第3讲：数列的最大项、最小项问题[合集]

第一篇：第3讲：数列的最大项、最小项问题

数列的最大项、最小项问题

1的图象按向量(2,1)平移后便得到函数f(x)的x2

图象，数列{an}满足anf(an1),(n2,nN)。31（Ⅰ）若a1，数列{bn}满足bn，求证：数列{bn}是等差数列； 5an1

3（Ⅱ）若a1，数列{an}中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，5问题引入——已知函数y1

若不存在，说明理由。

错因回放——本题第一问大多数学生都能做对，主要是第二问，一部分学生解得an2n52n524之后就思路受阻；或令yan1y022n72n72n7(2n7)恒成立，故说an只有最大项为a1，无最小项等等。

分析：数列可以理解为特殊的函数，可以借助函数的知识求解，但又不是连续的函数，所以在求解过程中要注意这一点，尤其是在取导数的时候，另外最好把an的关系式理解成一个经过平移的反比例函数图像上的一些孤立点较好。

知识背景——本题判断数列是等差数列可以利用定义法，即证明后一项减去前一项为定值；第二问利用“一次分式型”函数的求最值方法（注意数列的项对应的只是一些孤立点），即可以分离常数后直接讨论单调性、或结合图像观察、或利用导数研究单调性等判断其最小项和最大项。另外我们判断数列项的最值问题也往往构造函数后利用作差或作商法。正确解答：

(1)f(x)1

bn11

an11an111112.an2(n2,nN)bn,x22xan1an1an11,bnbn11(n2,nN)数列{bn}是等差数列.15571,公差为1,bn(n1)1n,由bn得a11222an1(2)由(1)知b1

an11221.故构造函数yan1.方法一：讨论单调性（略）；bn2n72n7

40.2(2n7)方法二：结合图像观察（略）；方法三：利用导数y

777函数yan在区间(,),(,)上为减函数.当x时y1,bn取最小值b31,222

7当x时y1,bn取最大值b43,故存在.2

相关练习——设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①anan2an1；②anM其中nN，M是与n无关的常数。2

（1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4,S3=18.证明：{Sn}∈W；

（2）设数列{bn}的通项为bn=5n-2n，且{bn}∈W。求M的取值范围；

（3）设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}∈W。证明cn≤cn+1：

练习答案：（1）略；（2）；M≥7（3）略。

第二篇：公文最讲规矩和格式

公文最讲规矩和格式。《党政机关公文处理工作条例》虽已实施近四年，但实践中公文错误仍不同程度存在，有的错误还是反复出现。试想，辛苦写好的一篇公文，如果因格式上的“低级错误”被领导痛批一顿，那就得不偿失了。对公文写作中的任何问题，老笔头向来提倡“解剖麻雀”的方式，通过讲理与讲例的结合讲干货传实招。这篇文章就是老笔头“得道”会员中一位综合部门的负责同志所写，并经老笔头多位笔杆子审定，力求做到既权威可信、又精炼可学。可结合“得道”会员资料库的各类范文汇编一并学习，真正把公文格式理解透、把握准，成为让领导省心的公文“大拿”。

现在，机关领导都喜欢妙手著文章的“快枪手”，却很少有人能腾出时间、精力教新人如何把握公文格式的问题，所以能够自学成才的，都是有心人。因公文涉及规范众多，指望写一篇文章就可以完全实现公文速成是绝对不现实的（详细内容可参考老笔头“得道”会员资料库，15种常用公文的具体范例解析）。本文仅着重就常见的问题进行探讨，目的在于新人少走弯路，老人温故知新。

以下进入正文

公文标题字体

公文标题应当是二号小标宋体，副标题用三号楷体，一般不用加粗。许多人爱用小标宋简体、宋体、仿宋体、华文中宋、黑体，用小二号、一号，这都是不对的。

标题位置、格式

红头文件（即党政机关使用的带发文机关名称的文件俗称，文件头一般为红色）的标题编排于红色分隔线下空一行或者两行位置，非红头文件的标题编排于页面第一行即可。

标题由发文机关名称、事由和文种组成。（发文机关单独一行）

标题分一行或多行居中排布；回行时，做到词意完整，排列对称，长短适宜，间距恰当。多行标题排列使用正梯形、倒梯形或者菱形，不采用上下长度一样的长方形和上下长、中间短的沙漏形。

