重要不等式汇总(例题答案)5则范文

第一篇：重要不等式汇总(例题答案)

其他不等式综合问题

例1：（第26届美国数学奥题之一）设a、b、c∈R+，求证：

1.（1）

a3b3abcb3c3abcc3a3abcabc

分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成.实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式：x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y)(x、y∈R+)（*）

知（1）的左端

1.ab(ab)abcbc(bc)abcca(ca)abcabc

这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。

（1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？

以下为行文方便，记（1）的左端为 似处理，不再赘述,为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手,11

。（2）

a3b3c3abcdabcd

4分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x+y+z≥xyz(x+y+z)（**），表示对a、b、c轮换求和，以下其它的类

ab3abc

3推广1：设a、b、c、d∈R+，求证：

（**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。事实上，由高中数学课本上熟知的不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x+y+z≥xy+yz+zx≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样（**）得证, 从而（2）便可仿（1）不难证明，略, 推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证：

n

44422222

2ik

i

1aai

i1

ni

n



1ai

i1n

。（3）

有了前面的推广1的证明，这里的推广2的证明容易多了，联想（**），只要能证明

nn

a1na2an1a1a1an1(a1a2an1)（这是（**）的发展）

事实上，由切比雪夫不等式及算术——几何平均值不等式可知

aaa

n

n2

nn1

n1n1

a1n1a2an1(a1a2an1)a1a1an1(a1a2an1)

n1

有了上式，推广2便不难证明，略.很显然，对于推广2，若按（1）的最初的去分母去证明，当然是行不通的，这也表明，解决数学问题的关键一着就是要把握问题的实质，不要被一些较复杂的表面现象所迷惑，要善于观察，善于分析，善于总结，善于概括，善于发现，善于利用，尽力从表象的东西里抽象概括出本质性的实质性的规律，这才是学习数学的要旨。例2：设x、y、z∈R+，求证：

x2y2z

2221.（4）2222

yzyzzxzxxyxy

分析：这是一个并不复杂的分式不等式，但是若要通过去分母来证明，肯定会走弯路，甚至走到死胡同。

思考方向：（4）的左端较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从从左至右的进行。思考方法：（1）从左至右是一个逐步缩小的过程，所以，对于本题，一个简单的想法就是将个分母设法放大，但考虑到分母结构的相似性，故只要对其中之一进行恰倒好处的变形，并设法构造出（4）的右边即可大功告成。

实施步骤；联想到高中课本上熟知的的不等式：2xy≤x2+y2(x、y∈R),刚好是（4）中分母里xy的成功放大，即有如下证明：

x3x2x22x

2证明：∵ 只要证明，（5）,22y2z2212y2z2yz3(yz)222

yz(yz)

给（5）的两边同时加3，得到

(x2y2z2)(

x2y2z2

y2z2



9，这等价于 2

19122)(yz)()9，2y2z2y2z2

这由Cauchy不等式便知，从而（4）得证。

（4）式刻画了3个变量的情形，其特点是；左端每一个分式的分母是从3个变量中取两个，为

两个的二次方与这两个变量之积之和，而分子则是剩下一个变量的二次方。现在，我们如果站在变量个数方面考虑，即再增加若干个变量，结论会怎样？证法还灵吗？经过再三考虑，得到 推广1：设ai∈R+，(I=1,2,3,…，n)求证：

n

ain

ki

n

akak

ki

i

11.（6）

联想（4）的证明过程，知关键是对分母中的乘积项利用二元均值不等式进行放大，然后运用Cauchy不等式便大共告成，那么，（6）的证明也只要对每一个分式中分母乘积项逆用多元算术——几何平均值不等式，再使用Cauchy不等式便知，详细的证明略。

y2x2z2

1.（7）另外，如果一不小心，将（4）错写为如下形式：2

yyzz2z2zxx2x2xyy2

那么，虽然（7）与（4）相比，实质性的东西并没有发生改变，但就其结构而言已经发生了相当大的改变，即（7）的每一个分母中连续3项依次成等比数列，而（4）的分母中就不具备这样的性质，继而，（7）是否从某一方面反映某一普遍意义下的一种特例呢？也就是（7）的一般情形是什么？站在等比数列的角度去审视（7），就可以探索从改变分母的指数出发去联想，从而得到一个很好的结论，（7）的分母多项式为3项，最高指数为2，分子与分母指数相同，左边为三个式子之和，右边为1，试想，当分母中的多项式指数增高时，（7）应该变成什么样子，准确点儿，当指数为n+1时，相应的结论如何？这就是

