极限的概念范文合集

第一篇：极限的概念

2-1极限的概念

（1）x口

nlimf（x）的读法，直观含义 xR,nN

f(x)f(x)(x口）

limf(x)limf(x)与xlimf(x)limf(x)当x口x口（2）收敛或极限存在：x口（3）无穷小：x口limf(x)Alimf(x)0，无穷大：x口

极限不存在（4）xx

极限

（5）xx0limf(x)f(x0)0、xxlimf(x)f(x0)0 称为f(x)在点x的左、右limf(x)f(x0)f(x0)；

。x

2-2 函数的连续性 limf(x)f()f()

x(1)定义：f(x)在点0连续 <=> xxlimf(x)f(x0)

当 f(x)在区间 I 上连续 <=> f(x)在 I 上的每一点都连续。

(2)初等函数都是连续的。另外，连续函数的和、差、积、商以及它们的复合函数也都是连续的。

x口（3）有等式

2-3 基本初等函数在开区间端点的极限值

（1）常C=C limf((x))f连续时x口f(lim(x))

（2）幂(0)

正0，()正(),(0)负,()负0；（3）指e

（4）对,e0ln0,ln()

（5）三sin()、cos()不存在arctan()(

2)

（6）反，arccot()0,arccot(-).

2-4 各类函数做四则运算后的极限（注意符号 “”= “存在”）

(1)(或`x)，(非0)，(0的)；

（非不）不；（2）(不）不，非0不不，1

101（3），0，∞×a（a≠0）=∞，∞×∞=∞，∞+a=∞

（±∞）+（±∞）= ∞；

（4）0有界=0，∞+有界=∞ ；

000，0,,以及1,0,(5)不定式：0 ；

0（不）（6）不定式： 不(或``）不。

2-5 洛必达法则

lim

f(x)g(x)

limx口当代值结果为“00时 2xx2

例2—1 求 极限x2x2

分析：此题属于极限计算类题型，由题型3-1所示，只需（1）代值，（2）定型 0

“0”，（3）洛必达法则，（4）再代值，(5)定式结束。即可。

lim2xx2

解：x2x2“00lim(2x)x

(x2)xx2x2= x2lim2ln22x1x=2ln2224ln24

例2-2求极限x0limxlnx

分析：由题型

“”21，第一步，代值，xlnx0ln00;第二步，变形为0“0”或后用洛必达法则，由题型22(2)

有两种变形方法：

xlnxxlnx

①ln1x②xlnx1

x

(ln)'由题型

(12)'2(2)的解释：变形要有利于洛必达法则的求导运算。应算，不应算ln。所以要选上面②的变形方法，最后用洛必达法则，再代值即可得定式结果（注：如选①的变形方法，用洛必达法则，将越算越繁，得不出结果）。

解:

x0limxlnx “0”

x0 x'limlnx

“

”lim(lnx)xx

x1x2x0x0lim

x'lim(x)x0

=0

第二篇：函数极限概念

一． 函数极限的概念

1.x趋于时函数的极限

设函数f定义在,上，类似于数列情形，我们研究当自变量x趋于+时，对应的函数值能否无线地接近于某个定数A.例如，对于函数fx=，从图象上可见，当无x限增大时，函数值无限地接近于x1

0；而对于函数gx=arctanx则当x趋于+时，函数值无限地接近于.2我们称这两个函数当x趋于+时有极限.一般地，当x趋于+时函数极限的精准定义如下：

定义1 设f为定义在,上的函数，A为定数。若对任给的0，存在正数M，使得当xM时有fxA，则称函数f当x趋于+时以A为极限，记作lim

fxA或f xAx.x

在定义1中正数M的作用与数列极限定义中的N相类似，表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比M大的所有实数x，而不仅仅是正整数n。因此，当x时函数f以A为极限意味着：A的任意小邻域内必含有f在+的某邻域内的全部函数值.

第三篇：极限的概念 教案

【教学课题】：§1.2数列的极限（第一课时）

【教学目的】：使学生逐步建立起数列极限的N定义的清晰概念。会应用数列极限的N定义证明数列收敛及有关命题，并能运用N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。

【教学重点】：数列极限的概念。

【教学难点】：数列极限的N定义及其应用。

【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。

一引言

通过介绍我国数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，来介绍极限思想的最初萌芽。

二、数列极限的定义．定义（数列）：若函数f的定义域为全体正整数集合N，则称

f:NR或f(n),nN 

为数列。因为正整数集可以由小到大排列，故数列f(n)也可以写作

a1,a2,,an,

简记为{an}，其中an称为该数列的通项。

2收敛数列描述性定义：一般地说，对于数列an，若当n无限增大时，an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。

