第一篇:数列专题求和求最值证明(七)修改稿
专题三数列的求和、证明及求最值
求数列的前n项和
基本方法:
题型
一、公式法
①等差数列求和:Sn(a1an)1)d
n2nan(n
1
2na1q
1②等比数列求和: Snan
1(1q)q1
1q
③自然数列求和:123nn(n1)
2122232n2nn12n1,132333n3n
n12
62 例、求数列1,35,7911,13151719,的前n项和
题型
二、拆解、分组求和法---对于数列等差和等比混合数列 例
1、求数列{2n2n3}的前n项和Sn=____________________________
例
2、求数列1121,31
12,48,,(n2n),的前n项和Sn=_________________________
例
3、求和:2×5+3×6+4×7+„+n(n+3)=_______________________________
题型
三、裂项相消法
数列的常见拆项有:
111;
1n(n1)nn1n(n2)1
2(1
n1
n2);
n(n1)(n2)1
2[1
n(n1)1
(n1)(n2)]
nn1n1n;
2(n1n)212
nn1nnn12(nn1)(nN,n2)
111
n(n1)n2n(n1)(nN,n2)
例
1、求和:11
11.2
13
4
n1
n
例
2、求和:S=1+
111
2
12
3
123n
(高考真题)已知等差数列an满足:a37,a5a726,an的前n项和为Sn(1)求an及Sn(2)令bn
1a2
(N),求数列{bn}的前n项和Tn
n
1n答案:(1)ann2n1,Snnn2(2)Tn4(n1)
题型
四、倒序相加法,例
1、设f(x)
x
1x,求: ⑴f(14)f(13)f(1
2)f(2)f(3)f(4);
⑵f(12010)f(12009)f(13)f(12)f(2)f(2009)f(2010).例2、设f(x),利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法,可求得f(5)f(4)...f(0)...f(6)的值为
__________________巩固:已知F(x)f(x
212n
1)1是R上的奇函数,anf(0)f()f()f()f(1)
n
n
n
(nN*),则数列an的通项公式为()
A.ann1B.annC.ann1Dann2
题型
五、错位相减法------------------------其特点是cnanbn,其中{an}是等差,{bn}是等比
n
例、若数列an的通项an(2n1)3,求此数列的前n项和Sn.思考:将“3”改为“q”,如何求Sn
(高考真题)等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN*,点n,Sn均在函数
ybr(b0,b1,b,r均为常数)的图象上
x
(1)求r的值
(2)当b2时,记bn答案:(1)1(2)Tn
n14an
32(nN*),求数列bn的前n项和Tn
n
1(n3)
题型
六、绝对值数列求和问题------------------------分类讨论 例、已知数列{a2n}的前n项和Sn=12n-n,求数列{|an|}的前n项和Tn.题型
七、综合题
例
1、已知数列a1n的前n项和为Sn,且满足an2SnSn10(n2),a1
2(1)求证:1
是等差数列
Sn
(2)求an的通项公式
(3)若b222
n2(1n)an(n2),求证:b2b3bn
1Snn
112
例
2、设数列{an}的前项和为Sn,点(n,*)在直线yx
上。数列{bn}满足
bn22bn1bn0(nN),且b311,前9项和153.(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)设cn
(2an11)(2bn1),数列{cn}的前项和为Tn,求使不等式Tn
k57
对一切
nN都成立的最大正整数k的值.*
an,(3)设f(n)
bn,(n2l,lN*)(n2l,lN*),是否存在nN*,使得f(m15)5f(m)成立?
若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.答案(1)ann5,bn3n2(2)18(3)m=11
第二篇:数列求和公式证明
1)1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边
数学归纳法可以证
也可以如下做 比较有技巧性
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+......+n^
2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/
3所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
2)1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1)=?
设n为奇数,1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=
=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)
=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)
=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)
=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)/3
设n为偶数,请你自己证明一下!
所以,1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
设an=n×(n+1)=n^2+n
Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1)
=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
数列求和的几种方法
1.公式法:
等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式:
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)
2.错位相减法
适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如:an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn=(a1+an)n/
24.分组法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.例如:an=2^n+n-1
5.裂项法
适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项。常用公式:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5)n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求数列an=1/n(n+1)的前n项和.解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)(裂项)
则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)= 1-1/(n+1)= n/(n+1)
小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意: 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值时命题成立;
(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
例:求证:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)=
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明: 当n=1时,有:1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1)= 2×3×4×5×6/5假设命题在n=k时成立,于是:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证
7.通项化归
先将通项公式进行化简,再进行求和。如:求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出,再利用分组等方法求和。
8.并项求和:
例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n(并项)
求出奇数项和偶数项的和,再相减。
第三篇:数列求和问题
数列求和问题·教案
教学目标
1.初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法.
2.通过把某些既非等差数列,又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题,培养学生观察、分析问题的能力,以及转化的数学思想.
教学重点与难点
重点:把某些既非等差数列,又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和. 难点:寻找适当的变换方法,达到化归的目的. 教学过程设计
(一)复习引入
在这之前我们知道一般等差数列和等比数列的求和,但是有时候题目中给我们的数列并不是一定就是等比数列和等差数列,有可能就是等差数列和等比数列相结合的形式出现在我们面前,对于这样形式的数列我们该怎么解决,又该用什么方法?
