第一篇：不等式的证明典型例题分析
不等式的证明典型例题分析
例1 已知，求证：．
证明 ∵
∴，当且仅当时等号成立．
点评 在利用差值比较法证明不等式时，常采用配方的恒等变形，以利用实数的性质例2 已知均为正数，求证.．
分析 由于所证不等式两端都是幂和积的形式，且
证明
这时为不等正数，不失一般性，设，.为正数，可选用商值比较法.，.由指数函数的性质可知，所以
即
例3 已知
求证：..，．
分析 不等式的左端是根式，而右端是整式，应设法通过适当的放缩变换将左式各根式的被开方式转化为完全平方式．
证明 ∵
∴，．
即．
两边开方，得．
同理可得三式相加，得．． ．
例4 设，求证：
分析 当所证结论在形式上比较繁杂时，一般都可采用分析法.证明 要证明
只要证
因为，故只要证
由于函数故只要证
即证
只要证
即证
在上是减函数，这是显然成立的，故原不等式成立.点评 分析法是一种不断探求要证明不等式成立的充分条件的方法，表述证明过程时应予以注意.例5 已知都是正数，求证：
（1）
（2）
分析 用综合法证明.证明（1）∵
都是正数，则，∴
∴，即
（2）∵
都是正数，则，点评
变形.例6
证明
点评
∴
用不等式的平均值定理证明不等式时，要注意定理的条件，还要注意为运用定理而作出的适当已知，且，求证：（1）；（2）（1）∵，∴
（2）
其中的放缩是以给出的条件或已证结果被运用作为思考的目标.3
第二篇：不等式的证明·典型例题2
不等式的证明·典型例题
【例1】 已知a，b，c∈R+，求证：a3+b3+c3≥3abc． 【分析】 用求差比较法证明．
证明：a3+b3+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ca]
∵a，b，c∈R+，∴a+b+c＞0．
(c-a)]2≥0 即 a3+b3+c3-3abc≥0，∴a3+b3+c3≥3abc．
【例2】 已知a，b∈R+，n∈N，求证：(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)．【分析】 用求差比较法证明． 证明：左-右=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1 =abn+anb-an+1-bn+1 =a(bn-an)+b(an-bn)=(bn-an)(a-b)当a＞b＞0时，bn-an＜0，a-b＞0，∴(*)＜0；
(*)当b＞a＞0时，bn-an＞0，a-b＜0，∴(*)＜0； 当a=b＞0时，bn-an=0，a-b=0，∴(*)=0． 综上所述，有(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0． 即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)．
【说明】 在求差比较的三个步骤中，“变形”是关键，常用的变形手段有配方、因式分解等，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式．
【例3】 已知a，b∈R+，求证aabb≥abba． 【分析】 采用求商比较法证明． 证明：∵a，b∈R+，∴abba＞0
综上所述，当a＞0，b＞0，必有aabb≥abba． 【说明】 商值比较法的理论依据是：
【例4】 已知a、b、c是不全等的正数，求证： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc．
【分析】 采用综合法证明，利用性质a2+b2≥2ab． 证明：∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a(b2+c2)≥2abc．
①
同理b(c2+a2)≥2abc
②
c(a2+b2)≥2abc
③
∵a，b，c不全相等，∴①，②，③中至少有一个式子不能取“=”号 ∴①+②+③，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc． 【例5】 已知a，b，c∈R+，求证：(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc；
【分析】 用综合法证明，注意构造定理所需条件． 证明：
(1)ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)．
∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16abc 因此，当a，b，c∈R+，有
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c)≥16abc．
2【说明】 用均值定理证明不等式时，一要注意定理适用的条件，二要为运用定理对式子作适当变形，把式子分成若干分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相乘．
【分析】 采用分析法证明．
(*)∵a＜c，b＜c，∴a+b＜2c，∴(*)式成立． ∴原不等式成立．
用充分条件代替前面的不等式．
【例7】 若a、b、c是不全相等的正数，求证：
证明二：(综合法)∵a，b，c∈R+，abc成立．上式两边同取常用对数，得
【说明】 分析法和综合法是对立统一的两个方面．在证法一中，前面是分析法，后面是综合法，两种方法结合使用，使问题较易解决．分析法的证明过程恰恰是综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推．
【例8】 已知a＞2，求证loga(a-1)·loga(a+1)＜1．
【分析】 两个对数的积不好处理，而两个同底对数的和却易于处理．因为我们可以先把真数相乘再取对数，从而将两个对数合二为一，平均值不等式恰好有和积转化功能可供利用．
证明：∵a＞2，∴loga(a-1)＞0，loga(a+1)＞0． 又loga(a-1)≠loga(a+1)
∴loga(a-1)·loga(a+1)＜1．
【说明】 上式证明如果从loga(a-1)·loga(a+1)入手，得loga(a-1)
二为一了．另外，在上述证明过程中，用较大的logaa2代替较小的loga(a2-1)，并用适当的不等号连结，从而得出证明．这种方法通常叫做“放缩法”．同样，也可以用较小的数代替较大的数，并用适当的不等号连结．
【例9】 已知：a，b，c都是小于1的正数；
【分析】 采用反证法证明．其证明思路是否定结论从而导出与已知或定理的矛盾．从而证明假设不成立，而原命题成立．对题中“至少
