2012考研讲座(1—8)高数线代复习导引

第一篇：2012考研讲座(1—8)高数线代复习导引

讲座（1）考好数学的基点

“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。

非数学专业的本科学生与数学专业学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。各向齐茂，形成一棵参天大树。

在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。

在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。

非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。

大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。

考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“与大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。

做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。

按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你的大脑要饱受交混回想的检验。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。

从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，掌握计算方法，学会简单推理。首先是要记得住。

你要玩好游戏，你也得先了解游戏规则，把它记得滚瓜烂熟啊。你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。

数学专业的学生面壁苦修的一个方式是画“联络图”。每学完一章，抽一定时间复习小结，静心地用笔理线索。

先默写出各个定义，中心定理，辅助定理，简单结论，思考其相互关系。再回顾主要定理证明 —— 关键步骤是哪步，有无特色细节，可否模仿。哪些可以收编为练习。条件能否削弱，有无相应反例。在主要参考书上，有没有更细化的评注或说明或应用。

有没有重要算法与公式。如果有，是否有前提条件，是否要判断分类，„„。

这是一个下意识的系统消化手段，也是一个有效的记忆方法。记住了而还没有消化好的内容，则一点一点地成为定向思维的材料。

当然要做题。有了一定的知识准备后，首先做教科书习题。演练简单的题目，体念并熟悉概念与公式。剖析复杂的题目，了解如何综合考查自己，学习分步逻辑推理。把典型题目与相关概念或定理或典型方法归纳记忆在一起。进一步做参考书及资料上的题，感受了解考研题目如何考查自己。逐渐形成用“猎奇”的眼光去挑选典型题目的能力

数学专业的学生面壁苦修的又一个方式是积累一个“材料库”。尽可能熟悉课程讨论的基本对象。就如我将在讲解时（微积分部分）推荐的，“三个典型的（极限）不存在”，“x 趋于+∞ 时，指数函数，幂函数，对数函数的无穷大阶数比较。”“三个典型的不可导”，“四个典型的不可积”，„„，等等。

概念记得越准确，观察判断的眼光越犀利。基本定理，基本方法记得越清晰，分析题目时方向越明白。

当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 „„”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。

讲座（2）笔下生花花自红

在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。

也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案，或看题想解翻答案。动笔的时间很少。

数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。

科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。

或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）；

或 “要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。

在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。

“连续函数与不连续函数的和会怎样？”

写 成 “连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。

如果，“连续A + 不连续B = 连续C” 则 “ 连续C-连续A = 不连续B” 这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。

有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，题面上有已知条件 f ′(1)> 0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出 h 趋于0 时，lim(f(1+h)-，0，n，0，--，0，n，0，-∞” 是未定式。）

对于一个集合，我们既要考虑能否定义线性运算，又还要进一步考虑，这个集合对于线性运算是不是“封闭”的。即集合中的任意有限个元素的线性组合，是否还属于这个集合。是！我们就说“集合对于线性运算是封闭的。”高一个层次的理论中，这是集合能否被称为“线性空间”首要条件。

显然，m × n阶矩阵集合，n 维向量集合，C[a，b] 函数集合，C k（a，b）函数集合，对于线性运算都是封闭的。

2.向量内积与矩阵乘法

由于理论或应用的需要，人们经常需要考虑在集合上定义更特殊的“运算”。这些“运算”在观念上要比四则运算高一个层次。本质上是人为规定的，集合中任意两个元与唯一的“第三者”的特殊对应规律。高级语言称之为集合上的 一个“二元关系”。

内积是n维向量集合上的一个“二元关系”—— 两个n维向量对应唯一确定的一个数。即

对任意两个n 维行向量 α =(α1, α2, „，αn), β =(β1,β2 ,„，βn), 规定

内积 α?β = αβˊ= α1β1 + α2β2 + „ + αnβn（= β?α）

（画外音：喜欢口诀吗？左行右列作内积。对应分量积相加。）

内积又叫数量积。定义内积是深化讨论的常用手段，理论背景深远，应用范围广阔。比如，更高层次的讨论中，在C[a，b] 函数集合上定义内积为 内积（f，g）= 积函数f（x）g（x）在[a，b]上的定积分

