第一篇:数学建模与数学实验
通过多年来的教学改革与教学实践,教学效果显著,模块化分层次教学、换位式教学和启发式教学的方法得到了学生们的认可。这种方式大大提高了学生们的动手能力,并贯穿于平时的教学实践中,同时也反映出学生撰写科技论文的写作水平,为学生进一步参加数学建模竞赛奠定了良好的基础。该课程的成功经验在我校、市内以及西部地区起到很好的示范辐射作用,得到专家和学生的好评。
校外专家
(一)评价:
刘琼荪(全国数学建模竞赛重庆赛区组委会秘书长,重庆大学教授)
重庆邮电大学是我国最早开设数学建模系列课程的学校之一, 经过十多年的努力,该课程已经建设成为培养学生的创新和竞争能力的优秀课程。该课程在教学环节上充分体现出了教学研究型大学的特色,坚持培养学生“以竞赛为契机,以能力提升为宗旨”的指导思想,在教学内容和教学方式方面进行了大胆、慎重的改革, 把课堂教学、课后实践、在数学建模基地做数学实验、参加讨论班研讨、参加国内外数学建模竞赛结合起来,既激发了学生进一步学习数学的兴趣,又提高了学生的科学素质和能力,收到了很好的效果。该类课程自开设以来,已有逾万名学生学习本课程。全校每年有1000余名学生参加全国或校内竞赛,近三年参加全国大学生数模竞赛中, 获全国奖27项(规定每年一个学校最多10项), 成绩在重庆赛区参赛学校中名列前茅。另外,陈理荣教授等编著的教材《数学建模导论》(北京邮电大学出版社出版)也已为全国20余所大学用作数学建模课程的教材被广泛使用,杨春德教授等编著的《数学建模的认识与实践》也为本门课程的建设提供了素材。且《数学建模》已成为重庆市精品课程,“数学建模与数学实验”教学团队已获重庆市市级教学团队称号。
有鉴于此,我认为《数学建模与数学实验》已完全达到了重庆邮电大学重点课程的要求。
校外专家
(二)评价:
朱宁(全国大学生数学建模优秀指导教师,桂林电子科技大学教授)
全国大学生数学建模竞赛自90年代在我国开展以来,一直受到全国各高校的重视,把竞赛作为培养数学知识应用的一个平台。重庆邮电大学是较早参加这活动的高校,近几年,在竞赛中屡获佳绩,走在同类高校的前列,引起了广泛的重视。本人认为重庆邮电大学在数学建模赛成功的主要经验有如下几方面: 首先是有一支实力雄厚、敬业的师资队伍。《数学建模与数学实验》课程建设成员11名,其中有教授4人,副教授6人,4人具有博士学位,1人获全国大学生数学建模竞赛优秀指导教师称号。教学成果多,教学团队整体实力强,“数学建模与数学实验”教学团队已获重庆市市级教学团队称号。
其次《数学建模与数学实验》类课程形成了“三层次—两阶段”的教学和竞赛的课程改革方案,设计并探索了数学应用型人才培养理念,在教学模式和教学方法和评价方式等方面均有创新,形成了“教学-实践-竞赛” 的数学建模教学模式,形成了一套具有特色的加强数学模型思想的教学模式。
第三是注重校际间交流,吸取好的经验,完善教学过程。教师曾多次在国内外关于数学建模教学与应用会议上介绍经验,并先后在国内外核心期刊上发表论文数篇。每年参加赛区举办的数学实验课程和数学建模竞赛的教学经验交流会议。该课程建设已在西部地区起到了示范作用。
鉴于以上内容,个人认为《数学建模与数学实验》已达到了重庆邮电大学重点课程的要求。
校内同行评价
胡学刚(全国数学建模竞赛优秀指导教师,重庆邮电大学教务处副处长、教授)
《数学建模与数学实验》类课程先后为不同层次的学生开设了任选课、限选课和必修课。近年来,课程建设小组以《数学建模与数学实验》类课程为平台,以数学建模竞赛为契机,在工科数学类课程的教育教学改革中取得了突出成绩,主要表现在以下几个方面:
1.坚持数学建模类课程建设与工科数学教学改革相结合,数学建模类课程建设与数学建模竞赛相结合,理论教学与实验实践、课外活动相结合,将数学建模的思想融入到其它数学类课程的教学中,进一步深化工科数学类课程的教学改革。该课程建设特色鲜明,成效显著。
2.课题组老师热情指导学生开展数学建模活动,积极组织学生参加校内、国内及美国大学生数学建模竞赛。从最初的鼓励学生参赛,到现在同学们积极主动参赛;从最初的几个队参赛到现在的近百个队参赛,数学建模竞赛经历了一次次飞跃。经过多年的探索,课题组总结了一套成功的指导培训经验,使我校学生参加全国竞赛取得了优异成绩,近3年来,我校共有27个队获得国家级奖励,在重庆赛区位居前列,特别是2011年名列全国第二(公示中)。
3.师资队伍建设成效显著。近年来,课题组新增2位教师获得博士学位,1位教师博士即将毕业,教授由申报时的0人变为4人。队伍中现拥有全国模范教师、重庆市中青年骨干教师、重庆邮电大学优秀青年教师。他们多次在赛区组织的教练交流活动中介绍数学建模类课程程建设经验和竞赛经验,在重庆市乃至西部地区发挥了示范辐射作用。
4.课程建设成绩显著。在该门课程建设过程中,编著出版了《数学建模的认识与实践》一书,《数学建模》已成为重庆市精品课程,“数学建模与数学实验”已获重庆市市级教学团队称号,《数学建模理论与方法》于2011年成为重庆邮电大学立项建设教材。
有鉴于此,该课程是有较大影响的富有特色的课程,已具备了重庆邮电大学重点课程的条件。
学生评价
(一):
数学建模与数学实验这门课程是一门开放性和主动性的一门课程,它就是需要从现实生活、现实问题中抽象出数学模型,从而解决问题。这门课程融合了许多学科,对于学生来说,有机会广泛涉猎各种知识,这对于我们后续的发展是十分有好处的,因为目前在实际部门工作,也许不需要你对某一方面的有很深的知识,主要是遇到一个问题,能有解决的方法;再有就是对于继续深造的同学,也十分有益,因为通过广泛的知识储备,学生可以从中找到自己感兴趣的方向,继续深入的做下去,《数学建模与数学实验》这门课就为我们在这两方面打下了良好的基础。
同时,数学建模有利于培养学生的创造性思维能力,数学建模主要考查学生的数学思想方法,它是一种数学活动,而不单单像传统的数学练习题一样,做出来的答案是唯一的。相反,它可以有多种多样的答案,只要学生建立的模型是可行的,那它就是正确的。在学习这门课程的过程中,我也做过很多的实际题目,从那些过程中,我体会到的数学在实际生活中的应用,更重要的是培养了我们合作交流的方法、习惯,特别是促进学生的数学应用意识,提高了解决实际问题的能力。无论是数学研究还是数学学习,其目的之一就是将数学运用于社会,运用于现实,数学建模就重视培养学生的数学思维,加强数学应用意识,切实提高分析和解决实际问题的能力。
学习《数学建模与数学实验》是我大三的时候,朱伟老师将这门数学课讲得生动有趣,他没有介绍过于高深的理论,而是从实际应用出发。让我们对这门课程充满了兴趣,同时也对数学有了重新的认识,目前我正在进行硕士研究生阶段的学习,觉得那个时候学到的一些理论知识还有用,虽然那个时候没有过多的去深入研究那些知识,但现在当我遇到问题的时候,我知道有那样的一个理论存在,所以对于我来说就多了一些解决问题的方法。总之,在解决实际问题时,我们只有多了解一些方法,才能去掌握它,从而运用它,《数学建模与数学实验》就是一个连接理论与实际应用的桥梁。
(重庆邮电大学信息与计算科学专业,现西南财经大学统计学院硕士研究生 周黎)
校内学生(二)评价
大一的时候我就接触过数学建模,那是学校组织的数学建模竞赛,我们小组在比赛中获得了第三名,虽然是一个小小的第三名,当时还是给我很大的鼓舞,因为那时候大一能得奖好像只有两组,因此这学期一听说要开数模选修课,我就立马去报了名,抱着一点能学点东西的态度,认认真真的听完了前面大半的内容,后面由于很难坐倒好坐位,就只有自学了。
通过这门课的学习,我认识到了数模课多么的博大精深,虽然还是要靠一点小聪明,但主要还是要靠勤奋,因为数模涉及到太多的东西了,基本涉及到所有数学方面的知识,还有社会,科学等各方面的知识,要想能在这上面有所成就,只有靠平时的认真学习,打下牢实的基础。只有这样,才有可能在这上面有所发展。学习这门课,不管从学知识的角度,还是从学做学问的角度,对我而言,我都有很大的收获,衷心感谢各位数学组的老师在星期六不辞辛苦为我们上课。
(重庆邮电大学通信学院, 杨鹏)
校内学生(三)评价
从小到大,我对数学充满了爱好和兴趣,于是报名参加了数模学习辅导班。通过一个学期的数模学习,使自己学到了很多东西,不仅对数模的概念有了一定的了解,对数学建模的方法有了一定的掌握,同时也使自己加深了对数学知识的理解,能灵活运用数学解决一些实际吻题。数学建模是一种具有创造性的科学方法,它将现实问题简化,抽象为一个数学问题或者数学模型,然后采用恰当的数学方法求解,进而对现实问题进行定量分析和研究,最终达到解决实际问题的目的。随着计算机的运用和发展,数学建模成为高科技的一种“数学技术”,起着关键性的作用,作为计算机学员的一名学生,掌握新的技术和方法是必要的,是受益匪浅的。通过一个学期的学习,数模培养了我的洞察力,想象力,逻辑思维能力以及分析问题,解决问题的能力。在学习过程中,虽然碰到了很多的问题和困难,但是在老师的指点和教导下,使得很多问题都得到了解决,在这里要感谢辛勤教育我们的老师。虽然我没有去参加数模竞赛,但是我确实学到了很多东西,我相信这些我所学到的知识,对我的将来是有好处的。
(重庆邮电大学计算机学院:陈辉)
第二篇:数学建模实验小结
例1-1 >> r=2;V=4/3*pi*r^3 V =
33.5103 例2-1 计算s=...>> s=0;>> for n=1:100 s=s+1/n/n;end >> s s =
1.6350 例2-5 两个一元函数y=x3-x-1,y=x .2sin(5x)在区间-1 y=abs(x).^0.2.*sin(5*x);plot(x,y,':ro');hold off; 曲面图 >> xa=6:8;ya=1:4;>> [x,y]=meshgrid(xa,ya);>> z=x.^2+y.^2;>> mesh(x,y,z)>> [x,y,z] ans = 例2-6 二元函数图z=xexp(-x2-y2).xa=-2:0.2:2;ya=xa; [x,y]=meshgrid(xa,ya);z=x.*exp(-x.^2-y.^2);mesh(x,y,z);pause;surf(x,y,z);pause; contour(x,y,z,[0.1,0.1]);pause mesh(x,y,z); Page40 1.先在编辑器窗口写下列M函数,保存为ex2_1.m function [xbar,s]=ex2_1(x)n=length(x);xbar=sum(x)/n; s=sqrt((sum(x.^2)-n*xbar^2)/(n-1)); >> x=[81 70 65 51 76 66 90 87 61 77];>> [xbar,s]=ex2_1(x)xbar = 72.4000 s = 12.1124 2.s=log(1);n=0;while s<=100 n=n+1; s=s+log(1+n);end m=n 3.F(1)=1;F(2)=1;k=2;x=0;e=1e-8;a=(1+sqrt(5))/2;while abs(x-a)>e k=k+1;F(k)=F(k-1)+F(k-2);x=F(k)/F(k-1);end a,x,k m = a = 1.6180 x = 1.6180 k = 4.clear;tic;s=0;for i=1:1000000 s=s+sqrt(3)/2^i;end s,toc tic;s=0;i=1; while i<=1000000 s=s+sqrt(3)/2^i;i=i+1; end s,toc tic;s=0; i=1:1000000; s=sqrt(3)*sum(1./2.^i);s,toc s = 1.7321 Elapsed time is 2.038973 seconds.s = 1.7321 Elapsed time is 2.948968 seconds.s = 1.7321 Elapsed time is 0.453414 seconds 5.t=0:24; c=[15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28...31 32 31 29 27 25 24 22 20 18 17 16];plot(t,c) 6.(1)x=-2:0.1:2;y=x.^2.*sin(x.^2-x-2);plot(x,y)y=inline('x^2*sin(x^2-x-2)');fplot(y,[-2 2]) (2)t=linspace(0,2*pi,100); x=2*cos(t);y=3*sin(t);plot(x,y) (3)x=-3:0.1:3;y=x; [x,y]=meshgrid(x,y);z=x.^2+y.^2; surf(x,y,z) (4) x=-3:0.1:3;y=-3:0.1:13;[x,y]=meshgrid(x,y); z=x.^4+3*x.^2+y.^2-2*x-2*y-2*x.^2.*y+6;surf(x,y,z) (5) t=0:0.01:2*pi; x=sin(t);y=cos(t);z=cos(2*t);plot3(x,y,z) 7.x=linspace(0,pi,100); y1=sin(x);y2=sin(x).