推广2：设xyz∈R+，求证：

xn1yn1zn13（8）n1nn1nn1nn12n1n12n1n12n1

n2yyzyzzzzxzxxxxyxyy

分析：联想与类比有时候是提出问题和解决问题的金钥匙，相似问题的解决方法在很多场合往往

都是十分相似的，在这一点上请同学们注意领会并掌握。

思考方向与思考方法基本同于（4），只是实施步骤中的不等式：2xy≤x2+y2(x、y∈R)的右边的指数2改为n+1时，结论会变成什么相适应的样子？

类似于（*），由高中课本上知识知（当然可从指数为3，4，5，…,去探索，这里就省去探索的过程了，因为高中课本上已有指数为3、5时的结论）： nkknn+kn+k

xy+xy≤x+y,(x、y∈R+，n、k∈N+)

这是一个有意义的结论，于是xn+1+xny+xn-1y2+…+yn+1≤

yn1xn

1

yn1ynzyn1z2zn1zn1znxzn1x2xn1xn1xnyxn1y2yn1

n2n1

(xyn1),即 2n1z

2xn1yn1zn1

3(n1).(注意到（5）)到此，推广2获证。n1n1n1n1n1

n2yzn2zxxy

实际上，通过刚才对（7）的分析知道，（7）还有从变量个数方面的推广，例如变量个数为4，5，6，…，12或者小于等于23的奇数（结论成立）时，结论的证明就比较复杂了，况且，也不能推广到任意多个变量。关于这点，请读者参考有关资料。例3：设x、y∈（0，1），求证：

2。（9）1x21y21xy

分析：本题的结构看似简单，实际上，要向前面两个不等式那样去设法从左至右的证明在这里就不好进行，于是，需要进行等价分析变形，这是在当前一时找不到好的证法时常用的证题方法。

思考方向和思考方法：去分母，整理成恒不等式。

实施步骤：一般的程序应该是配方或者分解因式。

证明：由条件 x、y∈（0，1）知，xy∈（0，1）,所以，原不等式等价于[

1]（10）

21x21y21xy

2(1x2)(1y2)-(1xy)(2x2y2)0(x2y2-2xy)(1-xy)0（11）

结合题目条件及二元均值不等式知此式早已成立，于是原命题获证。

这一证明看起来比较简明，但是，真正实施起来也不是太简单，请同学们仔细领悟。到这里本题的证明已经结束，但是，如果仅停留在这个层次上就得到的甚少，应该及时进行反思、总结、提炼，看看本题有无推广演变的可能？即能否由此产生新的数学命题？

观察例3的结构可以看出，（10）的左端可以看成是函数f(x)

在两个变量x、y处的函数

21x

值的算术平均值，右边是两个变量x、y在其几何平均值处的函数值f(xy)，联想到Jensen不等式，可以很容易的将（10）推广到多个变量时的情形，即

推广1：xi∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求证：

1n

。（12）nn

i11xi1xi

n

i

1这由数学归纳法不难确认其正确，详细证明留给感兴趣的读者。

继续观察（11），不难看出，当x＞1，y＞1时，不等号应该反向，于是可得原命题的另一种演变的推广，即

推广2：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求证： 

1n

（13）nn

i11xi1xi

n

i

1继续观察（10），容易想到，当变量个数再增加时会有怎样的结论？即对于三个变量 若x、y、z∈（0，1）,可得[

这三式相加得：

11111111111

1]]，[[ ]222

221x1xy21y1yz21z21x21y1z1zx111111

（14）1x21y21z21xy1yz1zx

这样我们又得到了一个新的命题。如此继续，便得

推广3：xi∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求证：

n11（15）

2i11xi11xixi

1in

n11

（16）.（xn+1=x1）2

i11xi11xixi1

in

推广4：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求证：

（15）、（16）的证明可仿照（14）的证明进行，在此就略去其详细的证明了。

从这几个推广命题的由来我们可以看出，很多数学命题都是在认真分析已有命题的基础上，对原命题进行分析、归纳、总结、提炼，得到描述问题的本质，在原有问题及其求解思路的基础上，运用自己所掌握的数学知识通过思维的迁移加工就可得到一系列新的数学命题，这也是许多命题专家的研究心得，更是解题者应该多多注意的一个方面，也是我们辅导老师应该向学生介绍的重要一环——展示知识发生、发展的全过程。

