关于方程的数学日记

第一篇：关于方程的数学日记

关于方程的数学日记

今天，我在完成作业之后，在看书的时候，找到了一本很有意思的数学题集。在那本书里我找到了一道很特别的题。

这道题是这样的：甲、乙两人各有一笔存款。现在甲、乙两人各取出存款的20%，这时甲的剩余存款比乙少400元，又知这时两人存折上的总钱数是14800元，原来甲乙两人各有多少存款？（不考虑利息）。这道题难就难在只知道剩余的钱的总数，还要求原来两人分别有多少钱。

这道题可把我难倒了，我绞尽脑汁也想不出来。没办法，我只好去请教我妈妈。妈妈仔细地看了看题，想了会说：“这道题可以用二元一次方程来解，设甲的存款原来有X元，乙的存款原来有Y元。”便叫我自己去想怎么列方程。我前思后想，终于列出了一个式子： x（1-20%）+Y（1-20%）=14800。我实在想不出接下来该怎么做了，于是我只好再求助于妈妈。妈妈对我说：“二元一次分程需要两个方程才能把答案解答出来，你还需要再列一个方程，然后把两个方程转化为一个方程，就可以算出来了，你去试试吧。”我反复读题想出了第二个方程。x（1-20%）+400= Y（1-20%）。当我看到这个式子时，我恍然大我，明白了妈妈那句话的意思。我把第二个方程变为

x（1-20%）= Y（1-20%）-400代入第一个方程，推算出第三个方程：Y（1-20%）-400+Y（1-20%）=14800，即80% Y – 400+80% Y =14800，即可算出Y=9500（元），X=(9500×0.8-400)÷0.8=9000(元)。

我终于把它解出来了。我明白了一个道理：二元一次方程归根结底就是一元一次方程。

第二篇：四年级数学《方程》说课稿

大家好！今天我说课的内容是《方程》。

在本节课中，充分体现“以学生的发展为本，着眼于学生终身学习的愿望和能力”这一教学理念。牢固树立以学生为中心的教育主体观，以学生能力发展为重点的教育质量观，为学生的发展而教！

首先，为满足学习需要而教。面对不同的课堂、不同的学生，如何让学生获得更好的发展，重要的是了解学生的需要，激发认知内驱力。如：课始，提出问题：关于方程，你想知道些什么？引起学生强烈的求知欲。

其次，为发展数学思维而教。通过天平直观演示，教师一步一步地引导学生找出相等的数量关系，并讨论如何用式子表示。然后，脱离天平的直观演示，引导学生发现相等的数量关系，尝试用式子表示。接着，学生自主找出相等的数量关系，并用式子表示。层层递进，从直观到抽象、由扶到放。最后，通过观察、分析、合作分类，自主建立关于方程的数学模型，揭示方程的意义，在主动获取新知的同时，发展学生的数学思维。

第三篇：数学《简易方程》教学计划

数学《简易方程》教学计划

数学《简易方程》教学计划1

一、教材简析：

本单元的主要学习内容是用字母表示数和解简易方程，以及简易方程在解决一些实际问题中的运用。

这些内容是在学生学了一定的算术知识（如整数、小数的四则运算及其应用），已初步接触了一点代数知识（如用字母表示运算定律，用○、△或□表示数）的基础上，进行学习的。本单元的内容分为两节，第一节的主要内容是用字母表示数、表示运算定律、计算公式和数量关系。第二节的主要内容是方程的意义，等式的基本性质和解简易方程，以及列方程解决一些比较简单的实际问题。

一般地说，在小学教学简易方程有以下几方面的意义。

一是有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性。二是有助于巩固和加深理解所学的算术知识。三是有利于加强中小学数学的衔接。

二、教学目标：

1.使学生初步认识用字母表示数的意义和作用，能够用字母表示学过的运算定律和计算公式，能够在具体的情境中用字母表示常见的'数量关系。初步学会根据字母所取的值，求含有字母式子的值。

