组合应用2014年4月4日（范文模版）

第一篇：组合应用2014年4月4日（范文模版）

年级 二年级学科数学编写人 郭明星审稿人郭明星 日期 14年4月3

组合应用

1、进一步深化排列与组合的概念，熟练排列数公式及组合数公式．

2、应用排列与组合知识解决简单的实际问题.1、解答有限制条件的组合问题时有哪些方法？

2、组合应用题常有以下两类题型变化

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外

元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”

这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分

类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

试一试：

1、一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一个参加过比赛，按照足球比赛

规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人，问：

（1）这位教练从17名学员中可以形成多少种学员上场方案？

（2）如果在选出11名上场队员是，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这

件事情？

2、在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，（1）有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种?

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

3、6个人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去

法？

例 题 分 析

类型一：简单组合问题

例

1、现有男生5名，女生4名．

(1)从中选2名同学去参加会议，有多少种不同选法？

(2)从中选男、女生各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

类型

二、有限制条件的组合问题

例

2、某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴某灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：

(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？

(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？

(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？

变式训练：

课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)至少有一名队长当选；

(2)至多有两名女生当选；

(3)既要有队长，又要有女生当选．

类型

三、平均分组问题

例

3、有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？

(1)分成1本、2本、3本三组；

(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；

(3)分成每组都是2本的三组；

(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本；

(5)6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子至少放一本书．

类型

四、排列、组合的综合问题

例

4、（1）世博会期间，某班有四名学生参加了志愿者工作．将这四名学生分到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有

()

A．36种B．30种C．24种D．20种

（2）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()

2262222A．C2AB．CAC．CAD．C8386868A5

变式训练：

八名学生排成前后两排，计算其排法种数，在下列答案中错误的是()

4A．前后各4人，共有A48A4种排法

B．前3人，后5人，有A88种排法

24C．前3人，后5人，甲必站前排有A13A3A4种排法

D．前3人，后5人，甲不站前、后两排的正中，有6A77种排法 课 堂 检 测

1、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()

A．12种B．10种

C．9种D．8种

2、从4个男生，3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的选法共有()

A．12种B．34种

C．35种D．340种

3、已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有________种可能．(用数字作答)．

4、有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有________个．

课 后 作 业

一、选择题

1、从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有()

2325A．C35C4种B．C5C4A5种

2325C．A35A4种D．A5A4A5种

2、(2012·山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为

()

A．232B．252

C．472D．4843、(2012·浙江高考)若从1,2,3，„，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()

A．60种B．63种

C．65种D．66种4、5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有

()

A．150种B．180种

C．200种D．280种

二、填空题5、3名医生和6名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不

同的分配方法共有________种．

6、将标号为1,2，„，10的10个球放入标号为1,2，„，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有________种．(以数字作答)

三、解答题

7、有8名男生和5名女生，从中任选6人：

(1)有多少种不同的选法？

(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？

(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选择？

8、某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．

(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；

(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；

(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全程赛程共需比赛多少场？

9、从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论赛，问：

（1）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？

（2）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法?

（3）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？

10、上一个有10级的台阶，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？

第二篇：组合应用教案 2

组合数的性质学案

一、知识回顾

1、组合的概念：___________________________________________________________；

2、组合数的概念：_________________________________________________________；

3、组合数公式

Cnm=________=______________________；Cnm=___________________________；

二、自主学习

73练习求值（1）C73 与 C74 ；（2）C52 与 C53 ；（3）C10 与 C10

mnm小结：（1）组合数的性质1 Cn= Cn。

证明：

（2）针对性质1，我们说明两点：

①为简化计算，当__________时，通常将计算Cn改为计算Cn②为了使性质1在m=n时也能成立，我们规定：C0n=_____.三、知识应用

例1 一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球：

（1）共有多少种不同的取法？

（2）其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？（3）其中不含红球，共有多少种不同的取法？

mnm.小结：组合数的性质2 Cnm1CnmCnm1

证明：

例2 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查。现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：