如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。数列极限的数学定义 以111a1n为例，可观察出该数列具以下特性：①随着的无限增大，无限nnn

n地接近1。②随着n的无限增大，1

|1

1n1|无限减少，也就是说|1

n1|1

101n与1的距离无限减少。③随着n的无限增大，1|会任意小，只要n充分大。如：要使|1，只要n10即可；

要使|1

 1n1|1100，只要n100即可；

任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项aN，从该项之后(nN)，|1





1

1|。n



1

1|。n

即0,N，当nN时，|1

综上所述，数列1





111的通项随的无限增大，无限接近于1，即是对任11n

nnn

意给定正数，总存在正整数N，当nN时，有|1





11

。此即1|1以1为极

nn

限的精确定义，记作lim1

n



11

或n,11。1

nn

定义 设an为数列，a为实数,，若对0，总NN，使得当nN时有

|ana|

则称数列an收敛于a,a称为数列an的极限。并记作limana或ana(n)。

n

由于n限于取正整数，所以在数列极限的记号中把n写成n。

若数列an没有极限，则称an不收敛，或称an为发散数列。

注意：关于：① 的任意性。刻化an与常数a的接近程度，越小，表示an与a越近；②的固定性。尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它



2来求出Ｎ；③的多值性。既是任意小的正数，那么,3,等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式|ana|中的可用“|ana|”可用“|ana|”代替；

,3,等来代替。从而

关于N：相应性。一般地，N随的改变而改变，因此常把N看作N()来强调N是依赖于的，一经给定，就可以找到相应的一个N。当然N并不是唯一的，N之后的任意的项数都可以作为N。举例说明如何用N定义来验证数列极限

例１ 证明 lim

n(1)

n

n

n

1。

n

证0，考察

n(1)

n

1

1n

，可得n

。

n(1)1

于是可取N，则当nN时，便有：1。1n

n

所以lim

n(1)

n

n

n

1。

例2 证明lim

3n

n

n

33。

9n3

证考察

3n

n3

93





9n

(n3)，因此对

0，只要n，n3，上式就小于，故取Nmax{3,，则当nN时，总

9

9n

，即lim

3n

有

3n

n3

3

n3

n

n

n3

3。

例3证明limq0(|q|1)

n

证若q0，则结果显然成立。

1q

现设0q1,记h

10,由qn0qn

1(1h)

n



11nh



1nh

，得

n,因此取N，所以0,当nN时，便有qn0。hh即limq0(|q|1)。

n

n

1

例4证明lim

n

a1(a0)。

证①a=1时,，显然成立。

n

②a1时，令an1(0)，则a(1)1n1n

a1n



所以为了要使an1，只需

a1n

a1

，可取N。



③0a1时，令a

(b1)，则由 an1()n1

bb

1bn

bn1,可得

bn

nlog1b，可取Nlog1b。

总之，当

a0时，总有lim

n

1。

5．数列极限证明的步骤

(１)考察化简ana；

(２)放大ana，通常适当放大或条件放大ana1(n)2(n)k(n)；(３)解k(n)，求出需要的N；(４)用N语言再顺着写下来。

6．数列极限的几何理解

在定义１中，“当nN时有|ana|”“当nN时有aana” “当nN时有” 所有下标大于N的项an都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列an中的项至多只有N个（有限个）。反之，任给0，若在U(a;)之外数列an中的项只有有限个。

aaa

由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：

定义1任给0，若在U(a;)之外数列an中的项只有有限个，则称数列an收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个00，使得数列an中有无穷多个项落在U(a;0)之外，则an一定不以a为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。

a为定数。否定定义1 设{an}为数列，若对00，对NN，总存在n0N，且|ana|0，则称数列{an}不收敛于a。

否定定义1' 若存在00，使得数列{an}中有无穷多项落在U(a;0)之外，则

{an}不以a为极限。

例５ 证明n2和(1)n都是发散数列。

证(xn发散aR,00,N，n0N，使得xna0)

aR,取01,则在U(a,0)之外所有满足na1的项有无穷多,显然都落在U(a,0)之外，所以n2不以任何a为极限。即数列n2发散。

例６设limxnlimyna，作数列：求证limzna。zn:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,，n

n

n

证 由limxnlimyna，故0，数列xn和yn中落在U(a;)之外的项至多只

n

n

有有限项，所以zn落在U(a;)之外的项也至多只有有限项，故由定义1得limzna。

n

例７ 设an为给定的数列，减少或改变有限项之后得到的数列，bn为对an增加、求证：数列bn与an同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。