2.使学生初步了解方程的意义，初步理解等式的基本性质，能用等式的性质解简易方程。

3.使学生感受数学与现实生活的联系，初步学会列方程解决一些简单的实际问题。培养学生根据具体情况，灵活选择算法的意识和能力。

三、教学重难点：

重点：

理解用字母表示数的意义；用等式的性质解简易方程。

难点：

根据实际情况灵活选择算法

关键：

让学生通过现实情境理解字母表示数的意义；启动学生原有的认知经验，思考如何在原有知识的基础上找到解决新问题的办法的途径，从而主动地掌握新知识；其间，突出对方程算理的探究，引导学生切实掌握解方程的计算方法。

四、教学建议

1.关注由具体到一般的抽象概括过程。本单元的知识大多比较抽象。教学时要充分利用学生原有的相关认识基础，关注由具体实例到一般意义的抽象概括过程。无论是学习用字母表示数量关系，还是学习方程的概念或等式的性质，既要发挥具体实例对于抽象概括的支撑作用，又要及时引导学生超脱实例的具体性，实现必要的抽象概括。

2.用好教材资源，适当扩展联系实际的范围。

在本单元中，用字母表示数量关系和列方程解决实际问题，都是便于理论（数学知识）联系实际（现实生活）的学习内容。教材从小学高年级学生的共性着眼，精心筛选、设计了不少生动的富有意义的现实题材，如第1节中人在地球上与月球上的举重质量的关系，标准体重与身高的关系。又如第2节中华氏温度与摄氏温度的关系，地球表面、海洋面积与陆地面积的构成等等。教学时，应充分用好教材提供的资源，进而从本地、本校的特色出发，适当补充一些学生身边的题材，以进一步激发学生的学习热情，培养学生的数学应用意识。

3.重视良好学习习惯的培养。

简易方程学习内容的特点，决定了通过本单元的学习，特别需要也比较适合培养学生规范书写和自觉检验的习惯。

就书写习惯来说，无论是含有字母式子的书写，还是解方程的书写，都有必要从一开始就强化必要的书写规范。以发挥首次感知先入为主的强势效应，促进良好的书写习惯的形成。

从解数学题的检验来看，解方程的检验，方法易学，操作简便，而且最容易显示检验的成效，因而是培养学生检验习惯的一个重要契机。应引起教师的重视并加以把握。

五、课时安排：

简易方程（16课时）

（1）用字母表示数（3课时）

（2）解简易方程（12课时）

整理和复习（1课时）

量一量找规律（1课时）

数学《简易方程》教学计划2

教学目标

1、使学生初步认识用字母表示数的意义和作用，能够用字母表示学过的运算定律和计算公式，能够在具体的情境中用字母表示常见的数量关系。初步学会根据字母所取得值，求含有字母式子的值。

2、学生初步了解方程的意义，初步理解等式的基础性质，能用等式的性质解简易方程。

3、学生感受数学与现实生活的联系，初步学会列方程解决一些简单的实际问题。培养学生根据具体情况，灵活选择算法的意识和能力。

教学内容

本单元的主要学习内容是用字母表示数和解简易方程，以及简易方程在解决一些实际问题中的运用。

教学重难点

用字母表示数和解简易方程是本单元的重难点。

学情分析

这些内容是在学生学了一定的算术知识（如整数、小数的四则运算及应用），已初步接触了一点代数知识（如用字母表示运算定律，用符号表示数）的基础上，进行学习的。学习简易方程，一是有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性；二是有助于巩固和加深理解所学的算术知识；三是有利于加强中小学数学的衔接。

教学进度

简易方程

16课时

1、用字母表示数

3课时

2、解简易方程

12课时整理与复习

1课时量一量

找规律

1课时

1第四单元

《简易方程》教学反思

列方程解决实际问题，解题思路往往直截了当，降低了思维难度，它让学生从一个简单的思路——找等量关系来解题。所以说，这个单元的知识如何教好，从而让学生学好是非常重要的。