（1）共有多少种不同的抽法？

（2）恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）至少有一件是次品的抽法有多少种？

（4）恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？

例3 有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？

（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本。

例4 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行：

（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名。

（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场）决出胜者；（3）决赛：两个胜队参加决赛异常，决出胜负。

问全部赛程共需比赛多少场？

例5 设北京故宫博物院某日接待游客10000人，如果从这些游客中任意选出10名幸运游客，一共有多少种不同的选择（保留四位有效数字）？若把10份不同的纪念品发给选出的幸运游客每人一份，又有多少种不同的选择？

三、巩固练习

课本P22 2、4、6

四、课堂总结

五、达标检测 课本P22 2、3

六、预习纲要

二项式定理

第三篇：乌龟图和流程图的组合应用

乌龟图和流程图的组合应用

ISO 9001和ISO/TS 169492要求企业展示出他们每一个内部过程是如何与其他过程交互作用的。标准的4.1节对企业做了这样的要求“企业应确认出质量管理系统所需要的过程以及他们在这个企业中的应用”并且“决定这些过程的流程顺序和交互作用”。一种比较流行的用于生动描述过程交互作用的工具是乌龟图。

过程乌龟图六要素：

·输入：过程的每一个输入项都应该被列出来。过程输入代表了内部和外部客户的全部需求，其中包含了组成元素以及其他相关的信息。例如，在一个系统过程中，它应该包含另一过程的输出、数据、客户信息、内部和外部需求和质量风险等。

·输出：乌龟图的输出表示了过程的结果。对于一个系统过程来说，这包含了信息、报告或者数据。对于一个生产过程来说，输出包含了完成的产品、统计数据和其他与生产相关的数据，以及这个过程中全部的残余物。不管这种过程属于哪种类型，实际的输出都应该表示对客户需求的满足程度。

·资源：执行这项任务需要一些非人工的资源。典型的种类包含原材料、设备、技术设施、硬件和软件。

·人员：需要人工资源来完成此项过程。通常，需要列出一个人员清单，其中包含了从某种程度上参与到这项工作中的内部和外部的人员，也许是提供数据的人员、具体执行任务的人员抑或是监督任务的人员。与此相关的所需要的技术和能力也应该列于此处。

·方法：这科晴式提供了过程所要求的操作控制，并且能够囊括程序、工作指令、操作说明、检查说明、控制计划、故障模型、效果分析、标准、要求环境、特定过程操作和安全棋型。·度量：这也是一个业绩指标的列表。通过这个列表将表示出过程的成功或者失败。通常，这些度量标准或者业绩指标是运行提升和商业计划的背后推动力。

这些项目在乌龟图（见图1）中展示出来，使我们能够更好地理解—个过程。

对每一个过程创建乌龟图的另外的好处就是便于进行内部审计或者第三方审计。在进行内部审计时，审计者能够通过乌龟图更好地理解整个过程。这将给审计者更多的时间来进入观察这个过程，而不至于在识别过程到底是怎样的和如何使它符合整个计划上花费过多的时间。

同样地，向第三方审计机构提供过程交互路线图，能够取得更加有效的审计效果。因为审计者可以把更多的时间用于对质量管理体系的审视，而不用每年都重新建立文档来证实过程研究方法。

顺着流程进行

另外一种非常流行的表示信息关注的过程方法是过程流程图。过程流程图展示出过程的每一个步骤，能够让使用者很容易跟随着流程，甚至于执行整个过程。

因为流程图的可视化，它能够让人们比较容易地理解各个事件之间是如何联系的，同时流程图也是—种进行决策分析的有效方法。流程图帮助使用者更好地理解—个过程，进—步可以帮助使用者来改进过程，并使浪费最小化。

流程图能够反映出一个过程的多个层次。通常，一个高级流程图（30000个步骤）反映的是整个公司的状况。一个中级的流程图描述出一个部门的过程，而一个低级流程图更加注重节，通常采用每—秒钟和一步一步的工作过程。

但是，典型的过程流程图往往没有反映出这个过程自身的相关信息，通常在一个乌龟图中会展示出这些信息。流程图展示出过程的每一个步骤，但是并没有表示出这个过程的输入和输出，也没有说明这个过程如何来度量。