*sin(10*x);y3=-sin(x);plot(x,y1,x,y2,x,y3)%page41, ex7 x=-1.5:0.05:1.5; y=1.1*(x>1.1)+x.*(x<=1.1).*(x>=-1.1)-1.1*(x<-1.1);plot(x,y) Page59 1.>> a=[1 2 3];b=[2 4 3];>> a./b ans = 0.5000 0.5000 1.0000 >> a.b ans = >> a/b ans = 0.6552 >> ab ans = 0 0 0 0 0 0 0.6667 1.3333 1.0000 2.(1)>> a=[4 1-1;3 2-6;1-5 3];b=[9;-2;1];>> ab ans = 2.3830 1.4894 2.0213(2)>> a=[4-3 3;3 2-6;1-5 3],b=[-1;-2;1] a = -5 b = >> ab ans = -0.4706 -0.2941 0(3)>> a=[4 1;3 2;1-5],b=[1;1;1] a = -5 b = >> ab ans = 0.3311 -0.1219(4)>> a=[2 1-1 1;1 2 1-1;1 1 2 1],b=[1;2;3] a = -1 b = >> ab ans = 0 0 6.(1)>> a=[4 1-1;3 2-6;1-5 3];>> b=det(a),inv(a),[V,D]=eig(a)b = -94 ans = 0.2553 -0.0213 0.0426 0.1596 -0.1383 -0.2234 0.1809 -0.2234 -0.0532 V = 0.0185 -0.9009 -0.3066 -0.7693 -0.1240 -0.7248 -0.6386 -0.4158 0.6170 D = -3.0527 0 0 0 3.6760 0 0 0 8.3766(2)>> a=[1 1-1;0 2-1;-1 2 0];b=det(a),inv(a),[V,D]=eig(a)b = ans = 2.0000 -2.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 2.0000 -3.0000 2.0000 V = -0.5773 0.5774 + 0.0000i 0.57740.0000i 0.5773 + 0.0000i D = 1.0000 0 0 0 1.0000 + 0.0000i 0 0 0 1.00000.0000i -0.5773 0.5774 0.5774 -0.5774 0.57730.0000i >> det(V)ans = -5.0566e-028-5.1918e-017i %V的行列式接近0, 特征向量线性相关,不可对角化(3)>> a=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10];[V,D]=eig(a)V = 0.8304 0.0933 0.3963 0.3803 -0.5016 -0.3017 0.6149 0.5286 -0.2086 0.7603 -0.2716 0.5520 0.1237 -0.5676 -0.6254 0.5209 D = 0.0102 0 0 0 0 0.8431 0 0 0 0 3.8581 0 0 0 0 30.2887 >> inv(V)*a*V ans = 0.0102 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.8431 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 3.8581 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0 30.2887 8 对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正。只有(3)对称, 且特征值全部大于零, 所以(3)是正定矩阵.例4.2用2次多项式拟合下列数据。>> clear;x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3];>> y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72];>> p=polyfit(x,y,2)p = 1.7432 -1.6959 1.0850 得到二次拟合式:1.7432x^2-1.6959x+1.0850 >> xi=-0.2:0.01:0.3;>> yi=polyval(p,xi);plot(x,y,'o',xi,yi); 例4.3 求函数y=x*sin(x^2-x-1)在(-2,-0.1)内的零点。>> fun=inline('x*sin(x^2-x-1)','x')fun = Inline function: fun(x)= x*sin(x^2-x-1)>> fzero(fun,[-2,-0.1])??? Error using ==> fzero at 292 The function values at the interval endpoints must differ in sign.>> fplot(fun,[-2,-0.1]);grid on; >> [x,f,h]=fsolve(fun,-1.6),[x,f,h]=fsolve(fun,-0.6)Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.x = -1.5956 f = 1.4909e-009 h = Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.x = -0.6180 f = -3.3152e-012 h = 例4.4求下列方程组在原点附近的解 >> fun=inline('[4*x(1)-x(2)+exp(x(1))/10-1,-x(1)+4*x(2)+x(1)^2/8]','x');[x,f,h]=fsolve(fun,[0,0])Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.x = 0.2326 0.0565 f = 1.0e-006 * 0.0908 0.1798 h = 例4.5 求二元函数f(x,y)=5-x^4-y^4+4*x*y在原点附近的极大值。(等价于求-f(x,y)的极小值) >> fun=inline('x(1)^4+x(2)^4-4*x(1)*x(2)-5');>> [x,g]=fminsearch(fun,[0,0])x = 1.0000 1.0000 g = -7.0000 例4.6 用Newton迭代法求下列方程的正根,要求精度为10的-6次 X^2-3x+e^x=2 >> fun=inline('x^2-3*x+exp(x)-2');>> fplot(fun,[0,2]);>> grid on; %M函数 newton.m function x =newton(fname,dfname,x0,e)if nargin<4,e=1e-4;end x=x0;x0=x+2*e;while abs(x0-x)>e x0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);end >> dfun=inline('2*x-3+exp(x)');format long;newton(fun,dfun,1.5,1e-6),format short ans = 1.*** 例4.7 用函数y=a*e^(b*x)拟合例4.2的数据。>> fun=inline('c(1)*exp(c(2)*x)','c','x');>> x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72];>> c=lsqcurvefit(fun,[0,0],x,y)Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun.c = 1.0997 -1.4923 PAGE 77 1.%Exercise 1(1)roots([1 1 1])%Exercise 1(2) roots([3 0-4 0 2-1])%Exercise 1(3)p=zeros(1,24); p([1 17 18 22])=[5-6 8-5];roots(p) %Exercise 1(4)p1=[2 3]; p2=conv(p1, p1);p3=conv(p1, p2); p3(end)=p3(end)-4;%原p3最后一个分量-4 roots(p3)2.%Exercise 2 fun=inline('x*log(sqrt(x^2-1)+x)-sqrt(x^2-1)-0.5*x');fzero(fun,2)3.%Exercise 3 fun=inline('x^4-2^x');fplot(fun,[-2 2]);grid on; fzero(fun,-1),fzero(fun,1),fminbnd(fun,0.5,1.5) 4.%Exercise 4 fun=inline('x*sin(1/x)','x');fplot(fun, [-0.1 0.1]); x=zeros(1,10);for i=1:10, x(i)=fzero(fun,(i-0.5)*0.01);end;x=[x,-x] x = Columns 1 through 11 0.0050 0.0152 0.0245 0.0354 0.0455 0.0531 0.0637 0.0796 0.0796 0.1061 -0.0050 Columns 12 through 20 -0.0152 -0.0245 -0.0354 -0.0455 -0.0531 -0.0637 -0.0796 -0.0796 -0.1061 5.%Exercise 5 fun=inline('[9*x(1)^2+36*x(2)^2+4*x(3)^2-36;x(1)^2-2*x(2)^2-20*x(3);16*x(1)-x(1)^3-2*x(2)^2-16*x(3)^2]','x'); [a,b,c]=fsolve(fun,[0 0 0])6.%Exercise 6 fun=@(x)[x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2)),x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2))];[a,b,c]=fsolve(fun,[0.5 0.5])7.%Exercise 7 clear;close;t=0:pi/100:2*pi; x1=2+sqrt(5)*cos(t);y1=3-2*x1+sqrt(5)*sin(t);x2=3+sqrt(2)*cos(t);y2=6*sin(t); plot(x1,y1,x2,y2);grid on;%作图发现4个解的大致位置,然后分别求解 y1=fsolve('[(x(1)-2)^2+(x(2)-3+2*x(1))^2-5,2*(x(1)-3)^2+(x(2)/3)^2-4]',[1.5,2])y2=fsolve('[(x(1)-2)^2+(x(2)-3+2*x(1))^2-5,2*(x(1)-3)^2+(x(2)/3)^2-4]',[1.8,-2])y3=fsolve('[(x(1)-2)^2+(x(2)-3+2*x(1))^2-5,2*(x(1)-3)^2+(x(2)/3)^2-4]',[3.5,-5])y4=fsolve('[(x(1)-2)^2+(x(2)-3+2*x(1))^2-5,2*(x(1)-3)^2+(x(2)/3)^2-4]',[4,-4]) 8.%Exercise 8(1)clear; fun=inline('x.^2.*sin(x.^2-x-2)');fplot(fun,[-2 2]);grid on;%作图观察 x(1)=-2; x(3)=fminbnd(fun,-1,-0.5);x(5)=fminbnd(fun,1,2); fun2=inline('-x.^2.*sin(x.^2-x-2)');x(2)=fminbnd(fun2,-2,-1);x(4)=fminbnd(fun2,-0.5,0.5);x(6)=2 feval(fun,x)x = -2.0000 -1.5326 -0.7315 -0.0000 1.5951 2.0000 ans = -3.0272 2.2364 -0.3582 -0.0000 -2.2080 0 %答案: 以上x(1)(3)(5)是局部极小,x(2)(4)(6)是局部极大,从最后一句知道x(1)全局最小,x(2)最大。 %Exercise 8(2)clear; fun=inline('3*x.^5-20*x.^3+10');fplot(fun,[-3 3]);grid on;%作图观察 x(1)=-3; x(3)=fminsearch(fun,2.5); fun2=inline('-(3*x.