案例《两角和与差的余弦》

第一篇：案例《两角和与差的余弦》

浅谈数学概念教学中的“核心问题”

——从《两角和与差的余弦》教学说起

运用问题组织课堂教学是教师经常使用的方式，优秀的教师都很善于运用问题去激发和聚合学生的学习活动。当然，问题的设计成为教学成败的关键，在许多课堂中，有大量无效问题而使学生思维活动受助，严重地影响着教学质量的提高。这就需要我们着力研究解决。

在数学概念教学中，反映概念本质属性、贯彻主题、明确任务的问题，我们一般称为“核心问题”。它属于课堂教学的问题，但赋予了新的含义。具体来讲，所谓概念教学“核心问题”是指在概念的认知过程中，既反映知识的发生发展过程、知识本质，又整合学习的重点内容，激发学生自主活动，还能贯穿整节课的主要问题或任务。课堂教学前，教师应该根据课程要求、结合学生实际，认真分析教材内容，积极设计有效的“核心问题”，一般应该形成“核心问题串”；课堂教学中，注意以“核心问题”组织课堂活动：（1）概念的引入。学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义，作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概念体系的发展过程引入，一类是从解决实际问题出发的引入。（2）概念的形成。教师可以通过大量典型、丰富的实例，让学生进行分析、比较、综合等活动，揭示概念的本质。（3）概念的概括。概括是概念教学的核心。概括就是在思想上把从某类个别事物中抽取出来的属性，推广到该类的一切事物中去，从而形成关于这类事物的普遍性认识。概念教学中把握好概念括概念这一环节，有利于学生概括能力的培养。概括概念就是让学生通过前面的分析，比较，把这类事物的共同特征描述出来，并推广到一般，即给概念下了个定义。（4）概念的验证。结论的正确性需要科学的论证。（5）明确概念。明确概念即明确概念的内涵和外延。明确概念，就是要明确包含在定义中的关键词语。（6）应用概念。在掌握概念的过程中，为了理解概念，需要有一个应用概念的过程，即通过运用概念去认识同类事物，推进对概念本质的理解。这是一个应用于理解同步的过程。（7）形成良好的数学认知结构。学习了一个新概念后，一定要把它与相关的概念建立联系，明确概念之间的关系，从而把新概念纳入概念体系中，即在概念体系中进行概念教学。下面以《两角和与差的余弦》一课为例来谈谈。

《两角和与差的余弦》这节概念课的核心问题是已知两个角的正、余弦值，如何求他们和与差的余弦值的问题。

如何设计这节课的核心问题？我是从这几点进行设计的。

1、概念引入中，核心问题的情境创设要具有真实性与仿真性（设计指向）

情境的真实性，首先是外部问题情境的真实性：核心问题的背景尽可能与学生身边真实的或仿真的生活情境、社会情境等相联系。其次是内部问题情境的真实性：问题是学生个体的真问题，而且是学生没见过、没想过、没参与过、没体验过的，或者能促进学生内心真实地形成一种悬而未决、又力图解决的认知冲突状态。

所以在引入部分我是这样提出问题的：(物理问题)2牛顿的力将一物体沿着光滑水平面位移了0.5米，力和位移所成角为15，试求该力所做的功。

学生会疑惑的看着老师，并报出答案：cos15。00

老师再问：准确值是多少呢？为什么等于620呢？如何求cos15？ 42、概念形成中，核心问题的解决活动要构成旧知与新知的桥梁（设计指向）

核心问题的解决活动应该构成一个旧知与新知的桥梁，当我们所设计的核心问题进而解决要求将已有的知识应用于新的实际问题解决中时，学生的内部问题情境就能顺利地产生。这样的情境可以帮助学生意识到自己原有知识不足以解决新的问题，从而激发学生对新知识的兴趣，激发学生对新知识的探索欲望。

上面的问题一抛出大部分学生提出用计算器，教师追问计算器是根据什么原理把一些非特殊角的三角比值算出的呢？

教室里立刻安静下来。

当学生束手无策时，教师适时提醒到，当我们遇到一个新问题无法解决时，可以想一想能否将问题转化问已解决的问题。15的三角比值我们不知道，但我们知道30,45,60等特殊角的三角比值。于是学生很自然的想到cos15cos(4530)cos(6045)，这

