不等式专题练习与解答（本站推荐）

第一篇：不等式专题练习与解答（本站推荐）

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不等式专题练习与解答

专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立

1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是（C）

A、若a>b，则|a|>|b|B、若a>b，则1/a<1/b C、若a>b，则a3>b3D、若a>b，则a/b>1

2、已知a<0.－1ab>ab2B、ab2>ab>a C、ab>a>ab2D、ab>ab2>a

3、当0

A、(1―a)1/b >(1―a)bB、(1+a)a>(1+b)b C、(1―a)b >(1―a)b/2D、(1―a)a>(1―b)b

4、若loga3>logb3>0，则a、b的关系是（B）A、0a>1C、0b>0，则下列不等式①1/a<1/b；②a2>b2；③lg(a2+1)>lg(b2+1)；④2a>2b

中成立的是（A）A、①②③④B、①②③C、①②D、③④ 专题二：比较大小

1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，则（A）A、a＜bB、a＞bC、ab＜1D、ab＞

22、a、b为不等的正数，n∈N，则(anb+abn)－(an－1+bn－

1)的符号是（C）A、恒正B、恒负

C、与a、b的大小有关D、与n是奇数或偶数有关

3、设1＜x＜10，则lg2x,lgx2,lg(lgx)的大小关系是 lgx2>lg

2x>lg(lgx).4、设a>0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。

56、若a1，比较MN专题三；利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件

1、设x、y∈R,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系

⑴命题甲：x>0且y>0，命题乙：x+y>0且xy>0充要条件

⑵命题甲：x>2且y>2，命题乙：x+y>4且xy>4充分不必要条件

2、已知四个命题，其中a、b∈R

①a2

2的充要条件是(a+b)与(a

－b)异号；④a2

3、“a+b>2c”的一个充分条件是（C）

A、a>c或b>cB、a>c或b＜cC、a>c且b>cD、a>c且b＜c

专题四：范围问题

1、设60＜a＜84,－28＜b＜33,求：a+b,a－b,a/b的范围。

2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(―1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(―2)的范围。专题五：均值不等式变形问题

1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是（D）

A、a2+b2≥2|a|•|b|B、(a/2+b/2)2≥ab

C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|•|b|)

2、x、y∈(0,+∞)，则下列不等式中等号不成立的是（A）

A、x

1x

2(x1)(y1)4 x

1B、xyx

C、(x+y)(1/x+1/y)≥4D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2

3、已知a>0,b>0,a+b=1，则(1/a2―1)(1/b2―1)的最小值为（D）

A、6B、7C、8D、9

4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c≥9

5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：adbcbdbcad

ac

4 专题六：求函数最值

1、若x>4,函数yx

4x，当x____时，函数有最＿值是_____。答案：5，大，－62、设x、y∈R, x+y=5，则3x+3y的最小值是（D）

A、10B、63C、46D、3、下列各式中最小值等于2的是（D）2A、x/y+y/xB、x5x2

4C、tanα+cotαD、2x+2－

x4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。

5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。专题七：实际问题1、98（高考）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。解一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0)

据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)

b

30a

2a

由a>0,b>0可得0

y

kabk30aa2a

令t=2+a，则a=t－

230aa2从而30(t2)(t2)234tt264642att34(tt)342t64t

18

当且仅当t=64/t，即t=8,a=6时等号成立。∴y=k/ab≥k/18

当a=6时,b=3，综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

解二：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0)要求y的最小值，即要求ab的最大值。

据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30

a2b22ab(当且仅当a2b时等号成立）ab22ab30，解得－52ab32

即0ab18,由a2b及aba2b30解得a6,b

3即a=6,b=3时，ab有最大值，从而y取最小值。

综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

2、某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126米2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用为a/4元；③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：⑴利用旧墙的一段x(x<14)米为矩形厂房的一面边长；⑵矩形厂房的一面长为x(x≥14).问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？⑴⑵两种方案哪种方案最好？