一、用字母表示数要注意对数量关系的理解

用字母表示数是学生学习代数初步知识的起步。在算术里，人们只对一些具体的、个别的数量关系进行研究，引入用字母表示数后，就可以表达、研究具有更普遍意义的数量关系。可以说，学习代数就是从学习用字母表示数开始的。

对小学生来说，从具体事物的个数抽象出数是认识上的一个飞跃，而由具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数，更是认识上的'一个飞跃。在用字母表示未知数的基础上，使学生解决实际问题的数学工具，从列出算式解发展到列出方程解，这又是数学思想方法认识上的一次飞跃，它将使学生运用数学知识解决实际问题能力提高到一个新的水平。而在老师们的教学实践中，由于在进行用方程解题时格式非常重要，因此往往老师们教学时都会特别强调格式。可是从学生的后续学习来看，我慢慢发现，其实在教学这一部分知识时，老师要注重学生对数量关系的理解，也就是说要加强对学生的用含字母的式子表示数量的训练，也就是写代数式的训练。因为这是列方程的基础。所以，在这里教师一定要向学生强调并反复练习用含有字母的式子表示数量，让学生明白以往学习的所有数量关系在用含有字母的式子表示数量中都能用到。

二、注重方程的意义的教学。

方程是什么，教材中是这样说的，含有未知数的等式叫做方程。其实，这只是从方程的表现形式来给方程下定义。也就是说，从表象上来说，如果一个式子是一个等式，并且含有未知数，我们就说这个式子是方程。但是，从数学的本质上来说，方程的意义是什么呢？我们每个人都能够熟练地列方程解决问题，那么，在你列方程解决问题时，你每次抓住的核心是什么呢？是等量关系。所以，方程最本质的教学意义应是同一个量（或相等的量）用不同的形式去表达。但很多时候，老师们在教学方程的意义时，往往只研究了方程的表面形式，也就是书上所说的：含有未知数的等式叫2方程，所以，老师们一般都是从等式入手，让学生在认识等式的基础上引入未知数，然后告诉学生，象这样的含有未知数的等式叫方程。这样一节课教下来，学生除了会判断一个关系式是不是方程，还知道了什么呢？这样的学习对于后面的列方程解决问题真的有帮助吗？

三、解方程的教学时不要被以前的教材编排所影响。

新教材对于解方程的安排是变动非常大的。以前我们是根据四则运算各部分之间的关系来解方程。一开始时，还不和学生说解方程，叫求未知数X。而现在的教材编排时是根据等式的性质来解，当然，在教材上并没有归纳出等式的性质，毕竟，在学生的小学阶段，只要让学生明白，在等式的两边同时加、减、乘和除以同一个数，等式仍然成立，这并不是完整意义上的等式的性质。从学生的学习上来看，我觉得学生是比较容易接受这种方法的，特别是比较简单的方程，学生只要明白了要把谁抵消，怎么抵消，基本上问题不大。总的来说，我觉得简易方程这个单元，只要让学生有很好地用字母或含有字母的式子表示数的基础，再加上对方程的本质意义有清晰的理解，知道怎样解方程，其他的应该都不是问题，上面的这些都是为列方程解决问题打基础。基础打好了，后面的问题就都能能迎刃而解了。

第四篇：数学物理方程小结

数学物理方程小结

第七章

数学物理定解问题

数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。

§7.1数学物理方程的导出

一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。

（一）三类典型的数学物理方程

2u2三维:2auf(r,t)t22uu2一维:2af(x,t)2（1）波动方程：

tx当无外力时:f0 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.）

u2三维:auf(r,t)t2uu2一维:af(x.t)2（2）输运方程：

tx无外源时:f0此方程 适用于热传导问题、扩散问题。

拉氏方程:u0（3）Laplace 方程：

泊松方程:uf(r.t)

f0时泊松方程退化拉程氏.方稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u在电荷密度为零处也满足Laplace 方程。§7.2定解条件