《线性代数》教材中通常把n维向量设为列向量。借助于列向量可以把m×n阶矩阵A表示为

A =(a1，a2，„，a n)，称为矩阵 A 的 列分块式。

其中，列向量 a1 =(a 11，„，a n 1)ˊ，„„，a n =(a 1n，„，a n n)ˊ

如果把每个列块视为一个元素，可以说 A =(a1，a2，„，a n)是一个“形式向量”。这个观念对学习《线性代数》大有好处。比如，让“形式向量”与未知列向量x作“形式内积”，可以把齐次线性方程组 A x = 0 改写为

(a1，a2，„，a n)（x1，x 2，„，x n）ˊ= 0 即 x1 a1+ x 2 a2 +„„+ x n a n = 0 后面将会利用这个形式转换，把“（列）向量组的线性相关性”与“齐次线性方程组有无非零解”相连系。

矩阵乘法是矩阵集合上的一个“二元关系”。它的计算基础是向量内积。具体规定为 ——

m×n 阶矩阵A（a i j）与n×s 阶矩阵B（b i j）可以有乘积矩阵AB =（c i j），AB是m×s阶矩阵，它的元素c i j 具体为 c i j = A的第i 行与B的第 j 列的内积。

即 c i j = a i 1b j1 + a i2 b j 2 + „ + a i n b j n，1≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ s 阶数规则（m×n）（n×s）=（m×s），保证“左行右列作内积”可行。

最特殊的两种情形是（m×1）（1×s）=（m×s）与（1×n）（n×1）=（1×1）

后一情形就是两个向量作内积。

进一步有分块矩阵乘法。

按照应用需要，《线性代数》常常会将矩阵变化为某种分快形式。并实施矩阵乘法。较常见的是变化矩阵为 列分块式 或 行分块式。

要分块矩阵乘法可行，必须要在“宏观”与“微观”两方面都确保可乘。宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数规则。

微观可乘：所有要相乘的子块，全都满足阶数规则。

乘法变形1.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×1）（1×s）=（1×s）AB = A（b1，b 2，„，b s）=（A b 1，A b 2，„，A b s）

宏观可乘：各分块看成一个元素，满足阶数规则（1×1）（1×s）=（1×s）

微观可乘：对应相乘的子块 A b j 都满足：（m×n）（n×1）=（m×1）

乘法变形2.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×1）（1×s）=（m×s）AB =（A的行分块式）（B的列分块式）

这个分块乘积式显式了矩阵乘法与内积的关系。积矩阵AB 的每一个元都是内积形式。

乘法变形3.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×n）（n×s）=（1×s）AB =（a1，a 2，„，a n）（b i j）

=（a 1 b 11 + a 2 b 21 + „ + a n b n1，„，a 1 b 1n + a 2 b 2 n + „ + a n b n n）

乘积AB具列分块式。且它的各列都是A的列向量的线性组合。

乘法变形3 的特殊情形就是“形式内积”。（1×n）（n×1）=（1×1），考研数学题要求你会逆向还原：

c1 a1+ c 2 a2 +„„+ c n a n =(a1，a2，„，a n)（c1，c 2，„，c n）ˊ

例 设有列向量组 a1，a2，a3，它们排成矩阵 A =（a1，a2，a3），如果它们的三个线性组合分别是 a1 + a2 + a3，a1 + 2a2 +4a3，a1 + 3a2 + 9a 3，试写出新的三向量排成的矩阵B与A的关系。

分析 关键在于反写形式内积 a1 + a2 + a3 =（a1，a2，a3）（1，1，1）ˊ a1 + 2a2 +4a3 =（a1，a2，a3）（1，2，4）ˊ a1 + 3a2 + 9a3 =（a1，a2，a3）（1，3，9）ˊ

于是，这三个线性组合为列排成的矩阵，等于A乘以 “三个系数列排成的矩阵”。

乘法变形4.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×n）（n×1）=（m ×1）AB =（a i j）（B的行分块式）

乘积AB具行分块式。且它的各行都是B的行向量的线性组合。

分块矩阵乘法形式多样，内函丰富。每一类形式变换都带来理论新意。充分体现出《线性代数》的特点，也是重点难点。对学生来说又相当陌生，史无前遇。考研复习《线性代数》的第一任务，就是熟悉矩阵乘法，熟悉分块矩阵乘法变换的各种形式及其新含义。

