现代数学专题选讲学习报告格式

第一篇：现代数学专题选讲学习报告格式

《现代数学专题选讲》学习报告格式

一、标题（二小黑体加粗）

二、学生姓名：×××指导老师：×××（小四号，宋体）

三、电子科技大学应用数学学院2006级××××专业×班（小五号，宋体）

四、摘要（200-250字）（小五号，宋体）

五、关键词（3-5个）（小五号，宋体）

六、正文(300-6000字)（五号，宋体）

1、引言

2、主题内容

3、结束语（内容总结）

七、参考文献

示范论文

拓扑学在混沌等价刻画与函数连续性研究

中的一些应用

学生姓名：×××指导老师：×××

（电子科技大学应用数学学院2006级××××专业××班，学号××××××）

摘要 本文将Devaney混沌定义推广到一般拓扑空间, 利用拓扑空间结构简单性, 发现并且证明了Devaney混沌映射的周期点与拓扑空间的开集之间的本质联系: 连续自映射是Devaney混沌的当且仅当任何二非空开集共享同一周期轨.并且用类似的方法, 在数学分析中得到了函数连续的一个充要条件.通过这两个实例, 在一定程度上说明了点集拓扑在数学教学与研究中的重要性.关键词 拓扑空间 连续映射 混沌 周期轨 逆像

半个世纪以来, 拓扑学一直被誉为现代数学的“三大基础”之一.各重点高校的数学专业(无论是本科数学专业还是研究生)都始终不移将其作为是一门专业基础课程.然而, 作为新步入数学专业的普通数学工作者自然要问:

问题1 为什么拓扑学是数学的一门基础课程?

问题2 拓扑学对数学研究和大学数学课程的教学究竟有何指导作用?.关于问题1, 人们可以在学习了拓扑学的基础内容(点集拓扑)之后, 在继续学习《泛函分析》、《微分几何》（整体）、《动力系统理论》、《非线性分析》等数学理论课程的过程中逐步地寻找到答案。本文就拓扑学在混沌理论研究以及数学分析中连续函数性质研究谈两点体会.§1 点集拓扑在混沌数学理论研究中的应用

1975年，Li-Yorke第一次间接地给出了混沌（chaos）的严格数学定义如下：

Li-Yorke混沌定义[1] 设J是一个区间，f:JJ是一个连续映射，如果满足下列条件被满足：

T1：对于任何自然数k，f有k-周期点；

T2：存在一个不可数集合SJper(f)使得下列二条件成立：

(2.1）p,qS: pq 都有

limsup|fn(p)fn(q)|0,且liminf|fn(p)fn(q)|0;nn

(2.2)pS, qper(f), 有limsup|f(p)fn(q)|0.nn

则称f:JJ是Li-Yorke意义下的混沌映射.其中: per(f)是f的周期点集.由于混沌现象在现实世界中无所不有，因此，自Li-Yorke混沌定义给出以来就倍受各领域的普遍关注.但这定义在应用研究中存在有如下两方面的不足:

(A1)映射是在区间上定义的, 适用范围太狭窄;

(A2)这定义是高度抽象的数学定义,缺乏直观性,不利于工程应用.为克服（A1）在混沌研究中带来的困难，1987年，周作领在文献[2]中将上述Li-Yorke定义推广到度量空间并且对其作了如下修正:

周氏混沌定义 对于度量空间X, 若存在不可数集SXper(f)使得x,yS:xy,nnnn有limsupd(f(x),f(y))0并且liminfd(f(x),f(y))0, 则称f是一个混沌映射.nn

为克服(A2)在应用研究中的不足, 1989年, R.L.Devaney对混沌作了如下更直观的定义： Devaney混沌定义[3] 设X是一度量空间，一个连续映射f：XX称为是X的一个混沌映射(chaos mapping)，如果下列三条件被满足:

（ⅰ）f是拓扑传递的.（ⅱ）f的周期点在X中稠密.（ⅲ）f具有对初始条件的敏感依赖性.其中: 条件（i）, 称映射f是拓扑传递的, 如果对于X上一切非空开集U和V, 存在整数 k0使得fk(U)V;条件(ii)就是Per(f)X, 其中Per(f)是f的周期点集Per(f)的闭包;关于条件(iii), 我们称f是对初始条件的敏感依赖的, 如果存在实数0, 对于xX及x的任何开邻域U(x), 存在yU(x)和自然数n使得d(fn(x),fn(y)).这里, d为X上度量, 为非负整数集.混沌的周氏定义与Devaney定义都是建立在度量空间的基础上的.因此, 这两个定义是否等价自然成为人们关注的热点问题.2002年, 文献[4]对于紧度量空间证明了: Devaney混沌意味着周氏混沌.2001年, 文献[5]在区间I[0,1]上如下等价刻画

定理1.1[5]fC0(I,I)为混沌（Li-Yorke）的充要条件是存在x,yI使得

limsup|fn(x)fn(y)|0,并且liminf|fn(x)fn(y)|0.nn

在此, 一个自然的问题是: Devaney混沌是否象Li-Yorke混沌一样有类似于上述定理1的充分必要条件?