解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为126/x米。

⑴若利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x•a/4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)•a/2元，其余的建新墙的费用为(2x+ 2•126/x－14)•a元，故总费用

ya14x252x36 4x2aa(2xx14)7a(4x1)

x436x

6,当且仅当x＝12时等号成立，∴x＝12时ymin=7a(6－1)=35a。

⑵若利用旧墙的一段x米(x≥14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x•a/4元，建新墙的费用

为(2x+ 2•126/x－14)•a元，故总费用

y

a4xa(2x252x14)72a2a(x126x

7)

x126x2,当x14等号不成立。

设f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，则f(x2)－f(x1)= x2+126/x2－(x1+126/x1)

=(x2―x1)(1―126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在［14，＋∞)上递增，∴f(x)≥f(14)∴x=14时ymin=7a/2+2a(14+126/14－7)=35.5a

综上所述，采用方案⑴，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。专题八：比较法证明不等式

1、已知a、b、m、n∈R+,证明：am+n+bm+n≥ambn+anbm 变式：已知a、b∈R+,证明：a3/b+b3/a≥a2+b22、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明：对任意实数p、q恒有a•f(p)+b•f(q)≥f(ap+bq)专题九：综合法证明不等式

1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：

bcaaacbbabc

c

3

2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3

3、已知a、b、c为不全相等的正数，且abc=1,求证：

abc

1a11bc4、已知a、b∈R+，a+b=1,求证：a1/2b1/22 专题十：分析法证明不等式

1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c

2、已知函数f(x)=lg(1/x－1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求证：

f(x1)f(x2)x2f1x2

2

3、设实数x,y满足y+x2=0,0

专题十一：反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式

1、设f(x)=x2+ax+b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。

2、若x2+y2≤1,求证|x

2+2xy－y2

|≤2.3、已知a>b>c,求证：

1ab1bc

4ac4、已知a、b、c∈R＋，且a+b>c求证：a1ab1bc1c

.5、已知a、b、c∈R，证明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等号何时成立。

分析：整理成关于a的二次函数f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c

2∵Δ=(c+3b)2

－4(3b2+3bc+c2)=－3(b2+2bc+c2)≤0 ∴f(a)≥06、已知：x2－2xy + y

2+ x + y + 1＝0，求证：1/3≤y/x≤

37、在直角三角形ABC中，角C为直角，n≥2且n∈N，求证：cn≥an + bn8、设an2234n(n1)(nN)

n(n1)(n 2a1)

2n2对所有正整数n都成立。

专题十二：解不等式

1、解不等式：

1x12x3

3x

22、解关于x的不等式：ax

x

2x2

0 专题十三：不等式应用

不等式的应用主要有三个方面：一是能转化为求解不等式（组）的有关问题（如求函数的定义域、讨论一元二次方程的根的分布等）；二是能转化为不等式证明的有关问题（如证明函数的单调性）；三是能转化为重要不等式的极端情形解决的最值问题。

1、已知f(x)的定义域是（0,1］，则函数yf(lgx2x)的定义域是_［－5，－2)∪(1,4］。

2、已知不等式ax

2+bx+c>0的解集是{x|α

+bx+a<0的解集。、设f(x)2x

314x

(x≥0).⑴求证：f(x)是减函数；⑵求f(x)的值域。

4、由于对某种商品实行征税，其售价比原价上涨x%，涨价后商品卖出量减少

36x

%，已知税率为销售金额的20%.⑴为实现销售金额和扣除税款的余额y不比原销售金额少，求上涨率x%的取值范围； ⑵x为何值时，y最大？（保留一位小数）解：设原价为a，销售量为b，则