—个典型的过程流程图正如图2所示，使用了很多不同的符号来表示每一个活动。绝大多数的系统使用相同的基本符号，例如一个长方形表示一个行动，一个三角形表示存储，一个菱形表示一项判定。

组合图

在如今可见的制造业中，乌龟图和流程图是非常宝贵的培训工具，同时也对内部审计工作非常有帮助。将乌龟图和流程图组合起来便能够清晰全面地展示一个过程流程和过程数据，这就是一个完整的过程图示（见图3）。

乌龟图能够从高到低各个层次描述一个过程。ISO 9001和ISO/TS 16949所要求的过程互动作用通常展示在较高的层次中。部门程序更加的具体，往往展示在中等层次中。对干更加细致的工作说明常常展示在低层次的图中。

高层次的图表应该尽量保持简洁，展示出主要的过程步骤，可以使用其他过程或者程序。如果需要进一步说明一个过程，可以使用远页或者第二页说明的方式。

例如，一个过程需要一种使用特殊方式输入数据。输入数据并不是整个流程的一部分，它只是需要你进一步提供细节来说明。你的流程图的第一页可以包含一个页码索引箱或者一个过程箱来说明这项输入过程。下一页应 该提供详细的流程图来说明数据输入的过程。

这种组合乌龟流程图能够被用于运行和质量团队的每日过程功能中，同时也可以应用在内部审计和第三方审计中，作为一个起始点来收集信息和掌握过程。

这种乌龟流程图非常善于使信息可视化，并且便于阅读，即使那些完全不熟悉此项过程的人也非常易于了解过程的全部信息。

XXX公司为混合动力车提供方案。这间公司使用乌龟流程图来简化信息的表示，并且使在公司范围内理解过程的交互作用成为一件很容易的工作。

增益控制

乌龟流程图被用于描述办公流程和制造过程。这两种情况下，乌龟流程图的格式是相同的。例如，在图4和图5中分别展示了一种简单的乌龟流程图来控制待确定的生产过程。在这种高层次的图示中，使用了两种不同的页码索引方式。

在实际的流程中有几个不同的过程，这些过程与待确定的过程有着紧密的联系。因为它们能够被用于其他的情况下，这些过程有它们自己的程序和工作说明，这些都用—个预先设定的过程符号（—个有两条竖线的长方形）来描述。虽然这些形状通常用来描述子过程，但是在这个例子中，它是其他过程步骤或者一系列其他地方正式定义的过程流程步骤的标示点。

同样地，在这个流程图中展示出页码索引，它的标记酷做棒球场上的本垒板，它用于把读者指引到第二页。在这些图表中定义的过程假设认为材料评审委员会是一个单独的过程，但是它与待确定材料组成一个整体。因为，这并不是一个分离的工作说明和流程图，材料评审委员会包含在其中。

乌龟流程图也能够被用来进行生产过程的可视化描述。正如图6展示的，这是一个自动化装配工作单元。

在这个装配单元中，每一个工作环节用预设定的过程符号表示为一个单独的过程。粗箭头符号用来表示单位内的移动。工作单元中各个点的不同组件是输入项，这些用带有零件号码的组合三角形符号来表示。最后，分离的三角形符号表示—个存储点，例如一个仓库。

这是—个中等层级的过程图。在图7中，对每个单独的预设定过程箱进行进一步的深究，就可以得到—个较低层级的视图。

第四篇：浅谈网络营销与传统媒体营销组合的应用

浅谈网络营销与传统媒体营销组合的应用

谈到网络营销，很多新手往往认为就是在网络上操作。这个案例显示了：网络营销和传统媒体营销组合起来，可以更加强大，效率更高。而事实上，网络营销本质上就是营销的一种新形式而已。有位网络营销的前辈说过未来或许没有网络营销这个词汇了，只有营销!网络营销必须与其他媒体营销信息定位相一致