令人庆幸的是: 早在1992年Banks等人在文献[5]证明了：在Devaney定义中,条件（ⅰ）和（ⅱ）可以推出（ⅲ），而（ⅰ）和（ⅱ）是不可去的.由于Banks等人的这一工作, 而今, 使我们很容易地将Devaney混沌定义在拓扑空间上作如下推广：

定义1.1 设X是一个拓扑空间，连续映射f：XX称为在X上是Devaney混沌的，如果它是拓扑传递的并且其周期点集在X中稠密.这种数学的再度抽象使Devaney混沌彻底地脱了离度量的限制.进而,让我们看到: Devaney混沌有望到更为广泛的一类空间(拓扑空间)中去建立自身理论.由于拓扑空间研究只涉及开集、闭集、映射等基本数学内容，虽然能使用的数学工具很少，但是当问题完全置身于拓扑空间后，无疑这问题就得到简化、变得单纯而清澈见底.为说明这一点, 现在,我们以定义1为例来探究当前国内外学者都努力想得到的Devaney混沌的充要条件.事实上, 按照定义1, 映射f:XX的Devaney混沌性满足拓扑传递的和周期点集稠密两个条件.(B1)拓扑传递是指: X中任何非空开集U和V, 都存在自然数k使得fk(U)V;(B2)周期点稠密是指: per(f)X.由此,我们很容易看到: 定义1实质上描述的是X的任意二非空开集与f的周期点之间的关系.于是, 我们自然会问:

问题1.1 当映射f满足定义1时, X的任何二非空开集会享用同一周期轨吗? 更确切地讲,X中任何非空开集U和V, 一定存在xper(f)使得UO

f(x)且VOf(x) 成立

吗?

问题1.2 如果对于X中任何非空开集U和V, 都存在xPer(f)使得UO

f(x)且

UO

f(x)成立, 则(B1)和(B2)一定同时成立吗?

综合问题1和问题2, 引导我们去证明下面的定理.定理1.2 设X是一个拓扑空间，则连续映射f:XX是Devaney混沌映射的充分必要条件是X的任意两个非空开子集享有同一周期轨.证明()设U和V是X上的任意两个非空开集.因为f是拓扑传递的, 则xU, k使得fk(x)V.令Wfk(V)U，则W是点x的一个开邻域.又因per(f)=X, 故Per(f)W.于是, yper(f)使得yWU并且fk(y)V.因此，U与V享有同一周期轨O

f(y).().设U与V是X中两非空开集.因为U与V享有同一个周期轨, 故xper(f)

使得fk1(x)U并且fk2(x)V.不妨使得UO

f(x)且VOf(x).即k1,k2

设k1k2, 令rk2k1并记fk1(x)y, 则r并且fr(y)fk2(x)frU()V.故fr(U)V, f是拓扑传递的.另一方面, 对于xX,UU(x),取开集VX,由已知,U与V共享同一周期轨.所以,xPer(f),k使得xU并且fk(x)V.进而,Per(f)U.即Per(f)X.因此, 映射f是Devaney混沌映射.□.这样,我们就用点集拓扑方法发现并且证明了:Devaney混沌映射的一个充要条件.下面,我们利用这个充要条件在度量空间与实数区间上的推论来结束这一节的讨论.推论1.1 设X是一个度量空间X, 连续映射f:XX是Devaney混沌的充要条件是X中任何二开球都享有同一周期轨道.推论1.2 J是一个实数区间, 连续映射f:JJ是Devaney混沌的充要条件是J的任意二子区间都享用同一周期轨道.§2 拓扑学使函数连续的概念变得深刻

在《数学分析》中函数的连续性有如下定义:

定义2.1[6] 设函数f(x)在点x0的某邻域中有定义.称函数f(x)在点x0是连续的, 如果xx0limf(x)f(x0), 即0, 0, 当|xx0|时, 恒有|f(x)f(x0)|.如果记B(x0,)={x:|xx0|}, B(f(x0),)={y:|yf(x0)|}, 则不难得知:xx0limf(x)f(x0)当且仅当0,0使得f(B(x0,))B(f(x0),).定义2.2[6] 称函数f(x)在开区间(a,b)是连续的, 如果f(x)在(a,b)中每一点都连续;称函数f(x)在闭区间[a,b]是连续的, 如果f(x)在开区间(a,b)连续且limf(x)f(a), xa