∵a，b，c都是小于1的正数，故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确．
【说明】 反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法．
|a|≤1．
【说明】 换元法是将较为复杂的不等式利用等价转换的思想转换成易证明的不等式．常用的换元法有(1)，若|x|≤1，可设x=sinα，α∈R；(2)若x2+y2=1，可设x=sinα，y=cosα；(3)若x2+y2≤1，可设x=
【例11】 已知a1、a2、„an，b1、b2、„bn为任意实数，求
证明：构造一个二次函数
它一定非负，因它可化为(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+„+(anx-bn)2．
∴Δ≤0，(当a1，a2，„an都为0时，所构造式子非二次函数，但此时原不等式显然成立．)
【说明】上例是用判别式法证明的“柯西不等式”，它可写为：
变量分别取|a+b|，|a|、|b|时就得到要证的三个式子．因此，可考虑从函数
∴f（x2）＞f（x1），f（x）在[0，+∞）上是增函数． 取x1=|a+b|，x2=|a|+|b|，显然0≤x1≤x2． ∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）．
【说明】这里是利用构造函数，通过函数的单调性，结合放缩法来证明不等式的．应注意的是，所给函数的单调整性应予以论证．
【例13】已知a，b，m，n∈R，且a2+b2=1，m2+n2=1，求证：|am+bn|≤1． 证法一：（比较法）
证法二：（分析法）
∵a，b，m，n∈R，∴上式成立，因此原不等式成立． 证法三：（综合法）
∵a，b，m，n∈R，∴（|a|-|m|）2≥0，（|b|-|n|）2≥0． 即a2+m2≥2|am|，b2+n2≥2|bn| ∴a2+m2+b2+n2≥2（|am|+|bn|）∵a2+b2=1，m2+n2=1，∴|am|+|bn|≤1 ∴|am+bn|≤|am|+|bn|≤1． 证法四：（换元法）
由已知，可设a=sinα，b=cosα，m=sinβ，n=cosβ． 于是|am+bn|=|sinαsinβ+cosαcosβ|=|cos（α-β）|≤1． 【说明】一个不等式的证明方法往往不只一种，要注意依据题目特点选择恰当的方法．
【例14】已知f（x）=x2-x+c，且|x-a|＜1，（a，b，c∈R）求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．
【分析】绝对值不等式的证明充分利用绝对值不等式性质：
证明：|f（x）－f（a）|=|x2-x+c-a2+a-c| =|（x+a）（x-a）-（x-a）|=|x-a||x+a-1|＜|x+a-1| =|（x-a）+2a-1|＜|x-a|+|2a|+|（-1）|＜1+2|a|+1=2（|a|+1）． ∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．
【例15】当h与|a|，|b|，1中最大的一个相等，求证：当|x|＞h时，由已知，有|x|＞h≥|a|，|x|＞h≥|b|，|x|＞h≥1 ∴|x|2≥b．
第三篇：不等式的证明方法经典例题
不等式的证明方法
不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。
a2b2ab注意ab2ab的变式应用。常用(其中a,bR)来解决有2222关根式不等式的问题。
一、比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。
1、已知a,b,c均为正数，求证：
111111 2a2b2cabbcca
二、综合法
综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。
2、a、b、c(0,)，abc1，求证：
4a2b2c24413
3、设a、b、c是互不相等的正数，求证：abcabc(abc)
4、知a,b,cR，求证:
a2b2b2c2c2a2(abc)
211(1)(1)9xy5、x、y(0,)且xy1，证：。
6、已知a,bR,ab1求证：11111.ab9
三、分析法
分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。
7、已知a、b、c为正数，求证：
2(ababc3ab)3(abc)23
8、a、b、c(0,)且abc1，求证abc3。
四、换元法
换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。
9、b1，求证：ab(1a2)(1b2)1。
22xy1，求证：2xy210、114.abbcac1222212、已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3．
211、已知a>b>c,求证：
13、已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤10．
14、解不等式5x221x1＞
2215、－1≤1x－x≤2．
五、增量代换法
在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．
16、已知a，bR，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥
六、利用“1”的代换型
2225． 2111已知a,b,cR,且 abc1,求证： 9.abc17、七、反证法
反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。
18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法 33119、已知a、b、c（0，1），求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a，不能均大于4。
20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a 不能同时大于
1。
421、a、b、cR，abc0，abbcca0，abc0，求证：a、b、c均为正数。
八、放缩法