已知两个确定角的三角比值，如何求它们和与差的三角时老师提出我们这节课的教学目标：

比值呢？这节课来探究余弦值。

3、概念概括中，核心问题设计要具有层次性、可操作性和恰当的开放性（设计指向）力和知识水平参差不齐，在解决核心问题过程中，不同层次水平的学生解决问题的能力也不同。因此核心问题的设计要照顾到各种层次的学生。同时，核心问题也要具有可操作性，既不能太简单也不能太难。核心问题的提出既能使学生产生认知冲突，又能让学生觉得自己通过努力能解决，这样就会产生主动解决问题的愿望和调动积极地思维活动。核心问题的结构应具有开放性特征，不但一个问题之中多处呈现开放状态，而且解决路径和解决评价标准也往往是开放性的，给学生以足够的活动空间。

问题的设计太难学生会受阻失去信心，所以在探究公式过程中设计方案是：由特殊到一般。介于学生已知道cos15的值，所以教师提出两个问题

问题1：cos(4530)cos45cos30成立吗？ 00000000000000

30的三角比值，观察比照，试想它们是否有关系，如问题2：根据cos15的值及

45、果有，又是怎样的关系呢？

把核心问题特殊化启发学生思考，降低思维难度，调动学生的思维积极性。

学生猜想的结果有：

1、cos15cos4530000000

cos450cos45cos30 2002、cos15cos4530000sin450

cos45cos30 2003、cos15cos4530000

cos450 sin45cos302004、cos15cos4530000sin450

sin45cos30200

00005、cos15cos(4530)sin45cos30cos45sin30 0006、cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30 00000007、cos15cos(6045)

再从特殊到一般把学生的思维层次提高。你猜想的结论对任意角都成立吗？ 000

30，请写出它们对应的一般式，并判断这些等式对于任意角都成即设45，立吗？

合作交流，最终发现cos()coscossinsin，没有找到反例。

所以猜想：cos()coscossinsin。00

)coscossinsin中学生初步的体会、的任意性。（在举例论证cos（）

4、概念的验证，核心问题的解决应具有科学性，准确性。

猜想并不是论证，举不出反例并不能说明它没有反例。要想说明结论的正确性必须给出科学的证明。

在上海版采取的是“坐标法”证明，这对于学生而言是陌生的，为了让学生能联系到建立直角坐标系，教师引导到：在初中我们学习了锐角三角比，到高中角的范围得到推广，推广到任意角，即任意角的三角比。锐角三角比的求解离不开直角三角形，那任意角的三角比的求解呢？离不开直角坐标系。同时复习任意角的三角比的定义„„。根据定义由角的终边上除原点外一点坐标可得这个角的三角比值，反之由角的三角比值及点到原

ysinxrcosr22点的距离r得点的坐标，即（其中rxy0）。即点Ayrsincosx

r的坐标为rcos,rsin。即角终边上到原点距离为r的点的坐标为rcos,rsin。特别注意角的始边位于x轴的正半轴。由此就想能否把代数证明转化为几何证明（数形结合）呢？大家先试试能否证到cos(4530)cos45cos30sin45sin30。观察等000000

式的特点，这是一个三角等式，一看角二看名。角有哪些？名有哪些？在直角坐标系中它们分别代表着什么？有着怎样的关系呢？

这时可进行小组合作交流方式探究学习。由于问题设计比较具体化学生便于探究，所以学生的积极性被调动起来了，每个学生都在积极的参与，效果很好。由于特殊情况的公式论证已攻破，有特殊到一般学生的学习方便了很多。

5、明确概念中，核心问题应能揭示问题的本质。

两角差的余弦公式的本质为：1）从内涵上说，它揭示了两角差的余弦等于这两个角的余弦之积与这两个角的正弦之积的和。2)从外延上说，由于角的任意性，我们可推断得两角和的余弦公式。当然还有后面即将学的两角和与差的正弦公式。

