浅谈勾股定理的几种证法

第一篇：浅谈勾股定理的几种证法

浅谈勾股定理的几种证法

子洲三中陕西子洲乔 智718499

【摘要】勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方

【关键词】:割补法达芬奇的证法加菲尔德图

证法1（图1）

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都

是)，所以可以列出等式，化简得。

在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是

他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易

懂。

证法2（图2）

第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得

第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方。形“小洞”。

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思

想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

证法3（图3）

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简

洁，它在数学史上被传为佳话。

证法4达芬奇的证法

达芬奇的证法

三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前

后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相

等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么

个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因

为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然

后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为

对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角

A'和角D'都是直角。

证明：

第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE

第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'

因为S1=S2

所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'

又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF

所以OF2+OE2=E'F'2

因为E'F'=EF

所以OF2+OE2=EF2

勾股定理得证。

证法5

从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：

b(a + b)= 1/2c^2;+ ab + 1/2(b + a)(bb^2;+ a^2;= c^2;a^2;+ b^2;= c^2;

注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。

参考文献

《数学原理》人民教育出版社

《探究勾股定理》同济大学出版社

《优因培教数学》北京大学出版社

《勾股书籍》 新世纪出版社

《九章算术一书》

第二篇：勾股定理的历史与证法（最终版）

勾股定理的历史与证法

勾段定理有着悠久的历史，人们对勾股定理的认识，经历了一个由特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发现的．

我国最早的记载见于2000多年前成书的著名数学典籍《周髀算经》中商高（公元前1120年）答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五．”因此我国也称勾段定理为商高定理．三国时数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出了一幅图（即图19－15中的2），被称为弦图，在2002年北京国际数学家大会上被用作会标．

勾股定理在欧洲被称为毕达哥拉斯定理，1955年希腊发行的一枚邮票上给出了由三个棋盘构成的图案（形状同教科书第100页的图），就是为了纪念发现这个定理的毕达哥拉斯（pythagoras，公元前580－前500）学派．他们还找到如下求勾股数的式子①，古希腊的思想家柏拉图也曾给出类似的式子．后来数学家丢番图又给出了构造勾股数的一般法则：a,b是正整数，2ab是完全平方，则②是勾股数．我国的著名数学家刘徽在公元263年也给出了下面的式子③． 

x

y





z①n1(n1)2xa2ab2yb2ab12(n1)zab2ab2②③

偶的正整数且uv）xuv122y(uv)2122z(uv)2（u,v是同奇

勾股定理是数学上证明方法最多的定理，到今天已有四百多种证法．如图是我们在课本中的几种证明方法：

其中（3）出自美国第20任总统伽菲尔德（J．A．Garfield），他在1876年利用梯形面积公式证明了勾股定理．这其中还有个小故事呢．1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员，后来是美国第二十任总统的伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角过分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心研究小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法，就是上面图（3）．

另外还有如下常见证明办法：

①如图，两个正方形过长分别是a,b，它们的面积和为ab，构造了以a,b为直角边的直角三角形，斜边为c，把两个直角三角形各旋转90°，构成正方形，22且它的面积为c．

②如图，直角三角形ABC,AD为斜边BC上的高，利用相似三角形的性质可得：

AB

BCBD

ABAC和BC

2DCAC22，即：ABBDBC和ACDCBC． 22．

亲爱的同学，你还记得在初一学习时我们遇到的七巧板吗？当时我们利用它摆出了好多漂亮的图案，你可知道用两副同样大小的七巧板也可以来说明勾股定理吗？请看下图．

两式相加得：ABACBDBCDCBC(BDDC)BCBC

聪明的你还能想出几个办法证明勾股定理吗？试画图并做简要说明．

第三篇：勾股定理范文

勾股定理

勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，上至帝王总统，下至平民百姓，都愿意探讨和研究它的证明。它是几何学中一颗闪亮的明珠。

所谓勾股，就是古人把弯曲成一个直角三角形模样的手臂，上臂（即直角三角形的底边）称为“勾”，前臂（即直角三角形的高）称为“股”，所以称之为“勾股”。也许是因为勾股定理十分实用，所以便反复被人们论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理证明专辑。从勾股定理的发现到现在，大约3000年里，勾股定理的证明方法多种多样：有的简洁明了，有的略微复杂，有的十分精彩……本文将会带着大家一起来证明勾股定理并解决一些实际问题。