xblimf(x)f(b).同理, 定义f(x)在区间[a,b)和(a,b]的连续性.现在, 用类比的方法将上述连续性概念推广(抽象)到一般拓扑空间.定义2.3 设X,Y是二拓扑空间, x0X, 映射f:XY称为在点x0是连续的, 如果VU(f(x0)), UU(x0)使得f(U)V.其中: U(x)与U(f(x0))分别表示点x0与点f(x0)的开邻域系.定义2.4 设X,Y是二拓扑空间, 映射f:XY称为是连续的, 如果它在X上每一点都连续.即, 映射f:XY连续当且仅当xX, VU(f(x)), UU(x)使得f(U)V(即, Uf1(V))..现在认真观察定义2.4: 当f:XY连续时, 对于Y中任何开集V, 如果f1(V)(空集), 则xf1(V), 有VU(f(x)), 由f:XY的连续性知, UxU(x)使得Uxf1(V).因此, f1(V)xf1(V){x}xf1(V)Uxf1(V).于是, 我们惊喜地发现: f1(V)xf1(V)Ux是X中的一个开集.即, 连续映射使得开集的原像仍然是开集.在此, 下列逆问题自然产生:

问题2.1 对于二拓扑空间之间的映射f:XY, 如果Y中任何开集的逆像都开于X, 则f一定(按定义2.4)连续吗?

于是, 这引导我们去证明下一定理:

定理2.1设X,Y是二拓扑空间, 映射f:XY是连续的充分必要条件是Y中任何开集的逆像都开于X.证明: 必要性在上面的观察与分析过程中已经得到证明.下面, 只证充分性.事实上, 对于xX, VU(f(x)), 因为f(x)V, 则xf1(V).再由已知, f1(V)是X中开集.所以, f1(V)U(x).即, Uf1(V)U(x)使得f(U)V.由定义2.4, f:XY连续.□

对照文献[7]第47页拓扑空间上连续映射的的定义, 从上面定理2.1, 我们清楚地看到:《数学分析》教材中函数的连续性与拓扑空间上映射的连续性等价的（完全一致的）.下面的推论将带给我们对《数学分析》函数的连续性更加深刻的认识:

推论2.1 函数f(x)在实直线上连续的充要条件是任意开区间的逆像都是一些开区间的并集.证明：()因为实直线上的任何开集都是一些开区间的并集, 故对于上的任何开集V, 都存在开区间集{}使得V.因为, f1()为一些开区间并.故f1(V)=f1()也是一些开区间的并.因此, f1(V)为开集.故f连续.()设f在上连续, 对a,b[,]: ab, 由定理2.1的必要性, f1((a,b))是开集.即, xf1((a,b)), x0使得(xx,xx)f1((a,b)).所以, f1((a,b))xf1((a,b))(xx,xx).□

推论2.2函数f(x)在区间J上连续的充要条件是任意开区间的逆像都是一些开区间的并集与区间J的交集.同样,文献[8]中上、下半连续函数，也容易作如下推广

定义2.5设X是一个拓扑空间，x0X，映射f:X称为是在点x0上（下）半连续的，如果0，UU(x0)使得U(,f(x0))（U(f(x0),)）;映射f:X称为是上（下）半连续的，如果它在X中每一点都上（下）半连续.用类似于定理2.1的方法，容易得知：

定理2.2 f:X上半连续当且仅当a，逆像f1((,a))开于X；f:X 下半连续当且仅当a，逆像f1((a,))开于X.于是，对于拓扑空间X的映射f, 我们应用定理2.1和定理2.2, 得到如下结果:

定理2.3 函数f:X是连续函数当且仅当它是上半连续并且下半连续.这里, 当X取实直线上通常取间时, 定理2.3,就是数学分析中的结果.§3 结束语

上面, 我们将Devaney混沌在拓扑空间的推广以及《数学分析》中函数连续在拓扑空间上的推广，由于拓扑空间结构简单, 所推广对象的本质特征就变得非常特别清晰明朗.因此, 在这样的情况下, 我们抓住所涉及对象的本质特征, 就相对比较容易地得到该对象的等价刻画.作为特例, 这种等价刻画在原来的具体空间(例如:上面的度量空间或者实直线)是当然的真命题.因此, 这种方法无疑是推陈出新发现新结果的一种行之有效的方法.本文中, Devaney混沌的等价刻画(定理1.2)是用这方法得到新结果的最好说明.我们相信: 这个等价刻画在混沌的理论与应用研究中将会得到很好地作用.参考文献

[1] Tien-Yien Li, James Yorke.Period three implies chaos [J].Amer.Math.Monthly(1975)82.985-