研究某些不等式的推广是十分有意义的工作，有事实表明，近多年来的高层次竞赛就多次涉及到多个变量的复杂不等式证明问题，而且，有些问题本身就是一些固有问题的发展和演变，故应引起参加竞赛的同学的重视。

例4已知a,b,c,m为正数．求证：证明：不妨设ac,bc，则

abc3bcaabbca21bacab

abcambmcm

． 

bcabmcmam

bab

ab

acbc

ac

故

abcambmcm

． bcabmcmam

abacbc

ambmamcm

2ambmamcmbmcm

ambmamcmambmbmcmbm21bmamcmamamambmcm3.bmcmam

x2y2z2

例5设正数x,y,z,a,b,c满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=的最小值.

1x1y1z

222

c2a2b2a2b2c2bca解:由cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c容易解得:x,y,z,且

2ca2ab2bc

a+b>c,b+c>a,c+a>b.22222

[(b2c2a2)]2x1(bca)1由对称性不妨设a≥b≥c,从而f(x,y,z)= 1x2(abc)bc(bca)2(abc)bc(bca)

1(a2b2c2)2

12(abc)bc(bca)2

a4+b4+c4+2

bc

≥2

bc

+

bcbc

3a2bca4+b4+c4+

3abcbcbc



a(a-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)≥0a(a-b)+a(b-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)=a2(a-b)2+(a2-b2)(b-c)(a-b)+c2(c-a)(c-b)≥0,最后的不等式显然成立,22222222

11x21

,其中等号成立当且仅当a=b=c且x=y=z=,故函数f(x,y,z)的最小值为.所以221x2

例6设n是给定的正整数，且n≥3,对于n个实数x1,x2,…,xn，记|xi-xj|(1≤i

x12+x22+…+xn2=1,试求m的最大值。

解:不妨设x1≤x2≤…≤xn,则x2-x1≥m,x3-x2≥m,x4-x3≥m,…,xn-xn-1≥m.xj-xi≥(j-i)m(1≤i

k(k1)(2k1)m∴有(xixj)m(ji)m

661ijn1ijnk1

2n1

[2k(k1)(k2)3k(k1)]

k1

n1

m2

6

∵

(12C

k1

n1

3k2

6C

2k1)m(2C

k1

n1

3k2

Ck21)m2(2Cn2Cn1)=k1

n1

1222

mn(n1).12

1ijn

(x

i

xj)n12

1ijn

xx

i

j

n(xk)2≤n.∴m2n2(n2-1)≤12n,m≤

k1

n

12.仅当x1,x2,…,xn成等差数列,且xk2

n(n1)k1



n

0时等号成立∴mmax=

.n(n21)

例7设n是一个固定的整数，n≥2.(Ⅰ)确定最小的常数c，使得不等式对所有的非负实数x1，x2，…，xn都成立；

(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的常数c，确定等号成立的充要条件。解：将和式

1ijn

1ijn

xx(x

ij

2i

xj)c(xi)

4i1

n

f(x,x)简记为f(x,x).(Ⅰ)当x，x，…，x不全为0时，记

i

j

jj

12n

xxx

(x)

ini1

i

j2

xxx(xx,y

(x)

i

jk

in

i1

i

n

j

xk).∵

xx(x

i

j

2i

xj)xixj[(xk)2xixj

k1

k1(ki,j)

x

i

j

n

2k

](xk)2xixj

k1

n

2(xixj)2xixjxk(xixjxk)∴2x2xy∵2x2xy

1ijn

xx(x

2i

x)c(xi)4c

i1

2j

n

111,其中等号成立仅当x,y0∴cmin.848

n

11(Ⅱ)c中等号成立x,y0(xi)24

4i1

xx,xxx

ij

ij

k

(xixjxk)

