则的分类，等等。2）根据图形的特征或相互间的关系进行分类。如三角形按角分类,有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。如果以边的长短关系分类，三角形可分为不等边三角形和等边三角形;等边三

角形又可分为正三角形和等腰三角形。3）.根据解决问题的探索方向进行分类。如:直线行程问题和环行行程问题,可以看出他们在解决问题的方法上有相似性。3.用分类思想解题

如2、3、4 能排多少个数字，根据数位的分类排列，就不会有遗漏。4.通过动手实践和合作交流渗透分类思想

新课程强调动手实践、自主探索和合作交流的学习方式，对于分类思想的教学同样也需要联系学生的实际经验，强调通过动手实践和合作交流来让学生亲身体会为什么要分类和新程中关于分类的方法，即“同一标准下的一致性，不同标准下的多样性”。如吴正宪老师教学二年级 《搭配问题》 一课中，首先联系学生穿衣搭配的情境，让学生在多层次的活动中体验无序之乱，从读中悟序，然后通过学生之间合作交流，学生演示和教师演示，用符合表示，等等，让学生体会在分类的过程是否可能出现交叉重复的情况，是否 有遗漏，使分类思想的渗透润物细无声。4.引导学生根据数学的量性特征进行分类

南京师范大学数学哲学教授郑毓信认为，因为数学抽象的特殊性，决定了在数学分类中我们所关注的只是对象的量性特征即数量关系和空间形式等，而完全不去考虑它们质的内容。

第二篇：团市委深化青年思想分类引导工作

团市委深化青年思想分类引导工作

为进一步加强全市青少年思想道德建设，提高青少年思想道德素质，引导和帮助青年树立正确的世界观、人生观、价值观，打下科学理论的基础，确立为建设有中国特色社会主义而奋斗的政治方向，更好地团结和凝聚辽源青年为辽源经济社会发展提供动力支持，团市委积极探索青年思想引导新方式，深化青年思想分类引导工作。

“分类引导青年”，指的是根据不同类别青年群体在职业背景和思想意识方面的显著差异，将思想引导工作具体化地落实到不同特点的青年群体身上，增强引导青年工作的针对性和实效性。团市委结合辽源各类青年群体现状特点，确定辽源市共有企业青年、进城务工青年、农村青年、大中专院校青年四类青年群体，根据实际情况，选取东北袜业园等16家非公企业作为进城务工青年思想引导试点，采取“企业编写、县（区）团委协调、团市委统一审核”的模式统一编写进城务工青年思想引导大纲，强化对进城务工青年的思想引导；选取东丰县作为农村青年思想引导试点，采取“乡镇分散编写、团县委集中汇总、团市委审核”的模式编写农村青年思想大纲。试点工作完成后，团市委将面向全市各类青年群体全面开展分类引导青年思想工作。

第三篇：分类讨论思想与初中数学教学

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分类讨论思想与初中数学教学

分类讨论思想与初中数学教学

摘 要：数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

关键词：数学 ；分类讨论

新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。

一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，分类讨论一般应遵循以下的原则：

1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。

2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。

4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。

一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。

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专业论文 有意识地分阶段渗透分类讨论思想

启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质

这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。

例3 初中课本第四册证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论。这是课本第一次正式的采用分类的方法证明几何定理的。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如上图）去证，要在学生画图、测量、分析、讨论后形成思路。决不能在这些活动之前给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，无法体会分类证明的目的和优点。创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想