992.[2] 周作领.紊动与全紊动[J].科学通报, 1987, 32(4):248-250.[3] R.L.Devaney An Introduction to Chaotic Dynanical Systems[M].Addioson-Wesey Redwood City Calif,1989.[3] Wen Huang, Xiangdong Ye..Devaney’s chaos or 2-scattering implies Li-Yorke’s chaos[J].Topology and its Applications,117(2002), 259-272.[4] 耿祥义.Li-Yorke 混沌的充要条件.数学学报.(2001)929-932.[5] J.Banks etal ,On Devaney Definition of Chaos Amer.Math.Mon 99.4(1992).334-334.[6] 陈纪修等.数学分析(上、下两册)[M].高等教育出版社, 2004年8月（第二版）.[7] R.Engelking.General Topology [M].Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1977.[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1993年5月(第1版).[9] 朱培勇，雷银彬.拓扑学导论[M].科学出版社，2009年1月

第二篇：大学数学选讲学习心得

大学数学选讲学习心得

大学数学选讲课是对高等数学课的提升和深化，老师针对重难知识点，结合考研真题和参考资料精题，细致向我们讲解。在解题的过程中，老师向我们传授了解题的不同思路角度，教会我们要学会举一反三，将知识点融会贯通。点拨启发式的教学激发着同学们学习的兴致，使我们受益匪浅。

大学数学选讲不仅对考研的同学有很大帮助，对像我这样不考研学习一般的学生也有益处。刚上大学时，高等数学我一度跟不上，总是云里雾里，后来抓紧学了一阵才有了些头绪。后来，我们学习的专业课如材料力学，结构力学等都用到了高等数学，才愈发感到它的重要性。现在大学数学选讲课，再一次让我面对高等数学，我的态度更加端正谨严。重温旧的知识点，在老师的点拨下，我能发现新的亮点，加深加固了我对知识点的理解和掌握。一题多解的解题过程，启发了我的解题思路，更是帮助我把许多知识点串联起来，增强了记忆。慢慢地，我从学习中找到了乐趣，对学习高等数学也有了信心，信心又激励着我不断探索，我发现学好一门课程树立信心很重要。

经过一学期的学习，我在高等数学的学习上也逐渐积累了一些经验体会。

我感受到大学数学的学习和中学数学的学习是不样的。在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。而现在，我不再有那么多需要识记的结论。唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。老师也不会给出固定的解题套路。因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一次提升理解力的好机会。

高等数学的学习目的不是为了应付考试，因此，我们的学习不能停留在以解出答案为目标。我们必须知道解题过程中每一步的依据。正如我前面所提到的，中学时期学过的许多定理并不特别要求我们理解其结论的推导过程。而高等数学课本中的每一个定理都有详细的证明。最初，我以为只要把定理内容记住，能做题就行了。然而，渐渐地，我发现如果没有真正明白每个定理的来龙去脉，就不能真正掌握它，更谈不上什么运用自如了。于是，我开始认真地学习每一个定理的推导。有时候，某些地方很难理解，我便反复思考，或请教老师、同学。尽管这个过程并不轻松，但我却认为非常值得。因为只有通过自己去探索的知识，才是掌握得最好的。

学习高等数学还要注意一下几点。

一． 走出心理障碍

我想学不好高数的大多数人都会说自己学习高数没有兴趣，学习高数确实枯燥乏味，面对的除了x,y,z别无他物。这些同学当中极大数是高中时的数学没有学懂，因此一上来就失去了自信心，自认为自己不行学不懂高数。为什么这么说呢？因为我也认为学习高数是很枯燥的事，尤其是在凳子上一坐两个小时，听着教授的讲解，这更像是在解读天书。虽是这样说，但是学习高数的兴趣是自己激发的。就拿

我来说吧，我曾经的数学学的并不好，高考时就因为数学没考好落榜，当时的心情可想而知，但来到大学看到高数课本时，刚开始自己也觉得很恐怖，因为在数学前边又加了“高等”二字，想想自己连“低等数学”都没学好，高等数学要怎么学呢？和大家一样，初来大学每天去占座，然后试着去认真听老师讲课，认认真真听了几节课下来，我对高数产生了“一点点”兴趣，觉得高数不过如此嘛，然后就越来越注重高数的学习。通过这个例子，我只想说对高数或者别的科目没兴

趣那只是心理作怪，因此要克服学习高数的困难应该先克服自己的心理，具体应该怎样克服这种心理难关呢?我认为最重要的是要找回自己的自信心，不要以为自己就学不好高数，不要以为自己就不是学习高数的料，你没试着认真的学，你咋知道学不好呢，因此学好高数我认为第一点就是要有自信心和专心的思考，这才是学习好高数的基础。