定解条件包含初始条件与边界条件。

（1）初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u（x,o）,而Laplace 方程没有初始条件。

（2）三类边界条件

第一类边界条件： u(r ,t)|Σ = f

（1）第二类边界条件： u n|Σ = f

（2）第三类边界条件：(u+Hun)|Σ= f

（3）

其中H为常数.7.3 二阶线性偏微分方程分类

2a12a11a220,双曲型,2a11a220,椭圆型, 判别式 a122a12a11a220,抛物型,波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.7.4 达朗贝尔公式

对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为

22u2ua022txux,0xutx,0x

11xat解为:ux,txatxatdxat22a对半无界问题作延拓处理: 对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.第八章 分离变量法

8.1 分离变量法

主要步骤:

1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的.•2.分离变量 u(x,t)=X(x)T(t)（1）

[以后对三维问题也是如此] •3.将（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程,(称为本征方程)而λ为本征值.•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.•6.再由初始条件确定系数.一维波动方程在第一类齐次边界条件下的

natnatnx通解:ux,tancosbnsin,1sinllln1nx代入边入边界:ux,0ansinx,2ln12nansind,3l0l2n同样:bnsind,4na0l一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:

ll

natnatnxux.tA0B0tAncosBnsin,5cosllln1 11A0d,B0d.6l0l02n2nAncosd,Bncosd.7l0lna0lllll

一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解: ux,tcnen1lnatl2nxsin,8l 2ncnsind,9l0l

一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解: ux,tcnen0lnatl2nxcos,10ll12nc0d,cncosd,11

l0l0l

对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.8.2 非齐次边界条件的处理

常用方法有 1)直线法 : 对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t).htgtx

,可把边界条件化为齐次,令

vx,tux,tgtL但一般情况下方程变为非齐次.•只有当g,h为常数时,方程才不变.2)特解法

•把 u化为两部分,令 u=v+w 使v满足齐次边界条件与齐次方程,而使w满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.• 例题

求解下列定解问题

Utt－a2 Uxx

= 0

U|x=0

=0, U|x=L= ASinωt •

U|t=0

= 0 , Ut∣t=0 = 0 •(其中A、ω为常数，0＜x＜L , 0＜ t）

•解：令 u=v+w ,使w满足波动方程与非齐次边界条件, •得出

wx,tAsinxasint

sinla第九章

二阶常微分方程的级数解法

本征值问题

一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分

离变量结果.1.拉普拉斯方程在球坐标下的通解:

1ur,,AlrlBLl1Yim,,1

rl,m其中Y

lm

为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件.在轴

对

称时(1)式退化为

Blur,AlrllPcos,2 1lrl02.拉普拉斯方程在柱坐标下: 6 u,,zRrZz.1acosmbsinm,m2m0,1,2222dR1dRm''ZZ0.3.22R0.4dd0,3的解为:ZzABz;4式解为:REFln,m0,今x,4式为:x2d2RdR22dx2xdxxmR0.55为m阶Bessel方程..(5)式其解为m阶Bessel函数, 解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时, μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.3）亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.在球坐标下:

ur,,RrY,

其中Y为球函数,R为球贝塞尔函数.在柱

坐

标

下

: u,,zRrZz.1acosmbsinm,m2m0,1,22Z''2Z0.3.d2Rd1dRdk22m222R0.4令k22;今x,4式为:x2d2RdR22dx2xdxxmR0.5(5)式其解为m阶Bessel函数，二、常微分方程的级数解法

.1.掌握常点邻域的级数解法.2.掌握正则奇点邻域的级数解法.3.知道无穷级数退化为多项式的方法.三.知道Sturm-Livouville本征值问题的共同性质

•当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0), Sturm-Livouville方程共同性质为: •1)当k(x),k’(x)和q(x)连续且x=a和x=b最多为一阶极点时,存在无限

