数学归纳法典型错误

第一篇：数学归纳法典型错误

数学归纳法易错题析

－对假设设而不用

例1：用数学归纳法证明 1232

正解（2）假设n=k时命题成立，即71能被8整除。

k

n2

n(n1).(2n1)当n=k+2时，7k2172(7k1)172＝49（7k1)48

错证：①当n1时，左边＝1 ,右边＝

1(11)(211)＝1 所以等式成立。②假设当n=k时等式成立,即1`22232k2

16

k(k1)(2k1)

那么当n=k+1时为122232k2(k1)2

16(k1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

＝1

(k1)(k2)(2k3)也就是说当nk1时，等式成立。由⑴⑵知对任何nN*

等式成立，剖析：用数学归纳法证明第⑵步骤时，在从“k”到“k1"的过程中，必须把n=k的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出nk1时的命题所以在推导过程中，故必须把n=k

时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。正解：⑵12

22

32

k2

(k1)2

＝1

k(k1)(2k1)(k1)26＝

(k1)

[1

k(2k1)(16

k!)]＝

6(k1)(2k27k6)1

(k1)(k2)(2k3)＝1

(k1)[(k1)1][2(k1)1] 即当nk1时，等式成立。由⑴⑵知对任何nN*

等式成立，二机械套用数学归纳法中的两个步骤致误

例2：当n 为正奇数时，7n

1能否被8整除？若能用数学归纳法证明。若不能请举出反例。证明：⑴当n=1时，7＋1＝8能被8整除。命题成立。⑵假设当n=k时命题成立,即7k1能被8整除。则当n=k+1时，7

k1

17(7k1)6不能8整除.由（1）（2）知n为正奇数。7n

1不能被8整除

分析：错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是整奇数的条件。

证明前要看准已知条件。

因7k

1能被8整除。且48能被8整除。所以7

k2

1能被8整除。所以当 n=k+2时 命题成立。由⑴⑵知当n 为正奇数时，7k

1能被8整除。

三没有搞清从k 到k+1的跨度

例3：求证：

1n11n213n1

1错证：（1）当n ＝1时，不等式成立。

（2）假设n=k时命题成立，即

1k11k21

3k1

1 则当n=k+1时，1k21k3111

3k13(k1)113(k1)

1 就是说当n=k+1时不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。

点评：上述证明中，从k 到k+1的跨度，只加了一项是错误的，分母是相临的自然数，故应是

13k213(k1)1

3(k1)1，跨度是三项。

正确证法：（1）当n＝1时，左边＝

1111121136431213121，不等式成立。（2）假设n=k时命题成立，即

1k11k213k1

1，则当n=k+1时，1k21k3



1113k13k23(k1)1

3(k1)1

＝（111k1k23k1）＋13k213(k1)＋13(k1)11

k1

>1＋[

13k2126k66(k1)

3k43(k1)]19k218k832(k1)2

=1＋

6(k1)9k218k86(k1)

9k218k9

1。

这就是说，当nk1时，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。

第二篇：劳动合同(典型错误)

劳 动 合 同

甲方：××××企业

乙方：××

一、甲乙双方经过协商，暂定一年试用期。试用期满，经过甲方的考核，对乙方予以转正，并录用为职工，确定正式合同期，实行劳动合同制；经过甲方考核，未能通过试用期考核的，试用期自动延长三个月。本合同期满，甲、乙双方同意续订劳动合同的，本条款继续适用。

二、在试用期内，任何一方解除劳动合同均需提前七天通知对方。

三、在试用期内乙方的劳动报酬案本市最低生活保障标准执行。甲方承诺，在合同期内乙方的全部劳动报酬的总和不低于国家劳动行政部门规定的最低工资标准。

四、乙方到甲方工作，实行内部承包，需交500元承包抵押金，劳动合同终止时予以退还。

五、职工工资采用计件制形式，每月结算一次，平时支付工资的80％，余额在年终结清。

六、甲方保证乙方每月25天工作，在25天内因甲方原因使乙方停工的，甲方每天补助人民币5元。

七、甲方因工作需要，经与工会协商后，有权安排乙方加班，乙方如果拒绝，将被视为旷工，受到违纪制裁。

八、在合同期内，职工患病或非因工负伤，可按本企业的规章制度报销医疗费，需要停工治疗的，甲方根据其在本单位工作时间的长短，给予3个月至1年的医疗期，医疗期满后，如因不能从事原工作的，甲方可以解除劳动合同，甲方将发给相当于本人标准工资1个月至6个月的医疗补助费。