二． 注重学习方法

对于高数的学习，不同的人有不同的学习方法，我也建议大家能够总结出自己的一套学习方法，只有适合自己的学习方法才是最好的方法，下面我就简单介绍一下我的学习方法，我自认为不是最好的，但是最实用的。其实对于高数的学习很简单，学习数学首先就要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，大学数学与中学数学明显的一个差异就在于大学数学强调数学的基础理论体系，而中学数学则是注重计算与解题，所以：首先要尽快的适应这种差异，把思维放开了，不要太死板。然后就是要把握三个环节，提高学习效率：

1）课前预习：怎样预习呢？了解老师即将讲什么内容，相应的复习与之相关内容，把老师要讲的内容和与之相关的内容从头到尾看一遍，比如说老师要讲积分，那就把导数公式，微分复习一下，所谓的看并不是走马观花，要静下心来看，但看到预习的内容里有不懂的地方做个记号，老师讲课的时候肯定会讲到，因为高数老师可都是教授，学历和经验都很丰富。

2）认真上课：带着问题认真听课，一定要集中注意力，专心听讲，重点是注意老师的讲解方法和解题思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，因为听课是一个全身心投入----听、记、思相结合的过程，如果老师让做题那一定要动手去做，做题才能体现出你的掌握情况，如果有不懂的地方，那下课一定要积极主动地问老师，老师肯定很乐意的给你讲解，直到你听懂为止，还有一点在大学给老师留一个好的印象很重要，多向老师请教就是一个很好的方法，会让老师觉得你爱学习，这样一举两得的事何乐而不为呢？

3）课后复习：当天必须回忆一下老师讲的内容，看看自己记得多少；然后打开教材把老师今天所讲的内容认真看一次，完善笔记，尤其是书上的例题，都很经典，一定要掌握解题方法，这点很重要，因为很多知识你以为课堂上接受了，但实际过几天就忘了，所以课后必须复习，不懂的地方多和同学交流一下，多交流学习高数的心得。这里所说的交流不仅仅限于同学，也可以和老师，至于交流学习高数的心得不一定也要找好学生，其实，学的稍后的同学有时他们的学习方式很好，只是没有重视和培养而已，因此不要小看任何人。.

第三篇：数学史选讲学习报告

数学史选讲学习报告

杨立中 高一一班 五十五号

在寒假里，我认真研读了数学课本选修3-1，了解了许多数学史的有关知识，受益匪浅，今整理为数学报告如下：

—、知识的总结

古埃及数学

古埃及人聪明伶俐，创造了一个光辉灿烂的文明在诸多方面都有其询烂之处。他们对数学的贡献主要有两方面，—是数学的表示方面，二是在几何学方面。埃及的数学为日后希腊数学的发展奠定基础，这期间最重要的成就在分数方面。

巴比伦数学

巴比伦数学在指数方程、勾股定理上有重要贡献，而且创造了六十进制，日后时间也采取了巴比伦进位制。

（三）古中国数学

古中国数学对世界的贡献主要在勾股定理与算筹记数方面，中国人首次理解运用表示了0.赵爽是最早给勾股定理进行证明的人之一，运用赵爽弦图，他简洁的证明了勾股定理，更先于他的周髀，则已经有了 勾三股四弦五的雏型，其中还有复杂的勾股方程。

在盈不足术（方程的一种雏形），方程术等方面，正负加减等实用算数方面，《九章算术》一书都有详尽介绍，《孙子算经》中有世界上有关数论的一次同余方程的最早介绍。

刘徽创造的割圆术牟合方盖，为圆、球的研究打下了坚实的基础，日后祖冲之将其发扬光大，非常近似地求出了值，而他儿子祖恒则在刘徽的牟合方盖的基础上得了圆的正确体积公式。中国数学界对圆的研究贡献举足轻重。

此外祖暅还有一种著名的原理，即祖暅原理，他的内容是所有等高横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。