^5-20*x.^3+10)');x(2)=fminsearch(fun2,-2.5);x(4)=3;feval(fun,x)ans = -179 -54 199 %Exercise 8(3) fun=inline('abs(x^3-x^2-x-2)');fplot(fun,[0 3]);grid on;%作图观察 fminbnd(fun,1.5,2.5) fun2=inline('-abs(x^3-x^2-x-2)');fminbnd(fun2,0.5,1.5)ans = 2.0000 ans = 1.0000 9.%Exercise 9 close; x=-2:0.1:1;y=-7:0.1:1;[x,y]=meshgrid(x,y); z=y.^3/9+3*x.^2.*y+9*x.^2+y.^2+x.*y+9;mesh(x,y,z);grid on;%作图观察 fun=inline('x(2)^3/9+3*x(1)^2*x(2)+9*x(1)^2+x(2)^2+x(1)*x(2)+9');x=fminsearch(fun,[0 0])%求极小值 fun2=inline('-(x(2)^3/9+3*x(1)^2*x(2)+9*x(1)^2+x(2)^2+x(1)*x(2)+9)');x=fminsearch(fun2,[0-5])%求极大值 x = 0 0 x = -0.3333 -6.0000 10.clear;t=0:24; c=[15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28...31 32 31 29 27 25 24 22 20 18 17 16];p2=polyfit(t,c,2)p3=polyfit(t,c,3) fun=inline('a(1)*exp(a(2)*(t-14).^2)','a','t'); a=lsqcurvefit(fun,[0 0],t,c)%初值可以试探 f=feval(fun, a,t) norm(f-c)%拟合效果 plot(t,c,t,f)%作图检验 fun2=inline('b(1)*sin(pi/12*t+b(2))+20','b','t');%原题修改f(x)+20 b=lsqcurvefit(fun2,[0 0],t,c)figure f2=feval(fun2, b,t) norm(f2-c)%拟合效果 plot(t,c,t,f2)%作图检验 Page 94 chapter5 1.x=[0 4 10 12 15 22 28 34 40];y=[0 1 3 6 8 9 5 3 0];trapz(x,y)ans = 178.5000 2.>> x=[0 4 10 12 15 22 28 34 40];y=[0 1 3 6 8 9 5 3 0];diff(y)./diff(x) ans = 0.2500 0.3333 1.5000 0.6667 0.1429 -0.6667 -0.3333 -0.5000 3.xa=-1:0.1:1;ya=0:0.1:2;[x,y]=meshgrid(xa,ya);z=x.*exp(-x.^2-y.^3); [px,py] = gradient(z,xa,ya);Px 4.t=0:0.01:1.5;x=log(cos(t));y=cos(t)-t.*sin(t);dydx=gradient(y,x) [x_1,id]=min(abs(x-(-1)));%找最接近x=-1的点 dydx(id)5.(1)(2)fun=inline('exp(2*x).*cos(x).^3');quadl(fun,0,2*pi)(3)fun=@(x)x.*log(x.^4).*asin(1./x.^2);quadl(fun,1,3)(4)fun=@(x)sin(x)./x; quadl(fun,1e-10,1)%注意由于下限为0,被积函数没有意义,用很小的1e-10代替(5)(6)fun=inline('sqrt(1+r.^2.*sin(th))','r','th');dblquad(fun,0,1,0,2*pi)(7)首先建立84页函数dblquad2 clear; fun=@(x,y)1+x+y.^2;clo=@(x)-sqrt(2*x-x.^2);dup=@(x)sqrt(2*x-x.^2);dblquad2(fun,0,2,clo,dhi,100)%Exercise 6 t=linspace(0,2*pi,100);x=2*cos(t);y=3*sin(t); dx=gradient(x,t);dy=gradient(y,t);f=sqrt(dx.^2+dy.^2);trapz(t,f)10(1)(2) %先在程序编辑器,写下列函数,保存为ex5_10_2f function d=ex5_10_2f(fname,a,h0,e) h=h0;d=(feval(fname,a+h)-2*feval(fname,a)+feval(fname,a-h))/(h*h);d0=d+2*e; while abs(d-d0)>e d0=d;h0=h;h=h0/2; d=(feval(fname,a+h)-2*feval(fname,a)+feval(fname,a-h))/(h*h);end %再在指令窗口执行 fun=inline('x.^2*sin(x.^2-x-2)','x');d=ex5_10_2f(fun,1.4,0.1,1e-3)13.fun=inline('5400*v./(8.276*v.^2+2000)','v');quadl(fun,15,30) 《数学建模与数学实验》网络培训心得体会 一直以来,我和我的同事们为我院的大学数学课程教学改革而思索。做了一些教学探索,收到了一些良好的效果,但也遇到了一些困难,如教师的能力亟待提高,恰逢全国高校教师数学建模与数学实验精品课程的网络培训这个平台给这么好的学习机会。 朱教授讲的如何培养学生的创造性,我和很多听课的同学都感到讲得很精彩,一种创造性是原创性成果、重大发明中所包含的创造性,这些创造我们确实很难做到;另一种创造性,不需要特别高深的理论和复杂的知识背景,大学生已经具备或只需要稍加补充即可,甚至道理浅显近乎常识;它解决问题的过程也比较短暂,无须漫长的积累,甚至立竿见影;但当大学生具备这些创造性后,对困难的问题就能势如破竹,迎刃而解。 朱教授的讲座中引用的例子由浅入深,很能说明问题,“载人宇宙飞船的研制和发射”、“优质杂交水稻品种的培育和推广”、“概率论中的中心极限定理的证明”、“哥德巴赫猜想的证明”等问题阐述了数学建模在现实意义。“万有引力定律”的推导过程、经济学中的“投入产出理论”、“统计上著名的正态分布总体的极大似然估计公式的推导”、“火箭上天”、“工件排序问题”等问题介绍了建模过程中如何复杂问题简单化的思想。 面对我院实际情况,将采取两方面的措施: 一、与实践紧密联系,课堂上增加一些生动形象的数学建模案例,是一种行之有效的途径,这不仅能让学生深刻地体会到什么叫做“学以致用”,而且还能激发学生的好奇心,引导他们主动发现生活中、学习中遇到的各种与数学相关的事情。把被动学习变成主动学习; 二、鼓励学生参加全国大学生数学建模竟赛,“以赛促教”、“以赛促学”,通过以学科竞赛带动创新型人才培养的模式,成立“数学建模”学生社团,指导教师就是我们基础部成立的数学建模小组里的全体老师,通过选修课、集中培训等方式帮助学生了解数学建模的基本知识,提高学生的学习兴趣。 总而言之,将数学建模引入课堂,根本是教师队伍的综合素质较高,我们要加强学习,还需长期经验积累。 数学建模与数学实验教学大纲(工科)总学分:3 总上课时数:48 或32 一、课程的性质与目的 本课程是面向理工科学生开设的一门选修课。本课程的教学目的是让学生增加一些用数学的感性认识,初步掌握一些基本的建模方法、建模原理和数学软件的应用。学生通过这门课的学习,在数学知识的综合运用,将实际问题转化为数学问题的能力方面、创新能力、自学能力方面、发散性思维能力方面都能得到一定培养。 二、适用专业 数学大类、工科各专业 三、课程内容的教学要求 (1)数学建模与数学实验概述:介绍数学建模与数学实验的基本概念,熟悉建模步骤。 (2)初等模型:掌握用初等函数对实际问题的变化关系作简单的定量分析;熟悉用图示法对实际问题作定性分析。 (3)量纲分析建模:掌握量纲分析原理,学会用量纲分析原理对一些物理问题作一些分析;了解数学中的无量纲化方法;掌握非线性方程求根的常用方法。 (4)代数学模型:介绍矩阵在解决实际问题中的应用,熟悉层次分析法的建模步骤,学会用矩阵思想分析实际问题;掌握线性方程组的数值揭解法和矩阵特征值与特征向量的近似求法。 (5)静态优化模型:了解微积分在解决实际问题中应用,掌握静态优化建模的基本步骤;熟悉微分、积分的数值方法。 (6)数值分析法建模:掌握曲线拟合、插值的基本方法,学会用插值、拟合作数据处理,了解插值、拟合建模的大致过程。 (7)常微分方程模型:熟悉微分方程建模的基本步骤,掌握线性微分方程建模基本方法,了解非线性微分方程模型的一些特殊性质;熟悉微分方程的数值解法。 (8)差分方程模型:了解差分法的基本思想,学会建立实际问题的离散模型,掌握递推、迭代法的求解过程。 (9)统计模型与实验 学习简单的随机模型的建模方法,熟悉Matlab工具箱的应用; (10)优化模型:了解最优化思想,熟悉优化建模思路,能建立和求解一些简单的优化模型;会在适当的数学软件上实现优化模型。 四、上机要求 学会Matlab的基本操作、学会非线性方程求根,能在该软件平台上进行较大规模的数据处理及求解微分方程及优化问题。能更具体实际问题在软件上实现小规模编程运算。 五、能力培养 1.实际问题分析能力的培养:通过对实际问题的分析,抓住问题本质,才能建立满意的数学模型。 2.实际问题转化为数学问题能力的培养:要求学生通过本课程的学习,初步掌握将实际问题转化为数学问题的方法,能够建立简单的实际问题的数学模型。 3.自学能力、语言表达能力的培养:课程安排了大量自学内容,要求学生通过查阅文献,写论文等形式完成课后作业,使学生自学能力等得到培养。 4.创新能力的培养:课程里许多范例都是来源于实际问题,属于开放型的问题,学生可以充分展开自己的思维,开放式的学习,促使学生独立思考、深入钻研。 六、教材与参考书 1.陈恩水.《数学建模与实验》,自编讲义,2004.2.姜启源编.数学模型.北京,高等教育出版社,1992,第二版.3.郑家茂编.数学建模基础.南京,东南大学出版社,1997.4.朱道元编.数学建模精品案例.南京,东南大学出版社,1999.5.萧树铁主编.数学实验.北京, 高等教育出版社,1998.6.乐经良主编.数学实验.北京, 高等教育出版社,1999. 实验一 一元函数微分学 实验1 一元函数的图形(基础实验) 实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想;掌握用Matlab作平面曲线图性的方法与技巧.初等函数的图形 1.1 作出函数ytanx和ycotx的图形观察其周期性和变化趋势.x=-2*pi:0.1:2*pi;y1=tan(x);y2=cot(x);plot(x,y1,x,y2);axis([-10,10,-10,10])1.2将函数ysinx,yx,yarcsinx的图形作在同一坐标系内, 观察直接函数和反函数的图形间的关系.x1=-2*pi:0.1:2*pi;y1=sin(x1);y2=x1;x2=-1:0.1:1;y3=asin(x2);plot(x1,y1,x1,y2,x2,y3); axis([-5,5,-5,5])1.3给定函数 5x2x3x4 f(x)55x5x2(a)画出f(x)在区间[4,4]上的图形;x=-4:0.1:4;y=(5+x.^2+x.^3+x.^4)./(5+5*x+5*x.^2);plot(x,y);axis([-4,4,-4,4])(b)画出区间[4,4]上f(x)与sin(x)f(x)的图形.x=-4:0.1:4;y1=(5+x.^2+x.^3+x.^4)./(5+5*x+5*x.^2);y2=sin(x).*y1; plot(x,y1,x,y2);axis([-4,4,-4,4]) 1.4 在区间[1,1]画出函数ysinx=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y) 1.5 作出以参数方程x2cost,ysint(0t2)所表示的曲线的图形.t=0:0.1:2*pi;x=2*cos(t);y=sin(t);plot(x,y,0,x,x,0)1.6分别作出星形线x2co3ts,y2si3tn(0t2)和摆线x2(tsint),1的图形.xy2(1cost)(0t4)的图形.程序1:t=0:0.1:2*pi;x=2*cos(t).^3;y=2*sin(t).^3;plot(x,y)程序2:t=0:0.1:4*pi;x=2*(t-sin(t));y=2*(1-cos(t));plot(x,y);axis([0,4*pi,0,5])x(t)costcos5t1.7 画出参数方程的图形: y(t)sintcos3tt=-pi/2:0.01:pi/2;x=cos(t).