ya(1x%)b(1

36x100%)(120%)ab(1x%)(136x

100%)80%yab,(1x%)(136x

%)80%

1整理得：36(x%)264(x%)250,0x%

2yab(1x%)（259x%)80%36125ab(1x%)(259

x%)1x%25x

36%125ab2





当且仅当1＋x%＝25/9－x%，即x%＝8/9.∴x＝88.9时y最大。专题十四：恒成立问题

1、若不等式a

2、关于x的不等式2x－1＞a(x－2)的解集为R，求实数a的取值范围。

3、如果关于x的不等式

lg2axlgax1的解集总包含了区间（1,2］，求实数a的取值范围。解：由题设可知，原不等式在（1,2］中总成立，∴a＞0且a＋x＞

1原不等式等价于lg(2ax)＜lg(a+x),等价于2ax＜a＋x，等价于(1－2a)x＋a＞0设f(x)＝(1－2a)x＋a，则f(x)＞0在（1,2］中总成立，故有

4、设对x∈R有3x22x

2x2

x1n(nN)恒成立，试求n的值。分析：原不等式等价于

(3n)x2(2n)x(2n)

x2x

10(1)由题意不等式（1）的解集为R

又x2+x+1恒大于零，所以不等式（1）等价于(3－n)x2＋(2－n)x＋(2－n)＞0(2)故不等式（2）的解集为R，从而有

所以n＜2，又n∈N，所以n＝0或15、若f(x)=(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1＞0对于一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

6、已知函数f(x)x22xa

x

⑴当a=1/2时，求函数f(x)的最小值；

⑵若对任意x∈［1，＋∞）,f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。专题十五：绝对值不等式定理中等号成立的问题

1、解关于x的不等式|x+log2x|=x+|log2x|

2、证明：|x+1/x|≥

2专题十六：绝对值不等式的证明

1、设a∈R，函数f(x)=ax

2+x－a(－1≤x≤1).⑴若|a|≤1,求证|f(x)|≤5/4；

⑵若函数f(x)有最大值17/8，求实数a的值。

2、已知|x－a|＜ε/2a,|y－b|＜ε/2|a|,且0＜y＜A，求证：|xy－ab|＜ε

3、专题十七：探索性问题

1、是否存在自然数k，使得不等式

1n11n21n313n

12k5对一切正整数n都成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由。

解：令

f(n)

1n11n213n1，对任意的nN f(n1)f(n)111111

23n23n33n4n13n23n4

3n3 2∴

f(n+1)>f(n)，即＋3(n4)(n2)(n3)0

f(n)在N上是增函数，∴f(n)的最小值是f(1)又f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12 故对一切正整数n使得f(n)>2a－5的充要条件是13/12>2a－5，∴a<73/24 故所求自然数a的最大值是3。

2、已知抛物线y=f(x)=ax2+bx+c过点（－1,0），问是否存在常数a、b、c，使得不等式x≤f(x)≤

(1+x

2)/2对于一切实数x都成立？

解：假设存在常数a、b、c，使得x≤f(x)≤(1+x

2)/2对一切实数x恒成立，令x＝1有1≤f(1)≤1，∴f(1)＝1，即a＋b＋c＝1① ∵抛物线过点（－1,0）∴a－b＋c＝0②

解①②得：b=1/2,c=1/2－a,∴f(x)=ax2

+x/2+1/2－a

由x≤f(x)≤(1+x2)/2得2x≤2ax2+x+1－2a≤1+x2

∴a=1/4,专题十八：不等式中常见的数学思想方法

（一）分类讨论的思想：

1、设f(x)= 1+logx3,g(x)=2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小。

2、解关于x的不等式

xa

(x1)(x1)

0

分析：①当a＜－1时，原不等式的解集为｛x|x≤a或－1＜x＜1}

②当－1＜a＜时，原不等式的解集为｛x|x＜－1或a≤x＜

1}

③当a＞1时，原不等式的解集为｛x|x＜－1或1＜x≤a} ④当a＝1时，原不等式的解集为｛x|x＜－1 }

⑤当a＝－1时，原不等式的解集为｛x|x＜1且x≠－1}

（二）数形结合的思想

1、关于x的方程x2―x―(m＋1)＝0只在［－1,1］上有解，则实数a的取值范围是（）A、［－5/4,+∞)B、(―5/4,―1)C、［－5/4，1］D、(－∞，1］