证 设an为收敛的数列，且limana，按定义1，0，数列an中落在n

U(a;)之外的项最多只有有限项，而数列bn是对an增加、减少、改变有限项之后得

到的。故数列bn与an同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。

三 小结

本课时的主要内容要求：

① 使学生逐步建立起数列极限的N定义的清晰概念。② 会应用数列极限的N定义证明数列的有关命题。③ 能运用N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。

第四篇：理论真空和极限真空的概念区分

理论真空和极限真空的概念区分

其实这两个概念相差很远，只是有几个同事都问过我同样的问题，所以干脆写几句。

所谓“理论真空”就是指最理想的真空状态，比如，某密闭容器中一个气体分子都没有，气体压力绝对等于零，这种状态就是最理想的真空状态，这就是平常说的“理论真空”，仅在理论上存在，实际上不可能存在。

“极限真空”完整名称是“极限真空度”，是指微型真空泵能达到的最大真空度。比如，某台抽气能力很弱的微型真空泵，它经过无限长的时间也只能把密闭容器内的气体压力由常态的100KPa降到95KPa，那么95KPa就是这台泵的极限真空度，比如成都气海公司生产的PM950.2。再比如，有一台抽气能力很强的微型真空泵，它可以把气压由100KPa降到10 KPa，那么10KPa就是这台泵的极限真空度，比如成都气海公司生产的VCH1028。

“极限真空”是真空泵的一个重要参数，是反应泵抽气能力的特性值，是与真空泵相关的一个数值，不同的真空泵可以有不同的“极限真空”度。而“理论真空”是理论研究时的一个概念，是排除各种实际因素的影响而提炼出的一种最理想的真空状态。

第五篇：函数、极限、连续 易混淆概念总结

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《高等数学》易混淆概念

一、函数、极限、连续

1.1 无界变量一定是无穷大量吗？

答：不一定是．

xXD 无界变量：设函数f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得f(x)M，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数f(x)在X上无界；也就是说如果对于任何正数M，总存在x1X，使f(x1)M，那么函数f(x)在X上无界．

无穷大量：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数（或正数X），只要x适合不等式0xx0（或xX），对应的函数值f(x)总满足不等式f(x)M，则称函数f(x)为当xx0（或x）时的无穷大．

注意相互关系: 无穷大变量一定是无界变量, 无界变量不一定是无穷大变量.根据以上叙述, 很容易举出无界变量不一定是无穷大变量的反例:

例1.1．fxx,gxx,xn，limfxlimx，即当 x时, x0,xnx

fx是无穷大量；对于gx, 当x时, gx的值总可以大于任何的正数M, 但是也总有可能等于0 gn0.所以当 x时, gx是无界变量但不是无穷大量.例1.2． 当 gx时, fxxsinx是无界变量, 不是无穷大量.1.2 当a0时，limf(x)a，可以推出limf(x)a成立；反之，若limf(x)a，x0x0x0

可以推出成立limf(x)a吗？当a0的时候呢？

x0

答：当a0时，反过来是不一定成立的．例如：若an则此时an的绝对值极限为1，而本身极限不存在．

1n为偶数,1n为奇数

当a0时，limf(x)alimf(x)a，并且对于任意的极限过程都是成立的．

x0

x0

1.3 设xnznyn，且lim(ynxn)0,则limzn一定存在吗？

n

n

答：不一定存在．

分析：若limxnlimyna0，由夹逼定理可得limzna0．取，n

n

n

xn(1)n,yn(1)n,zn(1)n，则xnznyn，且lim(ynxn)0，nnn

但limzn不存在．遇到此类问题一定要会用反例．

n

1.4 和函数的极限一定等于函数的极限和吗？答：不一定．

例1.3： lim（12n

...)22nn2n1nn2nnn12n

lim2lim2...lim2 nnn1nnn2nnnn00...00，对吗？显然不对．原因在于：错用了极限的运算法则中“和的极限等于极限的和”，这一法则只适用于有限项的和，不适用无限项的和．

正确答案：因为，12n12n

...... 222222

nnnnnnnnnnn1nn2nnn

12n22...2所以，nn1nn1nn1



n(n1)12nn(n1)

... 22222

2(nnn)nn1nn2nnn2(nn1)n(n1)n(n1)1

lim，故由夹逼准则得，n2(n2nn)n2(n2n1)2

lim（n

而，lim

12n1

...)