0xixjxk0且xi2xixjx1，x2，…，xn中任意三项之积为0，最多有两项xi、i

1n

xj不为0，满足xi+xj=2xixj即xi=xj∴c余全为0

2中等号成立x1，x2，…，xn中有两项相等(可以为0)，其8

2n2006

例

8、（2007年CMO试题5）设有界数列{an}(n1)满足a

n



kn

ak1

,n1,2,3求证：k12n2007

an,n1,2,3, n

2n20061

则 bnbknknk1

证明：设bnan

n1

(1)

下证bnan，因为an有界，故存在常数M。使得bnM，n100000时，我们有 n

2n2006

2n2006

(3s)2

2n2006

bk111

bnMMM knk1knk1knk1knk1

n

2006

16MM2M

2712

由此可以看出，对任意的正整数m有bn()M于是有bn0,n100000 将其代入（1），得bn0,n10000 0

再次利用（1），可以得：如果当nN1时bn0，则bN0，这就推出bn0,n1,2,3,，即an

m,n1,2,3, n

第二篇：杭电金融企业会计重要例题及答案

一、银行

1、储户李月2012年9月10日存入整存整取定期储蓄存款60 000元，定期1年，年利率为

2.52%，该储户2013年9月10日到期支取，计算该储户利息，并写出商业银行会计分录。借：应付利息／利息支出1 51

2贷：吸收存款——定期储蓄存款——李月1 512

借：吸收存款——定期储蓄存款——李月1 512

贷：库存现金1 5122、储户王一于2012年8月18日来银行办理零存整取定期储蓄存款，月存500元，存期1年，月利率为1.5‰，于次年8月18日支取，计算该储户利息，并写出商业银行会计分录。每月存款利息基数=（1+12）÷2 X 1.5‰=0.0097

5应付利息=6 000 X 0.00975=58.5

借：应付利息／利息支出58.5

贷：吸收存款——定期储蓄存款——王一58.5

借：吸收存款——定期储蓄存款——王一6 058.5

贷：库存现金6 058.53、存本取息。储户刘建于2012年8月20日存入本金10 000元，存期1年，月利率为1.5‰，每三个月支取利息一次，计算该储户利息，并写出商业银行会计分录。

每次支取利息数=（10 000 X 12 X 1.5‰）÷4=4

5借：应付利息／利息支出45

贷：吸收存款——定期储蓄存款——刘建45

借：吸收存款——定期储蓄存款——刘建45

贷：库存现金454、整存零取。储户李倩一次存入本金60 000元，1年期，每月支取一次3 000元，月利率为1.5‰，最后一次支取日为到期日，连同利息一并支取，计算该储户利息，并写出商业银行会计分录。