如果是呈报领导审阅批示的非正式发文纸质件，一般无报批页且领导又可能有大段批示，此类可以在标题前多空几行，多多留白，以供领导批示。公文如果有副标题，副标题应当随破折号另起一行；另外，标题中不应出现书名号和引号（转发通知除外）。（如下图）

正文的有关要求

正文是公文的主体。公文首页必须显示正文，正文用三号仿宋体字，编排在主送机关名称下一行，每个自然段左空二字，回行顶格。这里着重强调下仿宋体字尽量用“仿宋_GB2312”(即国标仿宋)，不要用”仿宋”，因微软自xp系统之后开发的win7、win8、win10系统的“仿宋”字体，将此类文档拷贝到xp系统，仿宋字体就变成了黑体。

文中结构层次序数依次用“

一、”“

（一）”“1.”“（1）”标注，不能逆向，这里尤其要注意一后面是顿号，1后面是点（实心的圆点），（一）和（1）后面无任何标点符号。特殊情况下可以做适当调整，一般第一层用三号黑体字，第二层用三号楷体字，第三层和第四层用三号仿宋字体标注（多指小标题的字体）。这里，常见错误是滥用顿号，“

（一）、”“

1、”“（1）、”都是不对的。

正文涉及数字、年份的，一律不得拆行。

有多级小标题的法规性公文，第一层次编、章的序号及其标题（如“第一章总则”）用三号小标宋体居中排印，上下方各空一行；第二层次（如“第一条”）用三号黑体字排印，后空一字接排正文（具体可参考“得道”会员资料库的15种常用公文范例）。

单独的小标题，末尾不标注标点符号；小标题之后接着带正文的，末尾用句号。

附件的要求

在正文下空一行左空二字编排“附件”二字，后标全角冒号和附件名称（即一个附件的格式是附件：×××）。如果有多个附件，使用阿拉伯数字标注附件顺序号（如“附件：1.×××”）；附件名称后不加标点符号。附件名称较长需回行时，与上一行附件名称的首字对齐。写成“附件1：”、“附件：

1、”“附件一：”等都是不对的；另外附件回行采用自然段格式也是不对的。

附件说明之后，才是发文机关和成文日期，顺序不得颠倒。（如下图）

附件应当另起一面编排，不得与正文同面，但与公文正文一起装订。“附件”二字及附件顺序号用三号黑体字顶格编排，编排在左上角第一行，附件标题居中编排在第三行，附件顺序号和附件标题应当与附件说明的表述一致。附件格式要求同正文。（如下图）

发文机关和成文日期

发文机关署名应署发文机关全称或者规范化简称。如“中华人民共和国国家发展和改革委员会”的规范化简称为“国家发展改革委”。

成文日期应当用阿拉伯数字将年、月、日标全，如“2015年12月30日”，而非“二零一五年十二月三十日”。

联系人和联系方式

机关上报请示、发通知或公函，往往会留具体联系人和联系方式，宜放在“发文单位、成文日期”下方空一行，居中排列，并用括号，联系人与电话之间用逗号隔开。（如下图）

关于文种

按照现行的《党政机关公文处理工作条例》，公文种类有15种（以往的规定是13种已作废），分别是决议、决定、命令（令）、公报、公告、通告、意见、通知、通报、报告、请示、批复、议案、函、纪要。文种具体用途和范例详见老笔头公众号第二篇原创文章，在此不再赘述。

总结、要点、方案、计划、安排、规划、建议和答复，都不属于正式的公文文种，但实际工作仍需经常用到。大家要注意以上两者的区别。

着重谈一下最容易混淆的是报告和请示。报告主要适用于向同级人民代表大会及其常务委员会、上级机关汇报工作、反映情况、回复询问。请示主要适用于向上级机关请求指示、批准。报告是陈述某一情况，请上级阅知。请示是提出请求事项，请上级予以答复。报告的受文主体没有答复义务，请示的受文主体则有答复义务。