放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩
22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜＜2．
bdac＋＋＋
abcbcdcdadab23、nN，求证：*2(n11)112131n2n1。
24、A、B、C为ABC的内角，x、y、z为任意实数，求证：x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC。
证
九、构造函数法
构造函数法证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
25、设a、b∈R，且a＋b =1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥222225． 226、设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证：2a1＋2b1≤22． 1．实数绝对值的定义:
|a|=
这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。
2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。
若a>0时，则
|x| |x|>a x<-a或x>a。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)| |f(x)|>g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)； |f(x)|<|g(x)| f2(x) 4．三角形不等式: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。 高中数学不等式典型例题解析 高中数学辅导网http://www.xiexiebang.com/ 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：[同向相加，异向相减] 若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；[同向相乘，异向相除] 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若 bn或 4．若 ；若 1a，则，则，则 1b 。如 （1）对于实数a,b,c中，给出下列命题： ①若则； ④若 ； ②若则 ⑤若 则则 ； ③若 则 ； ； ⑥若 a ⑦若 则； 则 ； ⑧若 1a 1b，则。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知 （答： ca 的取值范围是______ （答：），）；（3）已知，则，且的取值范围是______ 则 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设 a 的大小 （答：当 时，且，比较logat和log （时取等号）；当 时，京翰教育http://www.xiexiebang.com/ （时取等号））； （2）设，，试比较p,q的大小 （答：）； （3）比较1+logx3与且或 2logx2；当 时，1+logx3＞2logx2；当的大小（答：当 时，1+logx3＜ 时，1+logx3＝2logx2） 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积 最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是 A、1x 的最小值是2 2 4x4x 0)的最大值是 0)的最小值是、C、（答：C）； （2）若，则的最小值是______、（答：）； （3）正数x,y满足，则 的最小值为______ （答：）； 4.常用不等式有：（1 (根据目标不等式左右 的运算结构选用)；（2）a、b、，且仅当时，取等号）；（3）若 b a 如果正数a、b满足，则ab，则 （当 （糖水的浓度问题）。如 的取值范围是_________ （答：） 五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是： 作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有： n 1n 如（1）已知，求证： (2)已知，求证：（3）已知，且(4)若，求证： ；； ； a、b、c 是不全相等的正数，求证： lg lg ca ； 2 （5）已知，求证：若 1已知，求证：（8）求证： n； 1n ；(6) 。 六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次 因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如 （1）解不等式 （答： （2） 不等式 （答：的解集是____ 或）； 的解集为的解集为 或）。 （3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且，的解集为，则不等式______ （答：）；（4）要使满足关于x的不等式（解集非空）的每一个x的值 和x 中的一个，则实数a的至少满足不等式取值范围是______.（答：[7，818)） 七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通 分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 （1）解不等式 2）； 的解集为，则关于x的不等式 （答： （2）关于x的不等式 的解集为____________）.（答： 八．绝对值不等式的解法： 1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式 | （答：）； （2）利用绝对值的定义； （3）数形结合；如解不等式 （答： （4）两边平方：如 若不等式______。 （答：{） 九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如 （1）若loga，则a 对 恒成立，则实数a的取值范围为）的取值范围是__________ （答：或 （2）解不等式 ax）； 1a 1a 或）时，时，（答： }； 时，{x|或 ； 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2） 不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 __________（答：（－1,2）） 十一．