在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：

分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：

化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；

2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）

3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根 为增根。

在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：

等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

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第四篇：初中数学教材中分类思想的探讨

初中数学教材中分类思想的探讨

亭湖区黄尖初级中学邮编：224049

内容提要: 中学数学的学习, 常常会运用到一些数学思想, 分类讨论的思想方法在初中数学学习中有着广泛应用.在数学概念教学中的分类思想的应用, 数学定理、公式、性质和运算法则进行分类,图形的位置的变化而进行的分类, 定理证明中的分类讨论, 我们要把掌握分类思想,作为一项教学目标纳入教学过程,提高学生的数学思考能力,在教学中要遵循循序渐进,适时渗透,逐步深化的原则,初始阶段,可从学习熟知的数学分类入手,逐步提高.关键词: 数学思想, 分类讨论思想, 概念的分类, 数学定理、公式、性质和运算法则的分类, 图形位置变化的分类, 定理证明中的分类讨论, 运用分类思想,解决数学问题，提高数学素养

在中学数学的学习过程中，我们常常会运用到一些数学思想，而数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。首先，数学思想比一般的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻；其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理-1-

论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。

在初中阶段对数学知识学习过程中，应将统领知识的数学思想和方法概括出来，增强学生对数学思想和方法的应用意识，从而令学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析问题、解决问题的能力。这是锻炼学生学会学习这种能力的重要途径。

素质教育的主要任务不仅是发展学生的智力，培养学生的能力，还要培养非智力因素和辩证唯物主义等思想，从根本上讲就是要全面提高学生的“数学素养”，培养学生创新意识。而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成“数学素养”，树立创新意识的关键，她能使学生在未来的生活和工作中终生受益。新的数学课程标准认为掌握好数学思想方法，是培养学生创新意识，使学生具有一定的数学素养的必要条件。掌握好数学思想方法可以使学生对数学更容易理解和记忆，如果把数学思想方法学好了，在数学思想方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识，就能培养学生的数学能力，使数学学习变得更加容易，并能将所学到的知识和方法运用于今后的工作和生活之中。

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有：化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等。在这些基本思想方法中，分类讨论的思想由于初中学生认知能力、思维习惯、知识水平和教学内容的限制，学生在运用的过程中感觉到特别困难，但分类思想在中学数学中又有着极其广泛的应用，有必要对其特别加以重视，下面我们就一同来看一看这种数学思想方法在初中

数学教材应用，以更好地利用数学教学来提高学生的素质，使学生在今后的学习、生活中运用这种数学思想方法，来解决实践中遇到的各种问题。

数学分类思想是在研究与解决数学问题时,根据数学对象的本质属性的异同点,将对象分为不同种类,然后逐类进行研究与解决,从而达到研究与解决问题的目的的一种思想方法。分类思想的掌握对研究和解决问题十分有益，因此是科学研究中最常用，最基本的思想方法之

一。它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题。

应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简捷。

分类思想有三个明显特点，一是对什么东西分类，即确定分类的对象；二是按什么标准分类，即选择分类的标准；三是分成哪几类，即确定分类的结果。通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。就分类讨论的思想方法在初中数学教材中的应用，大致可以分成下面四种类型。

一、数学概念中的分类思想的应用

1、实数的分类：实数按定义可以分为有理数与无理数；而按大小又可分为正实数、0、负实数。在实数的应用中时常需要就实数的取值进行分类讨论。

2、角的分类，小于180的角按大小可分成锐角、直角、钝角等

3、三角形的分类：在三角形中按角的大小进行分类可以分为锐

角三角形、直角三角形，钝三角形；而按边的相等数来分又可以分成：

（1）三条边都不相等，即一般三角形；（2）有两边相等，即等腰三角形；（3）有三条边相等，即等边三角形。在三角形中又以等腰三角形中的分类讨论的题型最多。

4、四边形的分类：在四边形中按边的平行关系可分为：①两组

对边都不平行，即一般四边形；②只有一组对边平行，即梯形③两组对边分别平行，即平行四边形，而平行四边形中又可分为一般平行四边形和特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形等。

5、方程的分类，方程按未知数的个数可分成一元方程、二元方程、多元方程；按未知项的次数可分为一次方程、二次方程、高次方程等。在方程中常常对未知数前面的字母系数的取值分类讨论。