到期应付利息=（60 000+3 000）÷2 X 12 X 1.5‰=567

借：应付利息／利息支出567

贷：吸收存款——定期储蓄存款——李倩567

借：吸收存款——定期储蓄存款——李倩3 567

贷：库存现金3 5675、单位定期存款。B单位于2012年9月1日存入银行定期存款1 000 000元，存期1年，年利

率为2.52%，2013年9月1日到期，该单位于9月7日来行支取，支取日活期存款年利率为0.72%，计算B单位利息，并写出商业银行会计分录。

到期利息=1 000 000 X 1 X 2.52% = 25 200

逾期利息=1 000 000 X 6 X(0.72%÷360)=120

借：应付利息／利息支出25 320

贷：吸收存款／定期存款——B单位25 320

借：吸收存款／定期存款——B单位25 320

贷：吸收存款／活期存款——B单位25 320

二、保险

1、原保险合同收入。A非寿险原保险合同（eg。家庭财产保险合同）（1）1月1日收到保

费2000元。借：银行存款2000 贷：预收保费2000

（2）2月1日确认原保费收入2000元。借：预收保费2000 贷：保费收入

（1）2009年1月1日收到保费4000元，确认原保费收入8000元。

借：银行存款 4000、应收保费4000 贷：保费收入8000

（2）2010年1月1日收取保费4000元.。借：银行存款 4000 贷：应收保费4000B寿险原保险<1>公司收到保费。借：银行存款 贷：保费收入

2、（原保险）未到期责任准备金。(1)11月1日确认原保费收入96000元。

借：银行存款96000 贷：保费收入96000（2）11月30日确认未到期责任准备金88000元。借：提取未到期责任准备金88000 贷：未到期责任准备金

(3)12月31日调减未到期责任准备金8000元。借：未到期责任准备金8000 贷：提取未到期责任准备金

3、未决赔款准备金<1>计算确定某类财产保险合同未决赔款准备金or寿险合同寿险责任准备金。借：提取保险责任准备金贷：保险责任准备金

4、赔付成本。

a、非寿险原保险合同（eg家庭财产保险）

（1）确定支付赔付款。例1：B公司确定应赔偿张某投保的家庭财产保险款160000，尚未支付。2009年4月30日B公司确认金额为160000

借：赔付支出1600000贷：应付赔付款160000

借：保险责任准备金 160000 贷：提取保险责任准备金160000

例2：B公司某被保险人死亡，B公司确定应赔偿该该保险受益人240000并于当日支付。借：赔付支出 240000 贷：银行存款240000

（2）发生理赔费用。例：C公司分配相关理赔人员薪酬86000元，其中与寿险责任准备金有关的有关的金额46000元，与长期健康保险责任准备金有关的40000.借：赔付支出 86000贷：应付职工薪酬86000

借：保险责任准备金——寿险责任准备金46000

——长期健康险责任准备金40000

贷：提取保险责任准备金86000

b、寿险原保险合同

C公司确定应付给李某投保的团体终身寿险款项1200000，尚未支付。

借：赔付支出 1200000 贷：应付赔付款1200000

借：保险责任准备金 1200000 贷：提取保险责任贮备金 12000005、损余物资

张某投保小轿车被盗，B公司已结案并支付宝金。2009年4月12日，B公司找回轿车，确定入账价值160000.借：损余物资160000 贷：赔付支出1600006、代位追偿款

李某轿车发生事故，B公司赔偿保险责任后，取得代位追偿款权，估计能收回60000.6月23日，B收到58000。

（1）5月15日确认应收代位追偿款60000。借：应收代位追偿款 贷：赔付支出

（2）6月30日收到应收代位追偿款58000。借：银行存款58000赔付支出2000 贷：应收代位追偿款60000

一、证券

3、某证券公司与即将上市D公司签订合同采取全额包销方式发行企业股票3 000万股，承购价为每股2.5元，发行价为每股3元，发行期结束时有100万股尚未卖出，作自营处理。要求：编制如下有关会计分录：