九、甲方将为乙方购买商业保险，双方商定不再参加国家的各类保险。

十、甲方应按照国家规定，向乙方提供必要的劳动保护用品；乙方应遵守有关的规章制度，安全生产。如果乙方因违反操作规程而负伤，甲方将按非因工负伤的有关规定，给予补偿和处理。

十一、乙方在试用期和合同期内应当遵守有关的劳动纪律，服从甲方的管理和指挥，违反劳动纪律的，按《企业职工奖惩条例》和本企业的规章制度处理。

十二、在合同期内，如果乙方被证明不符合录用条件或不能胜任工作，甲方可以解除劳动合同，甲方将按乙方在甲方的工作年限每满一年发给一个月工资的经济补偿，但最高不超过乙方十二个月的工资收入。

十三、在合同期内，如果本合同订立时的客观情况发生变化，如甲方转产、搬迁等，致使本合同无法履行的，甲方可以解除劳动合同，甲方将按乙方在甲方的工作年限每满一年发给一个月工资的经济补偿金。

十四、在合同期内，如果乙方患职业病或因工负伤，被确认为完全丧失或者大部分丧失劳动能力，在甲方按法律规定支付了伤残就业补助金后，劳动合同自然终止。

十五、在合同期内，发生甲方破产、解散或者被撤销情况的，劳动合同自然终止。

十六、在合同期内，未经甲方同意，乙方不得结婚，违者将不得享受有关的婚假和生育假期。违反本条规定的，甲方有权解除劳动合同，年终工资将不予结算，乙方的承包抵押金将不予退还。

十七、乙方提前离职，应交纳在岗期间的培训费，按工资的10％计算。

十八、除第第七条、第十一条、第十六条的规定，任何一方，无论以哪一种理由要求解除劳动合同，都必须提前15日向对方提出，并取得对方的同意。

十九、乙方在甲方看到、听到、接触到的均为企业的商业秘密，为保护企业的商业秘密，乙方解除劳动合同，必须提前六个月通知甲方，甲方有权在此期间采取脱密措施。同时在劳动合同结束后的四年中，乙方不得以任何借口为理由，到同行业的其他企业工作。

二十、本合同自签字之日起生效，双方都必须严格执行。任何一方违反上述规定，均需向对方支付三个月的劳动报酬作为违约金。

甲方：××××企业（盖章）

法定代表人：××（签字）乙方：××（签字）

签字日期：××××年××月××日

第三篇：放缩法典型例题

放缩法典型例题

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．

一．先求和后放缩

例1．正数数列（1）数列的前项的和的通项公式；，满足，试求：

（2）设解：（1）由已知得，数列的前项的和为，所以时，求证：，作差得：，又因为，得为正数数，所列，所以以，即是公差为2的等差数列，由（2），所以

注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列倒序相加等方法来求和．

二．先放缩再求和

1．放缩后成等差数列，再求和

例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.满足条件）求和或者利用分组、裂项、(1)求证：；

(2)求证：

解：（1）在条件中，令有，得，上述两式相减，注意到

∴，又由条件得

所以，所以

（2）因为，所以，所以；

2．放缩后成等比数列，再求和

例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；

（2）等比数列{an}中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．

解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是

． ．

（2）∵，，∴公比． ∴．

．

∴

3．放缩后为差比数列，再求和 ．

例4．已知数列满足：，．求证：

证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．

4．放缩后为裂项相消，再求和

例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞P（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列