请示应当一文一事，不得在报告等非请示性公文中夹带请示事项。绝对不存在《关于××××××的请示报告》，这是错误的，属于文种混用（具体可参考老笔头“得道”会员资料库的15种常用公文范例）。再谈一下通报和函。通报适用于表彰先进、批评错误、传达重要精神和告知重要情况，通俗的说好事、坏事都可以通报，并不是通常理解的通报只用于批评；函适用于不相隶属机关之间商洽工作、询问和答复问题、请求批准和答复审批事项，绝对不允许给上级机关发函，给上级机关要么是报告，要么是请示。

关于公文的诸多细节问题

俗话说“细节决定成败”，细节对公文而言同样如此。

（一）公文起草。公文起草应当做到：

1.符合党的理论路线方针政策和国家法律法规，完整准确体现发文机关意图，并同现行有关公文相衔接。

2.一切从实际出发，分析问题实事求是，所提政策措施和办法切实可行。3.内容简洁，主题突出，观点鲜明，结构严谨，表述准确，文字精练。4.文种正确，格式规范。

5.深入调查研究，充分进行论证，广泛听取意见。6.公文涉及其他地区或者部门职权范围内的事项，起草单位必须征求相关地区或者部门意见，力求达成一致。

7.机关负责人应当主持、指导重要公文起草工作。

（二）公文审核。公文文稿签发前，应当由发文机关办公厅（室）进行审核。审核的重点是： 1.行文理由是否充分，行文依据是否准确。

2.内容是否符合党的理论路线方针政策和国家法律法规；是否完整准确体现发文机关意图；是否同现行有关公文相衔接；所提政策措施和办法是否切实可行。

3.涉及有关地区或者部门职权范围内的事项是否经过充分协商并达成一致意见。

4.文种是否正确，格式是否规范；人名、地名、时间、数字、段落顺序、引文等是否准确；文字、数字、计量单位和标点符号等用法是否规范。5.其他内容是否符合公文起草的有关要求。

需要发文机关审议的重要公文文稿，审议前由发文机关办公厅（室）进行初核。经审核不宜发文的公文文稿，应当退回起草单位并说明理由；符合发文条件但内容需作进一步研究和修改的，由起草单位修改后重新报送。

（三）签发。公文应当经本机关负责人审批签发。重要公文和上行文由机关主要负责人签发。党委、政府的办公厅（室）根据党委、政府授权制发的公文，由受权机关主要负责人签发或者按照有关规定签发。签发人签发公文，应当签署意见、姓名和完整日期；圈阅或者签名的，视为同意。联合发文由所有联署机关的负责人会签。

上行文应当标注签发人姓名，格式由“签发人”三字加全角冒号加和签发人姓名组成，居右空一字，编排在发文机关标志下空二行位置。“签发人”三字用三号仿宋体字，签发人姓名用三号楷体字。

如有多个签发人，签发人姓名按照发文机关排列顺序从左至右，从上到下依次均匀编排，一般每行排两个姓名，回行时与上一行第一个签发人姓名对齐。

（四）发文字号。用三号仿宋字体，年份、发文顺序号用阿拉伯数字标注；年份标注公元纪年全称，用六角括号标明；发文顺序号不加“第”字，不编虚位（即1不编为01），在阿拉伯数字后加“号”字。发文机关代字应当准确、规范、无歧义、易识别，并固定使用。如“青政办发〔2015〕3号”，而不是【】（）〈〉等括号。

平行文、下行文的发文字号编排在发文机关标志下空两行位置，居中排布；上行文的发文字号居左空一字编排，与最后一个签发人姓名处在同一行。（三、四的相关描述如下图，三种情况）

（五）公文用纸。采用国际标准A4型，以前是政府机关用A4纸，党的机关用16K纸，目前已党政统一。

（六）数字和英文。标题、正文中所有阿拉伯数字与英文，建议采用Times New Roman字体，用仿宋字体也可。现代社会生活中出现的事物、现象、事件，名称的书写形式中包含阿拉伯数字，已经广泛使用而稳定下来，应采用阿拉伯数字。如：“7•5”事件、“12•5”枪击案。但是，汉语中长期使用已经稳定下来的包含汉字数字形式的词语，应采用汉字数字，如：五四运动、“一•二八”事变、“一二•九”运动。如果要突出庄重典雅的表达效果，应使用汉字数字。如十一届全国人大一次会议，不应写为“11届全国人大1次会议”；十八届四中全会，不应写为“18届4中全会”。对于法律文书引用法条，如“《中华人民共和国城乡规划法》第四十条”，不应写成“《中华人民共和国城乡规划法》第40条”。