*cos(5*t);y=sin(t).*cos(3*t);plot(x,y)1.8 作出极坐标方程为r2(1cost)的曲线的图形.t=-2*pi:0.1:2*pi;r=2*(1-cos(t));polar(t,r) 1.9 作出极坐标方程为ret/10的对数螺线的图形.t=-2*pi:0.1:2*pi;r=exp(t./10);polar(t,r) 1.10作出由方程x3y33xy所确定的隐函数的图形(笛卡儿叶形线).ezplot('x^3+y^3-3*x*y') 1.11 分别作出取整函数y[x]和函数yx[x]的图形.程序1:ezplot('y-fix(x)',[-5,5]);grid on; 程序2:ezplot('y-x+fix(x)',[-5,5]); Grid on; 1.12 作出符号函数ysgnx的图形.ezplot('y-sign(x)',[-5,5]);grid on 12xsin,x01.13作出分段函数f(x)的图形.x0,x0 plot([-4:0],ones(length(-4:0))*(-1),'-',[0],ones(length(0))*0,[0:4],ones(length(0:4))*1) axis([-5 5-2 2]) 1.14 制作函数sincx的图形动画, 观察参数c对函数图形的影响.x=0:0.1:2*pi;for i=1:30;y=sin(i*x);plot(x,y);grid on;pause(0.1);end 1.15作出函数f(x)x2sincx的图形动画,观察参数c对函数图形的影响.x=-2*pi:0.1:2*pi; for b=1:100;c=0.1*b;y=x.^2+sin(c*x); plot(x,y); temp=['c=',num2str(c)]; title(temp); grid on;pause(0.1);end 实验2 极限与连续(基础实验) 实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解.掌握用 Matlab画散点图, 以及计算极限的方法.深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.作散点图 2.1 观察数列{nn}的前100项变化趋势.n=1:100;x=nthroot(n,n);stem(n,x) 12.2通过动画观察当n时数列an2的变化趋势.nfor n=1:inf an=1/n.^2;plot(n,an,’o’);grid on;hold on;end 2.3 设x12,xn12xn.从初值x12出发, 可以将数列一项一项地计算出来.format long,x=2^0.5;for i=1:10 x=(2+x).^0.5 end x = 1.84775906502257 x = 1.96***6 x = 1.99036945334439 x = 1.99759091241034 x = 1.99939763739241 x = 1.99984940367829 x = 1.99996235056520 x = 1.99999058761915 x = 1.99999764690340 x = 1.99999941172576 2.4在区间[4,4]上作出函数f(x)究 xx39x的图形, 并研x3xlimf(x)和 limf(x).x1x=-4:0.1:4;y=(x.^3-9*x)./(x.^3-x);plot(x,y); grid on;syms x;limit((x.^3-9*x)./(x.^3-x),x,inf)limit((x.^3-9*x)./(x.^3-x),x,1) ans =1 ans =NaN 12.5观察函数f(x)2sinx当x时的变化趋x势.x=0:0.1;inf;y=1/x.^2.*sin(x);plot(x,y)1112.6设数列xn333.计算这个数列的12n前30项的近似值.作散点图, 观察点的变化趋势.sum=0; for n=1:30 sum=sum+1/(n^3); plot(n,sum,'o'); grid on; hold on;end 13xn1.可以证明:这个数列的极限是3.计算这个数列的前 2xn130项的近似值.作散点图, 观察点的变化趋势.2.7定义数列x01,xn tempn=1; for n=1:29 tempn=(tempn+3/tempn)/2; plot(n,tempn,'o'); grid on; hold on; end 2.8计算极限 11x2(1)limxsinsinx (2)limx x0xexxtanxsinx (4)limxx(3)lim3x0x0xlncotx (6)limx2lnx(5)limx0x0lnx3x32x25sinxxcosx (8)lim(7)limx5x32x1x0x2sinx ee2xsinx1cosx (10)lim(9)limx0xx0xsinx syms x;(1)limit(x.*sin(1./x)+1./x*sin(x),x,0)=1(2)limit((x.^2)/exp(x),x,+inf)=0(3)limit((tan(x)-sin(x))./x.^3,x,0)=1/2(4)limit(x.^x,x,+0)=1(5)limit(log(cot(x))/log(x),x,+0)=-1(6)limit(x.^2*log(x),x,+0)=0(7)limit((sin(x)-x.*cos(x))/(x.^2.*sin(x)),x,0)=1/3(8)limit((3*x^3-2*x^2+5)/(5*x^3+2*x+1),x,0)=5(9)limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)/(x-sin(x)),x,0)=2(10)limit((sin(x)/x)^(1/(1-cos(x))),x,0)= 1/exp(1/3) xx1实验3 导数(基础实验) 实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义.掌握用Matlab求导数与高 阶导数的方法.深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法.导数概念与导数的几何意义 3.1作函数f(x)2x33x212x7的图形和在x1处的切线.syms x;diff(2*x^3+3*x^2-12*x+7)y=6*x^2+6*x-12;x=-4:0.1:4;y1=2*x.^3+3*x.^2-12*x+7;y2=-12*(x+1)+20;plot(x,y1,x,y2) 13.2求函数f(x)sinaxcosbx的一阶导数.并求f.absyms a b x;diff(sin(a*x)*cos(b*x)) function y=f1(x)syms a b real;y=cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b; y=f1(1/(a+b)) ans = cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b y = cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b 3.3求函数yx102(x10)9的1阶到11阶导数.syms x;for n=1:11; diff(x^10+2*(x-9)^9,x,n)end ans = 10*x^9+18*(x-9)^8 ans = 90*x^8+144*(x-9)^7 ans = 720*x^7+1008*(x-9)^6 ans = 5040*x^6+6048*(x-9)^5 ans = 30240*x^5+30240*(x-9)^4 ans = 151200*x^4+120960*(x-9)^3 ans = 604800*x^3+362880*(x-9)^2 ans = 1814400*x^2+725760*x-6531840 ans = 3628800*x+725760 ans = 3628800 ans = 0 3.求隐函数的导数及由参数方程定义的函数的导数 3.4求由方程2x22xyy2x2y10确定的隐函数的导数.syms x y;f=2*x^2-2*x*y+y^2+x+2*y+1;dx=diff(f,x);dy=diff(f,y);dy_dx=-dx/dy dy_dx =(-4*x+2*y-1)/(-2*x+2*y+2)3.5求由参数方程xetcost,yetsint确定的函数的导数.syms t;x=exp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);dy_dx=diff(y,t)/diff(x,t) dy_dx =(exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t))/(exp(t)*cos(t)-exp(t)*sin(t))拉格朗日中值定理 3.6对函数f(x)x(x1)(x2),观察罗尔定理的几何意义.(1)画出yf(x)与f(x)的图形, 并求出x1与x2.(2)画出yf(x)及其在点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))处的切线.syms x;diff(x*(x-1)*(x-2)) solve('(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1)') x=-2:0.1:4;y1=x.*(x-1).*(x-2);y2=(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1);plot(x,y1,x,y2) x=0:0.1:2;y1=x.*(x-1).*(x-2);y2=0.3849+0*x;y3=-0.3849+0*x;plot(x,y1,x,y2,'-',x,y3,'-')axis([0 2-0.5 0.5]) ans = [ 1+1/3*3^(1/2)] [ 1-1/3*3^(1/2)] 3.7 对函数f(x)ln(1x)在区间[0,4]上观察拉格朗日中值定理的几何意义.(1)画出yf(x)及其左、右端点连线的图形;f(4)f(0)(2)画出函数yf(x)的曲线图, 并求出使得 40f(4)f(0)f().40(3)画出yf(x),它在处的切线及它在左、右端点连线的图形.syms x;f=log(1+x);x=0:0.01:4;plot(x,eval(f));hold on;line([0,4],[0,eval(sym('log(5)'))],'color','r','linewidth',2);y=diff(f)-sym('log(5)')/4;ezplot(y);k=sym('log(5)')/4;X=solve(y);b=log(1+eval(X));plot(x,eval(k)*(x-eval(X))+b,'r');hold off;axis([0,4,0,1.7]);grid on;title('拉格朗日中值定理');gtext(['y=',char(f)]);gtext(['y=',char(y)]); gtext(['切线']);3.8求下列函数的导数:(1)ye3x1x; (2)yln[tan()]; 24(1)syms x; diff(exp((x+1)^(1/3))) ans =1/3/(x+1)^(2/3)*exp((x+1)^(1/3))(2)syms x; diff(log(tan(x/2+pi/4)))ans =(1/2+1/2*tan(1/2*x+1/4*pi)^2)/tan(1/2*x+1/4*pi) 3.9求下列函数的微分:(1)y2; (2)yln(xx2a2).