二、复习预习
通过学习我们掌握了是不是等差等比数列的判断,同时我们也掌握也一般等差或者等比数列的一些性质和定义,那么对于题中给我们的数列既不是等差也不是等比的数列怎么求和呢,带着这样的问题来学习今天的内容
三、知识讲解 考点
1、公式法
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.1、等差数列求和公式:Snn(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na1
2、等比数列求和公式:Sna1(1qn)a1anq
(q1)1q1qn113、Snkn(n1)
4、Snk2n(n1)(2n1)
26k1k1n15、Snk3[n(n1)]2
2k1n
考点
2、分组求和法
有一类数列,它既不是等差数列,也不是等比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.例求和:Sn2351435263532n35n 解:Sn2351435263532n35n
2462n35152535n
4,6,,2n练习:求数列2,14181161,的前n项和Sn. 2n111{2n},而数列是一个等差数列,数列n1是一个等比
2n12分析:此数列的通项公式是an2n数列,故采用分组求和法求解.
111111解:Sn(2462n)234n1n(n1)n1.
222222小结:在求和时,一定要认真观察数列的通项公式,如果它能拆分成几项的和,而这些项分别构成等差数列或等比数列,那么我们就用此方法求和.考点
3、、倒序相加
类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列{an},与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和。
这一种求和的方法称为倒序相加法.这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1an).例求sin21sin22sin23sin288sin289的值
解:设Ssin21sin22sin23sin288sin289„„„„.①
将①式右边反序得
Ssin289sin288sin23sin22sin21„„„„..②(反序)
又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1
①+②得(反序相加)
2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)=89 ∴ S=44.5
2x练习:已知函数fxx 22(1)证明:fxf1x1;
1(2)求f102f108f109f的值.10解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边(2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,1f1092ff10108f108f102f105f105f1 101令Sf109则Sf102f108f109f 101f 10两式相加得:
2S9
1f1099f9 所以S.210小结:解题时,认真分析对某些前后具有对称性的数列,可以运用倒序相加法求和.考点
4、裂相相消法
把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似
(其中{an}是各项不为零的等差数列,c为常数)的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项方法:
1,求它的前n项和Sn
n(n1)例、数列an的通项公式为an解:Sna1a2a3an1an
11111 122334n1nnn1111111111 =1
22334n1nnn11n n1n1小结:裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差,且这两项是同一数列的相邻两项,即这两项的结构应一致,并且消项时前后所剩的项数相同.1针对训练
5、求数列 1111,,,的前n项和Sn.122332nn1练习:求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解:设annn11n1n(裂项)
1nn1则 Sn12312(裂项求和)
=(21)(32)(n1n)
=n11
作业:基本练习
2221、等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则a12a2=________________.a3an2、设Sn1357(1)n(2n1),则Sn=_______________________.3、111.1447(3n2)(3n1)
4、1111=__________ ...243546(n1)(n3)
5、数列1,(12),(1222),,(12222n1),的通项公式an,前n项和Sn 综合练习1、1222324252629921002=____________;
2、在数列{an}中,an1,.则前n项和Sn;
n(n1)(n2)n2an(n1)(n2),n3、已知数列{an}满足:a16,an1(1)求a2,a3;(2)若dn an,求数列{dn}的通项公式;
n(n1)
考点5错位相减
类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到,即数列是一个“差·比”数列,则采用错位相减法.若anbncn,其中bn是等差数列,cn是公比为q等比数列,令
Snb1c1b2c2bn1cn1bncn
则qSnb1c2b2c3bn1cnbncn1 两式相减并整理即得
例4 求和:Sn13x5x27x3(2n1)xn1„„„„„„„„„①
解:由题可知,{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积
设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn„„„„„„„„„.②(设制错位)
①-②得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn(错位相减)
1xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得:(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x)∴ Sn 2(1x)小结:错位相减法的步骤是:①在等式两边同时乘以等比数列{bn}的公比;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和公式求和.2462n练习:
1、求数列,2,3,,n,前n项的和.22222n1解:由题可知,{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积
222462n设Sn23n„„„„„„„„„„„„„①
222212462nSn234n1„„„„„„„„„„„„②(设制错22222位)
1222222n①-②得(1)Sn234nn1(错位相减)
222222212n2n1n1
22n2 ∴ Sn4n1
2、已知 ann2n1,求数列{an}的前n项和Sn.解:Sn120221(n1)2n2n2n1 ①
2Sn121222(n1)2n1n2n ②
②—①得
Snn2n120212n1n2n2n1
1352n13、6、,2,3,,n,;的前n项和为_________ 222264、数列{an}中, a11,anan1n1,nN*,则前n项和S2n=;
55、已知数列annn!,则前n项和Sn=;
小结:错位相减法的求解步骤:①在等式两边同时乘以等比数列cn的公比q;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和的公式求和.