（七）书名号。书名号的形式有双书名号“《》”和单书名号“〈〉”两种。当书名号中还需要书名号时，里面一层用单书名号，外面一层用双书名号。例如，欢迎订阅《〈中华人民共和国行政处罚法〉学习读本》。最容易出现的错误，是用尖括号或数学中的“大于号”或“小于号”代替单书名号，如《＜中华人民共和国行政处罚法＞学习读本》。

（八）连接号。连接号的形式有短横线“-”、一字线“——”和浪纹线“～”三种。标示相关项目（如时间、地域等）的起止，一般用一字线，有时也可用浪纹线。实践中常见错误是用短横线代替一字线，如《×××××五年改革纲要（2014-2018）》，正确表述应该是《×××××五年改革纲要（2014——2018）》。

（九）页面设置。一般要求为每页22行，每行28个字。公文左边界28毫米，右边界26毫米，天头（上边界）37毫米，地脚（下边界）35毫米。

（十）页码。正式公文的页码用四号半角宋体阿拉伯数字，数字左右各放一条一字线。编排在公文版心下边缘之下，单页码居右，双页码居左。公文附件与正文一起装订时，页码应当连续编排。（如下图）对于非正式公文的页码设置，大家可以随意，但也基本位于页面最下方，以居中、靠右为多。

（十一）常见错字。如“检查和检察”、“截至”和“截止”、“制定”和“制订”、“做”和“作”等。

写作本身就是一门大学问，公文写作枯燥，却有许多讲究；文字工作没有捷径，要下苦功夫，加强学习，努力钻研，总结积累。老笔头作为公文领域首批原创公众号，“得道”会员作为上线最早、内容最全的综合公文品牌，目前推送的300多篇文章、上传的500万字范文，目的也是尽力实现介绍思维方法与提供精品范文的统一，从而使大家既有方向也有标杆，更快地提升脱颖而出的文字能力。

第三篇：第2讲数列极限及其性质2009

《数学分析I》第2讲教案

第2讲数列极限概念及其性质

讲授内容

一、数列极限概念

数列 a1,a2,,an,,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子．（1）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽.n

22园内接正n边形的面积An

Rsin

2n

sin

(n3,4,），当n时，AnR

2nn

R

2

（2）古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．第一天截下

12，第二天截下

n

2，„„，第n天截下

n，„„这样就得到一个数列

22,2,,1,．或n.n22

不难看出，数列{}的通项

n

随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列{an}，若当n无

限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N时有|ana|则称数列{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作limana，或ana(n).读作“当n

n

趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}为发散数列．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

二、根据N定义来验证数列极限

例2证明lim

1n



n

0，这里为正数

,故对任给的>0，只要取N=

1



1，则当nN时，便有 

证：由于 |

1n



0|

1n



1n





1N



即|

1n



0|.这就证明了lim

1n



n

0.例3证明lim

3n

n

n33n

3.分析由于|

n

33|

9n3



9n

(n3).因此，对任给的>o，只要

9n

，便有

|

3n

n3

3|,即当n

时，(2)式成立．故应取Nmax{3, 

999

证任给0,取Nmax{3,据分析，当nN时有|23|,式成立.于是本题得证.n3

n

例4证明limq=0，这里|q|<1．

n

3n

证若q=0，则结果是显然的．现设0<|q|<1．记h

1|q|

1，则h>0．我们有

|q0||q|

11nh

nn

1(1h)

n,并由(1h)1+nh得到|q|

|q0|，这就证明了limq

n

n

nn



1nh

.对任给的0,只要取N

h,则当nN时，得

n

0.注：本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明，简述如下：对任给的>0(不妨设<1)，为使