(1)syms x; diff(2^(-1/cos(x))) ans =-2^(-1/cos(x))/cos(x)^2*sin(x)*log(2)(2)syms x; syms a real; diff(log(x+(x^2+a^2)^0.5)) ans =(1+1/(x^2+a^2)^(1/2)*x)/(x+(x^2+a^2)^(1/2)) 3.10求下列函数的一、二阶导数:(1)yln[f(x)]; (2)yf(ex)ef(x).ans= 1/f(x)*f’(x) -1/(f(x))^2*f’’(x) 3.11求下列函数的高阶导数:(1)yxsinhx,求y(100); (2)yx2cosx,求y(10);(1) syms x;diff(x*sinh(x),100)ans =100*cosh(x)+x*sinh(x)(2) syms x;diff(x^2*cos(x),10)ans =90*cos(x)-20*x*sin(x)-x^2*cos(x) 3.18求由下列方程所确定的隐函数yy(x)的导数:(1)lnxeyx1cosxe; (2)arctanylnx2y2.x(1) syms x y;f=log(x)+exp(-y/x)-exp(1); fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);dy_dx=-fx/fy ans =-(-1/x-y/x^2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x)(2) syms x y;f=atan(y/x)-log((x^2+y^2)^0.5); fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);dy_dx=-fx/fy;simplify(dy_dx)ans =(y+x)/(x-y) 3.19求由下列参数方程确定的函数的导数: 6tx,31t3xcost,(1) (2) 236tysint;y.1t3 (1) syms t;x=diff(cos(t)^3,t); y=diff(sin(t)^3,t);dy_dx=y/x ans =-sin(t)/cos(t)(2) syms t;x=diff(6*t/(1+t^3),t);y=diff(6*t^2/(1+t^3),t); dy_dx=y/x;simplify(dy_dx) ans =t*(-2+t^3)/(-1+2*t^3) 实验4 导数的应用(基础实验) 实验目的 理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法.理解曲线 的曲率圆和曲率的概念.进一步熟悉和掌握用Matlab作平面图形的方法和技巧.掌握用 Matlab求方程的根(包括近似根)和求函数极值(包括近似极值)的方法.求函数的单调区间 4.1求函数yx32x1的单调区间.syms x;diff(x^3-2*x+1)solve('3*x^2-2')ans =3*x^2-2 ans =1/3*6^(1/2) -1/3*6^(1/2)求函数的极值 x4.2求函数y的极值.1x2syms x;diff(x/(1+x^2)) solve('1/(1+x^2)-2*x^2/(1+x^2)^2')ans =1/(1+x^2)-2*x^2/(1+x^2)^2 ans =[ 1][-1] 求函数的凹凸区间和拐点 14.3 求函数y的凹凸区间和拐点.12x2syms x;diff(1/(1+2*x^2),2) solve('32/(1+2*x^2)^3*x^2-4/(1+2*x^2)^2') x=-1:0.1:1;y1=32./(1+2*x.^2).^3.*x.^2-4./(1+2*x.^2).^2;y2=0*x;plot(x,y1,x,y2,'-')ans = 32/(1+2*x^2)^3*x^2-4/(1+2*x^2)^2 ans = [ 1/6*6^(1/2)] [-1/6*6^(1/2)] 10 4.4 已知函数 16254x2x5x60x3150x2180x25, 22在区间[6,6]上画出函数f(x),f(x),f(x)的图形, 并找出所有的驻点和拐点.disp('输入函数(自变量为x)');f(x)syms x;f=input('函数f(x)=');df=diff(f);cdf=char(df);a=[];count=0;clf;if(strfind(cdf,'x')) sf=solve(df); ezplot(df); gtext(['y''=',char(df)]); disp(['y''=',char(df)]); count=count+1; legend('一阶导'); hold on; for i=1:size(sf); a(i)=sf(i); end a=sort(a); if(numel(a)~=0&numel(a)~=1&numel(a)~=inf) for i=1:numel(sf); strstart='-inf'; strend='+inf'; if(i==1) x=a(i)-1; x0=Eval(df); strend=num2str(a(i));if(x0<0)disp(['单调减区间','[',strstart,',',strend,']']);else disp(['单调增区间','[',strstart,',',strend,']']); end end if(i==numel(sf)) x=a(i)+a(i-1); x0=Eval(df); x=a(i)+1; x1=Eval(df); strstart=num2str(a(i)); x=a(i); y=Eval(f); else if(i==1) x=a(i)-1; else x=a(i)-a(i-1);11 end x0=Eval(df); x=(a(i)+a(i+1))/2; x1=Eval(df); strstart=num2str(a(i)); strend=num2str(a(i+1)); x=a(i); y=Eval(f); end if(x1<0)disp(['单调减区间','[',strstart,',',strend,']']); if(x0>0)disp(['驻点:极大值','x=',num2str(a(i)),',y=',num2str(y)]); end else disp(['单调增区间','[',strstart,',',strend,']']); if(x0<0)disp(['驻点:极小值','x=',num2str(a(i)),',y=',num2str(y)]); end ddf=diff(df); cddf=char(ddf); if(strfind(cddf,'x')) ssf=solve(ddf); ezplot(ddf); gtext(['y''''=',char(ddf)]); disp(['y''''=',char(ddf)]); count=count+1; b=[]; for i=1:size(ssf); b(i)=ssf(i); end b=sort(b); if(numel(b)~=0&numel(b)~=1&numel(b)~=inf) for i=1:numel(ssf); strstart='-inf'; strend='+inf'; end end end if(i==1) x=b(i)-1; x0=Eval(ddf); strend=num2str(b(i)); if(x0<0) disp(['单调凸区间','[',strstart,',',strend,']']); disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]); else disp(['单调凹区间','[',strstart,',',strend,']']); disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]); end end if(i==numel(ssf)) x=b(i)+b(i-1);12 x0=Eval(ddf); x=b(i)+1; x1=Eval(ddf); strstart=num2str(b(i)); else if(i==1) x=b(i)-1; else x=b(i)-b(i-1); end x0=Eval(ddf); x=(b(i)+b(i+1))/2; x1=Eval(ddf); strstart=num2str(b(i)); strend=num2str(b(i+1)); end if(x1<0) disp(['单调凸区间','[',strstart,',',strend,']']); disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]); else disp(['单调凹区间','[',strstart,',',strend,']']); disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]); end end end elseif(numel(b)==1) disp(['拐点','x=',num2str(b(1))]); end end if(~(min(a)==[]|max(a)==[])) ezplot(f,[min(a)-1,max(a)+1]);else ezplot(f); gtext(['y=',char(f)]); disp(['y=',char(f)]); count=count+1;end switch count case 3 legend('一阶导','二阶导','原函数'); case 2 legend('一阶导','原函数'); case 1 legend('原函数');end title('连续函数的性质');grid on;hold off;运行结果:输入函数(自变量为x) 函数f(x)=x^6/2-2*x^5-25*x^4/2+60*x^3-150*x^2-180*x-25 y'=3*x^5-10*x^4-50*x^3+180*x^2-300*x-180 单调增区间[-inf,-0.4591] 单调减区间[-0.4591,1.5529-1.8228i] 13 驻点:极大值x=-0.4591,y=19.7063 单调减区间[1.5529-1.8228i,1.5529+1.8228i] 驻点:极大值x=1.5529-1.8228i,y=-378.8847+558.3244i 单调增区间[1.5529+1.8228i,-4.4431] 驻点:极小值x=1.5529+1.8228i,y=-378.8847-558.3244i 单调减区间[-4.4431,5.1297] 驻点:极大值x=-4.4431,y=-5010.7825 单调增区间[5.1297,+inf] 驻点:极小值x=5.1297,y=-3445.4274 y''=15*x^4-40*x^3-150*x^2+360*x-300 单调凸区间[-inf,0.96967-0.77693i] 拐点x=0.96967-0.77693i 单调凸区间[0.96967-0.77693i,0.96967+0.77693i] 拐点x=0.96967-0.77693i 单调凸区间[0.96967+0.77693i,-3.2539] 拐点x=0.96967+0.77693i 单调凸区间[-3.2539,3.9812] 拐点x=-3.2539 单调凹区间[3.9812,+inf] 拐点x=3.9812 y=1/2*x^6-2*x^5-25/2*x^4+60*x^3-150*x^2-180*x-25 求极值的近似值 4.5求函数y2sin2(2x)5xxcos2的位于区间(0,)内的极值的近似值.22即得到函数y的两个极小值和极小值点.再转化成函数y的极大值和极大值点.两种方法的结 果是完全相同的.function y=f(x)y=2*sin(2*x)*sin(2*x)+5/2*x*cos(x/2)*cos(x/2);ezplot(y,[0,pi]);grid;x=fminbnd('f1(x)',0.5,2.5)f1(x)x=fminbnd('-f1(x)',0,pi)f1(x)x=fminbnd('-f1(x)',1.5,pi)f1(x)极小值点x = 1.6239 ans = 1.9446 极大值点x = 0.8642 ans = 3.7323 极大值点x = 2.2449 ans = 2.9571 项目二 一元函数积分学与空间图形的画法 实验1 一元函数积分学(基础实验) 实验目的掌握用Matlab计算不定积分与定积分的方法.通过作图和观察, 深入理解 定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应用 定积分解决各种问题的能力.用定义计算定积分 当f(x)在[a,b]上连续时, 有 因此可将 babaf(x)dxlimnnbank0n1(ba)bafaklimnnnnakfk1n(ba) nk0n1(ba)bafak 与 nnakfk1(ba) n作为baf(x)dx的近似值.1.1 计算1sin0xxdx的近似值.fun=inline('sin(x)./x','x');y=quad(fun,0,1)y =0.9461 1.2 用定义求定积分示.bax2dx的动画演m=moviein(10)for a=1:10 for n=20:30 x=linspace(0,4,n+1);y=x.^2;for i=1:n fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i)],[0,0,y(i),y(i)],'b')hold on end plot(x,y)m(:,a)=getframe;end movie(m,1,1)end 不定积分计算 1.3求x2(1x3)5dx.syms x;int(x^2*(1-x^3)^5) ans =-1/18*x^18+1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^9-5/6*x^6+1/3*x^3 1.4求sinxdx.xsyms x;int(sin(x)*x)ans = sin(x)-x*cos(x) 定积分计算 1.5 求4010(xx2)dx.syms x;int(x-x^2,0,1)ans = 1/6 1.6 求|x2|dx.syms x;int(abs(x-2),0,4)ans = 4 变上限积分 1.7 画出变上限函数形.syms t;int(t*(sin(t))^2,0,x) x=-2*pi:0.1:2*pi;y1=x.