2、设k、a都是实数，关于x的方程|2x―1|=k(x―a)+a对于一切实数k都有解，求实数a的取值范围。

3、已知0＜a＜1，0＜b＜1.求证：

+

≥

分析观察待证式左端，它的每个根式都使我们想到Rt△ABC中的等式a

2+b2

=c2，激起我们构造平面图形利用几何方法证明这个不等式的大胆想法.如图27-3，作边长为1的正方形ABCD，分别在AB、AD上取AE=a，AG=b，过E、G分别作AD、AB的平行线，交CD、BC于F、H，EF、GH交于O点.由题设条件及作图可知，△AOG、△BOE、△COF、△DOG皆为直角三角形.∴

OC=

再连结对角形AC，BD，易知AC=BD=，OA+OC≥AC，OB+OD≥BD，∴

≥

（三）函数与方程的思想

1、函数f(x)=lg(x2+ax+1)的值域为R，求实数a的取值范围。、已知f(x)lg12x3x4x2a，若f(x)在（－∞，1］有意义，求实数a的取值范围。

3、设不等式mx2―2x＜m―1对于满足|m|≤2的一切实数m都成立，求x的取值范围。

分析：设f(m)=(x

2―1)m＋2x―1，则对于满足|m|≤2的一切实数m都有f(m)＜0 ∴f(－2)＜0且f(2)＜0

4、已知x、y、z∈（0,1），求证：x(1－y)+ y(1－z)+ z(1－x)< 1 证明：构造函数f(x)= x(1－y)+ y(1－z)+ z(1－x)－1即f(x)=(1－y－z)x + y(1－z)+ z－1当1－y－z = 0,即y + z = 1时，f(x)= y(1－z)+ z－1 = y + z －1－yz = －yz < 0当1－y－z ≠ 0时，f(x)为一次函数，又x∈（0,1），由一次函数的单调性，只需证明f(0)< 0, f(1)< 0

∵y、z∈（0,1）

∴f(0)= y(1－z)+ z－1 =(y－1)(z－1)< 0f(1)=(1－y－z)+ y(1－z)+ z－1 =－yz < 0∴对任意的x∈（0,1）都有f(x)< 0即x(1－y)+ y(1－z)+ z(1－x)<

1（四）转化与化归思想

1、关于x的方程4x+(m－3)•2x+m=0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围。

（五）换元的思想

1、解不等式：2x5x

1变：关于x的不等式ax5xb的解集为［－5/2,2），求实数a、b的值。

2、（六）1的代换

1、已知a、b∈R+，a+b=1,x、y∈R,求证：ax2+by2≥(ax+by)

22、已知x、y都是正数，a、b都是正常数，且a/x + b/y = 1，求证：xy(ab)

23、已知x、y都是正数，且x + y = 1,求证：(1 + 1/x)(1 + 1/y)≥94、已知x、y∈R+,且1/x + 9/y = 1，求x + y的最小值。

5、若0＜x＜1,a＞0，b＞0，求a/x + b/(1－x)的最小值是。

6、已知a,b是正数，且a + b = 1，求证：(ax + by)(ay + bx)≥xy 分析：∵a,b是正数，且a + b =

1∴(ax + by)(ay + bx)= a2xy + abx2 + aby2 + b2xy

=(a2 + b2)xy+ ab(x2 + y2)=(1－2ab)xy+ ab(x2 + y2)= xy+ ab(x2 + y2－2xy)= xy + ab(x－y)2 ≥xy

（七）特殊与一般的思想

1、已知a、b、c ∈R,函数f(x)= ax2 + bx + c, g(x)= cx2+bx + a, 当|x| ≤1时，有|f(x)≤2。（1）求证：|g(1)| ≤ 2；（2）求证：当|x| ≤ 1时，|g(x)|≤ 4.证：（1）∵当|x| ≤1时，|f(x)|≤2,∴|f(1)|≤2又|f(1)|＝|g(1)|∴|g(1)|≤