第四篇:数列求和教案
数列求和
数列求和常见的几种方法:(1)公式法:①等差(比)数列的前n项和公式;
1n(n1)21222n2nn(
123......6② 自然数的乘方和公式:123......n(2)拆项重组:适用于数列
1n)(2 1)an的通项公式anbncn,其中bn、cn为等差数列或者等比数列或者自然数的乘方;
(3)错位相减:适用于数列an的通项公式anbncn,其中bn为等差数列,cn为等比数列;
(4)裂项相消:适用于数列a的通项公式:aknnn(n1),a1nn(nk)(其中k为常数)型;
(5)倒序相加:根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的.(6)
分段求和:数列an的通项公式为分段形式
二、例题讲解
例
1、(拆项重组)求和:311254718......[(2n1)12n]
练习1:求和Sn122334......n(n1)
例
2、(裂项相消)求数列11113,35,57,179,...,1(2n1)(2n1)的前n项和
练习2:求S11n11212311234...1123...n
例
3、(错位相减)求和:1473n222223...2n
练习3:求Sn12x3x24x3...nxn1(x0)
例
4、(倒序相加)设f(x)4x4x2,利用课本中推导等差数列前n项和的方法,求:f(11001)f(21001)f(31001)...f(10001001)的值
a3n2(n4)例
5、已知数列n的通项公式为an2n3(n5)(nN*)求数列an的前n项和Sn
检测题
1.设f(n)22427210...23n10(nN),则f(n)等于()
2n222n4(81)
B.(8n11)
C.(8n31)
D.(81)777712.数列{an}的前n项和为Sn,若an,则S5等于()
n(n1)511A.1
B.
C.
D.
66303.设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S37,且a13,3a2,a34构成等差数列. A.(1)求数列{an}的通项公式.(2)令banln3n1,n1,2...,求数列{bn}的前n项和Tn。
4.设数列a2nn满足a13a23a3…3n1a
3,aN*n.(Ⅰ)求数列an的通项;
(Ⅱ)设bnna,求数列bn的前n项和Sn n
5.求数列22,462n22,23,,2n,前n项的和.6:求数列112,123,,1nn1,的前n项和.7:数列{an}的前n项和Sn2an1,数列{bn}满b13,bn1anbn(nN).(Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn。
8:
求数列21,41,6114816,2n2n1,...的前n项和Sn.
.
9、已知数列an的前n项和Sn123456...1n1n,求S100.10:在各项均为正数的等比数列中,若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.11:求数列的前n项和:11,1a4,11a27,,an13n2,…
12:求S12223242...(1)n1n2(nN)
13:已知函数fx2x2x2(1)证明:fxf1x1;
(2)求f1f10210f810f910的值。.
第五篇:数列求和教案
课题:数列求和
教学目标
(一)知识与技能目标
数列求和方法.
(二)过程与能力目标
数列求和方法及其获取思路.
教学重点:数列求和方法及其获取思路. 教学难点:数列求和方法及其获取思路.
教学过程
1.倒序相加法:等差数列前n项和公式的推导方法:(1)Sna1a2an2Snn(a1an)
Snanan1a112223210222 例1.求和:2110222923282101分析:数列的第k项与倒数第k项和为1,故宜采用倒序相加法.
小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.2.错位相减法:等比数列前n项和公式的推导方法:
(2)Sna1a2a3an(1q)Sna1an1 qSaaaa23nn1n23n例2.求和:x3x5x(2n1)x(x0)
3.分组法求和
1的前n项和; 161例4.设正项等比数列an的首项a1,前n项和为Sn,且210S30(2101)S20S100
2例3求数列1,2,3,4(Ⅰ)求an的通项;(Ⅱ)求nSn的前n项和Tn。例5.求数列 1, 1a, 1aa,,1aaa121418,的前n项和Sn.n(n1)解:若a1,则an111n, 于是Sn12n;2 n1a1 若a1,则an1aan1 (1an)1a1a1a1a21an11a(1an)2n于是Sn [n(aaa)][n]
1a1a1a1a1a1a111 1212312n22n14.裂项法求和 例6.求和:12112(),n(n1)nn11111112n Sna1a2an2[(1)()()]2(1)223nn1n1n1解:设数列的通项为an,则an例7.求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解:设annn11n1n
(裂项)
1nn1则 Sn12312
(裂项求和)
=(21)(32)(n1n)
=n11
三、课堂小结:
1.常用数列求和方法有:
(1)公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;(2)化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题;(3)倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和;
(4)错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和;(5)并项求和法: 将相邻n项合并为一项求和;(6)分部求和法:将一个数列分成n部分求和;
(7)裂项相消法:将数列的通项分解成两项之差,从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.四、课外作业: 1.《学案》P62面《单元检测题》 2.思考题
11146前n项的和.481612n2(2).在数列{an}中,an,又bn,求数列{bn}的前n项的和.n1n1n1anan12(1).求数列:(3).在各项均为正数的等比数列中,若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.解:设Snlog3a1log3a2log3a10
由等比数列的性质 mnpqamanapaq
(找特殊性质项)和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN
得
Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)
(合并求和)
=(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)
=log39log39log39
=10