（1）公司按承购价格全部购进，并向发行者支付全部证券款，会计分录：

（2）公司按发行价格向社会转售给投资者，会计分录：

（3）公司按承购价格结转售出证券的实际成本，会计分录：

（4）在发行期结束时，按承购价格将没有售出的证券转为公司的自营证券，会计分录。

答：（1）公司按承购价格全部购进，并向发行者支付全部证券款项：

借：代理承销证券款——D公司股票75 000 000

贷：银行存款75 000 000

（2）公司按发行价格向社会转售给投资者：

借：银行存款87 000 000

贷：代理承销证券款75 000 000

手续费及佣金收入12 000 000

（3）公司按承购价格结转售出证券的实际成本：

借：证券发行72 500 000

贷：代理承销证券——D公司股票72 500 000

（4）在发行期结束后，按承购价格将没有售出的证券转为公司的自营证券：

借：自营证券——D公司股票2 500 000

贷：代理承销证券——D公司股票2 500 0004、某证券公司与即将上市的C公司签订合同，采用代销的方式承销公司上

市股票2 000万股，确定价格为每股3元，手续费按出售股票金额4‰计算，发行期结束时还有80万股尚未卖出退还公司。

要求：编制如下有关会计分录：

（1）公司收到委托单位转来要发行的证券按约定的发行价格核算，会计分录：

（2）公司在约定的期限内按发行价格售给投资者，会计分录：

（3）期末对未售出的证券由公司退还给委托单位，会计分录：

（4）发行期结束时，将筹集的证券款项支付给委托单位，并向委托单位收取手续费，会计

分录。

答：（1）公司收到委托单位转来要发行的证券按约定的发行价格核算：

借：代理承销证券——C公司股票60 000 000

贷：代理承销证券款——C公司股票款60 000 000

（2）公司在约定的期限内按发行的价格售给投资者：

借：银行存款57 600 000

贷：代理承销证券款——C公司股票57 600 000

（3）期末对未售出的证券由公司退还给委托单位：

借：代理承销证券款——C公司股票2 400 000

贷：代理承销证券——C公司股票2 400 000

（4）发行期结束时，将筹集的证券款项支付给委托单位，并向委托单位收取手续费：借：代理发行证券款——C公司股票款57 600 000

贷：银行存款57369600

手续费及佣金收入230400

第三篇：不等式的证明方法经典例题

不等式的证明方法

不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

a2b2ab注意ab2ab的变式应用。常用(其中a,bR)来解决有2222关根式不等式的问题。

一、比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。

1、已知a,b,c均为正数，求证：

111111 2a2b2cabbcca

二、综合法

综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。

2、a、b、c(0,)，abc1，求证：

4a2b2c24413

3、设a、b、c是互不相等的正数，求证：abcabc(abc)

4、知a,b,cR，求证:

a2b2b2c2c2a2(abc)

211(1)(1)9xy5、x、y(0,)且xy1，证：。

6、已知a,bR,ab1求证：11111.ab9

三、分析法

分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

7、已知a、b、c为正数，求证：

2(ababc3ab)3(abc)23

8、a、b、c(0,)且abc1，求证abc3。

四、换元法

换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。

9、b1，求证：ab(1a2)(1b2)1。

22xy1，求证：2xy210、114.abbcac1222212、已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3．

211、已知a>b>c,求证：

13、已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤10．

14、解不等式5x221x1＞

2215、－1≤1x－x≤2．

五、增量代换法

在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．

16、已知a，bR，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥

六、利用“1”的代换型

2225． 2111已知a,b,cR,且 abc1,求证： 9.abc17、七、反证法

反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。

18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法 33119、已知a、b、c（0，1），求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a，不能均大于4。

20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a 不能同时大于

1。

421、a、b、cR，abc0，abbcca0，abc0，求证：a、b、c均为正数。

八、放缩法

放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩

22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜＜2．

bdac＋＋＋

abcbcdcdadab23、nN，求证：*2(n11)112131n2n1。

24、A、B、C为ABC的内角，x、y、z为任意实数，求证：x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC。

证

九、构造函数法

构造函数法证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．

25、设a、b∈R，且a＋b =1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥222225． 226、设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证：2a1＋2b1≤22． 1．实数绝对值的定义:

|a|=

这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则

|x|

|x|>a x<-a或x>a。

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3．常用的同解变形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；

|f(x)|<|g(x)| f2(x)

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

第四篇：数学重要例题(6班)