第二篇：考研高数复习大纲

一、函数、极限与连续

1.求分段函数的复合函数；

2.求极限或已知极限确定原式中的常数；

3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型；

4.无穷小阶的比较；

5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

二、一元函数微分学

1.求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论；

2.利用洛比达法则求不定式极限；

3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式；

4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如证明在开区间内至少存在一点满足……，此类问题证明经常需要构造辅助函数；

5.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间；

6.利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

三、一元函数积分学

1.计算题：计算不定积分、定积分及广义积分；

2.关于变上限积分的题：如求导、求极限等；

3.有关积分中值定理和积分性质的证明题；

4.定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等；

第三篇：考研高数知识总结1

考研数学讲座（17）论证不能凭感觉

一元微分学概念众多，非常讲究条件。讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。

1． x趋于∞时，求极限 lim xsin（2x∕(x平方+1),你敢不敢作等价无穷小替换?

分析 只凭感觉，多半不敢。依据定义与规则，能换就换。

x 趋于∞时，α = 2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα 是无穷小，sinα（x）～ α（x）且 sinα 处于“因式”地位。可以换。

等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为 2

2．设f(x)可导，若f(x)是奇（偶）函数（周期函数，单调函数，有界函数），它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性（周期性，单调性，有界性）？

分析 有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如 奇函数 f(－x)= －f(x)周期为T的函数 f(x+T)= f(x)等式两端分别求导，得 fˊ(－x)= fˊ(x)fˊ(x+T)= fˊ(x)（实际上，由复合函数求导法则，（f(－x)）ˊ= fˊ(－x)(－x)ˊ= －fˊ(－x)）

所以，奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。（如果高阶可导，还可以逐阶说下去。）周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是，因为(x)ˊ= 1，有的非周期函数，比如y = x + sinx，的导数却是周期函数。

（潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。）

单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。

如y = x单增，yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在（0，π/2）单增，yˊ = conx 单减，没有确定的结论。

有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到，在x趋于x0时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然，圆周上就有具竖直切线的点。

取 y =√（1－x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趋于 1 时，其导数的绝对值趋于正无穷。这个反例说明有界函数的导数不一定有界。

（画外音：写出来很吓人啊。x → 1 时，lim f(x)= 0，而 lim fˊ(x)= －∞）

3． 连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗？

分析 连续函数的复合，花样更多。原因在于复合函数f（g（x））的定义域，是f（x）的定义域与g（x）值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如：

取分段函数 g（x）为，x ＞ 0 时 g =1，x ≤ 0 时 g = －1，0是其间断点。取 f（u）=√u，则 f（g（x））= 1 在 x ＞ 0 时有定义且连续。还有一些原因让“病态点”消失。

如果只图简单，你可以取 f（u）为常函数。以不变应万变。

取 f（u）= u的平方，则 f（g（x））= 1，显然是个连续函数。

4．设 f(x)可导，若x趋于 +∞ 时，lim f(x)= +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞ 分析 稍为一想，就知为否。例如 y = x 更复杂但颇为有趣的是 y = ln x，x 趋于 +∞ 时，它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。5．设f(x)可导，若 x 趋于+∞时，lim fˊ(x)= +∞ , 是否必有 lim f(x)= +∞ 分析 用导数研究函数，这是微积分的正道。首先要体念极限（见指导（3）。）： 因为 lim fˊ(x)= +∞，所以当 x 充分大时，不仿设 x ＞ x0 时，总有 fˊ(x)＞1 用拉格朗日公式给函数一个新的表达式

f(x)= f(x0)+ fˊ(ξ)(x－x0), x0 ＜ξ＜ x(潜台词: ξ=ξ(x)。你有这种描述意识吗？)进而就有, x ＞x0 时, f(x)＞f(x0)+ 1(x－x0)（画外音：这一步是高级动作。）因为 f(x0)是个常数，x0是我们选择的定点，所以上式表明，必有 lim f(x)= +∞ 6。设 f(x)可导，若 x 趋于-∞ 时，lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f(x)=-∞ 分析 否。你如果与上述问题5对比，认为情形相仿，结论必有。那就太想当然了。请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是