123k多个本征值及对应的本征函数:

y1x,y2x,y3xykx

2)所有本征值λn≥03)对应于不同本征值的本征函数带权正交yxyxxdx0,nm4)本征函数族构成完备系mnabfxn1fnynx

第十章 球函数

1.轴对称的球函数

当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z轴这时物理量u就与φ无关,m=0.此时球函数Y(θ,φ)就为L阶勒让德多项式.即Y=Pl(cosθ)1)勒让德多项式

1.勒让德多项式级数形式: 8 Plxll1或222l2n!l2n1x.1 ln!2ln!l2n!n0n2.勒让德多项式微分形式:

l1dl2Px1.2 lxll2l!dx3.前几项为: P0(x)= 1, P1(x)=x=cosθ, •P2(x)=(3x-1)/2, ….•一般勒让德多项式的幂次取决L •当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项.对特殊点x=1,0.2Pl11,Plx1Plx,l2n1！P2n100,P2n01,2n！n•4.勒让德多项式正交关系

12P(x)PxdxNlk

(3)

lkl1•5.勒让德多项式的模 Nl22

2(4),Nl2l12l16.广义傅里叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时.fxflPlxl1

(5)2l1flfxPlxdx,211•7.在球坐标下Laplace方程: △u= 0的通解为:

轴对称

lBlur,Alrl1Ylm,6rl0ml lBluAlrl1Plcos,7rl0(6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0，l•u有限, Bl0,uAlrPlcos

(7)

l0l•而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r→∞，两个条件确定.8.母函数

112rcosr2rlPlcos

(8)

l09.递推公式

2l1xPlxlPl1xl1Pl1x,PlPl'1Pl'12xPl'.2l1PlPl'1Pl'1.l0

二.连带勒让德函数

•在一般情况下,物理量u与φ有关,故球函数Y是连带勒让德函数与周期函数的乘积.1.连带勒让德函数 1xm22Plmx

(1)

2.连带勒让德函数的微分表示

Plm1x2l!lm22dlm2l1x.(2)lmdx从(2)可得当L一定时,m的取值为

m=0,1,2…L.共有L+1个值.而三角形式球函数Y（θ,φ）中,cosmφ,sinmφ为不同态,共有2L+1个态.3.正交关系

mm2PxPxdxNmllk.3lk1 2lm!2模平方Nml2l1lm!4.球函数Y的两种表示形式.第十一章

柱函数

一、掌握三类柱函数的基本性质

一般我们称Bessel函数Jm(x)为第一类柱函数.而把Neumann函数Nm(x)称为第二类柱函数.1）对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.1xJmxiNmxHm1HxJmxiNmx2m

称为第一种与第二种汉克尔函数.而汉克尔函数称为第三类柱函数

2)x0和x时的行为

limJ0x1,limJmx0.m0x0x0x0limNmx,limJmxx0limJmxx2mcosx,x242msinxx24m24x2i2,limHmxexxm24

limNmxxx2i1limHmxexx3)递推公式

m2kkdJmd112kxmdxxdxk0k!mk12m2kk12k1x2k1k0k!mk12Jm1x.1mx dxmJmxxmJm1x.2dx把1与2展开JmxJm1x.3xJmx'JmxmJm1x.4x'xmJm4）贝塞尔函数的零点

对m阶贝塞尔方程

dxdx2当0时,对柱侧面的齐次边界条件.RJJmx2d2RxdRx2m2R0.xm00.1mxnm记:xnm本征值:n（J'm00)20

对第一类齐次边界条件

得出第n个零点

对第二类齐次边界条件 二．贝塞尔函数的正交关系.• 对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间 • [0,ρ0]上带权重ρ正交.0J• m0mnJmm2kmd[Nn]nk.1