6、函数的分类，初中数学中的函数可分成正比例函数、一次函

数、二次函数、反比例函数等。

二、根据数学定理、公式、性质和运算法则进行分类

a当a0时

1、绝对值的化简a0当a0时

a当a0时

2、二次根式的化简a当a0时a2a0当a0时 a当a0时

23、一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0),当△=b-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b-4ac=0时，2

2方程有两个相等的实数根；当△=b-4ac<0时,方程无实根。

4、函数的增减性，（1）在一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）中，如果k>0，那么y的值随x值的增大而增大；如果k<0，那么y的值随x值的增大而减小。

（2）在反比例函数y=k／x（k为常数，且k≠0）中，当k>0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x 增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x 增大而增大。

5、不等式的性质

不等式的性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

根据不等式这个性质在不等式的两边都乘或除以一个数时需要考虑到这个数是正数还是负数。

三、根据图形的位置的变化而进行的分类

1、点与直线的位置关系①点在直线上②点在直线外

2、直线与直线的位置关系：在同一平面内两直线的位置关系有①相交②平行。直线与直线的位置关系中分类讨论的题型并不多见，但它本身就是一种分类。

3、点与圆的位置关系①点在圆外②点在圆上③点在圆内。

4、直线与圆的位置关系①相离②相切③相交。

5、圆与圆的位置关系①外离②外切③相交④内切⑤内含

四、定理证明中的分类讨论

圆周角定理证明中的分类，分三种情况进行讨论。①圆心在角的一边上；②圆心在角的内部；③圆心在角的外部。

通过上述问题的讨论,分类讨论的思想方法在初中数学教材中有着广泛的应用。在运用分类思想解题时主要步骤有：①分析题目中的已知条件，明确所要讨论的对象，确定所要讨论对象的全体；②确定分类标准，正确进行合理分类，做到不重不漏,并力求最简；③对所分类型进行逐级讨论、求解；④归纳小结，得出最后的结论。

当然课本中分类讨论题型很多，在具体的题目中也许多类型，例如在三角形相似中由于对应关系的不明确也可以进行分类讨论，在图形运动中的题目也会有分类讨论，在中考综合题中也会穿插着许多分类讨论的题目，因此有必要在今后的学习和教学的过程中，根据新课程标准的要求,我们要把掌握分类思想,作为一项教学目标纳入教学过程,提高学生的数学思考能力,在教学中要遵循循序渐进,适时渗透,逐步深化的原则,初始阶段,可从学习熟知的数学分类入手,逐步提高.当学生初步理解一些数学分类方法后,适时做好深化、归纳工作，可设计一些含有分类思想的习题，通过专项训练，帮助学生总结一些常见的分类方法，逐步强化分类意识，养成善于分类的思维习惯，便于学生在以后的学习过程中能正确地运用这种思想方法解决好数学问题，并能使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答，这样才能提高学生的数学素养。

第五篇：全面剖析初中数学分类讨论思想教学

全面剖析初中数学分类讨论思想教学

[摘 要] 数学思想是中小学数学教学的重要模块，贯穿整个数学知识体系始终.数学思想能够反映人分析和解决数学问题时的意识和思维逻辑，其是从大量复杂的数学信息中总结出的系统化的知识结构和解决问题的策略、关键.中小学数学教育重点要求学生掌握的数学思想包括数形结合思想、化归思想、函数思想以及分类讨论思想等.本文针对分类讨论思想进行论述.[关键词] 分类讨论；价值；误区；应用

分类讨论思想始于《九章算术》中对“盈亏问题”的探讨，该思想常常被运用于解决开放型数学问题，即解决思路不唯一的问题时，学生需根据问题所给的具体条件对问题中可能出现的所有情况逐一分析，再根据所学知识和逻辑思维判断，将问题条件划分为多个更加单一的细化条件，将大问题转化为多个小问题后逐一解决，最后进行综合分析，得出一个或多个答案.但在实际教学中，很多教师对数学思想教学的重视程度不够，原因在于其不了解数学思想对学生思维及分析能力发展的重要性，导致数学课堂出现诸多数学思想教学误区.下面，笔者将以数学思想中的分类讨论思想为例，从其教学价值、教学误区以及教学应用三方面来谈一谈初中数学思想的高效教学策略.分类讨论思想的教学价值