2（2）∵f(x)= ax2

+bx+c

∴f(1)= a+b+c,f(―1)= a―b+c, f(0)= c∴a= [f(1)+f(-1)-2f(0)]/2,b= [f(1)-f(-1)]/2

∵|x|≤1时|f(x)|≤2 ∴|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2,|f(0)|≤2

∴|g(x)|=|cx2

+bx+a| =|x2

f(0)+[f(1)-f(-1)]x/2+[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2|

=|(x2

－1)f(0)+(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2|

≤|(x2

－1)f(0)|+|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2|

≤|(x+1)/2||f(1)| +|(x-1)/2||f(-1)|+|(1－x2)||f(0)| ≤x+1+1-x+2 =

4小结：对于二次函数f(x)=ax2

+bx+cc=f(0)

2a=f(1)+f(－1)－2f(0)2b=f(1)―f(―1)

2、已知a、b、c ∈R,函数f(x)= ax2 + bx + c, g(x)= ax + b, 当－1≤x≤1时，有|f(x)≤1。（1）证明：|c|≤1；（2）证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；（3）设a＞0，－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)的解析式。

①证明：∵－1≤x≤1时，有|f(x)|≤1,∴当x = 0时，有f(0)= c, 即|c| = |f(0)|≤1,故|c|≤1。②证明：欲证当－1≤x≤1时，有|g(x)|≤2,即证－1≤x≤1时，－2≤g(x)≤2。

对a分类讨论

当a＞0时，∵g(x)在[－1,1]上是增函数，∴－a+b≤g(x)≤a+b, ∵a+b = f(1)－c ≤|f(1)| + |c|≤2,－a +b = －[f(－1)－c]≥－[|f(－1)|+|c|]≥－2，∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2。当a＜0时，∵g(x)在[－1,1]上是减函数，∴a+b≤g(x)≤－a+b, ∵a+b = f(1)－c ≥－[|f(1)|+|c|]≥－2，－a +b = －[f(－1)－c] ≤|f(－1)|+ |c|≤2,，∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2。综上所述，有|g(x)|≤2。

③∵a＞0，∴g(x)在[－1,1]上是增函数，∴x＝1时，g(x)取最大值2，即a+b＝2。∴f(1)－f(0)＝a+b＝2，∴－1≤f(0)＝f(1)－2≤1－2＝－1，即c= f(0)＝－1，∵－1≤x≤1时，f(x)≥－1= f(0)，∴x = 0为函数f(x)图象的对称轴，∴b = 0, 故a＝2，所以f(x)＝2x2－1。

②另解：∵f(x)= ax

2+bx+c

∴f(1)= a+b+c,f(―1)= a―b+c, f(0)= c∴a= [f(1)+f(-1)-2f(0)]/2,b= [f(1)-f(-1)]/2

∵|x|≤1时|f(x)|≤1 ∴|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1 ∴|g(x)|=|ax+b|

=|[f(1)+f(-1)-2f(0)]x/2+[f(1)-f(-1)]/2| =|(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2-xf(0)|

≤|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2|+|-xf(0)|

≤|(x+1)/2||f(1)| +|(x-1)/2||f(-1)|+|-x||f(0)| ≤(x+1)/2+(1-x)/2+1= 23、是否存在满足下列条件的二次函数f(x)：

⑴当|x|≤1时，|f(x)|≤1；⑵f(2)＞7。若存在，求出解析式；若不存在，说明理由。

4、设f(x)=x

2+bx+c(b、c为常数)，定义域为［－1,1］，⑴设|f(x)|的最大值为M，求证：M≥1/2；⑵求出⑴中当M＝1/2时，f(x)的表达式。

第二篇：不等式与一次函数专题练习

不等式与一次函数专题练习

题型一：方程、不等式的直接应用

典型例题：李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：

假设月销售件数为x件，月总收入为y元，销售1件奖励a元，营业员月基本工资为b元．（1）求a，b的值；

（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？

配套练习：

1、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小

亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；

(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.2、北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利