*(sin(x)).^2;y2=-1/2*x.*cos(x).*sin(x)+1/4*x.^2+1/4*sin(x).^2;plot(x,y1,x,y2) 求平面图形的面积 1.8 设f(x)e(x2)cosx和g(x)4cos(x2).计算区间[0,4]上两曲线所围成的平面的面 积.fun=inline('abs(exp(-((x-2).^2).*cos(pi*x))-4*cos(x-2))','x');y=quad(fun,0,4) y = 6.4774 求平面曲线的弧长 1.9 f(x)sin(xxsinx),计算(0,f(0))与(2,f(2))两点间曲线的弧长.fun=inline('(1+(cos(x+sin(x)).*(1+cos(x))).^2).^0.5','x');y=quad(fun,0,2*pi)y = 7.9062 求旋转体的体积 1.10 求曲线g(x)xsin2x(0x)与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所成的旋 转体体积.fun=inline('pi*(x.*(sin(x).^2)).^2','x');y=quad(fun,0,pi)fun=inline('2*pi*x.^2.*(sin(x).^2)','x');y=quad(fun,0,pi)y =9.8629 y =27.5349 2x0tsint2dt及其导函数的图 实验2 空间图形的画法(基础实验) 实验目的掌握用Matlab绘制空间曲面和曲线的方法.熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力.深入理解二次曲面方程及其图形.一般二元函数作图 42.1作出函数z的图形.21xy2 a=10;step=0.5;x=-a:step:a;y=x;[x,y]=meshgrid(x);z=4./(1+x.^2+y.^2);mesh(x,y,z); 2.2 作出函数zxyex a=5;step=0.3;x=-a:step:a;y=x;[x,y]=meshgrid(x);z=-x.*y.*exp(-(x.^2+y.^2));surf(x,y,z); 二次曲面 2y2的图形.x2y2z22.3作出椭球面1的图形.491(这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D.该曲面的参数方程为 syms u v;u=0:0.2:2*pi;[u,v]=meshgrid(u);x=2.*sin(u).*cos(v);y=3.*sin(u).*sin(v);z=cos(u);mesh(x,y,z) x2y2z22.4作出单叶双曲面1的图形.(曲面的参数方程为 149xsecusinv,y2secucosv,z3tanu,(/2u/2,0v2.)) syms u v;u=-pi/2:0.2:pi/2;v=0:0.2:2*pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=sec(u).*sin(v);y=2.*sec(u).*cos(v);z=3*tan(u);mesh(x,y,z);axis([-10,10,-10,10,-10,10]);view(-7,60);x2y2z 22.5 作双叶双曲面1的图1.521.421.32形.(曲面的参数方程是 x1.5cotucosv,y1.4cotusinv,z1.3cscu, 其中参数0u2对应双叶双曲面的另一叶.) syms u v; u=0:0.2:pi/2;v=-pi:0.2:pi;,v时对应双叶双曲面的一叶, 参数2u0,v时[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z);hold on;u=-pi/2:0.2:0;v=-pi:0.2:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z); hold off;2.6作出圆环 x(83cosv)cosu,y(83cosv)sinu,z7sinv,(0u3/2,/2v2)的图形.syms u v; u=0:0.2:pi/2;v=-pi:0.2:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z);hold on;u=-pi/2:0.2:0;v=-pi:0.2:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z); hold off;2.7 画出参数曲面 xcosusinvysinusinvzcosvln(tanv/2u/5)的图形.u=0:0.1:4*pi;v=0.001:0.1:2;[u,v]=meshgrid(u,v);x=cos(u).*sin(v);y=sin(u).*sin(v);z=cos(v)+log(tan(v/2)+u/5);surf(x,y,z) u[0,4],v[0.001,2] 曲面相交 2.8作出球面x2y2z222和柱面(x1)2y21相交的图形.u=0:0.1:2*pi;v=0:0.1:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=2*cos(v).*sin(u);y=2*sin(v).*sin(u);z=2*cos(u);surf(x,y,z)hold on t=0:0.1:2*pi;c=0:0.1:2;[t,c]=meshgrid(t,c);a=1+cos(t);b=sin(t);surf(a,b,c)2.9作出锥面x2y2z2和柱面(x1)2y21相交的图形.u=0:0.1:2*pi;v=0:0.1:2; [u,v]=meshgrid(u,v);x=cos(u).*v;y=sin(u).*v; z=v; surf(x,y,z) hold on t=0:0.1:2.1*pi;c=0:0.1:2; [t,c]=meshgrid(t,c);a=1+cos(t);b=sin(t); surf(a,b,c)2.10 画出以平面曲线ycosx为准线, 母线平行于Z轴的柱面的图形.(写出这一曲面的参数方程为 xtycost,t[,],sR zs取参数s的范围为[0, 8].) t=-pi:0.1:pi;s=0:0.1:8; [t,s]=meshgrid(t,s);x=t;y=cos(t);z=s; surf(x,y,z) 空间曲线 xsint2.11绘制参数曲线 y2cost 的图形.zt/2t=-4*pi:0.1:4*pi;x=sin(t);y=2*cos(t);z=t/2;plot3(x,y,z,’r’)grid on xcos2t12.12绘制参数曲线 y的图形.12tzarctantt=-2*pi:0.1:2*pi;x=(cos(t)).^2;y=1./(1+2*t);z=atan(t);plot3(x,y,z)grid on 动画制作 2.13用动画演示由曲线ysinz,z[0,]绕z轴旋转产生旋转曲面的过程.(该曲线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为x2y2sin2z, 其参数方程为 xsinzcosu,ysinzsinu,zz,(z[0,],u[0,2])) m=moviein(10); for i=1:10 u=0:0.1:pi/5*(i+0.2); v=0:0.1:pi; [u,v]=meshgrid(u,v);x=sin(v).*cos(u);y=sin(v).*sin(u);z=v; mesh(x,y,z) m(:,i)=getframe; end movie(m,1); 项目三 多元函数微积分 实验1 多元函数微分学(基础实验) 实验目的掌握利用Matlab计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元 函数极值和条件极值的方法.理解和掌握曲面的切平面的作法.通过作图和观察, 理解二元 函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.求多元函数的偏导数与全微分 zz2z2z,,.xyx2xysyms x y;z=sin(x*y)+cos(x*y)^2;zx=diff(z,x) zy=diff(z,y) zzxx=diff(z,x,2)zzxy=diff(zx,y)1.1设zsin(xy)cos2(xy),求 zx =cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*y zy =cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*x zzxx =-sin(x*y)*y^2+2*sin(x*y)^2*y^2-2*cos(x*y)^2*y^2 zzxy =-sin(x*y)*x*y+cos(x*y)+2*sin(x*y)^2*x*y-2*cos(x*y)^2*x*y-2*cos(x*y)*sin(x*y) uuvv1.2设xeuusinv,yeuucosv,求,,.xyxysyms x y u v;f1=exp(u)+u*sin(v)-x; f2=exp(u)-u*cos(v)-y; f1u=diff(f1,u); f1v=diff(f1,v); fx=diff(f1,x);f2u=diff(f2,u);f2v=diff(f2,v);fy=diff(f2,y);ux=-fx/f1u uy=-fy/f2u vx=-fx/f1v vy=-fy/f2v ux = 1/(exp(u)+sin(v))uy = 1/(exp(u)-cos(v))vx = 1/u/cos(v)vy = 1/u/sin(v)微分学的几何应用 1.3 求出曲面z2x2y2在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形.[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5);z=2.*x.^2+y.^2;mesh(x,y,z)hold on [x,y]=meshgrid(-10:0.1:10);z=4*x+2*y-3;plot3(x,y,z)hold on line([41,-39],[21,-19],[-7,13])axis([-20 20-20 20-40 40]) 41.4求曲面k(x,y)2在点xy211164,处的切平面方程, 并把曲面和它的4221切平面作在同一图形里.syms x y k; df_dx=diff(4/(x^2+y^2+1),x) df_dy=diff(4/(x^2+y^2+1),y) a=linspace(-10,10,100); b=a; [a,b]=meshgrid(a,b); c=4./(a.^2+b.^2+1); d=-8/((1/4)^2+(1/2)^2+1)^2*(1/4); e=-8/((1/4)^2+(1/2)^2+1)^2*(1/2); f=d.*(a-1/4)+e.*(b-1/2)+64/21; mesh(a,b,c); hold on; mesh(a,b,f); axis([-10,10,-10,10,-2,5]); 多元函数的极值 1.5求f(x,y)x3y33x23y29x的极值.syms x y;f=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x;fx=diff(f,x)fy=diff(f,y)fxx=diff(fx,x)fxy=diff(fx,y)fyy=diff(fy,y) 1.6 求函数zx2y2在条件x2y2xy10下的极值.syms x y m;z=x^2+y^2;df_dy=diff(z,y);df_dx=diff(z,x);q=x^2+y^2+x+y-1;dq_dx=diff(q,x);dq_dy=diff(q,y);[x,y,m]=solve(df_dx+m*dq_dx,df_dy+m*dq_dy,q) x =[-1+1/3*3^(1/2)][-1-1/3*3^(1/2)] y =[-1/2+1/2*3^(1/2)][-1/2-1/2*3^(1/2)] m =[-1/2+1/2*3^(1/2)][-1/2-1/2*3^(1/2)] 实验2 多元函数积分学(基础实验) 实验目的 掌握用Matlab计算二重积分与三重积分的方法;深入理解曲线积分、曲面积分的 概念和计算方法.提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.