（四）古希腊数学

古希腊科学泰斗泰勒斯引入命题证明的思想，标志着人类对客观事物的认识已经由实践上升至理论。

毕达哥拉斯则是古希腊数学中另外一朵奇葩，他的主要贡献在于勾股定理等。

古希腊数学的最重要人物欧几里得，撰写了《几何原本》，用公式化方法建立起演绎体系的最早典范，其中有关比例的论述等，为日后各种几何推论做出了重要论述。

另一个重要人物是阿基米德，阿基米德对于数学的重要贡献在平衡法的确立、推导出了许多和圆有关的定理。他还被称作积分学之父。

古希腊数学的辉煌成就前所未有，是人类巨大的精神财富，其数量和质量都是空前的。

（五）近代西方数学

１．平面解析几何的产生

（1）.古希腊梅内克缪斯发现了圆锥曲线，阿波罗尼奥斯首创坐标，奥尔斯姆对其进行初步完善，用两个坐标确定点的位置，韦达提出用代数解决几何。

（2）.笛卡尔的坐标系

笛卡尔在自己的著名作品《几何学》中，用解析几何的方法解决了坐标系和曲线方程等问题以及方程等。

（3）、费马的解释几何思想

费马运用了解释几何自为方法，研究了轨迹，极等问题，同时积分作了必要的奠基。２、解释几何的发展

主要在曲面和空间曲线解析理论方面，大大推进了微积分的创立和发展。

３．微积分的诞生

（１）萌芽

主要由瞬时速度问题、切线问题、函数最大值问题和面积、体积曲线长、重心和引力的计算所促成，但是前人均未意识到微分与积分的互送关系。

（２）牛顿的工作

牛顿的《自然哲学之数学原理》引入流数、导数的概念，创立了微积分，标志着经典力学体系的建立。

（３）莱布尼茨的工作

德国科学家菜布尼兹从几何出发，把微分和积分联系起来，并制定了微积分的符号系统。４．近代数学的巨星

（１）欧拉

欧拉对数学分析的贡献有两个公式

对函数概念的贡献在于提出“一个变量的函数是由该变和一些数或常量以任可方构成解析表达式”。后改作“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，则将前面的变量称为后面的变量函数”。

他用偶点，奇点的概念，思结巧妙地证明了哥尼斯堡七桥问题的不可能性，产出图论。欧拉发现并证明于示性数公式v－E＋F＝2，并用它给多面体分类。

他还引入了f(x),e,等单位.（２）高斯

高斯证明了代数基本定理,也就是n次代数方程就数域内有几个根,他还研究了复数,引入了复平面.他与罗巴切夫斯基(俄)与波尔约(匈)为非欧几何作出了奠基性的贡献.后来黎曼(德)加以发展.拉格朗日引入预解式,初步得出二次,三次,四次方程的解法.（３）阿贝尔

阿贝尔证明了,如果方程次数大于5,而且不数a1,a2,a3看作字母,那么任何一个由这些字母组成的公式都不可能是方程的根.（４）伽罗瓦

伽罗瓦提出了群的概念,彻底解决了阿贝尔遗留的应用什么标准来判断一个代数方程能不能用公式求解的问题.运用伽罗瓦的群论,还解决了古希腊三大几何问题,即化圆为方,二等分角,倍立方的问题.5．无穷的思考

（１）康托尔对于无穷做出义不朽的贡献,发现了全体有理数的可数性,揭开了无穷的神秘面纱.他还认为数学理论须肯定无穷是确实存在的,但不能把有限所具有的性质强加于无穷.无穷集合理论给数学发展带来了一场革命,现在集合论已成为一门独立的数学分支.（２）罗素悖论及其解决

针对集合论的不完善,罗素提出了罗素悖论,即设R＝{xx},那么R,造成了数学史第三次危机.经过ZFS系统的形式化公理体系的形成和哥德尔不完全性定理的证明,分清了可证明命感与真命题,改变了数学家的真理观.６．中国现代数学

•华罗庚

1929年发表“sturm氏定理研究”

1930年纠正苏家驹代数五次方程式解法,并指出其不成立之理由.1936年赴英研究解析数学.抗战期间发表数学巨著<堆垒素数论>.在美期间其研究领域由数论拓展到方程论,典型群,议论等学科.1955年发表<典型域上的多无复变函数论>.1964年提议年生产实战中推广优选统筹法,提高经济效益.•陈景润

陈景润对数论方面很有贡献,特别是有关哥德巴赫猜想的研究成果,非常突出.•陈省身

曾获斯蒂尔奖和数学界最高荣誉沃尔夫奖,在微分几何方面成就突出.他证明了般的高斯博内公式,建立微分纤维丛理论,引入陈示性类,由此创立了整个微分几何的G结构,研究其等价问题,为广义积分几了奠定了基础.二.拓展

丘成桐简介

丘成桐曾获数学界菲尔兹奖,在偏微分方程对微分几何的作用和理解方面有重要贡献.1976年解决了卡拉比猜想,其方法被应用在超弦理论中,对统一场论有重要影响,证明Monge－Ampere方程解的存在，1978年与R.舍恩合作解决了广义相对论中的正质量猜想,与Karen-uhlenbeck合作解决了－Hitchin kobayashi猜想的高维形式,与刘克峰,连文豪合作在镜对称中做出一系列工作,与刘克峰,孙晓峰合作证明曲线模空间嘛度量的等价性,后被称为孙刘丘度量。

三．学习体会

数学作为一门科学，其发展历程肯定是由实际需要出发，上升到理论后，再重新投入到实际应用中来的。任何脱离实际需要的科学不能称作科学。

数学最早用于人们计数，天文，度量及贸易需要，即数学对结构，空间及时间的研究。对结构的研究是从数字开始的，首先从初等代数，自然数，整数及其算术关系式开始，最后深层次研究至数论。