．j

（1）求a4、a5，并写出an的表达式； 的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列

321的逆序数

（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以

=

综上，..注：常用放缩的结论：（1）

（2）．

在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论

相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．为裂项

第四篇：【扫盲】 典型的逻辑错误（范文）

编者按：最近论坛为了某些敏感问题争论的不可开交，实在不忍目睹这种低层次的辩论，为此，特转一些基础的东西进行逻辑方面的扫盲，以期提高各位的逻辑认识和运用能力！

逻辑：典型的逻辑错误

一、同语反复和循环定义

定义是明确概念内涵的逻辑方法。定义由定义项、被定义项和定义联项构成。例如：

商品是为交换而生产的劳动产品。

这是一个定义。其中“商品”是被定义项；“为交换而生产的劳动产品”是定义项；“是”是定义联项。

定义规则要求定义项中不能直接或间接地包含被定义项。如果直接包含被定义项，犯的逻辑错误是“同语反复”；如果韵包含被定义项，犯的错误是“循环定义”例如：

形式主义者就是形式主义地以观察和处理问题的人。

这一定义就犯了“同语反复”的错误。再如：

如果把“奇数”定义为“偶数加1”，那么，偶数是奇数加1得到的数。这一定义就犯了“循环定义”的错误。

二、概念不当并列

划分是明确概念外延的逻辑方法。划分由母项、子项和划分一个要素构成。例如：

人分为老、中、青、少幼。

这是一划分，其中“人”是母项，“老”、“中”、“青、”、“少”、“幼”是子项，划分标准是年龄。

分划可以连续进行，即子项可以作为项继续划分。例如：

在连续划分中，每次划分得到的概念属于同一层次，不同次划分得到的概念属于不同层次。

一般地说，把不同层次的概念，或把具有交叉或属种关系的概念并列使用，称为“概念不当并列”。例如：

出席座谈会的有著名的社会科学家、数学家和核物学家。

其中，社会科学家、数学家和核物理学家是不同层次的概念，属概念不当并列。

三、偷换概念和转移论题

这是违反同一律所犯的逻辑错误。例如：

老大娘：请问，你们这儿有没有好布。我闺女要绘声绘色了，我想给她扯 块好布。

营业员（没好气地）：我们这儿的都是好布，次品、废品不让出厂的。

营业员犯了“偷的概念”的错误。上下文中的“好布”不是同一概念。再如： 顾客：请问，我的排骨面怎么还没来，我等了已有半小时了。

营业员：你为什么非要吃排骨面，你不能吃竦酱面吗？

营业员犯了“转移论题”的错误。

四、自相矛盾

这是违反不预告律所犯的逻辑错误，例如：

“我赞成实践是检验直理的唯一标准，但我认为马克思主义基本原理也应当是检查趔的标准。”

这一断定犯“自相矛盾”的错误。

五、两不可

这是违反排中律所犯的逻辑错误。例如：

“说世界上有鬼，这不对，这是迷信；但要说世界上没鬼，也未免武断，因为有些现象还真不好解释。”

这段论对“世界上有鬼”和“世界上没鬼”这对互相预告的判断同时否定，犯了“两不可”的错误。

六、以偏概全

这是不正确构造简单单枚举归纳推理时出现的逻辑错误。例如：

“文学家是在时代的激流中造就出来的，高等学府出不了文学家，古今中外不乏其例。外国的高尔基、巴尔扎克、雨果上过大学没有？中国古代的曹雪芹、施耐庵上过什么大学？现代的梁斌、柳青、周立波、高玉宝也没有上过什么大学。”

这段话通过归纳推理证明“高等学府中出不了文学家”的观点，用的是简单枚举法，举出了高尔基、巴尔扎克、雨果、曹雪芹、施耐庵、染斌、柳青、周立波、高玉宝等著名作家没有上过大学为例。但是世界上文学家何止千万？公举出几个例子就推出一般性结论就显得轻率。事实上，当今文坛上，不论外国和中国，都有些文学家是上过高等学会的，这种反例也不是个别的。因此，就像根据几个反例就推出“文学家都上过高等学府”的结论一样，仅根据几个作家的经历推出“高等学府出不了文学家”的结论也是不可靠的。犯了“以偏概全”或称“轻率概括”的逻辑错误。

七、循环论证

在一个论证中，如果论据的证明需要依赖前提，那么，就犯了“循环论证”的错误。例如，在证明“地球是圆的”这一论题时，以到的事实“我们站在高处看海中的帆船从远处驶来，总是先见船杆后见船身”作为论据；而当说明这一现象时，又以“地球辊圆的”作为理由，这就犯了“循环论证”的逻辑错误。