计算重积分 2.1计算xydxdy, 其中D为由xy2,x2Dy, y2所围成的有界区域.syms x y;int(int(x*y^2,x,2-y,y^0.5),y,1,2) ans =193/120 2.2计算(x2y2z)dxdydz, 其中由曲面z2x2y2与zx2y2围成.syms t r z;int(int(int((r^2+z)*r,z,r,(2-r^2)^0.5),r,0,1),t,0,2*pi) ans =2.1211 重积分的应用 2.3 求由曲面fx,y1xy与gx,y2x2y2所围成的空间区域的体积.syms t r;int(int((3/2-r^2)*r,r,0,(3/2)^0.5),t,0,2*pi)ans =3.5343 2.4 在Oxz平面内有一个半径为2的圆, 它与z轴在原点O相切, 求它绕z轴旋转一周所得旋转体体积.syms x;int(4*pi*x*(4-(x-2)^2)^0.5,x,0,4) ans =157.9137 计算曲线积分 2.5求 Lf(x,y,z)ds, 其中fx,y,z130x210y,积分路径为 L:xt,yt2,z3t2,0y2.(注意到,弧长微元dsxt2yt2zt2dt, 将曲线积分化为定积分)syms t;x=t;y=t^2;z=3*t^2;f=diff([x,y,z],t);fun=inline('((1+30*t.^2).^0.5+10*t.^2).*(1+40*t.^2).^0.5','t');quad(fun,0,2) ans =348.9428 2.6求F.dr, 其中 LFxy6i3x(xy52)j,r(t)2costisintj,0t2.syms t; x=cos(t); y=sin(t); int(x*y^6*(-2*sin(t))+3*x*(x*y^5+2)*cos(t),t,0,2*pi) ans = 6*pi 计算曲面积分 2.7计算曲面积分得的有限部分.222z2(注意到,面积微元dS1zxydxdy, 投影曲线xy2x的极坐标方程为 (xyyzzx)dS, 其中为锥面zx2y2被柱面x2y22x所截 2将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.) syms t r; x=r*cos(t);24 r2cost,t2,y=r*sin(t); z=r; int(int((x*y+y*z+x*z)*r*2^0.5,r,0,2*cos(t)),t,-pi/2,pi/2) ans = 6.0340 2.8计算曲面积分x3dydzy3dzdxz3dxdy, 其中为球面x2y2x2a2的外侧.syms t s r;syms a real;int(int(int(3*r^4*sin(s),r,0,a),s,0,pi),t,0,2*pi) ans = 12/5*a^5*pi 实验3 最小二乘拟合(基础实验) 实验目的了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理.学会观察给定数表的散点图, 选择 恰当的曲线拟合该数表.最小二乘拟合原理 给定平面上的一组点 (xk,yk),k1,2,,n, 寻求一条曲线yf(x),使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合.最小二乘法是进行曲线拟合的常用方法.最小二乘拟合的原理是, 求f(x),使 [f(x)ykk1nk]2 达到最小.拟合时, 选取适当的拟合函数形式 f(x)c00(x)c11(x)cmm(x),其中0(x),1(x),,m(x)称为拟合函数的基底函数.为使取到极小值, 将f(x)的表达式 代入, 对变量ci求函数的偏导数, 令其等于零, 就得到由m1个方程组成的方程组, 从中 可解出ci(i0,1,2,,m).曲线拟合 3.1 为研究某一化学反应过程中温度x(C)对产品得率y(%)的影响, 测得数据如下: x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 试求其拟合曲线.x=[100,110,120,130,140,150,160,170,180,190]; y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]; a=polyfit(x,y,1) z=polyval(a,x); plot(x,y,'gp',x,z,'r'); a = 0.4830 -2.7394 即拟合曲线为:y=0.4830x-2.7394 3.2 给定平面上点的坐标如下表: x0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 y5.12345.30575.56875.93786.43377.09787.94939.025310.3627试求其拟合曲线.x=[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9]; y=[5.1234,5.3057,5.5687,5.9378,6.4337,7.0978,7.9493,9.0253,10.3627]; a=polyfit(x,y,3) z=polyval(a,x); plot(x,y,'bp',x,z,'r'); a = 4.9875 0.6902 1.3202 4.9774 即拟合曲线为:y=4.9875x^3+0.6902x^2+1.3202x+4.9774 项目四 无穷级数与微分方程 实验1 无穷级数(基础实验) 实验目的 观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近.掌握用Matlab求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展 开周期函数为傅里叶级数的方法.数项级数 1.1(1)观察级数 x=0; for n=1:50; x=x+1/n^2; plot(n,x,’r*’) hold on end (2)观察级数势.nn112的部分和序列的变化趋势.n的部分和序列的变化趋n11 x=0; for n=1:100; x=x+1/n; plot(n,x,’r*’) hold on end 10n1.2 设an, 求n!an1n.s=10; for i=1:inf; s=s+s*10/(i+1); end s =5.2257e+086 求幂级数的收敛域 1.3 求n042n(x3)n的收敛域与和函数.n 1syms n x k; limit(4^(2*n)/(n+1)/(4^(2*n+2)/(n+2)),n,inf)%|x-3|<1/16 s=symsum(4^(2*n)*(x-3)^n/(n+1),n,0,inf)%-1/(x-3)*(x-3+1/16*log(49-16*x)) ans = 1/16 收敛域是[-1/16,1/16] s =-log(49-16*x)/(16*x-48) 函数的幂级数展开 1.4 求cosx的6阶麦克劳林展开式.syms x;taylor(cos(x),7) ans =1-1/2*x^2+1/24*x^4-1/720*x^6 1.5求arctanx的5阶泰勒展开式.syms x;taylor(atan(x)) ans =x-1/3*x^3+1/5*x^5 x12x1 21.6 求e在x1处的8阶泰勒展开, 并通过作图比较函数和它的近似多 syms x; t=taylor(exp(-(x-1)^2*(x+1)^2),9,1) ezplot(t); hold on;x1=-10:0.01:10;y=exp(-(x1-1).^2.*(x1+1).^2);plot(x1,y,'r'); axis([0,2,-1,1]);ans=1-4*(x-1)^2-4*(x-1)^3+ 7*(x-1)^4+16*(x-1)^5+ 4/3*(x-1)^6-28*(x-1)^7-173/6*(x-1)^8 实验2 微分方程(基础实验) 实验目的理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Matlab求微分方程及方程组解的常用命令和方法.求解微分方程 2.1求微分方程 y2xyxex的通解.y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') y =(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)2.2求微分方程xyyex0在初始条件yx122e下的特解.y=dsolve('x*Dy+y=exp(x)','y(1)=2*exp(1)','x') y =(exp(x)+exp(1))/x 27 2.3求解微分方程y2xex, 并作出其积分曲线.y=dsolve('D2y-2*x=exp(x)','x') x=-2:0.1:2;y=1./3*x.^3+exp(x)+x+1;plot(x,y)dxtdtx2ye2.4求微分方程组在初始条件dyxy0dtxt01,yt00下的特解.[x y]=dsolve('Dx+x+2*y-exp(t)','Dy-x-y','x(0)=1','y(0)=0','t') x =cos(t) y =1/2*sin(t)-1/2*cos(t)+1/2*exp(t) 2.5求出初值问题 22yysinxycosx y(0)1,y(0)0的数值解, 并作出数值解的图形.function dy=ffer(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=-y(2)*(sin(x))^2-y(1)+(cos(x))^2; [X,Y]=ode23s('ffer',[0 4],[1 0])plot(X,Y(:,1),'-') 2.6洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简单, 也没有包含复杂的函数, 但它的解却很有趣和耐人寻味.试求解洛伦兹方程组 x(t)16y(t)16x(t)y(t)x(t)z(t)45x(t)y(t), z(t)x(t)y(t)4z(t)x(0)12,y(0)4,z(0)0并画出解曲线的图形.function dy=lorenz(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=16*y(2)-16*y(1);dy(2)=-y(1)*y(3)+45*y(1)-y(2);dy(3)=y(1)*y(2)-4*y(3); [T,Y]=ode45('lorenz',[0 0.1],[12 4 0])plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') 项目五 矩阵运算与方程组求解 实验1 行列式与矩阵 实验目的 掌握矩阵的输入方法.掌握利用Matlab对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.矩阵A的转置函数Transpose[A] 131.1 求矩阵51 A' ans = 7242的转置.6314 A=[1 7 2;3 4 2;5 6 3;1 1 4];矩阵线性运算 1.1 设A345427,B192,求AB,4B2A.426A=[3 4 5;4 2 6]; B=[4 2 7;1 9 2]; A+B 4*B-2*A ans = ans = 0 -4 矩阵的乘法运算 42711.3 设A192,B0,求AB与BTA,并求A3.0351A=[4 2 7;1 9 2;0 3 5];B=[1 0 1]';A*B B'*A A^3 ans =11 ans = ans = 119 660 555 141 932 444 477 260 1113211.4设A111,B041,求3AB2A及ATB.123124A=[-1 1 1;1-1 1;1 2 3];B=[3 2 1;0 4 1;-1 2-4]; 3*A*B-2*A A'*B ans = -33 ans = 0 -10 求方阵的逆 251.5设A03132233,求A1.146215A=[2 1 3 2;5 2 3 3;0 1 4 6;3 2 1 5];inv(A)ans = -1.7500 1.3125 0.5000 -0.6875 5.5000 -3.6250 -2.0000 2.3750 0.5000 -0.1250 -0.0000 -0.1250 -1.2500 0.6875 0.5000 -0.3125 3x2yz7,1.6 解方程组xy3z6,2x4y4z2.a=[3 2 1;1-1 3;2 4-4];b=[7 6-2]';x=ab x = 1.0000 1.0000 2.0000 求方阵的行列式 1x121.7 计算范德蒙行列式x13x14x11x22x23x24x21x32x33x34x31x42x43x44x41x52.x53x54x5syms x1 x2 x3 x4 x5 A=[1,1,1,1,1;x1,x2,x3,x4,x5;x1^2,x2^2,x3^2,x4^2,x5^2;x1^3,x2^3,x3^3,x4^3,x5^3;x1^4,x2^4,x3^4,x4^4,x5^4];a=det(A);a=simple(a)a=(-x4+x3)*(x5-x4)*(x5-x3)*(x2-x4)*(x2-x3)*(x2-x5)*(-x4+x1)*(x1-x3)*(x1-x5)*(x1-x2) 371.8 设矩阵 A1125792462403, 求|A|,tr(A),A3.76569783790A=[3 7 2 6-4;7 9 4 2 0;11 5-6 9 3;2 7-8 3 7;5 7 9 0-6];det(A)A' A^3 ans = 11592 ans = 0 0 -6 ans = 726 2062 944 294 -358 1848 3150 1516 228 1713 2218 1006 404 1743 984 -451 1222 384 801 2666 477 745 -125 向量的内积 1.9求向量u{1,2,3}与v{1,1,0}的内积.u=[1 2 3];v=[1-1 0]'; u*v ans =-1 实验2 矩阵的秩与向量组的极大无关组 实验目的学习利用Matlab求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换;求向量组的秩与极大无关组.