数学放缩法

第一篇：数学放缩法

放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。

（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。

使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

先介绍工具

柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）

均值不等式

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

绝对值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

常用放缩思想

这几个务必牢记

不常见不常用的不等式

这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂项部分

当年apucng与V_First研究的题

二项平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

第二篇：高三数学数列放缩法

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列（1）数列的前项的和，满足，试求： 的通项公式；

（2）设解：（1）由已知得，数列的前项的和为，所以

时，求证：，作差得：，又因为，得

为正数数，所列，所以以，即是公差为2的等差数列，由（2），所以

注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和

1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且

.满足条件）求和或者利用分组、裂项、(1)求证：；

(2)求证： 解：（1）在条件中，令有，得，上述两式相减，注意到

∴

，又由条件得

所以，所以

（2）因为，所以，所以

；2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：（2）等比数列{an}中，；，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．

解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是

． ．

（2）∵，，∴公比．

∴． ． ∴3．放缩后为差比数列，再求和

．

例4．已知数列满足：，．求证：

证明：因为，所以

与

同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．

令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．

4．放缩后为裂项相消，再求和

例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞P（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列．j

（1）求a4、a5，并写出an的表达式； 的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以

=综上，..注：常用放缩的结论：（1）

（2）．

在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．

为虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．

第三篇：放缩法讨论

不等式的证明——放缩法

学习目标：

1、感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。

2、探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的。

若是自然数，求证

11112222.2123n

2k 111,k2,3,4,,n.k(k1)k1k

常见方法：

1、分式放缩；

2、利用已知结论放缩；

3、裂项放缩；

4、先放缩后求和。

放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个

中间量,如将A放大成C,即AC,后证CB.常用的放缩技巧有:

(1)舍掉(或加进)一些项;

(2)在分式中放大或缩小分子或分母;

(3)应用基本不等式进行放缩.如

12312①(a)(a);242 111112,2,, ②2kk(k1)kk(k1)kkk1 2 1(以上k2且kN)kkk1

归纳延伸

1.放缩法证明不等式的理论依据主要有：

(1)不等式的传递性；

(2)等量加不等量为不等量；

(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．

2.常用的放缩技巧：

（1）对于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；

（Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。

（2）①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩．

第四篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;有了自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。

第五篇：高中数学放缩法公式

“放缩法”证明不等式的基本策略

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例

1、已知an2n1(nN*).求证：

k

n

2

3

a1a2



a2a3

...

anan1

(nN).*

证明： 

akak

1

212

k1

1





12(2

k1

1)





13.222

k

k



1211

.k,k1,2,...,n, 32



a1a2n2



a2a3

...

anan1



n2



1111n11n1(2...n)(1n), 322223223

n2

*



a1a2



a2a3

...

anan1

(nN).若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k2，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例

2、函数f（x）=

4xx，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

2n

11

4nn



2(nN)

*

.证明：由f(n)=

14

=1-

114

n

1

122

122

112

n

122

n

得f（1）+f（2）+…+f（n）>1

n

14(1

1214

n1

22

1)n

n1

(nN)

*

.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、逐项放大或缩小

例

3、设an证明：∵∴ n

223

n

34

n

n(n1)(n1)

ann(n1)求证2

2(n

12)

n(n1)n(n1)

n(n1)

2n12

2n12，∴

n(n1)2

an

(n1)

∴ 123nan

本题利用n



13(2n1)

2n

1，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

4、固定一部分项，放缩另外的项；

例

4、求证：

1n

1

2

3

1n



4证明：



1n(n1)





1n1

1



1n

1n1

1n

1n





n

()().此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根

据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

5、函数放缩

ln

2例5.求证：



ln3

3

ln4

4

ln33

n

n

3

1x

n

5n66

ln2

(nN)

ln33

*

.

ln33

nn

解析:先构造函数有

lnxx1

lnxx

1,从而



ln44

31（n





n)

因为2





n

1111111111

1nnn

213 234567892

n1

3n193339

23n13n

66918275n

6

n

5n66

ln2

所以



ln33



ln44



ln33

n

n

31

n

5n6

3

6、裂项放缩

n

例6求证:k1k





53.1n



1n

4

1

12

4n12n12n1

n

解析:因为,所以

k

k1

112511

121

2n12n133357、均值不等式放缩

例7.设

Sn

2

23

k

n(n1).求证

n(n1)

2Sn

(n1)2

.解析: 此数列的通项为a

k

k(k1)

kk

1n(n1)2

k(k1),k1,2,,n.n

n

k

12，kSn

k1

(k

k1

12)，n(n1)

即

Sn



n2



(n1)2

.ab

ab2

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式

n，若放成k(k1)k1

则得

Sn



k1

(k1)

(n1)(n3)



(n1)2，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

n1

1an



n

1an

a1an

n



a1an

n

a1



其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

8、二项放缩

n

(11)

n

CnCnCn2nCn0Cnn1

01n，2C

n

n

C

1n

C

2n



n

n22

n

n(n1)(n2)