6、应用概念中，核心问题应具有实践性

理论来自于实践，最后还需回到实践中去，所以问题的解决不是结束，而是新的开始。在实践中我举出了这样一个典型例题：“若0

2，0

2，且

cos()41”这个题目一般有两种解法。一种是 2，sin，求cos的值。93

4cos()coscossinsin29解方程组2，但计算量大且可能会产生增 2sincos1

根。还有一种就是“拼凑角”，即

coscos[()]cos()cossin()sin。由于整节课的核心问题是如果我们已知两个角的各一个的三角比值及它们的终边位置，那我们能否求出它的和与差的余弦值。所以分析这道题目的特点，学生很快的想到的了第二种解法。

7、形成良好的数学认知结构。核心问题应使学生的知识网络更完善。

在课堂小结时除了知识和方法的小结，还引导学生分析公式的特点，要求cos()只要求、的正弦或余弦值，而根据同角三角比的关系，只要知道、的一个三角比值即可。再有同角三角比的关系研究的是同一个角的不同三角比之间的关系，而两角和与差的三角比研究的是由两个已知角派生出一个新的角，这个角的三角比与原来这两个角的三角比之间的关系。从研究的对象来看，角的研究范围更宽了等等。

通过这节课的教学实践，我进一步认识到数学是以问题为灵魂，数学的“核心问题”教学是以数学核心问题来调动学生的学习活动，以核心问题激发学生认知冲突，求知欲望，从而调动学生的独立思考和主动探究，进行“核心问题”的解决。师生围绕着共同的“核心问题”，齐心协力共同探究解决问题。其中运用“建构主义的思想”和“缄默知识的理论”。而核心问题是根据教学的主要内容精心设计和挑选的一个中心问题或中心任务，核心问题既要兼顾到各种层次的学生的学习活动，又要能调动学生各种层次上的思维活动，其解决活动几乎贯穿整节课。这节课中的其他问题都是与之存在逻辑联系的派生问题，派生问题也是经过精心挑选并按一定序列整合起来的，其解决是围绕着核心问题的解决而进行的。这样就使得教学活动有了明确的主线，学生的思维活动也有了连贯性和层次性。

第二篇：两角和与差的余弦教学设计

昌邑一中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

3.1.1 两角和与差的余弦教学设计

昌邑市第一中学

徐保国

教学目标：

1.经历向量的数量积的推导两角差的余弦公式过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数之间的联系；

2．掌握两角和与差的余弦公式；

3．能用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值.教学重点：

两角和与差的余弦公式.教学难点：

两角差的余弦公式的推导.教学过程：

一、情景创设、学生活动

问题1：1.单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？

→→2.你能用哪几种方法计算OA·OB的数量积？

3.根据上面的计算可以得出什么结论？

学生讨论.（学生可以从几何层面进行证明）。

二、建构数学 问题3：

总结公式： 比较和差余弦公式；

四、简单运用

sin15°，例1：利用两角和（差）的余弦公式，求cos75°，cos15°，tan15°.例2：利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式.（1）；

（2）.例3：给角求值

例4：给值求值（关键是寻求已知角与待求角之间的关系）。

五、回顾小结

昌邑一中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

两角差的余弦公式:(C())cos()coscossinsin两角和的余弦公式:(C())cos()coscossinsin

思考：如何用、的三角函数表示sin(),sin()?

六、作业

第三篇：两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案

两角和与差的余弦、正弦、正切

教学目标

知识目标：两角和的正切公式；两角差的正切公式 能力目标：掌握T（α＋β），T（α－β)的推导及特征；能用它们进行有关求值、化简

情感态度：提高学生简单的推理能力；培养学生的应用意识；提高学生的数学素质 教学重点

两角和与差的正切公式的推导及特征 教学难点

灵活应用公式进行化简、求值.教学过程

Ⅰ.复习回顾

首先，我们来回顾一下前面所推导两角和与差的余弦、正弦公式.(学生作答，老师板书)sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））

要准确把握上述各公式的结构特征.Ⅱ.讲授新课

一、推导公式

［师］上述公式结合同角三角函数的基本关系式，我们不难得出： 当cos（α＋β）≠0时

tan（α＋β）＝sin()sincoscossin cos()coscossinasin如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我们可以 将分子、分母都除以cosαcosβ，从而得到： tan（α＋β）＝tantan

1tantan不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系.同理可得：tan（α－β）＝tantan