对空间的讲究则从几何学开始，首先最欧几里德几何与三维空间的三角学，后来产生了非欧几何，在相对论中扮演着重要角色。

十六世纪时，初等数学三大体完备，十七世纪

变量概念的产生，使人们开始研究函数分析，并产生了数形结合的解析几何。

随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。

从算数代数时式到几何时代，再到函数分析时代，然后进入微积分时代。微积分时代的开始代表人类的数学进入了新的纪元，这是人类历史上划时代的进步，数学研究方向朝概率、数论及微分方程前进。

一切数学的产生都源自生活，初等数学产生源自古埃及土地的分配、古巴比伦贸易的需求，研究概率产生于作家Chevalier提出的关于赌博概率的问题，经向费马和帕斯卡请教后才开始对概率的系统研究，哥尼斯堡七桥问题源自生活。这些问题脱离了生活与社会需求将无法存在。

我们可以看到，数学家们都有一种联系生活的美好品质，正是他们这种社会责任成了他们执著坚强追求真理的源泉。华罗庚奔波来推广统筹子去优选法的应用，陈省身关心国内数学事业发展，伽罗瓦为共和革命献身，来布尼兹致信康熙设立中国科学院，这些都是数学家们应会责任心的，令人折服的体现。

数学需要严密的逻辑与思维，其严密性是由怀疑和辩论，审慎和谦逊，正直和理智所带来的。的人数学史上可看出，优秀的科学家，从不自满于自己的成绩，总是谦虚地求教，不耻下问，他们的论文除非完善，绝不轻易发表，他们敢于质问旧理论，敢于提出新设想，他们捍卫自

己的果实，又尊重别人的成果。

相反的，那些违背数学家应有品质的行为，即使名气再大，也会蒙上无法洗去的遗憾。如牛顿在《原理》中刻意删去自己学术竞争对手胡克的成果，伽罗瓦、阿贝尔被高斯和科学院等权威漠视，康托尔的集合论被科学界口诛笔伐使他心力交瘁罹患精神疾病等等。

我们要从数学史的学习中，吸取丰富的知识营养，做一个有道德有文化的青年，为祖国的未来作出应有的贡献！

第四篇：2013现代护理离线作业选做(下载的)

浙江大学远程教育学院

《现代护理学》课程作业(选做)

姓名：

年级：学号： 学习中心：

————————————————————————————— 第一部分

第一篇第一章

1．支气管哮喘的治疗原则有哪些？支气管哮喘的治疗常用药物有哪些？

第一篇第二章

2.患者女性，31岁，因进食油腻食物后出现上腹痛，并持续性胀痛，呈阵发性加剧，疼痛向腰背部放射，伴腹胀、恶心、呕吐胃内容物，全身出虚汗，曾到当地医院就诊，既给予胃肠减压、奥曲肽等治疗。患者症状未见好转，且逐渐加重，并出现发热，体温高达39.1℃，全腹部疼痛，呼吸急促，患者烦躁，尿少，量每日约300ml，腹胀加重，无排气、排便，行腹腔穿抽出血性腹水。为进一步诊治，来我院急诊科就诊，来院血生化检查示：血糖20.45mmol/l，淀粉酶974 U/l，脂肪酶6402 U/l，ALT 60U/l，AST 78U/l，TBIL25.5umol/l，ALB 27.8g/l，血钙 1.57mmol/l。腹部超声提示：胰腺异常肿胀，腹腔积液。收入ICU。请问：

（1）该患者医疗诊断及诊断依据

（2）该患者护理诊营养改变相关因素是什么？应采取哪些护理措施？

第一篇第三章

3．肠易激惹综合征有哪几种类型？肠易激惹综合征发病机理是什么？

第一篇第四章

4．患者男性，38岁，头痛、头晕半年，伴视物不清，恶心呕吐1周，血压200/100mmHg，Hb 70g/L，尿蛋白（++）沉渣RBC3～5/HP，BuN32μmol／L,Scr854μmol／L,Ccr8 ml/min,CO2-CP14μmol／L,B超双肾体积缩小。请问：

（1）请问其医疗诊断可能为：

（2）该患者最恰当的治疗是：

（3）该患者的透析指征是：

第一篇第五章

5．患者男17岁，发热5天入院，白细胞180×10g/L,分类见原始+幼稚淋巴细胞98%，诊断急性淋巴细胞白血病。给该患者VDLP方案化疗，于化疗后5天发现尿少，浮肿，请问：患者最可能是哪一医疗诊断？出现外周静脉炎，其引起原因是什么？如何预防？