利润润率100%）成本

题型二：方案设计

典型例题

3、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

典型例题4：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点。从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x吨。

⑴、请填写下表，并求出两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；

⑵、设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B地到C地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元(m>0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。

配套练习： 1．（2009，牡丹江）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：（1）冰箱厂有哪几种生产方案？

（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家

电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？

（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．

2．光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．•现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．

（1）设派往A地区y（元），求y

与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。解：（1）派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30－x）台，派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台，则：

3.（2009，抚顺）某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x块．

（1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？

（2）设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？

题型三：不等式与一次函数的实际应用 典型例题5：（南充市2009）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：

方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x分钟，上网费用为y元．

（1）分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费y元与上网时间x分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象；

（2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？

典型例题6：(2009，朝阳)某学校计划租用6辆客车送一批师生参加

一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客

车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；

（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？

典型例题7：(2009、唐山)送家电下乡活动开展后，某家电经销商计划购进A、B、C三种家电共70台，每种家电至少要购进8台，且恰好用完资金45000元。设购进A种家电x台，B种家电y台。三种家电的进价和预售价如下表： ⑴、用含x，y的式子表示购进C种家电的台数； ⑵、求出y与x之间的函数关系式；

⑶、假设所购进家电全部售出，综合考虑各种因素，该家电经销商在购销这批家电过程中需另外支出各种费用共1000元。①、求出预估利润P(元)与x(台)的函数关系式；

②、求出预估利润的最大值，并写出此时购进三种家电各多少台。

配套练习：

1、(2009、保定)水果经销商计划将一批苹果从我市运往某地销售，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下：

设我市到某地的路程为x千米，这批水果在途中的损耗为150元/时，若选用汽车运输，其总费用为y1元，若选

⑴、分别写出1，2与之间的函数关系式；

⑵、请你为水果经销商设计省钱的运输方案，并说明理由。

3、（2009，清远）某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．

（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．

（2）若用

AB

y值最小，最小值是多少？

5、（2009，梧州）某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元．

（1）设招聘甲种工种工人x人，工厂付给甲、乙两种工种的工人工资共y元，写出y（元）与x（人）的函数关系式；

（2）现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种 各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

6、(2009、河南)某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品

中的电视机、冰箱、洗衣机共15台。三种家电的进价和售价如下表所示：

⑴、在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相

同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？

⑵、国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴。在⑴的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？

题型四：不等式与一次函数图象性质的应用

典型例题10：（2009年江苏省）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA.AB.BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？

典型例题11：（2009 黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校．小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s(千米)和小王从县城出发后所用的时间t(分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案．（2）小王从县城出发到返回县城所用的时间．（3）李明从A村到县城共用多长时间？

配套练习

1．（2008贵州贵阳)如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系，根据所给图象，解答下列问题：

（1）写出甲的行驶路程s和行驶时间t(t≥0)之间的函数关系式．（3分）

（2）在哪一段时间内，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在哪一段时间内，甲的行驶速度大于乙的行驶速度．（4分）

（3）从图象中你还能获得什么信息？请写出其中的一条．（3分）

2、（2009·南宁）南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y乙（元）与铺设面积x(m2)满足函数关系式：y乙＝kx．

（1）根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系式；（2）如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600m2，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？

3．（2009年娄底）娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y（m）与挖筑时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：（1）请你求出：

①在0≤x＜2的时间段内，y与x的函数关系式； ②在x≥2时间段内，y与x的函数关系式.（2）用所求的函数解析式预测完成1620 m的路基工程，需要挖筑多少天？

第三篇：数列与不等式练习4

高二数学中午练习10.17

1、设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k=

2、已知数列an满足a11,an12an1(nN*).则数列an的 通项公式为

112123123n3、求和：

4、在等差数列an中，a3a737，则a2a4a6a8________

5、等差数列an前9项的和等于前4项的和．若a11,aka40，则k=____________．

6、设{an}是一个公差为d(d0)的等差数列，它的前10项和S10110，且a1,a2,a4成等比数列．

（Ⅰ）证明：a1d；（Ⅱ）求公差d的值和数列{an}的通项公式．

第四篇：一元一次不等式与实际问题练习

一元一次不等式与实际问题练习题

1、在一次绿色环保知识竞赛中，共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，则至少要答对几道题，其得分才会不少于80分？