1tantan或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系.所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式，简记为T（α＋β），T（α－β）.但要注意：运用公式T（α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于因为tan（＋kπ）不存在.2＋kπ（k∈Z）.2二、例题讲解

［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.解：tan75°＝tan（45°＋30°）＝tan45tan30

1tan45tan30 313＝=2+3 313tan15°＝tan（45°－30°）

3tan45tan30323 ＝＝1tan45tan303131［例2］求下列各式的值（1）tan71tan26

1tan71tan261tan275（2）

tan75(1)分析：观察题目结构，联想学过的公式，不难看出可用两角差的正切公式.解：tan71tan26

1tan71tan26＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1(2)分析：虽不可直接使用两角和的正切公式，但经过变形可使用之求解.解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝1tan2751tan275得：＝2²

tan752tan752tan75

1tan275＝2²1＝2cot150° tan150＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－23 ［例3］利用和角公式计算1tan15的值.1tan15tan45tan15

1tan45tan15分析：因为tan45°＝1，所以原式可看成这样,我们可以运用正切的和角公式，把原式化为tan（45°＋15°）,从而求得原式的值.解：∵tan45°＝1 ∴1tan15tan45tan15

1tan151tan45tan15＝tan（45°＋15°)＝tan60° ＝3

课后作业

课本P41习题4.6 4，6

第四篇：《两角和与差的正弦余弦和正切公式》教学设计（范文）

三角函数式的化简

化简要求：

1）能求出值应求值?

2）使三角函数种类最少

3）项数尽量少

4）尽量使分母中不含三角函数

5）尽量不带有根号

常用化简方法：

线切互化，异名化同名，异角化同角，角的变换，通分，逆用三角公式，正用三角公式。

例

1、三角函数式给值求值：

给值求值是三角函数式求值的重点题型，解决给值求值问题关键：找已知式与所求式之间的角、运算以及函数的差异，角的变换是常用技巧，给值求值问题往往带有隐含条件，即角的范围，解答时要特别注意对隐含条件的讨论。

例

2、三角函数给值求角

此类问题是三角函数式求值中的难点，一是确定角的范围，二是选择适当的三角函数。

解决此类题的一般步骤是：

1）求角的某一三角函数值

2）确定角的范围

3）求角的值

例3.总结：

解决三角函数式求值化简问题，要遵循“三看”原则：

①看角，通过角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，尽量向特殊? 角和可计算角转化，从而正确使用公式。

②看函数名，找出函数名称之间的差异，把不同名称的等式尽量化成 同名或相近名称的等式，常用方法有切化弦、弦化切。

③看式子结构特征，分析式子的结构特征，看是否满足三角函数公式，若有分式，应通分，可部分项通分，也可全部项通分。

“一看角，二看名，三是根据结构特征去变形”

第五篇：两角和与差的余弦函数、正弦函数教学设计

数 学 学 案

两角和与差的 余弦函数、正弦函数

【问题情境】

1.求cos150=＿＿＿,cos750=＿＿＿。（提示：150=450-300，750=450+300）

思考：已知角，的正余弦函数值，如何求-，+的正余弦函数值？ 【新知探究】

1.已知0<<<，则角的终边与单位圆的交点P1的坐标为＿＿＿＿,向量OP1的坐标为＿＿＿＿；角的终边与单位圆的交点p2的坐标为＿＿＿＿, 向量OP2的坐标为＿＿＿＿，根据

①平面向量的数量积公式

OP1·OP2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ 2②平面向量的数量积的坐标表示公式

OP1·OP2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？

求cos(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ 应用：求cos150=＿＿＿。

2.当角，为任意角时，求cos(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ 【合作探究】 试根据cos(-)，求

① cos(+)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？(提示：cos(+)=cos[-(-)])② sin(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？（提示：sin(-)=cos[-(+)]）③ sin(+)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？

说明：cos(-)常记作C，cos(+)常记作C sin(+)常记作S，sin(-)常记作S 【知识应用】

1.求cos750，sin750，cos150的值。

变式练习： 求值：（1）cos 530 cos230+ sin 530 sin 230；

（2）cos(+)cos+ sin(+)sin。

2442.已知sin=，(,), cos=-的值。

4525，求cos(-)，cos(+)133.已知sin=-，是第四象限的角，求sin(-)，cos(+)的值。3544