营销的本质是在潜在客户头脑中占据行业中一个有力的信息检索位置。例如：谈到汽车，你立刻想到了奔驰、宝马;提到快餐，你立刻想到了麦当劳，肯德基。这是许多年来，这些企业聚焦在特定领域，长期传递给客户一致的、有力的外部形象的结果。因此，无论对于企业，还是站长来说，都一样要重视这点。建立品牌无论对于任何规模的企业，哪怕是个人站长都一样至关重要。

在我们公司，网络营销部门都是在市场部下面的部门。网络上发布的内容，以及活动策划都需要经过我们的市场总监审核(我们公司有内部的OA系统，必须要走流程，让市场总监看过才可以发布)。这样的好处是，在宣传企业，或者进行活动推广的时候，可以更加聚焦的展示企业的形象。

一个网络与线下媒体整合营销传播的案例

当网络与线下媒体结合的时候，可以创造出非常强大的整合效应。我们公司是做塑料制品的。前不久想要做一个市场活动，扩大我们的品牌影响力，并增加更多的潜在经销商和最终用户。这几年，促销广告通过传统媒体发布，价格越来越高，但是效果却越来越差。因此，市场部最终确定在公司18周年来临之际，做一个整合网络和传统媒体的市场活动。活动主题是万元征名活动，为我公司征集一个响亮的服务口号。设置1、2、3等奖项，被采纳的口号的作者，将获得10000元的奖励。

1、在网络上，我们建立了一个独立的网页，并给该页设置了单独的流量统计代码，以及用户注册登记功能。一方面可以知道实际的广告效果，此外还可以收集潜在客户的信息。

2、在报纸媒体和电视媒体上发布小广告，内容非常的简单万元征名活动，人人有机会获奖，详情登陆XXX网站。这样，一个很小的广告，费用相对低，就可以增加播放的频次，将主要的信息，让客户到网络上来进一步获得。

3、网络上同样的方式来造势

由于信息简单，激励性强，所以这个很短的广告，发布到很多Q群以及很多论坛上，带来了很好的反应。活动给企业带来的收获和反思，这个活动取得了非常好的市场反应。

1.通过客户的参与，无论其当下是否是企业的潜在客户，但是客户通过较深度的参与，认知了企业的品牌，了解了企业产品，知道了企业的特色(而且非常的深刻，难以忘记)。

2.带来了直接的流量和销售。从活动结束后总结的销售和潜在机会来看，都远远高于我们之前其他方式所做的市场活动。

3.提高了广告投入的效率，同时容易定量分析实际的效果。广告行业的行话说我知道广告有一半是浪费的，但是不知道那一部分是浪费的。而传统媒体和网络结合以后，你就可以定量的分析传统媒体的效果。例如，你可以为不同媒体，设计不同的访问页面。这样你通过统计软件就可以清楚的知道那种媒体(包括传统媒体，网站媒体)的效果最好。

总之，作为一个网络营销人员，需要有营销的整体思维。记住一点，网络只是营销的载体和平台，而不是营销本身。利器在手，存乎应用。看你如何用好网络这个工具。

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第五篇：组合数学在计算机中的应用

目录

摘要...................................................................................................................................................1 1.组合数学概述................................................................................................................................1 2.组合数学在生活中的应用............................................................................................................1 3.组合数学与计算机软件................................................................................................................1 3.1 信息时代的组合数学...............................................................................................2 3.2 组合数学在计算机软件的应用...............................................................................2 3.3组合数学与计算机软件的关系.................................................................................2 3.4 组合数学在国外软件业的发展状况......................................................................2 4 Ramsey 数在计算机科学中的应用.............................................................................................3 4.1 Ramsey 定理和Ramsey 数....................................................................................3 4.2 信息检索...................................................................................................................3 参考文献............................................................................................................................................5

组合数学在计算机中的应用

摘要：介绍了组合数学的概念、起源与研究的主要内容,分析了组合数学的特点以及其在生活中的应用,阐述了组合数学与计算机软件的联系,并着重通过两个例子说明了Ramsey 数在计算机科学的信息检索中的重要应用。

关键词：组合数学;组合算法;Ramsey 数;信息检索;