八、倒置因果

一个论证，如果将某一结果产生的原因作为结果而将结果作为原因来论证，即犯了“倒置因果”的逻辑错误。例如：

为了加快我国的发展，必须大力发展私人轿车工业。因为发达国家中，私人大部分有轿车。

这个论证中因果倒置，总体上说私人拥有轿车是国家发达的结果，而不是原因。

九、判断逻辑错误的MBA联考逻辑试题举例

MBA联考逻辑测试到的判断逻辑错误的试题，主要有两种基本类型。

一种是要求指出题中逻辑错误的名称，即选项分别是逻辑错误的名称，要 求指出哪一项是题干中出现的逻辑错误。严格地说MBA联考逻辑试题应该尽量避免这种题型，因为它不要求考生准确把握和分辩逻辑专业术语。

另一种是要求将题干和选项进行类比，找出哪一选项中出现的逻辑错误和题干中出现的相同或最为类似。

例（1）

甲问：什么是生命？

乙回答：生命是有机体的新陈代谢。

甲又问：什么是有机体？

乙回答：有机体是有生命的个体。

以下那项与上述对话最为类似：

A.甲：什么是真理？

乙：真理是符合实际的认识。

甲：什么是认识？

乙：认识是人脑对外界的反应

B.甲：什么是逻辑学？

乙：逻辑学是研究思维形式结构规律的科学。

甲：什么是思维形式结构规律？

乙：思维形式结构的规律是逻辑规律。

C.甲：什么是家庭？

乙：家庭是以婚姻、血缘或收羊关系为基础的社会群体。

甲：什么是社会群体？

乙：社会群体是一定社会关系基础上建立起来的社会单位。

D.甲：什么是命题？

乙：命题是用语句表达的判断？

甲：什么是判断？

乙慢对事物有所断定的思维形式。

E.甲：什么是人？

乙：人是有思想的动物。

甲：什么是动物？

乙：动物是生物的一部分。

这里正确的答案是B。因为此选项与题干都犯了“循环定义”的错误。

例（2）

鲁迅的著作不是一天能读完的。《狂人日记》是鲁迅的著作，因此，日记》不是一天能读完的。

下列哪项最为恰当地指出了上述推理的逻辑错误？

A.自相矛看。

B.循环论证。

C.以偏概全。

D.偷换概念。

E.因果倒置。

正确选项为D。《狂人

第五篇：简历标题的典型错误

所有标题中犯的错误，都可以概括为“自以为是”和“态度不认真”：

(1)“我的简历”、“简历”、“求职简历”、“我的初次简历”、“XXX的简历（修改第3稿）”“应聘”

这是最常见的简历标题，你坚定的抛给HR一个哲学问题：“我”是谁？

HR心声：你们都是谁啊！

(2)“简历模板”、“XXXX网站的简历模板”、“英文简历模板”

HR心声：谢谢你，我已经知道你是直接从模板拷过来的。

(3)投递岗位是销售，简历标题写“应聘行政文秘”

HR心声：我们没招这个岗位呀。

(4)要求一周工作4天，简历标题写“一周工作2天”

HR心声：逗我玩儿的吧。

(5)应聘乔布堂公司，把公司名写成“桥步唐”

HR心声：我们的公司名这么不受待见么？

(6)英文语法和拼写错误：Apply Inter写成“ Inter Apply”

HR心声：不认真，英语差，Fail!

(7)莫名其妙的简历标题

某单位招暑期助理岗位实习生，有一封邮件标题是这样的（见下图）：

HR心声：还以为是广告，差点删了！

简历标题至少要有“姓名”+“应聘岗位”

如果简历是直接E-mail投递到HR的电子邮箱里，在邮箱和附件标题中注明“姓名”和“应聘岗位”，可以让HR明确知道那份是你的简历，以及你应聘的岗位，同时便于保存和查找。

记住：简历标题是给HR看的！

按公司要求格式写

招聘信息上要求写明学校、专业、一周能上班的天数等，说明这是HR筛选简历时的硬指标，请按招聘信息的要求写。在这方面耍风头、搞另类对你来说好处不大。

我们参考了BBS求职应聘版中出现的招聘单位格式要求，总结发现，HR的要求无外乎有下列几种：

“姓名+岗位名称”

“姓名+岗位名称+岗位性质”

“姓名+应聘岗位+某某论坛”

“姓名+学历+学校+工作年限+应聘岗位+意向城市”

“XXXX届应届生岗位+院校+姓名+应聘岗位+意向工作地”