含绝对值不等式的性质： a、b同号或有号或有 ； a、b异 如设，实数a满足，求证： 十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方 式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题 若不等式 若不等式 在区间D上恒成立,则等价于在区间D上如（1）设实数x,y满足，当时，c的取值范围是______）（答：；（2）不等式）； 在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答： （3）若不等式取值 对满足的所有m都成立，则x的范围_____ （答：（（4）若不等式 n ，））； 对于任意正整数n恒成立，则实数a的取 值范围是_____ （答：）； （5）若不等式对求m的 取值范围.（答：） 2).能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式上 ； 若在区间D上存在实数x使不等式上的如 已知不等式范围____ （答：） 3).恰成立问题 若不等式在区间D上恰成立, 解集为D； 的所有实数x都成立，成立,则等价于在区间D 成立,则等价于在区间D 则等价于不等式的若不等式解集为D.在区间D上恰成立, 则等价于不等式的在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值 Run MATRIX procedure: Correlations for Set-1 long1 width1 long1 1.0000 .7346 width1 .7346 1.0000 Correlations for Set-2 两组变量内部各自的相关阵 long2 width2 long2 1.0000 .8393 width2 .8393 1.0000 Correlations Between Set-1 and Set-2 long2 width2 long1 .7108 .7040 width1 .6932 .7086 两组变量间各变量的两两相关阵，可见兄弟的头型指标间确实存在相关性，提取出综合指标来代表这种相关性。 Canonical Correlations 1 .789 2 .054 第一典型相关系数为0.789。 Test that remaining correlations are zero: Wilk's Chi-SQ DF Sig.1 .377 20.964 4.000 .000 2 .997 .062 1.000 .803 各典型相关系数的检验。 Standardized Canonical Coefficients for Set-1 long1 -.552 -1.366 width1 -.522 1.378 Raw Canonical Coefficients for Set-1 long1 -.057 -.140 width1 -.071 .187 上面两个表为各典型变量与变量组1中各变量间标化与未标化的系数列表，由此可写出典型变量的转化公式为(标化的)： L10.552long10.522width1,L21.366long11.378width1 Standardized Canonical Coefficients for Set-2 long2 -.504 -1.769 width2 -.538 1.759 Raw Canonical Coefficients for Set-2 long2 -.050 -.176 width2 -.080 .262 上面两个表为各典型变量与变量组2中各变量间标化与未标化的系数列表，同上可写出典型变量的转化公式为(标化的)： M10.504long20.538width2,M21.769long21.759width2 Canonical Loadings for Set-1 long1 -.935 -.354 width1 -.927 .375 Cross Loadings for Set-1 long1 -.737 -.019 width1 -.731 .020 上表为第一变量组中各变量分别与自身、相对的典型变量的相关系数，可见它们主要和第一对典型变量的关系比较密切。 Canonical Loadings for Set-2 long2 -.956 -.293 width2 -.962 .274 Cross Loadings for Set-2 long2 -.754 -.016 width2 -.758 .015 上表为第二变量组中各变量分别与自身、相对的典型变量的相关系数，结论与前相同。 下面是冗余度(Redundancy)分析结果，它列出各典型变量相关系数 所能解释原变量变异的比例，可以用来辅助判断需要保留多少个典型相关系数。 Redundancy Analysis: Proportion of Variance of Set-1 Explained by Its Own Can.Var.Prop Var CV1-1 .867 CV1-2 .133 是第一组变量的变异可被自身的典型变量所解释的比例。第一典型变量解释了总变异的86.7％。 Proportion of Variance of Set-1 Explained by Opposite Can.Var.Prop Var CV2-1 .539 CV2-2 .000 第一组变量的变异能被它们相对的典型变量所解释的比例。 Proportion of Variance of Set-2 Explained by Its Own Can.Var.Prop Var CV2-1 .920 CV2-2 .080 是第二组变量的变异可被自身的典型变量所解释的比例。 Proportion of Variance of Set-2 Explained by Opposite Can.Var.Prop Var CV1-1 .572 CV1-2 .000 第二组变量的变异能被它们相对的典型变量所解释的比例。 综合上述冗余度分析结果，只需保留第一对典型变量。第四篇：高中数学不等式典型例题解析
第五篇：典型相关分析例题结果
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