2、某次数学竞赛有50道选择题,评分标准为答对一题2分,答错一题倒扣1分, 不答题不得分,也不扣分,某学生4道题没有答,但得分超过70分,取得了复赛资格,问他可能答对多少道题?

3、有人问一位老师,他所教的班有多少学生,老师说:“一半学生在学数学,四分之一的学生在学英语,七分之一的学生在学音乐,还剩不足六位同学在操场上踢足球”.试问这个班有多少学生?

4.七年级6班组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件，已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，那么小明最多能买钢笔多少支.5、某个体商店第一天以每件10元的价格购进某种商品15件，第二天又以每件12元的价格购进同种商品35件，然后以相同的价格卖出，如果商品销售这些商品时，至少要获得10%的利润，这种商品每件的售价应不低于多少元？

6、某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？

7.某市自来水公司按如下标准收取水费，若每户每月用水不超过5cm3,则每立方米收费1.5 元；若每户每月用水超过5cm3，则超出部分每立方米收费2元。小童家某月的水费不少于 10元，那么她家这个月的用水量至少是多少？

8.某城市一种出租车起价为5元，（即行驶路程在2.5千米以内都只需付5元，达到或超过2.5千米后每增加1千米加价1.2元，（不足1千米按1千米算）.现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费13.4元，则甲地到乙地路程大约是多少千米？

9.某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11 815元．已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如右表，试解答下列问题：

（1）该采购员最多可购进篮球多少只？

（2）若该商场把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则 采购员至少要购篮球多少只，该商场最多可盈利多少元？

10、某电信公司的“全球通”手机用户的收费标准是：不管通话时间长短，每月必须缴月租费30元，另外每通话１分钟交费0.4元；“快捷通”手机用户的收费标准是：没有月租费，但每通话１分钟交费0.6元。

（1）设每月通话时间为x分，试分别写出“全球通”每月应交费和“快捷通”每月应交费。

（2）当每月的通话时间x在什么范围时，选择“全球通”较合算？

（3）当每月的通话时间x在什么范围时，选择“快捷通”较合算？

第五篇：高二数学----不等式的证明题及解答

不等式的证明训练题及解答

一、选择题

(1)若logab为整数,且loga1122>logablogba,那么下列四个结论①>b>a②logab+logba=0bb

③0

x1|>2且|x2|>2x1+x2x1+x2|<4x1|=4且|x2|=

1+(3)若x,y∈R,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是（）11

)xy

(4)若x>0,y>0,且xy≤axy成立,则a的最小值是（）

2(5)已知a,b∈R,则下列各式中成立的是（）

22cos2sin2θ·lga+sinθ·lgb

222θsin2θθ·lga+sinθ·lgb>lg(a+bcos·b>a+b

+(6)设a,b∈R,且ab-a-b≥1,则有（）++b≥2(2+1)+b≤+b≥(2+1)2+b≤2(2+1)

二、填空题

22(7)已知x+y=1,则3x+4y2(8)设x=y,则x+y(9)若11≤a≤5,则a+5a(10)A=1+111与n(n∈N)2n

(11)实数x=x-y,则xy

三、解答证明题

2422(12)用分析法证明:3(1+a+a)≥(1+a+a)

(13)用分析法证明:ab+cd≤

a2c2(14)用分析法证明下列不等式:

(1)求证:71(2)求证:x1(3)求证:a,b,c∈R,求证:2（+

x2x3x4(x≥4)

ababc)3(abc)23

(15)若a,b>0,2c>a+b,求证:(1)c>ab；（2）c-c2ab2,求证:

+

1x1y

与中至少有一个小于yx

(17)设a,b,c∈R,证明:a+ac+c+3b(a+b+c)≥(18)已知1≤x+y≤2,求证:

122

≤x+xy+y≤2

n(n1)(n1)2

an(19)设an=223n(n1)(n∈N),求证:对所有n(n22

*

∈N)2

(20)已知关于x的实系数二次方程x+ax+b=0,有两个实数根α,β,证明:(1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β不等式的证明训练题参考答案：

1．A2．B3．D4．B5．A6．A

*

7．58．-19．［2,26

］10．A≥n11．(-≦,0)∪［4,+≦］ 5

12．证明:要证3(1+a+a)≥(1+a+a)

222222222

只需证3［(1+a)-a］≥(1+a+a),即证3(1+a+a)(1+a-a)≥(1+a+a)≧1+a+a=(a+

123)+>0 24

只需证3(1+a-a)≥1+a+a，展开得2-4a+2a≥0，即2(1-a)≥02422

故3(1+a+a)≥(1+a+a)13．证明:①当ab+cd<0时,ab+cd

②当ab+cd≥0时,欲证ab+cd≤acbd

2222

只需证(ab+cd)≤(a2c2b2d2)

展开得ab+2abcd+cd≤(a+c)(b+d)

***2

即ab+2abcd+cd≤ab+ad+bc+cd，即2abcd≤ad+bc

22222

只需证ad+bc-2abcd≥0，即(ad-bc)≥0

因为(ad-bc)≥0ab+cd≥0时,ab+cd≤a2c2b2d22

22222222

综合①②可知:ab+cd≤a2c2b2d214．证明:(1)欲证71 只需证()2(1)2

展开得12+235>16+2,即2>4+2 只需证(2)>(4+2)，即4>这显然成立

故71(2)欲证x1只需证x1即证(x1

x2x3x4(x≥4)x4x3x2(x≥4)

x4)2(x3x2)2(x≥4)

展开得2x-5+2x1x42x52x3x2 即x1)(x4)(x3)(x2)

只需证［x1)(x4)］<［(x3)(x2)］

即证x-5x+4

x1x2x3x4(x≥4)(3)欲证2（ababcab)≤3(abc)23

只需证a+b-2ab≤a+b+c-3

即证c+2ab≥3

+

≧a,b,c∈R，≨c+2ab=c+ab+ab≥3cabab3

≨c+2ab≥3abc15．证明:（1）≧ab≤（ab222)

（2）欲证c-c2ab

只需证-c2ab

只需证a(a+b)<2ac

≧a>0,只要证a+b<2c(已知)16．证明:(反证法):假设

1y1x1y1x

与均不小于2,即≥2,≥2,≨1+x≥2y,1+y≥2xyxy

两式相加得:x+y≤2,与已知x+y>2矛盾, 故

1x1y

与中至少有一个小于yx

17．证明:目标不等式左边整理成关于a的二次式且令 f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+32222

判别式Δ=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(b+c)≤0

222

当Δ=0时,即b+c=0,a+(c+3b)a+c+3b+3bc≥02

18．证明:设x=kcosθ,y=ksinθ,1≤k≤2

sin2θ)2

13212222

≧sin2θ∈［-1,1］≨k≤k(1+sin2θ)≤k,故≤x+xy+y≤222

n(n1)2

19．证明:≧n(n1)n=n,≨an>1+2+3+…+n=

1223n(n1)2(12n)nn(n1)n又an

222222

≨x+xy+y=k(cosθ+cosθsinθ+sinθ)=k(1+

n(n2)n22n1(n1)2

,故命题对n∈N222

20．证明:依题设及一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)得:α+β=-a,αβ=:(1)(2)等价

于证明|α|<2,|β|<22|α+β|<4+αβ,且|αβ444

222222

441604()(4)244

2

(4)(4)0

44

2

4或24242444



2或24



22,2.

2

22