若 x 趋于-∞ 时，lim fˊ(x)=-∞ , 则必有 lim f(x)= +∞

7．设 f(x)可导，若x 趋于+∞时，lim f(x)= c（常数，）是否必有lim f ˊ(x)= 0 分析 否。lim fˊ(x)有可能不存在。

这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时，最初的想法就是，“lim f(x)= c 表示函数图形有水平渐近线，函数又可导，当然在 x 趋于+∞时，切线就趋于水平了。”

想当然的原因之一是我们见识太少，脑子里的函数都较简单，图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。

由极限定义的水平渐近线，并不在乎曲线中途是否与其相交。比如，曲线可以以渐近线为轴震荡，最终造成 lim fˊ(x)不存在的后果。对比条件强化 —— 如果 lim fˊ(x)存在，则必有 lim fˊ(x)= 0 用反证法证明。且不仿设 x 趋于 +∞ 时 lim fˊ(x)= A ＞0 与前述5中同样，可以选定充分大的正数 x0，使 x＞x0 时，总有 fˊ(x)＞A/2，然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式，导数条件管住ξ，从而有

f(x)＞f(x0)+ A(x－x0)/2 —→+∞ 矛盾。

8．函数在一点可导，且导数大于0，能说函数在这一点单增吗？

分析 不能。函数的单调性是宏观特征，背景是区间。函数在一点可导，且导数大于0，其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式，即 x 趋于x0 时，lim(f(x)－f（x0））/（x－x0）＞ 0 如果没有别的条件，下一步就试试体念符号。即在x0邻近，分子分母同号。进而在其右侧邻近，分子分母皆为正，f(x)＞ f（x0）。但是，我们不知道函数值相互间的大小。

*9 设f(x)可导，若fˊ(a)·fˊ(b)＜ 0，则（a，b）内必有点c，fˊ(c)= 0

分析 对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是，导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。

在本篇问题8中，我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设 fˊ(a)＞ 0 而 fˊ(b)＜ 0 分别在a，b两点处写出导数定义式，体念极限符号，（本篇问题8。）可以综合得到结论：

函数的端值 f(a)，f(b)都不是 f(x)在[a，b] 上的最大值。最大值只能在（a，b）内一点实现，该点处导数为0 好啊，多少意外有趣事，尽在身边素材中。要的是脚踏实地，切忌空想。考研数学讲座（18）泰勒公式级数连

中值定理是应用函数的导数研究函数变化特点的桥梁。中值定理运用函数在选定的中心点x0的函数值、导数值以及可能的高阶导数值，把函数表示为一个多项式加尾项的形式。再利用已知导函数的性质来处理尾项，对函数做进一步讨论。

中值定理的公式（可微分条件，有限增量公式，泰勒公式）都是描述型的数学公式。描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。公式中的“点ξ”理解为客观存在的点。

在选定的中心点x0，函数的已知信息越丰富，相应的泰勒多项式与函数越贴近。1.“微分是个新起点” —— 若函数 f（x）在点x0可微，Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx)；其中，ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。” 则函数实际上就有了一个新的（微局部的）表达式：

f（x）= f(x0)+ f ′(x0)(x－x0)+ ο(Δx)（ο(Δx)尾项，比Δx高阶的无穷小）

（潜台词：只有|Δx |充分小，“高阶无穷小”才有意义。）

历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。

2.拉格郎日公式 —— 若 函数f(x)在闭区间 [a，b] 上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点ξ，使得 f(b)－f(a)= f ′(ξ)（b－a）

定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（任给一点，相对不变。）也可以有 f(x)－f(x0)= f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 与 x0之间，（潜台词：任意一点x，对应着一个客观存在的“点ξ”，ξ=ξ（x））即 f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 与 x0之间，3.泰勒公式 —— 如果函数在点x0 邻近有二阶导数

f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(ξ)/2）（x－x0）²，ξ 在x与x0之间 式中的尾项叫拉格郎日尾项。有时也把 ξ 表示为 x0 +θ(x－x0)，0＜θ＜1 一般情况下，我们无法知道

ξ=ξ（x）的结构、连续性等，只能依靠已知导函数的性质来限定尾项，实现应用目的。

如果函数仅在点x0二阶可导，我们可以用高阶无穷小尾项（皮阿诺余项）

f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(x0)/2）（x－x0）²+ ο（|Δx| ²）泰勒系数 —— 如果在点x0 邻近f（x）n+1 阶可导，则有泰勒系数 f（x0），f ′(x0)，f ″(x0)/ 2！，f ′ ″(x0)/ 3！，„„