勾股定理、证明、解决实际问题 什么是勾股定理？

又称商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。还有的国家称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了

庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。

蒋铭祖定理：蒋铭祖是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《蒋铭祖算经》中记录着商 高同周公的一段对话。蒋铭祖说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”蒋铭祖那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的蒋铭祖定理，关于勾股定理的发现，《蒋铭祖算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也；”“此数”指的是“勾三股四弦五”。这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。勾股定理的发现

相传毕达哥拉斯在在一次散步中，偶然看见了地上由几块三角形瓷砖拼成的一个长方形瓷砖，如图：

毕达哥拉斯灵机一动，用手在上面比划了起来。大家看，以直角三角形各边为正方形的边长，可拼出不同的正方形。以直角三角形斜边为正方形边长，可拼出一个这样的正方形：

其面积为：直角三角形斜边的平方

其中有四块直角三角形。

以直角三角形底和高做正方形边长，可拼出一个这样的正方形： 其面积为：底边（高）的平方 其中有两块直角三角形。

因为长方形瓷砖面积不变，所以所有第二种正方形面积和与所有第一种正方形面积和相等。因此毕达哥拉斯得出这样一个结论：在一个直角三角形中，底边的平方+高的平方=斜边的平方。这就是勾股定理。

勾股定理的证明

勾股定理证明方法有很多，下面这种是一位名叫茄菲尔德的美国总统证明的：

勾股定理的运用

说了这么多，也许有人会问“勾股定理有什么用呢？”

其实，勾股定理对我们的生活帮助可不小！尤其是在测量、建筑方面。下面，让我们来解决一下实际问题吧！

有一座山，高500米。在山脚下，有两个登山口，它们之间的距离是2400米。登山路沿着山的斜面修建（如图），我们从左面的登山口上山，到山顶的距离是多少？

这道题看似与勾股定理没什么关系，但是仔细看图，这是一个直角三角形！

已知直角三角形的斜边是2400米，要求其中一条直角边，我们应先做辅助线，将这座山分成两半：

这样，问题就转化成了求这左边这半直角三角形的斜边。原底边的长度是2400，现在是一半，即为1200，另一条直角边是500。根据勾股定理，底边²+高²=斜边²，计算时，把1200写成12，把500写成5，即12²+5²=25+144=169，多少的平方是169呢？答案是13，因为前面的1200和500缩小了100倍，所以13要扩大100倍，即1300。所以登山路的长度是1300米。总结

这就是勾股定理的妙用，还不止这些。尤其是测量三个地方之间的距离时，勾股定理是我们的一大帮手。总之，勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。它的主要意义有：

1、勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

2、勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

3、勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

第四篇：勾股定理[推荐]

定义

在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方

勾股定理(6张)。

简介

勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”（驴桥定理——欧几里得《几何原本》第一篇的前5个命题是：命题1：以已知线段为边，求作一等 边三角形。命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。命题5：等腰三角形两底角相等。他们发现勾股定理的时间都比中国晚（中国是最早发现这一几何宝藏的国家）。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。

勾股定理指出

直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方 a^2+b^2=c^2 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。

勾股数组

满足勾股定理方程a2+b2=c2；的正整数组（a，b，c）。例如3、4、5（即勾

三、股

四、弦五）就是一组勾股数组。由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。勾股数组的通式：a=M^2-N^2b=2MNc=M^2+N^2(M>N,M,N为正整数）推广

1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。2．勾股定理是余弦定理的特殊情况。勾股定理

曲安京：商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明。刊于《数学传播》20卷，台湾，1996年9月第3期，20-27页。《周髀算经》 文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊于《汉学研究》，1989年第7卷第1期，255-281页。李国伟：论《周髀算经》“商高曰数之法出于圆方”章。刊于《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾，1991年7月，227-234页。李继闵：商高定理辨证。刊于《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29至41页。

第五篇：线面平行证法探讨

线面平行证法探讨

惠来一中方文湃

今年我校高一级第一学期质检考试试题第17题第一小题的题目如下： 题目：如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB。