1：组合数学概述

组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。

2：组合数学在生活中的应用

在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。

当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足 不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是 组合数学的问题。

组合数学在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。

总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。

3：组合数学与计算机软件

随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。

3.1 信息时代的组合数学

现代数学可以分为两大类:一类是研究连续对象,如分析、方程等,另一类就是研究离散对象的组合数学。计算机科学就是算法的科学,而计算机所处理的对象是离散的数据,研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。因此,在信息时代的今天,组合数学就是信息时代的数学。

3.2 组合数学在计算机软件的应用

随着计算机科学的发展,组合数学也在迅猛发展,而组合数学在理论方面的推进也促进计算机科学的发展。计算机软件空前发展的今天要求有相应的数学基础,组合数学作为大多数计算机软件设计的理论基础,它的重要性也就不言而喻。

组合数学在计算机方面的应用极其广泛。计算机软件与各种算法的研究分不开,为了衡量一个算法的效率,必须估计用此算法解答具有给定长的输入(问题)时需要多少步(例如算术运算、二进制比较、程序调用等的次数)。这要求对算法所需的计算量及存储单元数进行估算,这就是计数问题的内容,而组合数学分析主要研究内容就是计数和枚举的方法和理论。

3.3组合数学与计算机软件的关系

我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化，管理水平，教育水平，思想素质等诸多因素有关。除去这些人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。然而问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及到了很深的数学知识，而数学本身也已经发展到了很深、很广的程度并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，而更重要的是需要集体的合作和力量，就象软件的开发需要多方面的人员的合作。美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。一般人可能会认为数学是一门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会有任何实际的意义。如果真是这样，一门纯粹学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析，信息压缩，网络安全，编码技术，系统软件，并行算法，数学机械化和计算机推理，等等。此外，与实际应用有关的还有许多许多需要数学基础的算法，如运筹规划，金融工程，计算机辅助设计等。如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软件这个领域也会让国外的企业抢去很大的市场。如果我们现在在信息技术的数学基础上，大力支持和投入，那将是亡羊补牢，犹未为晚；只要我们能抢回信息技术的数学基地，那么我们还有可能在软件产业的竞争中，扭转局面，甚至反败为胜。吴文俊院士开创和领导的数学机械化研究，为中国在信息技术领域占领了一个重要的阵地，有了雄厚的数学基础，自然就有了软件开发的竞争力。这样的阵地多几个，我们的软件产业就会产生新的局面。值得注意的是，印度有很好的统计和组合数学基础，这可能也是印度的软件产业近几年有很大发展的原因。

3.4 组合数学在国外软件业的发展状况

纵观全世界软件产业的情况，易见一个奇特的现象：美国处于绝对的垄断地位。造成这种现象的一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发展。当今计算机科学界的最权威人士很多都是研究组合数学出身的。美国最重要的计算机科学系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，….）都有第一流的组合数学家。计算机科学通过对软件产业的促进，带来了巨大的效益，这已是不争之事实。组合数学在国外早已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。一些大公司，如IBM，AT&T都有全世界最强的组合研究中心。Microsoft 的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。例如，Bell实验室的有关线性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法，由于有明显的商业价值，显然是没有

对外公开的。美国已经有一种趋势，就是与新的算法有关的软件是可以申请专利的。如果照这种趋势发展，世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋激烈。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS（与Princeton大学，Rutgers大学，AT&T 联合创办的，设在Rutgers大学），该中心已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地。美国国家数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陈省身先生创立）在1997年选择了组合数学作为研究专题，组织了为期一年的研究活动。日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心，理论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课题，该中心主任R.Tarjan即是组合数学的权威。

除上述以外，欧洲也在积极发展组合数学，英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的组合数学研究中心。近几年，南美国家也在积极推动组合数学的研究。澳大利亚，新西兰也组建了很强的组合数学研究机构。值得一提的是亚洲的发达国家也十分重视组合数学的研究。日本有组合数学研究中心，并且从美国引进人才，不仅支持日本国内的研究，还出资支持美国的有关课题的研究，这样使日本的组合数学这几年的发展极为迅速。台湾、香港两地也从美国引进人才，大力发展组合数学。新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。世界各地对组合数学的如此钟爱显然是有原因的，那就是没有组合数学就没有计算机科学，没有计算机软件。Ramsey 数在计算机科学中的应用 4.1 Ramsey 定理和Ramsey 数