n2n1n2n2n2nn2

例1.4：求极限lim

1nn

...2

解答：因为，lim1nn

...lim

n



kn

n

k1

limf()xk

nnnk1

其中，f(x)xk所以，原式



n，













x cosdx

2

如何求此类函数的极限值呢？通常有两种方法：

①用“夹逼准则”，适当的“放大”和“缩小”所求的式子，求出其极限．如例1.3； ②用“定积分定义”，把所求的式子看做是某个函数在某个区间上的积分，利用积分求出其极限值．如例1.4．

1.5 函数乘积的极限等于各个函数极限的乘积吗？

答：不一定．只有当各个函数的极限都存在时，该命题才成立．

x2sin

例1.5：lim

x0

sinx

limx

x0

limsin0，对吗？ x0xlimx0x

这样做的错误在于limsin

x0

不存在，从而不能利用“函数乘积的极限等于极限的乘积”x

这一结论．正确的做法：

因为limxsin

x0

1sinx=0，（无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量）．而lim=1，所

x0xx

以，原函数极限为0.虽然结果一样，但是也要运用正确的求解方法求解．

1.6 含参数的数列极限中常见的问题.例1.6： lim

1e

n1，这样做对吗？ nxn1elim(1enx)

n

nx

lim(1enx)

这样做是不对的，错误在于，忽视了对参数取值范围的讨论.enx)1enxlim(1n

正确解答，当x0时, lim1.nxn1enxlim(1e)

n

当x0时, lim

1e

nnxnx1 nxn1elime(e1)

n

nx

limenx(enx1)

注：含参数数列或函数求极限时，注意对参数进行讨论．

1.7 如果函数极限不存在，那么极限一定是无穷大吗？答：不一定．

当xx0（或x）时的无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．

x1

例1.7：函数f(x)0

x1

x0x0x0，当x0时f(x)的极限不存在．

1.8如果limf(x)0，那么是否有lim

xx0

xx0

？ f(x)

答：不一定．

x

例1.8：f(x)

0

x为有理数lim，则x

x0

x为无理数

f(x)0，但由于1

f(x)

在x0的任一

邻域的无理点均没有定义，故无法讨论

在x0的极限． f(x)

结论：如果limf(x)0，且f(x)在x0的某一去心邻域内满足f(x)0，则

xx0

xx0

li11

．反之，f(x)为无穷大，则为无穷小． f(x)f(x)

1.9 求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等，遇到间断点求极限要注意左右极限是否相等．

例1.9：求极限lime,lime

x

x0x

1x

解：limex,limex0，因而x时ex极限不存在．

x

x1x

lime0,lime，因而x0时e极限不存在．

x0

x0

1x1x

1.10 利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．

tanxsinx

x0x3

tanxsinxxx

lim0解：lim33x0x0xx

例1.10：求极限lim

利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．

若~',~',则~''.考察这个命题，

limlimlim，当1时,这个命题是真命题；当

11

时,命题是假命题． 1





对于例1.10，因为，sinx,tanx,''x，lim所以，证明的结论是错误的．正确解答:

sinxlim1 x0x0tanx

x2x

tanxsinxtanx(1cosx)1.limlimlimx0x0x0x3x3x32

sin(x2sin 例1.11：求lim

x0x

sin(x2sin)x2sin

limlimxsin10 错误解答: lim

x0x0x0xxx

错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：

11

sinx2sinx2sin,x0

xx

而根据无穷小的比较的定义，当x取所以不能用等价无穷小的代换．

正确解答：当x0时，111(nZ)时，sin(x2sin)和x2sin均为0，nxx

11sin(x2sin)x2sin

11x0(x0)sin(x2sin)x2sinx2，xxxx

所以，由夹逼准则知原函数极限为0．

sinx

xx

解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1．

sinxsin

应该为：lim0.xx

例1.12：求极限lim

注意：

（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式来求极限．

（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换．

1.11 函数连续性的判断

（1）设f(x)在xx0间断，g(x)在xx0连续，则f(x)g(x)在xx0间断．而

f(x)g(x),f2(x),f(x)在xx0可能连续．

0

例如，设f(x)

1

x0，g(x)sinx，则f(x)在x0间断，g(x)在x0连续，x0

f(x)g(x)f(x)sinx0在x0连续．

1

若设f(x)

1

x0，f(x)在x0间断，但f2(x)f(x)1在x0均连续． x0

（2）“f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件．

xa”可得“如果limf(x)f(x0)，则分析：由“若limf(x)a，则limf（xx0

xx0xx0

xx0

limf(xfx(0)”，因此，f(x)在x0点连续，则f(x)在x0点连续．f(x)

在x0点连续并不能推出f(x)在x0点连续．

（3）(x)在xx0连续，f(u)在uu0(x0)连续，则f((x))在xx0连续．其余结论均不一定成立．

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