1.形成分类思考意识，掌握信息分类方法

随着信息时代的快速发展，人们每天主动或被动接受的信息量与日俱增，想要不被杂乱的信息所困扰，就需自身具备对信息进行分类处理的能力.分类讨论虽为数学思想，但在运用该思想解决数学问题时，也能有效锻炼学生分类处理信息的能力，养成对各种信息进行分类的良好习惯，这样便能轻松应对日常学习和生活中对繁杂信息的处理问题，提高学习和工作效率.教师在引导学生运用分类讨论思想解决问题时，应当首先为学生介绍高效的分类技巧，即根据实际情况或已知条件自主制定分类标准，并针对各类信息做对应的分析和总结.2.培养思维发散意识，锻炼一题多解能力

思维定式是传统的数学教学模式对学生数学思维的不利影响.传统的以教师讲解为主的数学课堂，严重制约了学生对数学问题的自主思考方向，导致学生对同类题型产生定向思维，以单一的角度看问题，从而在面对新题型或变式问题时不知变通，无从下手.教师应当摒弃传统数学课堂教师主讲而学生被动学习的课堂模式，设计更多开放型问题供学生自主思考、合作学习，促使学生解决问题的角度更加具体、全面，这样有助于培养学生的发散思维意识和一题多解意识，从而更加全面、严谨地考虑问题.3.科学建构知识体系，形成良好认知结构

初中是学生数学知识学习从打牢基础到能力提升过渡的关键阶段.系统化的数学知识教学目标要求学生具备对不同知识进行分类、概括、总结的能力，从而实现对知识的自主消化，提升自主学习能力和思考能力.分类讨论思想的渗透有助于学生养成对不同信息进行分类的良好习惯，在个人数学知识体系的建构中，能够?⒏丛印⒎倍嗟闹?识点归类理解，从而大大提高学习新知和理解记忆的效率.教师应当注重引导学生理解各模块知识之间的联系，从而促使学生从知识之间的区别与联系这一方面来进行知识的分类汇总，形成一张更加趋于完整和实用的知识网络，便于学生搜索知识点及综合运用.分类讨论思想的教学误区

1.理念陈旧，缺少创新

新课程标准指出，教学应当符合学生的个性发展要求.随着中小学教育的不断发展，学生的个性发展要求也在不断地提升，传统模式的“教与学”课堂已经不符合对学生创新能力的培养.但在实际教学中，部分教师仍然秉持陈旧的教学理念，忽略学生的学习主体性，往往为了解题而解题，无法看到数学问题背后对学生数学思维和数学方法的引导，这样的陈旧观念无法促使学生对数学问题进行更加深入的思考.教师应当创新教学模式，如可以将分类讨论思想作为教学关键点，设计更多开放式的数学问题，引导学生自主思考，体现学生的学习主体性，有效培养学生的分类讨论思维.2.被动学习，效率低下

传统数学课堂教学模式除了教学理念陈旧，影响学生的个性发展而外，被动学习也使得学生探索数学知识的兴趣和热情消磨殆尽.学生处于被动学习的状态时，无法主动探索和发现数学问题，数学思维得不到有效运用，这样即使学生了解分类讨论等数学思想，也同样无法将其准确运用于数学问题的解决中，无法自主建立起知识之间的相互联系，从而无法实现数学思维和解决问题能力的有效提升.3.应试教育，能力不足