众所周知,若有n +1 只鸽子同时飞进n 个鸽巢中,则一定有某个鸽巢中至少飞进两只鸽,这就是有名的鸽巢原理(也叫抽屉原理)。它非常简单,其正确性也显而易见,但却有很广泛的应用。鸽巢原理有如下重要的推广: Ramsey 定理 设q1 , q2 , ⋯, qn;t 是正整数,且qi>=t(i =1 , 2 , ⋯, n),则存在最小的正整数r(记作r(q1 ,q2 , ⋯qn;t)使得:对任意m 元集合s ,若m E r ,当把S 的所有t 元子集放到n 个盒子里时,那么存在某个i(1 <=n)和某qi 个元素,它的所有t 元子集都在第i 个盒子里。这是称r(q1 , q2 , ⋯qn;t)为Ramsey 数。

上述定理是Ramsey1930 年提出并给出证明。

当t =1 时,Ramsey 定理就是加强形式的鸽巢原理,且容易求出 r(q1 , q2 , ⋯qn;1)= Σqi-n +1(i=1~n)Ramsey 定理是组合论中一个重要的存在性定理,它的发表推动了组合论等数理科学的发展,而且关于Ram2sey 定理和Ramsey 数自身的研究目前已成为组合学中一个重要的分支———n +1 ———Ramsey 理论。但是,Ram2sey 定理只保证了Ramsey 数的存在性,并没有给出计算Ramsey 数的有效方法。目前,确定Ramsey 数的问题仍是一个尚未解决的大难题,要找到一个很小的Ramsey 数是很困难的。虽然如此,由于其重要的理论价值和广泛的应用价值,确定Ramsey 数是很有意义的。下面用两个例子说明Ramsey 数在信息检索、分组交换网设计等计算机科学领域中的重要应用。4.2 信息检索

信息检索是计算机科学中一个基本而又重要的问题。如何组织数据,使用什么样的查找方法,对检索的效率有很大的影响。所熟知的在有序表结构上的二分搜索算法是一种很有效的方法,那么二分搜索是最好的算法吗?Yao利用Ramsey 数对这一问题作了肯定的回答。

具体地讲,假设一个表有n 个不同的项,其元素取自键空间M = { 1 ,2 , ⋯, m}, 希望找到在表中存储M 的任意n 元子集S 的方法,使得容易回答下述询问: X 在S 中吗? 如何存储M 的n 元子集的规则称为一个表结构或(m , n)2表结构。最简单的表结构是有序表结构，它是按上升序列出S 中的元素。更一般的是按置换排序的表结构,其方法是固定{ 1 ,2 , ⋯, n} 的一个置换,根据比置换的次序列出S 中的元素。

信息检索的计算复杂性依赖于表结构和搜索策略。复杂性的度量是最坏情形下确定x 是否在S 中所需要的询问次数。例如,对有序表结构,如果用二分搜索,所需要的询问次数是[log2(n +1)]。复杂性f(m , n)定义为所有的(m , n)2表结构和搜索策略下的复杂性的最小值。关于f(m , n),Yao证明了: 定理1 对每个n ,存在数N(n)使得f(m , n)= [log2(n +1)]对所有m>=N(n)成立。据此定理,对充分大的m ,就信息检索来说,用有序表结构是最有效的方法。

利用下述两个引理,立即可得此定理的证明。

引理1 若m >=2 n-1 , n >=2 ,对于按置换排序的表结构。无论采用何种策略,在最坏情形下要确定x 是否在S 中至少需要[log2(n +1)]次检查。

引理2 给定n ,存在数N(n)具有下述性质:若m >=N(n),且给定一个(m , n)2表结构,则存在有2 n-1个键的集合K ,使得对应于K 的n 元子集的表形成按置换排序的表结构。

参考文献

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