高代考研大纲[定稿]

第一篇：高代考研大纲[定稿]

《高等代数》复习参考提纲

课程考试内容

（一）多项式

数域，整除的概念与性质，最大公因式，因式分解，重因式，多项式函数，有理系数多项式，多元多项式，对称多项式。

（二）行列式

排列，n阶行列式的概念，n阶行列式的性质，行列式的计算，行列式按一行（列）展开，拉普拉斯（Lap lace）定理，克兰姆法则。

(三)线性方程组

消元法，矩阵，矩阵的秩，线性方程组的初等变换等概念及性质，线性方程组有解判别定理。n维向量的概念及运算；向量组的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；向量组的线性相关性的判定；两个向量组的等价；向量组的极大无关组、秩的概念及性质；向量组的秩与矩阵的秩的关系。线性方程组解的结构。

(四)矩阵

矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块矩阵的初等变换及应用。

(五)二次型

二次型的矩阵表示，标准形，唯一性，惯性定律，正定二次型。

（六）线性空间

线性空间的概念与性质，维数，基，坐标，基变换，坐标变换，子空间，子空间的和与交，子空间的直和，线性空间的同构。

（七）线性变换

线性变换的概念与性质，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，矩阵相似对角矩阵的各种条件，线性变换的值域和核，不变子空间，Jordan标准形，最小多项式。

（八）-矩阵

-矩阵的标准形，行列式因子，不变因子，初等因子，矩阵相似的条件，矩阵的有理标准形。

（九）欧几里得空间

欧几里得空间的概念与性质，标准正交基，欧几里得空间的子空间与同构，正交变换与对称变换，Schimidt正交化方法，实对称矩阵的标准形，最小二乘法，酉空间。

（十）双线性函数

线性函数，对偶空间，双线性函数。

考试形式与试题结构

1、试卷分值：150分

2、考试时间：180分钟

3、考试形式：闭卷

4、题型结构：填空题，计算题，证明题。

参考书目

1、北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，《高等代数》（第三版），北京，高等教育出版社。

2、张禾瑞，郝鈵新，《高等代数》（第四版），北京，高等教育出版社。

3、李师正等，《高等代数解题方法与技巧》，北京，高等教育出版社。

第二篇：考研高数复习大纲

一、函数、极限与连续

1.求分段函数的复合函数；

2.求极限或已知极限确定原式中的常数；

3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型；

4.无穷小阶的比较；

5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

二、一元函数微分学

1.求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论；

2.利用洛比达法则求不定式极限；

3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式；

4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如证明在开区间内至少存在一点满足……，此类问题证明经常需要构造辅助函数；