n

n

只要nlg|q|lg即n|q0||q|，lglg|q|

（这里0|q|1).于是，只要取N

lglg|q|

即可。

例5证明lim

n

n

a1，其中a>0．

证：(ⅰ)当a1时，结论显然成立.(ⅱ)当a1时，记an1，则0.由 a(1)n1n1n(an1)得

an1

a1n.（1）

任给0，由(1)式可见，当n

a1



N时，就有an1，即|an1|.所以lim

n

a1.(ⅲ)当0a1时，,１

n

－１，则0.由

a

1

1n

(1)1n1n1得 aa1

1a

n



a

1n.a

a

1

1

n.1

（2）

任给0，由（2式可见，当n１

a1



N时，就有1an，即|an1|.所以lim

n

n

a1.关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性：尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既



2时任意小的正数，那么,3或等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式|ana|中的可用

,3或等来代替．

2．N的相应性：一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的.3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．

定义2若liman0，则称{an}为无穷小数列．由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

n

n

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列．

三、收敛数列的性质

定理2.2(唯一性)若数列{an}收敛，则它只有一个极限．

定理2.3(有界性)若数列{an}收敛，则{an}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有|an|M.证：设limana取1，存在正数N，对一切n>N有

n

|ana|1即a1ana1.记Mmax{|a1|,|a2|,|aN|,|a1|,|a1|},则对一切正整数n都有anM．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列1定理2.4(保号性)若limana0

n



n

有界，但它并不收敛．

(a,0

(或<0)，则对任何a(0,a)(或a，存在正数N，使

得当nN时有ana(或ana)．

证：设a0．取aa(>0)，则存在正数N，使得当nN时有aana，即

anaa，这就证得结果．对于a0的情形，也可类似地证明．

注：在应用保号性时，经常取a

a2

.即有an

a2，或an

a2

定理2.5(保不等式性)设an与bn均为收敛数列．若存在正数N0，使得当nN0时，有anbn，则limanlimbn.n

n

请学生思考：如果把定理2.5中的条件anbn换成严格不等式anbn，那么能否把结论换成limanlimbn?，并给出理由.n

n

例1设an0n1,2,．证明：若limana,则lim

n

n

an

a.证：由定理2.5可得a0.若a0，则由liman0，任给0，存在正数N，使得当nN时有an，从而an即

n

an0,故有lim

n

an0.anaan

a

ana

a

若a0，则有

an

a

.任给0，由limana，存在正数N，使得当

n

nN时有ana

a,从而

an

a．故得证．

第四篇：初升高衔接教材第5讲二次函数最值问题

第五讲 二次函数的最值问题

二次函数yax2bxc(a0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时，函数在bb4acb2x处取得最小值，无最大值；当a0时，函数在x处取得最大值2a2a4a4acb2，无最小值。4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题。同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用。

【例1】当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值。

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值。

【例2】当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值。

【例3】当x0时，求函数yx(2x)的取值范围。

【例4】当txt1时，求函数y125xx的最小值(其中t为常数)。22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置。

【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54。

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

练习

第五篇：共产党人最讲认真

共产党人最讲认真

报刊载过一篇短文,题目 是“认真,不对吗?”道出了作者在现实生活中感受到的一系列“想不通”。认真,真的不对吗?回答当然是否定的。论语云:“勿以善小而不为,勿以恶小而为之”,这是一种认真;范仲淹“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”也是一种认真;徐九斤“当官不为民作主,不如回家卖红薯”是一种认真;困难时期毛主席坚持不吃肉,周恩来私人用车自付费更是一种认真;孔繁森母老妻病但终不归又何不是一种认真?„„不正是这些认真才真切地构造了伟人杰出的高风亮节和光辉形象吗?!毋庸讳言,目前我们党员干部队伍的状况难以令人满意,老百姓对我们“颇有微词”。那么,究竟是什么原因走到这步田地的呢?许多问题往往出在“说起来清清楚楚,做起来糊里糊涂”,言行不一,失信于民,当然也毁坏了自身的形象。形象不好,何谈号召力?何以得民心?又何以治国、平天下?!正是从这个意义上说,认真,是从政的起码“官德”。笔者以为,作为一名党政干部,当前至少有以下五个方面须切实“认