如何证明极限不存在

第一篇：如何证明极限不存在

如何证明极限不存在

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同时成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。

反证法：

一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)

矛盾

所以原命题成立

令y=x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^3-x^2/x^2=-1

两种情况极限值不同，故原极限不存在2答案：首先需要二项式定理：

(a+b)^n=∑C(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)

用数学归纳法证此定理：

n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

a+b

故此，n=1时，式一成立。

设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：

(a+b)^n1=∑C(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)

则，当n=n1+1时:

式二两端同乘(a+b)

*(a+b)=*(a+b)

=(a+b)^(n1+1)=∑C(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(据乘法分配律)

因此二项式定理(即式一成立)

下面用二项式定理计算这一极限：

(1+1/n)^n(式一)

用二项式展开得：

(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n

由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：

(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)

当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。

第二篇：证明二重极限不存在

证明二重极限不存在

如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案

若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，Y。可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。o13A1673-3878(2008)0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。)时，f(x，Y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，Y)不存在，这一方I—’10r’Y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，Y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’Iogx，Yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。

当沿曲线y=-x+x^2趋于(00)时，极限为lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

当沿直线y=x趋于(00)时，极限为limx^2/2x=0。故极限不存在。

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次极限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。

第三篇：极限不存在的证明

不如何证明极限不存在一、归结原则

原理:设f在U0(x0;')内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于

xx0

U(x0;)且以x0为极限的数列xn极限limf(xn)都存在且相等。

'

n

例如：证明极限limsin

x0

1x

不存在12n

证：设xn

1n

,xn



(n1,2,)，则显然有

xn0,xn0(n)，si由归结原则即得结论。



00,si11(n)xnxn

二、左右极限法

原理：判断当xx0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)arctan(因为limarctan（x0



1x)

当x

0

时的极限不存在。

1x)

1x)



x=0，limarctan（x0





2，limarctan（x0



1x)limarctan（x0

1x)，所以当x0时，arctan（1x)的极限不存在。

三、证明x时的极限不存在原理：判断当x



时的极限，只要考察x与x时的极限，如果两者

相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)ex在x

x



时的极限不存在x

x

xxxx

因为lime0，lime；因此，limelime

x

所以当x

四、柯西准则



时，ex的极限不存在。

0'

原理：设f在U(x0;)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给

xx0

0，存

在正数()，使得对任何x,xU0(x0;)，使得f(x)f(x)0。例如：在方法一的例题中，取01，对任何0，设正数n

x1

n,x1

n1，令

2即证。

五、定义法

原理：设函数f(x)在一个形如(a,)的区间中有定义，对任何AR，如果存在00，使对任何X0都存在x0X,使得f(x0)A0,则f(x)在x

x时没有极限。例如：证明limcosx不存在设函数f(x)cosx，f(x)在(0,)中有定义，对任何AR，不妨设A取0120,，于是对任何0，取00 反证法（利用极限定义）数学归纳法

第四篇：证明极限不存在

证明极限不存在

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点

沿着两条直线y=2x

y=-2x趋于(0,0)时

极限分别为-3和-1/3不相等

极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等

所以极限不存在3lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因为不知道x、y的大校

所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

极限不存在4

如图用定义证明极限不存在~谢谢！

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同时成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。

第五篇：极限证明

极限证明

1.设f(x)在(,)上无穷次可微，且f(x)(xn)(n)，求证当kn1时，x，limf(k)(x)0． x

2.设f(x)0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2为周期的周期函数；当n为

偶数时f(x)是一线性函数与一以2为周期的周期函数之和． x

f(n)(x)0．{xn}3.设f(x)在(,)上无穷次可微；f(0)f(0)0xlim求证：n1，

n，0xnxn1，使f(n)(xn)0．

sin(f(x))1．求证limf(x)存在． 4.设f(x)在(a,)上连续，且xlimx

5.设a0,x12a,xn12xn,n1,2,证明权限limnxn存在并求极限值。

6.设xn0,n1,2,.证明：若limxn1x,则limxnx.nxnn

7.用肯定语气叙述：limxfx.8.a11,an11,求证：ai有极限存在。an

1tx9.设函数f定义在a,b上，如果对每点xa,b,极限limft存在且有限（当xa或b时，为单侧极限）。证明：函数f在a,b上有界。

10.设limnana,证明：lima12a2nana.n2n

211.叙述数列an发散的定义，并证明数列cosn发散。

12.证明：若

afxdx收敛且limxfx，则0.11an收敛。,n1,2,.求证：22an1an13.a0,b0.a1a,a2b,an22

n

14.证明公式k11k2nCn，其中C是与n无关的常数，limnn0.15.设fx在[a,)上可微且有界。证明存在一个数列xn[a,),使得limnxn且limnf'xn0.16.设fu具有连续的导函数，且limuf'uA0,Dx,y|x2y2R2,x,y0