《微观经济学》复习题

第一章

复习重点

1、微观经济学的定义 P3

2、微观经济学的主题：权衡取舍 价格 市场的核心作用 P4-5

3、实证分析、规范分析 P7

4、市场的范围 P9

5、名义价格与实际价格的转换 P13

6、小结 P17-18

复习题

第2、6题

P18

练习题

第1、2题

P18-19

第二章

复习重点

1、供给曲线的定义

P21

2、供给的变动、供给量的变动

P22

3、需求曲线的定义

P22

4、需求曲线的移动

P23

5、替代品、互补品

P23

6、均衡、市场机制

P24

7、需求的价格弹性公式、富于弹性、无弹性

8、需求的收入弹性、需求的交叉弹性

P34

9、供给弹性

P34

10、需求的弧弹性公式

P35

11、需求的短期弹性和长期弹性

P37-38

12、供给的短期弹性和长期弹性

P41-42

13、小结 P55

复习题

第2、5、11题

P56

练习题

第1、2、4题

P57

P32 第三章

复习重点

1、有关偏好的三个假设

P66

2、无差异曲线的定义

P66

3、边际替代率的定义、公式、边际替代率递减

P70-71

4、完全替代品、完全互补品

P72

5、效用、效用函数

P74

6、序数效用函数、基数效用函数

P75-76

7、预算线的定义、公式

P78-79

8、效用最大化的条件、公式

P82

9、边际效用、边际效用递减

P89

10、边际相等原则、公式

P90

11、拉氏指数、帕氏指数公式

P96

12、小结 P98

复习题

第6、8题

P100

练习题

第7、10、15题

P101-102

第四章

复习重点

1、消费--价格曲线

P105

2、收入—消费曲线

P107

3、正常商品、劣等商品

P108-109

4、恩格尔曲线

P109

5、收入效应和替代效应

P112

6、需求弹性与总支出的关系

P119

7、消费者剩余

P122

8、攀比效应 虚荣效应 P126-128

9、小结 P134-135

复习题

第5、11题

P135－136

练习题

第7、13题

P135－139

第五章

复习重点

1、期望值公式

P150

2、标准差

P151

3、期望效用

P154

4、风险溢价

P156

5、降低风险的方法

P159

6、大数定律

P161

7、小数定律

P175

8、小结 P177-178

复习题

第7题

P178

练习题

第1、7题

P178－180

第六章

复习重点

1、生产要素

P183

2、短期和长期

P184

3、平均产量和边际产量及其关系

P186-187

4、边际报酬递减规律

P188

5、等产量线

P193

6、边际技术替代率递减

P195-195

7、规模报酬递增 不变 递减

P199-200

8、小结 P202

复习题

第9题

P203

练习题

第2、7题

P203－204

第七章

复习重点

1、会计成本、经济成本、机会成本

P206

2、固定成本和可变成本

P208

3、边际成本平均总成本

P210-211

4、边际成本与平均成本的关系

P214

5、资本的使用者成本

P193

6、等成本线

P195-195

7、生产给定产出的最低成本 图7-3 P219

8、成本最小化的条件

P221

9、规模经济与规模不经济

P227-228

10、范围经济和范围不经济、范围经济程度 P231

11、小结 P240-241

复习题

第3题

P241

练习题

第1、3、9题

P242－243

第八章

复习重点

1、完全竞争市场三个假定

P252

2、利润最大化法则

P256

3、竞争性厂商的利润最大化

P258

4、产出法则

P260

5、关闭法则

P261

6、生产者剩余

P268-269

7、会计利润与经济利润、零经济利润

P271-272

8、长期竞争均衡的的条件

P273

9、经济租

P274

10、行业的长期供给曲线 P276-278

11、小结 P2481-282

复习题

第1、3题

P282

练习题

第4、11、13题

P283－285

第九章

复习重点

1、消费者剩余和生产者剩余 图9-1 P287

2、无谓损失

P289

3、征税后市场出清的四个条件 P311

4、转嫁因子公式

P311-312

5、补贴的效应

P312

6、小结 P315

复习题

第3题

P315

练习题

第1、2题

P316

第十章

复习重点

1、垄断、买方垄断

P323

2、定价的一个经验法则

P329

3、垄断势力的测定 勒纳指数

P335

4、垄断势力的来源

P339-340

5、价格管制

P342

6、买方寡占

P345

7、边际价值 边际支出

P345

8、买方垄断势力的来源

P49

9、小结 P356

复习题

第1、6题

P357

练习题

第3、6（1）（2）、7题

P358

第十二章

复习重点

1、垄断竞争市场的两个重要特征

P412

2、垄断竞争短期和长期的均衡

P413

3、垄断竞争的非效率是否使之受管制？

P415

4、纳什均衡

P417

5、古诺均衡

P420

6、斯塔克博格模型

P422

7、伯特兰德模型

P423

8、囚徒的困境

P429

9、价格刚性

P431

10、卡特尔

P435

11、小结 P440

复习题

第1、4题

P441

练习题 第6（1）（2）（3）、11题

P442-444

第十四章

复习重点

1、劳动的边际收益产出定义、公式

P487

2、利润最大化条件

P488

3、对厂商的投入要素供给

P494

4、投入要素的市场供给

P495

5、竞争性要素市场的均衡

P498

6、经济租

P422

7、有买方垄断势力的购买决策

P503

8、工资率的垄断势力

P506

9、工会化与非工会化

P507

10、小结 P510

复习题

第2、7题

P511

练习题

第6、8题

P512-513

第五篇：均值不等式的正确使用及例题

均值不等式的正确使用及例题

利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。

（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准 a2b2abab2均值不等式是指，ab(a,bR)，它的变形式子有ab()，ab22