•

• 2）广义傅里叶-贝塞尔级数

ffnJmn1•

fn.2 1fJd.3Nmn0mm20mnn 13 • 3）Laplace在柱坐标下的通解 • 轴对称m=0,柱内解为

• 在侧面为第一类齐次边界条件时

0xnu,zAnshRn10xnzBnchR0xnzJ0.1R1xnzJ0R.2侧面为第二类齐次边界条件时•

1xnu,zA0B0zAnchRn11xnzBnshR

• 其中系数An,Bn由上下底边界条件确定.• 在上下底为齐次边界条件时, μ 0,R的解为虚宗量贝塞尔函数.记为Im(x)• 同样可得Laplace方程在柱内解 • 当轴对称时m=0 • 上下底满足第一类齐次边界条件时解为

u,z•

nzsin.2H对第二类齐次边界条件:nAIn0Hn1nznu,zAnI0.3cosHHn0

• 输运方程与波动方程在柱坐标下的解 •

1)解的形式:

u(r,t)=T(t)v(r)• V满足亥姆霍兹方程.在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足 第一类齐次边界条件.在轴对称情况下m=0 对输运方程柱内的解: 上下底满足第一类齐次边界条件

0xnlzu,z,tanlJ0sinHen1,l1002xna02l2tH.1

波动方程在柱内的解: • 在上下底满足第一类齐次边界条件下

u,z,tnl0xlz00n.2anlcosknlatbnlsinknlatsinJ0H0•

0xl02nknl()H02

• 二维极坐标下的解: • 侧面满足第一类齐次边界条件

000u,tccoskatdsinkatJknnnn0n

（3）•

n1• 侧面满足第二类齐次边界条件

• u,ta0b0tcncoskatdnsinkatJ0k.4

1n1n1nn1•

第十二章

积分变换法 •

一、傅里叶变换法 • 1。掌握傅里叶变换法的适用条件，即方程中的一个变量是在(-∞,∞)范围内时,可用Fourier 变换法.• 2。能用傅里叶变换法求解一些筒单的偏微分方程。•

二、Laplace变换法

• 1。掌握Laplace变换法的适用条件，即方程有初值情况,且一个变量 的变化范围在(0, ∞)

• 2。能用Laplace变换法求解一些筒单的偏微分方程。•

第十三章

格林函数法 • 1。知道格林函数的定义及物理意义 • 2。知道泊松方程解的积分形式

• 3。能用电像法求解泊松方程的格林函数。

第五篇：四年级数学方程应用题

1.一辆公共汽车上有乘客48人，到站后下去一些人，这时公共汽车上还有乘客39人，到站时下去了多少人？

2.一个三角形的面积是1.92平方厘米，底是2.4厘米，三角形的高是多少厘米？

3.小明带一些钱去文具店，他买了5个练习本，每个练习本1.5元，小明还剩下2.5元，他去文具店带了多少元？

4.同学们参加植树造林活动，六年级种的棵数是四年级的3倍少40棵，六年级种了290棵，四年级种了多少棵？

5.甲、乙两列火车从相距513千米的两地同时相向而行，3.5小时后两车还相隔37千米，甲车每小时行55千米，乙车每小时行多少千米？

6.买4套桌椅共480元，已知每张桌子的价钱是每把椅子的3倍，每张桌子和每把椅子各多少元？

7.列方程解决问题。

一个面包，1.8元 χ瓶，每瓶2.5元

共14.3元

8.爷爷的年龄比小欣的6倍还大3岁，今年爷爷57岁，小欣多少岁？（列方程解答）

8.超市在批发市场进了一箱重20千克的香蕉，花了50元。然后以每千克3.5元的出售，一箱香蕉卖完后，赚了多少钱？

9.为了奖励积极参加数学课外活动的同学，班级准备了丰富的奖品。1.2元的奖品买了24份，2.5元的奖品买了16份。

（1）买这两种奖品一共花去多少钱？

（2）他们带100元，应找回多少钱？

10.乐乐超市开展促销活动，买一箱牛奶（24盒）44元，还送一盒；同样的牛奶，咪咪超市的促销方法是5盒9.40元。哪一家的价格更便宜？