R0.I

1证明：limufu;2求IRf'x2y2dxdy;3求limR2

R

D

R

17.设fx于[a,)可导，且f'xc0c为常数,证明：

1limxfx;2fx于[a,)必有最小值。

18.设limnana,limnbnb,其中b0,用N语言证明lim

ana.nbbn

Snx19.设函数列Snx的每一项Snx都在x0连续，U是以x0为中心的某个开区间，在Ux0内闭一致收敛于Sx,又limnSnx0,证明：limSx.xx0

20.叙述并证明limxfx存在且有限的充分必要条件柯西收敛原理

a

23.设

f(x)= 0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在a,上一致连续，

24.设a1>0，an1＝an＋，证明＝1 nan25.设fx在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，Mh与mh分别表示fx在ah,ah上的上、下确界，又设hn是一趋于0的递减数列，证明：

1）limnMhn与limnmhn都存在；

2)limn0MhlimnMhn,limn0mhlimnmhn;

3)fx在xa处连续的充要条件是llimnMhnimnmhn26设xn满足：|xn1xn||qn||xnxn1|,|qn|r1|,证明xn收敛。

27.设ana,用定义证明:limnana

28.设x10，xn1

31xn,(n1,2,)，证明limxn存在并求出来。

n3xn



29.用“语言”证明lim30.设f(x)

(x2)(x1)

0

x1x3

x2，数列xn由如下递推公式定义：x01，xn1f(xn)，(n0，x1

n

1，2，)，求证：limxn2。

31.设fn(x)cosxcos2xcosnx，求证：

（A）对任意自然数n，方程fn(x)1在[0,/3)内有且仅有一个正根；

（B）设xn[0,1/3)是fn(x)1的根，则limxn/3。

n

32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xna,yna(xn,yn(a,b))使

Limf(xn)A(n)及Limf(yn)B(n)，则对A，B之间的任意数，可找到数列xna，使得Limf(zn)

33.设函数f在[a,b]上连续，且

f0,记fvnf(avn),n

exp{

ba，试证明：n

1b

lnf(x)dx}(n)并利用上述等式证明下aba

式

2



2

ln(12rcosxr2)dx2lnr(r1)

f(b)f(a)

K

ba

34.设f‘(0)K,试证明lim

a0b0

35.设f(x)连续，(x)0f(xt)dt，且lim

x0

论'(x)在x0处的连续性。

f(x)，求'(x)，并讨A（常数）

x

36． 给出Riemann积分af(x)dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

i1

lim()s。nni0n

x322,xy02

37.定义函数fxxy2.证明fx在0,0处连续但不可微。

0,xy0

n1

b

38.设f是0,上有界连续函数，并设r1,r2,是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,,使得：limnfxnrnfxn0.39.设函数fx在x0连续，且limx0

f2xfxA,求证：f'0存在且等于A.x

1n

40.无穷数列an,bn满足limnana,limnbnb,证明:limaibn1-iab.nni1

41.设f是0,上具有二阶连续导数的正函数，且f'x0,f''有界，则limtf't0

42.用分析定义证明limt1

x31

 x292

43.证明下列各题

1设an0,1，n1,2,,试证明级数2nann1ann收敛；

n1



2设an为单调递减的正项数列，级数n2000an收敛，试证明limn2001an0;

n

n1



3设fx在x0附近有定义，试证明权限limx0fx存在的充要条件是：对任何趋于0的数列xn,yn都有limnfxnfyn0.144.设an为单调递减数列的正项数列，级数anln1an0收敛，试证明limnnn1

a1。45.设an0，n=1,2，ana0,(n),证 limn

n



46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f（x）＝〔1，＋〕

limf（x）存在且小于1＋。

x＋4，证明x1）2

x2＋f（x）



47.已知数列{an}收敛于a，且

aaaSn，用定义证明{Sn}也收敛于a

n

48.若fx在0,上可微，lim

n

f(x)

0，求证0,内存在一个单

xx

调数列{n}，使得limn且limf(n)0

n

xesinxcosx,x0

49.设fx2,确定常数a,b,c,使得f''x在,处处存在。

axbxc,x0