2(ab)2

2(a2b2)等。由此可知，在求ab的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？

通过比较发现，若已知ab是定值，求ab的最大值可使用第一个不等式；若已知a2b2是定值，求ab的最大值可用第二个不等式，若求ab的最大值可用第三个不等式。

（二）使用均值不等式求最值，定值是前提

例1.已知正数a、b满足2a2b23，求ab21的最大值。

（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立

2例2.已知ab0，求a4的最小值。b(ab)

二.均值不等式的应用

（一）用于比较大小

例1.若ab1，Plgalgb，QA．RPQ

例2.若pa B.PQR 1ab，则（）(lgalgb)，Rlg22 C.QPRD.PRQ 12(a0)，qarccost(1t1)则下列不等式恒成立的是（）a

A.pqB.pq0C.4pqD.pq0

（二）用于求取值范围

例3.若正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是。

（三）用于证明不等式

例4.已知i、m、n是正整数，且1imn，求证：(1m)n(1n)m.三.均值不等式中等号不成立时最值的求法

利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”。在解题的过

程中，有时往往出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的失效现象，下面浅析此时的应付对策。

（一）平衡系数，实施均拆

这是最常用的一种技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等。

例1.求函数y3x1(x0)的最小值。x

2（二）引入参数，巧渡难关

例2.用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

（三）依函数单调性处理，简捷迅速

例3.求函数yx2

5x

42x212

x422(xR)的最小值。的最小值。例4.求函数y

（四）分项拆项，观察等号 对于函数f(x)pxq(p、qR，x(0，c])x的最值，当直接使用均值不等式失效时，除用单调性外，还可用“分项拆项法”，再用均值不等式，同时要注意等号。

例5.已知x[0)，求函数y1sinx

22的最小值。1sinx

（五）利用化归思想解决两次均值不等式等号不成立时的问题

22例6.设实数m，n，x，y满足mn4，x2y29，求mxny的最大值。

四.解决最值问题的不等式模型

最值问题一直是高考试题中的一个热点，几乎年年都有所涉及。同时在解题的过程中，不难发现求最大（小）值问题，绝大多数都可转化为不等式问题。下面就总结一下解决最值问题的六个常用不等式模型。

2（一）运用“x0”模型

22对任意的xR，有x0恒成立，运用x0等号成立的条件，可解决二次函数型的最值，同时要区分在闭区间的最值问题。

例1.已知x、yR，且xy1，求x2y2的最小值。

例2.函数ycos2x3cosx2的最小值为（）

A.2B.0C.

（二）运用“0”模型 1D.6

4将函数看作关于自变量的方程，常可化为一元二次方程ax2bxc0(a0)，运用“xR,b24ac0”求函数的最值。

例3.如果实数x,y满足(x2)2y23，那么

A.y的最大值是（）x331B.C.D.3 32

2，|cosx|1”模型

（三）运用“|sinx|

1此法主要用于求三角函数或可转化为三角函数的最值问题，解法是先化为关于正余弦函数的，|cosx|1来完成。一次式，再利用有界性即|sinx|1

例4.定义在R上的函数f(x)sinxcosx的最大值是____。

例5.函数f(x)3sinxcosx4cos2x的最大值是_______。

（四）运用“a,bR，ab2ab”模型

利用二元均值不等式求最值，应注意遵循条件“一正二定三相等”。

例6.若实数a、b满足ab2，则3a3b的最小值是（）

A.18B.6C.23D.2 

（五）运用“a、b、cR，abcabc”模型

在高考中，对于均值不等式应用已限制在二项或三项，在中学知识范围内，对三次函数求最值，运用均值不等式是行之有效的方法，但必须要符合“一正二定三相等”三条件。

例7.已知sin2sin2sin21(、、均为锐角），那么coscoscos的最大值等于

（六）运用“f(x)f(a)或f(x)f(b)”的模型

对于较困难用以上五种常用不等式模式解决的最值问题，可通过数形结合或单调性等法，得到“f(x)f(a)或f(x)f(b)”的通用模型，用等号成立条件而获解。

x22xa1，x[1，)，当a时，求函数f(x)的最小值。例8.已知函数f(x)x2

2x3，x0，0x1的最大值是_____。例9.f(x)x3，x5，x1

例10.四边形ABCD的两条对角线相交于O，如果AOB的面积为4，COD的面积为16，求四边形ABCD的面积S的最小值，并指出S最小时四边形ABCD的形状。