5.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间；

6.利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

三、一元函数积分学

1.计算题：计算不定积分、定积分及广义积分；

2.关于变上限积分的题：如求导、求极限等；

3.有关积分中值定理和积分性质的证明题；

4.定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等；

第三篇：考研高数大纲

2014年考研数学一考试大纲

考试形式和试卷结构：

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试。

三、试卷内容结构

高等教学线性代数概率论与数理统计

四、试卷题型结构

单选题8填空题6解答题(包括证明题)9 约56% 约22% 约22% 小题，每小题4分，共32分小题，每小题4分，共24分小题，共94分

第四篇：2014年考研高数大纲

第一章函数与极限第十节中的“一致连续性”不用看；

其它内容是数一数二数三公共部分

第二章导数与微分第四节参数方程求导及相关变化率为数一，数二考试内容，数三不要

求；

第五节的微分在近似中的应用不用看；其余内容为数一数二数三公共

部分。

第三章微分中值定理与导数的应用第六节函数图形的描绘，第八节方程的近似解都不用看；

第四章不定积分

第五章定积分

第六章定积分的应用

第七章微分方程

第八章空间解析几何与向量代数

第九章多元函数微分法及其应用

第十章重积分

第十一章曲线积分与曲面积分

第十二章无穷级数

线性代数

前五章

第六章

概率论与数理统计

前三章

第四章随机变量的数字特征

第五章大数定律及中心极限定理

第六章样本及抽样分布

第七章参数估计

第八章假设检验第七节曲率为数一数二考试内容，数三不用看；其余内容为数一数二数三公共部分。第五节积分表的使用不看；其余内容为公共部分。第五节反常积分的审敛法都不用看；其余内容为数一数二数三公共部分。数三只需要掌握第二节的前两部分：平面图形的面积和体积；数一数二掌握本章全部内容。第一，二，三，四（线性方程），六，七，八为数一数二数三公共部分；第五节为数一数二考试内容；第四节的伯努利方程和第九节欧拉方程为数一考试内容。数二数三不考，数一考试内容。第一，二，三，四，五，八节为数一数二数三公共部分；第五节中的隐函数存在定理，第六、七节为数一考试内容；第九、十节数一数二数三都不考。二重积分，含参变量的积分为数一数二数三公共部分；三重积分为数一考试内容，数二数三不考。本章为数一考试内容，数二数三不考本章内容数二不考；前四节为数一数三公共部分；第七、八节为数一考试内容；其余内容不用看。数一数二数三考试要求数一数二数三公共部分本章第二，三节为数一考试内容，数二数三不考。数二不考，数一数三考试要求数一数三公共部分前三节为数一数三公共部分；第四节的协方差矩阵不用看。数一数三公共部分，了解第二节不用看；其余为数一数三公共部分。第一节为数一数三公共部分；第二、六节不用看；其余为数一考试内容前三节为数一考试内容，其余不用看，只需了解即可，考试很少考到。

第五篇：高代提纲

(一)实数集与函数

1、实数：实数的概念；实数的性质；绝对值不等式。

2、函数：函数的概念；函数的定义域和值域；复合函数；反函数。

3、函数的几何特性：单调性；奇偶性；周期性。

要求：理解和掌握绝对值不等式的性质，会求解绝对值不等式；掌握函数的概念和表示方法，会求函数的定义域和值域，会证明具体函数的几何特性。

(二)数列极限

1、数列极限的概念（N定义）。

2、数列极限的性质：唯一性；有界性；保号性。

3、数列极限存在的条件：单调有界准则；两边夹法则。

要求：理解和掌握数列极限的概念，会使用N语言证明数列的极限；掌握数列极限的基本性质、运算法则以及数列极限的存在条件(单调有界原理和两边夹法则)，并能运用它们求数列极限；了解无穷小量和无穷大量的概念性质和运算法则，会比较无穷小量与无穷大量的阶。(三)函数极限

1、函数极限的概念（定义、X定义）；单侧极限的概念。

2、函数极限的性质：唯一性；局部有界性；局部保号性。

3、函数极限与数列极限的联系。

4、两个重要极限。

要求：理解和掌握函数极限的概念，会使用语言以及X语言证明函数的极限；掌握函数极限的基本性质、运算法则，会使用海涅归结原理证明函数极限不存在；掌握两个重要极限并能利用它们来求极限；了解单侧极限的概念以及求法。

(四)函数连续

1、函数连续的概念：一点连续的定义；区间连续的定义；单侧连续的定义；间断点的分类。

2、连续函数的性质：局部性质及运算；闭区间上连续函数的性质（最值性、有界性、介值性、一致连续性）；复合函数的连续性；反函数的连续性。

3、初等函数的连续性。

要求：理解与掌握函数连续性、一致连续性的定义以及它们的区别和联系，会证明具体函数的连续以及一致连续性；理解与掌握函数间断点的分类；能正确叙述并简单应用闭区间上连续函数的性质；了解反函数、复合函数以及初等函数的连续性。

（五）实数系六大基本定理及应用

1、实数系六大基本定理：确界存在定理；单调有界定理；闭区间套定理；致密性定理；柯西收敛准则；有限覆盖定理。

2、闭区间上连续函数性质的证明：有界性定理的证明；最值性定理的证明；介值性定理的证明；一致连续性定理的证明。

要求：理解和掌握上、下确界的定义，会求具体数集的上、下确界；理解和掌握闭区间上连续函数性质及其证明；能正确叙述实数系六大基本定理的内容及其证明思想，会使用开覆盖以及二分法构造区间套进行简单证明。