可以写出，f（x）= n 次泰勒多项式 + 拉格朗日尾项

4.泰勒级数 —— 如果在点x0邻近f（x）无穷阶可导，不妨取x0 = 0，则利用泰勒系数可以写出一个幂级数

f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x²+（f ′ ″(0)/ 3！）x³ + „„ 这个幂级数的和函数是否就是f（x）呢？不一定！

（画外音：太诡异了，f（x）产生了泰勒系数列，由此泰勒系数列生成一个幂级数，它的和函数却不一定是 f（x）。就象鸡下的蛋，蛋孵出的却不一定是鸡。）

关键在余项。当且仅当 n → ∞ 时，泰勒公式尾项的极限为 0，f（x）一定是它的泰勒系数列生成的幂级数的和函数。称为 f（x）的泰勒展开式。验证这个条件是否成立，往往十分困难。故通常利用五个常用函数的泰勒展开式，依靠唯一性定理，用间接法求某些别的函数的泰勒展开式。

美国的学生特别轻松，他们的大学数学教材很有创意，早在极限部分就要求他们,当成定义记住指数函数与正弦函数的泰勒展开式。

exp（x）= 1 + x + x²/2！+ x³/3！+ „„ －∞＜x＜∞ sin x = x － x³/3！+ „„ －∞＜x＜∞

（逐项求导，cos x = 1－ x²/2！+ „„

－∞＜x＜∞）此外还有 ln（1+x）= x － x²/2 + x³/3 + „„ －1＜x＜ 1（1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ(μ－1)/ 2！）x²+（μ(μ－1)(μ－2)/ 3！）x³+ „„ 1/(1－x)= 1 + x² + x³ + „„ －1＜x＜ 1，上同

泰勒公式基本应用（1）—— 等价无穷小相减产生高阶无穷小。关键在于低阶项相互抵消。应用泰勒公式直接有，x → 0 时，exp（x）－ 1 ~ x，exp(x)－1－x ~ x² / 2

sin x ~ x，sin x － x ~ － x³ / 3！，cos x －1 ~ － x²/2 ln（1+x）~ x，ln(1+x)－x ~ －x²/2（1+x）的μ次方－ 1 ~ μ x 例87 已知x→ 1时，lim(√(x³+3)－A－B(x －1)－(x －1)²)/(x －1)² = 0，试确定常数，A，B，C 分析

已知表明 x → 1 时，分子是较分母高阶的无穷小。

题面已暗示，应将函数y =√(x³+3)在点 x = 1 表示为带皮阿诺余项的泰勒公式，且必有

常数项 = A 一次项系数 = B 二次项系数 = C 这些低阶项相互抵消，分子才能成为高于二次方级的无穷小。

于是 A = y(1)= 2，B = y ′(1)= 3/4，C = y″(1)/ 2 = 39/64（画外音：有的人一遇上这类题就想用洛必达法则，这在逻辑上是错的。不懂得无穷小的变化机理。如果只有两个参数，可看讲座（9）。）

泰勒公式基本应用（2）—— 带皮阿诺余项的泰勒公式用于求极限

例88 若 x→ 0 时，极限 lim(sin6 x+ f（x）)/ x³ = 0，则

x→ 0 时，极限 l im(6 + f（x）)/ x² = ? 分析

分子有两项。决不能把 sin6 x 换为 6x，（潜台词：sin6 x不是分子的因式，是分子的一项。）

这时正好用“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”，sin 6x = 6 x －（6x）³/3！+ ο（|Δx| ³）代入已知极限，移项得 lim(6 + f（x）)/ x² = 36

例89 设函数 f(x)在 x = 0 的某邻域内有连续的二阶导数，且 f(0)≠0，f ′(0)≠0, 记 F(h)= λ1 f(h)+ λ2 f(2h)+ λ

f(3h)一 f(0)，试证，存在唯一的实数组 λ1，λ2，λ3，使 h → 0 时，F(h)是比 h ² 高阶的无穷小。分析 讨论极限问题，有高阶导数信息，先写带皮亚诺余项的泰勒公式 f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x²+ ο（|x| ²）