6.简述冠心病的介入性治疗术后低血压的原因及处理。

第二篇第二章

7.内镜下息肉摘除术有哪些适应证？如何实施术前准备及术后护理？ 第二篇第三章

8．何谓血液透析？试述内瘘护理。

第二篇第六章

9.ART是指哪些技术？目前的主流技术有哪些？人工授精与IVF-ET有什么不同？ 第二篇第七章

10．脐血穿刺何时进行？应有作哪些准备？术后应如何护理？

第三篇第二章

11．妊娠前应常规筛查哪些感染性疾病？有异常结果时怎么处理？ 第三篇第三章

12．HRT的适应证和禁忌证是什么？

第二部分

第一篇第六章

1．试述小脑幕切迹疝的临床表现及抢救配合。

第一篇第七章

2．如何观察颅脑损伤后神经系统眼征？

第一篇第八章

3．简述骨软骨瘤的外科手术指征及骨肿瘤患者的术后护理？

第一篇第九章

4．21-三体综合征可能的病因有哪些？如何减少21-三体综合征的发生？ 第一篇第十章

5．先天性甲低开始治疗后如何进行定期监测？监测哪些内容？

6.何谓急性排斥反应？肝移植术后有哪些主要并发症？

第二篇第五章

7.脊髓损伤治疗原则有哪些？

第二篇第八章

8．简述肠外营养支持时出现非酮性高血糖性昏迷的常见原因及处理措施。第三篇第一章

9.儿童多动－注意缺陷综合症病因有哪些？如何做好保健与护理？

第五篇：数学研究性学习课题选数学研究性学习课题

数学研究性学习课题选数学研究性学习课题

《三角部分 》

1、数形结合是数学中的重要的思想方法之一，而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘，试探它在解决三角问题中的数形结合功能。

2、概括sinx + cosx = a时相应x的取值范围，及问题条件中涉及这一条件时的所隐含的结论。

3、整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。

4、三角最值的构造证法中，型如，可转化成：① 动点（ccosx.asinx）与定点（-d,-b）连线的斜率；② 或先化为 从而转化为动点（cosx.sinx）与定点 连线斜率等，考虑各种构造法的背景的联系，能否以此联系用于解决几何问题。

5、一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整理之。

6、概括三角恒等式证明中的一次弦式、高次弦式和切式证明的常用方法。

7、三角形的形状判定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、余弦定理总有两种转化，即转化为角关系或边关系，探索其中一种对另一种解法的启示功能。

《不等式部分 》

1、一个数学命题若从正面入手分类情况较多，运算量较大，甚至无法求解，此时不妨考虑其反面进行求解得解集，然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为“补集法”，试整理常见的类型的补集法。

2、概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧，及拆项、添项的技巧。

3、观察式子的结构特征，如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。

4、探求一些著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多种证法，寻找其背景以加深对不等式的理解。

5、整理常用的一些代换（三角代换、均值代换等），探索它在命题转化中的功能。

6、考虑均值不等式的变换，及改变之后的不等式的背景意义。

7、分母为多项式的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明往往较难。探求一种代换，将分母为多项式的转化为单项式。

8、探索绝对值不等式和物理模拟法

《应用型》

1、银行存款利息和利税的调查

2、气象学中的数学应用问题

3、如何开发解题智慧

4、多面体欧拉定理的发现

5、购房贷款决策问题

6、有关房子粉刷的预算

7、日常生活中的悖论问题

8、关于数学知识在物理上的应用探索

9、投资人寿保险和投资银行的分析比较

10、黄金数的广泛应用

11、编程中的优化算法问题

12、余弦定理在日常生活中的应用

13、证券投资中的数学

14、环境规划与数学

15、如何计算一份试卷的难度与区分度

16、数学的发展历史

17、以“养老金”问题谈起

18、中国体育彩票中的数学问题

19、“开放型题”及其思维对策20、解答应用题的思维方法

21、高中数学的学习活动——解题分析 A）从尝试到严谨、B）从一个到一类

22、高中数学的学习活动——解题后的反思——开发解题智慧

23、中国电脑福利彩票中的数学问题

24、各镇中学生生活情况

25、城镇/农村饮食构成及优化设计

26、如何安置军事侦察卫星

27、给人与人的关系（友情）评分

28、丈量成功大厦

29、寻找人的情绪变化规律30、如何存款最合算

31、哪家超市最便宜

32、数学中的黄金分割

33、通讯网络收费调查统计

34、数学中的最优化问题

35、水库的来水量如何计算

36、计算器对运算能力影响

37、数学灵感的培养

38、如何提高数学课堂效率

39、二次函数图象特点应用40、统计月降水量

41、如何合理抽税

42、市区车辆构成43、出租车车费的合理定价

44、衣服的价格、质地、品牌，左右消费者观念多少？

45、购房贷款决策问题