（六）导数与微分

1、导数概念：导数的定义；单侧导数；导数的几何意义。

2、求导法则：初等函数的求导；反函数的求导；复合函数的求导；隐函数的求导；参数方程的求导；导数的运算(四则运算)。

3、微分：微分的定义；微分的运算法则；微分的应用。

4、高阶导数与高阶微分。

要求：能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求具体函数的（高阶）导数和微分；理解和掌握可导与可微、可导与连续的概念及其相互关系；掌握左、右导数的概念以及分段函数求导方法，了解导函数的介值定理。

（七）微分学基本定理

1、中值定理：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。

2、泰勒公式。

要求：理解和掌握中值定理的内容、证明及其应用；了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开

（八）导数的应用

1、函数的单调性与极值。

2、函数凹凸性与拐点。

3、几种特殊类型的未定式极限与洛必达法则。

要求：理解和掌握函数的单调性和凹凸性，会使用这些性质求函数的极值点以及拐点；能根据函数的单调性、凹凸性、拐点、渐近线等进行作图；能熟练地运用洛必达法则求未定式的极限。

（九）不定积分

1、不定积分概念。

2、换元积分法与分部积分法。

3、有理函数的积分。

要求：理解和掌握原函数和不定积分概念以及它们的关系；熟记不定积分基本公式，掌握换元积分法、分部积分法，会求初等函数、有理函数、三角函数的不定积分。

（十）定积分

1、定积分的概念；定积分的几何意义。

2、定积分存在的条件：可积的必要条件和充要条件；达布上和与达布下和；可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)。

3、定积分的性质：四则运算；绝对值性质；区间可加性；不等式性质；积分中值定理。

4、定积分的计算：变上限积分函数；牛顿-莱布尼兹公式；换元公式；分部积分公式。要求：理解和掌握定积分概念、可积的条件以及可积函数类；熟练掌握和运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法求定积分。

（十一）定积分的应用

1、定积分的几何应用：微元法；求平面图形的面积；求平面曲线的弧长；求已知截面面积的立体或者旋转体的体积；求旋转曲面的面积。

2、定积分的物理应用：求质心；求功；求液体压力。

要求：理解和掌握“微元法”；掌握定积分的几何应用；了解定积分的物理应用。十二）数项级数

1、预备知识：上、下极限；无穷级数收敛、发散的概念；收敛级数的基本性质；柯西收敛原理。

2、正项级数：比较判别法；达朗贝尔判别法；柯西判别法；积分判别法。

3、任意项级数：绝对收敛与条件收敛的概念及其性质；交错级数与莱布尼兹判别法；

阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

要求：理解和掌握正项级数的收敛判别法以及交错级数的莱布尼兹判别法；掌握一般项级数的阿贝尔判别法与狄利克雷判别法；了解上、下极限的概念和性质以及绝对收敛和条件收敛的概念和性质。

（十三）反常积分

1、无穷限的反常积分：无穷限的反常积分的概念；无穷限的反常积分的敛散性判别法。

2、无界函数的反常积分：无界函数的反常积分的概念；无界函数的反常积分的敛散性判别法。

要求：理解和掌握反常积分的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛的概念；掌握反常积分的柯西收敛准则，会判断某些反常积分的敛散性。

（十四）函数项级数

1、一致收敛的概念。

2、一致收敛的性质：连续性定理；可积性定理；可导性定理。

3、一致收敛的判别法；M-判别法；阿贝尔判别法；狄利克雷判别法。

要求：理解和掌握一致收敛的概念、性质及其证明；能够熟练地运用M-判别法判断一些函数项级数的一致收敛性。

（十五）幂级数

1、幂级数的概念以及幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域。

2、幂级数的性质。

3、函数展开成幂级数。

要求：理解和掌握幂级数的概念，会求幂级数的和函数以及它的收敛半径、收敛区间、收敛域；掌握幂级数的性质以及两种将函数展开成幂级数的方法，会把一些函数直接或者间接展开成幂级数。