求矩阵的秩 321322.1 设M21313, 求矩阵M的秩.70518m=[3 2-1-3-2;2-1 3 1-3;7 0 5-1-8];rank(m)ans =2 32132.2 已知矩阵M2131的秩等于2, 求常数t的值.70t1syms t;M=[3 2-1-3 1;2-1 3 1 1;7 0 t-1 1] m=rref(M) %分母为t-5,将5代入M M=[3 2-1-3 1;2-1 3 1 1;7 0 5-1 1];refm=rref(M)%所以t=5 解得 t=5 矩阵的初等行变换 22382.4 设A212212,求矩阵A的秩.1314A=[2-3 8 2;2 12-2 12;1 3 1 4];rank(A)ans =2 向量组的秩 2.5 求向量组1(1,2,1,1),3(0,4,5,2),2(2,0,3,0)的秩.a1=[1 2-1 1];a2=[0-4 5-2];a3=[2 0 3 0];rank([a1;a2;a3]) ans = 2 向量组的极大无关组 2.6求向量组 1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,14),4(1,1,2,0),5(2,1,5,0)的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.33 a1=[1-1 2 4];a2=[0 3 1 2];a3=[3 0 7 14];a4=[1-1 2 0];a5=[2 1 5 0];rank([a1;a2;a3;a4;a5])rank([a1;a2;a3])rank([a1;a3;a4])rank([a1;a2;a4])ans = 3 ans = 2 ans = 3 ans = 3 向量组的等价 2.7设向量 1(2,1,1,3),2(3,2,1,2),1(5,8,5,12),2(4,5,3,7),求证:向量组1,2与1,2等价.a1=[2 1-1 3];a2=[3-2 1-2];b1=[-5 8-5 12];b2=[4-5 3-7];rank([a1;a2;b1;b2])rank([a1;a2])rank([b1;b2])rref([a1;a2])rref([b1;b2])ans =2 ans =2 ans =2 ans = 1.0000 0 -0.1429 0.5714 0 1.0000 -0.7143 1.8571 ans = 1.0000 0 -0.1429 0.5714 0 1.0000 -0.7143 1.8571 实验3 线性方程组 实验目的 熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Mathematica命令各类求线性方程 组的解.理解计算机求解的实用意义.x1x22x3x40,3xxx32x40,3.1求解线性方程组12 5x7x3x0,2342x13x25x3x40.a=[1 1-2-1;3-1-1 2;0 5 7 3;2-3-5-1];b=[0 0 0 0]';x=ab ans = 3.2向量组1(1,1,2,3),2(1,1,1,1),3(1,3,4,5),4(3,1,5,7)是否线性相关? a1=[1 1 2 3];a2=[1-1 1 1];a3=[1 3 4 5];a4=[3 1 5 7];rank([a1;a2;a3;a4]) ans = 线形无关 非齐次线性方程组的特解 x1x22x3x443x2x2x32x423.3求线性方程组15x27x33x422x13x25x3x44 的特解.A=[1 1-2-1;3-2-1 2;0 5 7 3;2-3-5-1];B=[4;2;2;4];C=[1 1-2-1 4;3-2-1 2 2;0 5 7 3 2;2-3-5-1 4]; % C为增广矩阵% rref(C) ans = 1.0000 0 0 0.6667 1.0000 0 1.0000 0 -0.3333 1.0000 0 0 1.0000 0.6667 -1.0000 0 0 0 0 0 由结果可以看出x4为自由未知量,方程组得解为: x1=-0.6667x4+1.0000 x2=0.3333 x4+ 1.0000 x3=-0.6667x4-1.0000 x1x22x3x443x2x2x32x423.4求线性方程组15x27x33x422x13x25x3x44B=[4;2;2;4]; 的特解.A=[1 1-2-1;3-2-1 2;0 5 7 3;2-3-5-1];C=[1 1-2-1 4;3-2-1 2 2;0 5 7 3 2;2-3-5-1 4]; % C为增广矩阵% rref(C) ans = 1.0000 0 0 0.6667 0 0 1.0000 0 -0.3333 0 0 0 1.0000 0.6667 0 0 0 0 0 1.0000 由结果可知,增广矩阵的秩与系数矩阵的秩不相等,故方程组无解。 3.5求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式ax2bxc,并画出其图形.A=[0 0 1;1 1 1;4 2 1];B=[7 6 9]';abc=inv(A)*B ezplot('2*x^2-3*x+7')abc = 3.6求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足f(1)20,f(1)9的4次多项式f(x).A=[0 0 0 0 1;1 1 1 1 1;1-1 1-1 1;-4 3-2 1 0;4 3 2 1 0];B=[0 1 3 20 9]';abcde=inv(A)*B abcde = -4.7500 7.7500 6.7500 -8.7500 0 非齐次线性方程组的通解 x1x22x3x412xx2x32x433.7解方程组1x1x3x423x1x23x45a=[1-1 2 1;2-1 1 2;1 0-1 1;3-1 0 3];b=[1;3;2;5];rref([a b]) ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 由结果可以看出x3,x4为自由未知量,方程组得解为: x1=2+x3-x4;x2=1+3*x3;ax1x2x313.8当a为何值时,方程组x1ax2x31无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有 xxax1231解时,求通解.syms a;A=[a 1 1;1 a 1;1 1 a];Ab=[a 1 1 1;1 a 1 1;1 1 a 1];b=[1 1 1]';rref(A)%A的秩为3,rref(Ab)%增广矩阵的秩为3,所以a不等于-2时,方程组都有解,且只有唯一解 Ab1=[-2 1 1 1;1-2 1 1;1 1-2 1];rref(Ab1)%a=-2时,A的秩为2,增广矩阵的秩为3,无解 x=inv(A)*b %x即为a不等于-2时方程组的解 项目六 矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.求方阵的特征值与特征向量.1021.1求矩阵A121.的特征值与特值向量.130A=[-1 0 2;1 2-1;1 3 0];[V D]=eig(A,'nobalance')V = 1.0000 1.00000.0000i 0.0000 1.00000.0000i 1231.2 求方阵M213的特征值和特征向量.336M=[1 2 3;2 1 3;3 3 6];[V D]=eig(M,'nobalance')V = 0.7071 0.5774 0.4082 -0.7071 0.5774 0.4082 0 -0.5774 0.8165 D = -1.0000 0 0 0 -0.0000 0 0 0 9.0000 3001.3已知2是方阵A1t3的特征值,求t.123syms t;A=[3 0 0;1 t 3;1 2 3];E=eig(A)solve(1/2*t+3/2-1/2*(t^2-6*t+33)^(1/2)-2)E = 1/2*t+3/2+1/2*(t^2-6*t+33)^(1/2)1/2*t+3/2-1/2*(t^2-6*t+33)^(1/2)ans = 8 2121.4 已知x(1,1,1)是方阵A5a3的一个特征向量,求参数a,b及特征向量x所1b2属的特征值.syms a b c;A=[2-c-1 2;5 a-c 3;-1 b-2-c];x=[1;1;-1];A*x [a b c]=solve('-1-c','2+a-c','1+b+c','a,b,c')ans = -1-c 2+a-c 1+b+c a =-3 b = 0 c =-1 矩阵的相似变换 4111.7设矩阵A222,求一可逆矩阵P,使P1AP为对角矩阵.222A=[4 1 1;2 2 2;2 2 2];[P D]=eig(A)P = 0.5774 0.5774 -0.0000 0.5774 -0.5774 -0.7071 0.5774 -0.5774 0.7071 D = 6.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 -0.0000 2001001.8已知方阵A2x2与B020相似, 求x,y.31100ysyms x;A=[-2 0 0;2 x 2;3 1 1];E=eig(A)y=-2 x=solve(1/2*x+1/2+1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2)-2)y =-2 x = 0 011.9 对实对称矩阵A10110010,求一个正交阵P,使P1AP为对角阵.100002A=[0 1 1 0;1 0 1 0;1 1 0 0;0 0 0 2];[P D]=eig(A)P = -0.7152 0.3938 0.5774 0 0.0166 -0.8163 0.5774 0 0.6987 0.4225 0.5774 0 0 0 0 1.0000 D = -1.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 1.10 求一个正交变换,化二次型f2x1x22x1x32x2x32x4为标准型.A=[0 1 1 0;1 0 1 0;1 1 0 0;0 0 0 2];[Q D]=eig(A)Q = -0.7152 0.3938 0.5774 0 0.0166 -0.8163 0.5774 0 0.6987 0.4225 0.5774 0 0 0 0 1.0000 D = -1.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 1.11 已知二次型 222f(x1,x2,x3)x12x2x32x1x24x1x32x2x3 (1)求标准形;(2)求正惯性指数; (3)判断二次型是否正定.(1) A=[1 1-2;1-2 1;-2 1 1];[Q D]=eig(A) Q = 0.4082 0.5774 -0.7071 -0.8165 0.5774 -0.0000 0.4082 0.5774 0.7071 D = -3.0000 0 0 0 0.0000 0 0 0 3.0000(2)由对角矩阵D得,正惯性指数是1。(3)D=diag([-3,0,3]); if all(D>0) disp('二次型正定') else disp('二次型非正定') end 二次型非正定第三篇:精品课《数学建模与数学实验》学习体会
第四篇:数学建模与数学实验教学大纲(工科)
第五篇:选修课数学实验与建模matlab作业