这是函数 f（x）的一个新的（微局部的）表达式，当然可以表示 f(h)，f(2h)，f(3h)f(h)= f（0）+ f ′(0)h +（f ″(0)/2）h ²+ ο（| h | ²）

f(2h)= f（0）+ f ′(0)2 h +（f ″(0)/2）（2h）²+ ο（| h | ²）f(3h)= f（0）+ f ′(0)3 h +（f ″(0)/2）（3h）²+ ο（| h | ²）（潜台词：常数因子不影响尾项。）将各式代入F(h),整理得

F(h)=(λ1+λ2+λ3一1)f（0）+(λ1+2λ2 + 3λ3)f ′(0)h +(λ1+ 4λ2 + 9λ3)f ″(0)h ²/2 + ο（| h | ²）

要让 h → 0 时，F(h)是比 h ²高阶的无穷小。，只需令上式中的常数项及 h 和 h ²项的系数全为 0，这就得到未知量

λ1，λ2，λ3 的一个齐次线性方程组，它的系数行列式是三阶的范德蒙行列式，其值不为 0，故可以相应算得唯一的一组 λ1，λ2，和 λ3 泰勒公式基本应用（3）——带拉格郎日尾项的泰勒公式用于一般讨论 例90 —— 凸函数不等式

如果函数 f(x)二阶可导且二阶导数定号，（称为凸函数），则应用泰勒公式可以得到不等式

f(x)≥ f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)（或≤）

实际上 f（x）= f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)+(f ″(ξ)/2)(x－x0)²，ξ 在 x 与 x0之间

设 f ″(x)＞ 0，自然有(f ″(ξ)/2)(x－x0)² ＞ 0，舍掉此项就得到不等式。

*例91 函数 f(x)在 [－1，1] 上有连续的三阶导数，且 f(－1)= 0，f(1)=1，f ′(0)= 0，试证明在区间 内至少有一点 ξ，使得 f ″′(ξ)= 3 分析 选中心点 x0 = 0，在区间内讨论，写出带拉格郎日尾项的泰勒公式

f（x）= f（0）+（f ″(0)/2）x²+（f ′ ″(η)/ 3！）x³ , η在0与x之间 既然这是 f(x)的又一个表达式，当然可以代入x = －1 , 1，它们分别相应有 ξ 1，ξ 2 0 = f（－1）= f（0）+（f ″(0)/2）(－1)²+（f ′ ″(ξ 1)/ 3！）(－1)³ , －1＜ξ 1＜0 1 = f（1）= f（0）+（f ″(0)/2）1² +（f ′ ″(ξ 2)/ 3！）1³ , 0 ＜ξ 2 ＜ 1 到了这一步，仔细观察发现，两式相减，能得到只剩下有关三阶导数值的表达式。f ′″(ξ 2)+ f ′″(ξ 1)= 6 或着两个三阶导数值都等于3，本题得证。或者它们一大于3，一小于3，而函数 f ″′(x)连续，可以应用介值定理完成本题证明。

第四篇：2014年考研数学：线代复习三策略

2014年考研数学：线代复习三策略

复习线性代数要注重知识点的衔接与转换。由于线性代数各个部分之间的联系非常紧密，而且历年来的考题大多都涉及到几个部分的内容，所以复习线性代数一定要有一个整体意识。行列式和矩阵是基础知识，还有向量、方程组、特征值等一直是考点。复习要注意以下几点。

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。

线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

二、注重逻辑性与叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。应该说考研数学最简单的部分就是线性代数，这部分的难点就在于概念非常多而且相互联系，但线代贯穿的主线就是求方程组的解，只要将方程组的解的概念和一般方法理解透彻，再回过头看前面的内容就非常简单。同时从考试内容来看，考的内容基本类似，可以说是最死的部分，这几年出的考试题实际上就是以前考题的翻版，仔细专研一下以前考题对大家是最有好处的。

三、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB=0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n，进而可求矩阵A或B中的一些参数。

凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，大家整理时要注重串联、衔接与转换。

第五篇：考研线代的特点与复习要点

考研线代的特点与复习要点

考研数学复习，对于线性代数这门课，同学们普遍感觉书容易看懂，但题目不会做，或者题目会做，但一算就错，这主要是大家对线性代数的特点不太了解，其实线性代数复习要注意以下几点。

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算

线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。

三、注重逻辑性与叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，同学们要在考试中取得好成绩，一定要认真仔细地复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。