应试教育是当下中小学数学教育普遍存在的一个教学误区，面对升学压力和紧凑的课堂时间，教师往往会选择“题海战术”，要求学生通过练习大量的数学题型来形成思维习惯.表面上看，其同样是以锻炼学生的数学思维为目的，但实际上却是一味地通过练题来强迫学生在数学思维上达到熟能生巧的一种十分刻板的教学模式，并且频繁使用分数来衡量学生的数学思维和数学能力，这一做法不利于学生真正掌握和学会运用这些数学思想，甚至还会对学生的学习积极性造成反作用，降低学生的学习效率.分类讨论思想的教学应用

分类讨论思想可运用于解决不同知识模块的数学问题，笔者选择了以下四个方面的分类讨论思想教学应用实例加以阐述.1.绝对值运算

解决含有绝对值的问题时，有时需要应用分类讨论思想.做题的过程中，我们要善于分析问题，要考虑到绝对值具有非负性.例如，笔者在讲解含绝对值符号的加减运算时，给出了这样一道简单的例题：要使x+1-x=1，变量x应当满足什么条件？

这道例题出现了两个绝对值符号，因此笔者引导学生将两个含绝对值符号的式子分开讨论，于是有x+10四种情况，这四种情况经过一定的整合，最终将数轴分为了三段，即x0这三种情况，最后得出只有当x>0或x=0时，等式才成立，于是得出“当x≥0时，等式成立”的结论.2.与方程有关的问题

在解一元二次方程时，往往会出现题中某项系数未知的情况，而根据一元二次方程的定义和实根的判别方法，应当运用根的判别式来判断未知参数在什么范围下才能满足方程是否有实数根的条件.例如，教学“一元二次方程”时，笔者给出了这样一道例题：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有实数根，求a的取值范围.在这道例题中，a是二次项和一次项系数中的未知参数，根据一元二次方程根的判别式，要想使方程有实数根，则Δ≥0，即[2（a-1）]2-4a2≥0，解得a≤.本题还应当重点注意的是，题中未指明该方程是一元二次方程，因此当a=0时，该方程就变成一个一元一次方程，经检验，这样的情况显然是合理的，因此应当放入分类讨论中（即分a=0和a≠0两种情况进行讨论），实现该题的完整解答.3.函数问题

分类讨论问题在函数中的应用甚为频繁，函数的种类也十分繁多，尤其是当具体问题中并未指出函数类别时，更应当对函数的不同类别进行分类讨论.例如，讲解函数图像的有关知识时，笔者给出了这样一道例题：求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标.与上一道例题相似，题中并未给出函数的具体类型，因此教师应当引导学生运用发散思维，对可能的函数类型进行分类?论.例如，k=1和k≠1是一次函数和二次函数的区别；当k≠1时，k2-4（k-1）≥0或k2-4（k-1）<0是函数与x轴是否有交点的区别.针对讨论情况较多的问题，教师应当引导学生理清思路，防止思维混乱，促使问题解决得更加有条理.4.几何问题

几何图形具有多变的特点，其使得分类讨论思想在几何问题中的运用非常频繁，需要学生根据图形的形状、位置以及关系等方面的条件来对问题进行合理地分类讨论.例如，笔者在讲授有关三角形各边长度的问题时，曾给出这样一道例题：在△ABC中，AB=6，AC=2，BC边上的高AD=3，求BC的长.这道题并未给出具体的三角形图形，因此学生可运用空间想象能力将三角形分为点D在BC边上和在BC边的延长线上两种情况，然后分别求出这两种情况下BC边的长，再进行判断.总之，每一种数学思想对学生的思维能力都有不同角度的提升作用，分类讨论思想则注重对学生思维逻辑严密性进行锻炼.教师首先应当对数学思想教学引起足够的重视，在引导学生解决各类数学问题时，教师应当有意识地渗透分类讨论思想在数学问题中的应用，结合学生对知识的掌握程度和认知水平，设计更多符合学生思维能力提升要求的开放题型，通过阶梯型难度的设置，引导学生循序渐进地提升分类讨论思想的运用能力，养成良好的发散思维习惯，有效提升学生的数学素养.