求证：DM∥面PBC

这是一道证明线面平行的经典题目，大家知道，线线平行、线面平行、B面面平行在一定条件下，是可以相

互转化的。其关系如下图：

线∥面面∥面

一、转化为线线平行

证明线面平行的一种方法思路，是转化为线线平行，其关键是在已知平面内找到一条直线与之平行，而 “DM∥面PBC”(线面平行)是待证的正确结论，过已知直线DM的任一截面与平面PBC的交线l显然均与直线DM平行。这就给我们指出了找“线线平行”的平行线的一条康庄大道，所以“线线平行”与“线面平行”是可以互相转化的，辅助截面是实现这一转化的“桥梁”。

接下来的问题，是怎样作出辅助截面。其理论依据有“两平行线确定一个平面”、“两相交线确定一个平面”。于是有下面两种不同解法：

[法一]：运用“两平行线确定一个平面”做出辅助截面。

惠来一中数学科组方文湃

1过M作MN∥AB，交PB于N，连结CN。∵MA∥PB，∴ABNM是平行四边形 即MN∥AB，MN=AB ∵DC∥AB，DC=AB ∴MN∥DC，MN=DC 即DCNM是平行四边形 ∴DM∥CN，N

B

∵CNÌ面PBC，DMË面PBC，∴DM∥面PBC

[法二] 运用“两相交直线确定一个平面”做出辅助截面。若PB=MA，易证DM∥CP，从而DM∥面PBC； 若PB¹MA，设PM∩BA=E，ED∩BC=F（如图所示）。∵MA∥PB，AD∥BC ∴EM：EP=EA：EB=ED:EF

B∴DM∥FP，∵FPÌ面PBC，DMË面PBC

∴DM∥面PBC

小结：线面平行找平行线，辅助截面来帮忙。

二、转化为面面平行

证明线面平行的的另一种方法思路，是转化为面面平行，其关键是在过已知直线的平面中找到一个平面与已知平面平行。而证明“面面平行”的一种方法是，寻找“线线平行”证“线面平行”，得出“面面平行”，再由“面面平行”得出 “DM∥面PBC”(线面平行)。所以 “线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是相互

惠来一中数学科组方文湃

密切、相互转化的关系。

[法三]：∵MA∥PB，AD∥BC PBÌ面PBC，MAË面PBC，BCÌ面PBC，ADË面PBC ∴MA∥面PBC，AD∥面PBC ∵MA∩AD=A ∴面MAD∥面PBC ∵DMÌ面MAD∴DM∥面PBC

[法四]：对于本题，转化为面面平行的一种比较方便的方法是证明两个平面MAD、PBC同垂直于同一条直线AB（略）

B

三、向量工具

自从新教材引入向量，向量作为解决几何问题一个行之有效的工具，由于避开了几何繁琐的推理过程，而受到同学们的青睐。向量来解决几何问题首先必须将几何问题转化为向量的运算，最后还要将运算结果翻译几何的结论。



[法五]：容易证明AB⊥PB，AB⊥BC，所以AB是平面PBC的法向量；证明AB

⊥平面MAD可得AB⊥MA，于是MA^AB，故DM∥面PBC

[法六] ∵MA∥PB，∴存在lÎR，使AM=lPB，

∵DA∥CB，DA=CB，∴DM=DA+AM=CB+lBP

CB、BP 是共面向量，∴DM∥面PBC 即 DM、

练习题：如图，已知矩形ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别

1在对角线BD,AE上，且BMBD,ANAE

3惠来一中数学科组方文湃

B

C

求证：MN//平面CDE

具体解法，仿照上述。

“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。以上各种方法，看似难以想到，毫不相干，其实每一种方法都有它的根源、有它的理论根据。所谓有“果”，必有“因”，找到它的“因”，自然能够修成“正果”。我们在教学中提倡“授之以鱼”，不如“授之以渔”。我们不但要教给学生解题的方法，还要让学生学会解一大类题，融会贯通，达到“举一仿三，触类旁通”的效果，更要让他们理解各种方法的由来，以及其体现的数学思想。

惠来一中数学科组方文湃