十六）傅里叶级数

1、傅里叶级数：三角函数系的正交性；傅里叶系数。

2、以2为周期的函数的傅里叶级数。

3、以2L为周期的傅里叶级数。

4、收敛定理的证明。

5、傅里叶变换。

要求：理解和掌握三角函数系的正交性与傅里叶级数的概念；掌握傅里叶级数收敛性判别法；能将一些函数展开成傅里叶级数；了解收敛定理的证明以及傅里叶变换的概念和性质。十七）多元函数极限与连续

1、平面点集与多元函数的概念。

2、二元函数的二重极限、二次极限。

3、二元函数的连续性。

要求：理解和掌握二元函数的二重极限、二次极限的概念以及它们之间的关系，会计算一些简单的二元函数的二重极限和二次极限；掌握平面点集、聚点的概念；了解平面点集的几个基本定理以及闭区域上多元连续函数的性质。

（十八）多元函数的微分学

1、偏导数与全微分：偏导数与全微分的概念；可微与可偏导、可微与连续、可偏导与连续的关系。

2、复合函数求偏导数以及隐函数求偏导数。

3、空间曲线的切线与法平面以及空间曲面的切平面和法线。

4、方向导数与梯度。

5、多元函数的泰勒公式。

6、极值和条件极值

要求：理解和掌握偏导数、全微分、方向导数、梯度的概念及其计算；掌握多元函数可微、可偏导和连续之间的关系；会求空间曲线的切线与法平面以及空间曲面的切平面和法线；会求函数的极值、最值；了解多元泰勒公式。（十九）隐函数存在定理、函数相关

1、隐函数：隐函数存在定理；反函数存在定理；雅克比行列式。

2、函数相关。

要求：了解隐函数的概念及隐函数存在定理，会求隐函数的导数；了解函数行列式的性质以及函数相关。

（二十）含参变量积分以及反常积分

1、含参变量积分：积分与极限交换次序；积分与求导交换次序；两个积分号交换次序。

2、含参变量反常积分：含参变量反常积分的一致收敛性；一致收敛的判别法；欧拉积分、函数、函数。

要求：理解和掌握积分号下求导的方法；掌握函数、函数的性质及其相互关系；了解含参变量反常积分的一致收敛性以及一致收敛的判别法。

（二十一）重积分

1、重积分概念：重积分的概念；重积分的性质。

2、二重积分的计算：用直角坐标计算二重积分；用极坐标计算二重积分；用一般变换计算二重积分。

3、三重积分计算：用直角坐标计算三重积分；用柱面坐标计算三重积分；用球面坐标计算三重积分。

4、重积分应用：求物体的质心、转动惯量；求立体体积，曲面的面积；求引力。要求：理解和掌握二重、三重积分的各种积分方法和特点，会选择最合适的方法进行积分；掌握并合理运用重积分的对称性简化计算；了解柱面坐标和球面坐标积分元素的推导。（二十二）曲线积分与曲面积分

1、第一类曲线积分：第一类曲线积分的概念、性质与计算；第一类曲线积分的对称性。

2、第二类曲线积分：第二类曲线积分的概念、性质与计算；两类曲线积分的联系。

3、第一类曲面积分：第一类曲面积分的概念、性质与计算；第一类曲面积分的对称性。

4、第二类曲面积分：曲面的侧；第二类曲面积分的概念、性质与计算；两类曲面积分的联系。

5、格林公式：曲线积分与路径的无关的四种等价叙述。

6、高斯公式。

7、斯托克斯公式。

8、场论初步：梯度；散度；旋度。

要求：理解和掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质与计算，会使用对称性简化第一类曲线以及曲面积分；熟练掌握格林公式、高斯公式的证明并能利用它们求一些曲线积分和曲面积分；了解两类曲线积分及曲面积分的区别和联系；了解斯托克斯公式和场论初步。